On the power graphs which are Cayley graphs of some groups
S. Mukherjee, A. K. Bhuniya
2013年，Jemal Abawajy，Andrei Kelarev和Morshed Chowdhury [1]提出了一个刻画幂图是某些群的Cayley图的有限群的问题。在这里，我们对这个问题给出一个完整的答案。
In 2013, Jemal Abawajy, Andrei Kelarev and Morshed Chowdhury [1] proposed a problem to characterize the finite groups whose power graphs are Cayley graphs of some groups. Here we give a complete answer to this question.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Expansion in Cayley graphs, Cayley sum graphs and their twists
已知有限群的凯莱图提供了扩张子族的几个例子，其中一些是Ramanujan图。Babai研究了二面体群的等谱非同构Cayley图。Lubotzky，Samuels和Vishne证明了对每一个$d\geq 5$（$d \neq 6$）和素幂$q> 2$，存在$\mathrm{PSL}_d(\mathbb F_q)$的等谱非同构Cayley图.在这篇文章中，我们关注Cayley图的三个变体，即，Cayley和图、扭曲Cayley图和扭曲Cayley和图。证明了有界度的非同构扩张族的存在性，其谱与某些特征标的值有关。我们还提供了几个新的例子，扩展家庭，和非扩展和拉马努金图形成的这三个变种的例子。
On finite subnormal Cayley graphs
本文引入并研究了一类Cayley图--次正规Cayley图。证明了次正规2-弧传递Cayley图是正规Cayley图或完全二部图$K_{p^d,p^d}$的正规覆盖，其中$p$是素数.然后给出了半对称（即边传递而非弧传递）Cayley图的一般构造方法。
Distance-regular Cayley graphs with small valency
研究了小效价的距离正则图是Cayley图的问题。我们确定了距离正则的Cayley图中的最大效价为$4$的Cayley图，距离正则图中的最大效价为$5$的已知假定交叉阵列的Cayley图，以及距离正则图中的最大效价为$6$或$7$且围长为$3$的Cayley图.我们得到了Desklesian仿射平面减去平行线类的关联图是Cayley图。我们证明了已知广义六边形的关联图不是Cayley图，也证明了一些由小广义四边形或广义六边形生成的距离正则图不是Cayley图.在一些"例外“的小效价距离正则图中，我们发现Armanios-Wells图和Klein图是Cayley图.
Generalized Cayley graphs and perfect code
该研究将以往关于 Cayley 图及 Cayley 和图中完美码的关注扩展到广义 Cayley 图，探讨其中完美码的存在与性质。
Distance Powers and Distance Matrices of Integral Cayley Graphs over Abelian Groups
证明了阿贝尔群上的整Cayley图的距离幂也是该群上的整Cayley图。证明了阿贝尔群上整Cayley图的距离矩阵具有整谱。
Neumaier Cayley graphs
本文研究Neumaier Cayley图，给出其成为强正则Neumaier Cayley图的充要条件，并刻画了度数不超过10的小度数Neumaier Cayley图的特征。
New constructions of divisible design Cayley graphs
可除设计图是由Haemers、Kharaghani和Meulenberg在2011年提出的。此外，Kabanov和Shalaginov最近研究了可分设计图，可以得到Cayley图。本文给出了可分设计Cayley图的新构造，并对$v \le 27$顶点上的可分设计Cayley图进行了分类.
Eigenvalues of Cayley graphs
本文综述了Cayley图特征值的一些已知结果及其应用，以及Cayley图特征值的相关结果和Cayley图的推广。
Distance-regular Cayley graphs over dicyclic groups
距离正则Cayley图的刻画起源于强正则Cayley图或正则部分差集的识别问题。本文对双循环群上的距离正则Cayley图进行了分类。更具体地说，证明了双圈群上的距离正则Cayley图是完全图、完全多部图或直径为$3$且满足一定条件的非对映二部距离正则图.
Homomorphisms of binary Cayley graphs
二元凯莱图是基于二元群的凯莱图。1982年，Payan证明了任何非二部二进制Cayley图必包含奇圈的广义Mycielski图，这意味着这样的图不可能有色数3。我们加强这一结果首先证明任何非二分二进制凯莱图必须包含一个投射立方体作为一个子图。我们进一步猜想，任何非二部二元Cayley图到投射立方体的同态必是满射的，并证明了这一猜想的一些特殊情况。
Cayley graphs with metric dimension two - A characterization
本文研究了Cayley图的度量维数。特别地，给出了度量维数为2的阿贝尔群上Cayley图的一个完全刻画.
Cayley graphs on non-isomorphic groups
许多作者研究了一个图何时可以表示为多个非同构群上的Cayley图的问题。本文给出了阿贝尔群上的Cayley图可表示为广义二面体群上的Cayley图的条件，以及反之成立的条件。
Self-complementary distance-regular Cayley graphs over abelian groups
本文研究了阿贝尔群上的自补距离正则Cayley图。证明了如果一个正则图是自补距离正则的，则它是自补强正则的。我们还研究了阿贝尔群上的自补强正则Cayley图，并给出了一个非初等阿贝尔群上的自补强正则Cayley图的例子.
On Neumaier Cayley graphs
本文提出了一种判断Neumaier克莱因图的标准，并构造了新的无限家族的Neumaier克莱因图，同时给出了枚举此类图的算法及计算结果。
From cycles to circles in Cayley graphs
对于局部有限的无限图，Hamilton圈的概念可以推广到Hamilton圈，$S^1$在Freudenthal紧化中的同胚像。本文将有限Cayley图的Hamilton性定理推广到无限Cayley图。
Fractional revival on semi-Cayley graphs over abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群上半凯莱图分数复苏的存在性，给出了充要条件、整数性必要条件及最短时间刻画，并提供了广义二面体群和双循环群上凯莱图的应用实例。
Construction of strongly regular Cayley graphs based on three-valued Gauss periods
本文给出了有限域的可加群上基于三值高斯周期的强正则Cayley图的构造。作为结果，我们得到了两个新的强正则凯莱图的无限族和一个零星的例子。这种构造可以看作是\cite{BLMX}中强正则Cayley图构造的推广.
Enumerations of Cayley graphs
刻画了有限群$\C{A}$的Cayley图的等价性和弱等价性.利用这些刻画，我们得到了Cayley图的等价类和弱等价类的计数公式。作为应用，我们求出了循环图的弱等价类的个数。
Composing group automorphisms with colour-preserving automorphisms of Cayley graphs
本文证明连通有限Cayley图的保色置换自同构在阶为奇数或无平方因子数时可分解为群自同构与保色图自同构的复合，并推广到不同图之间的同构。
Cayley Incidence Graphs
本文重新表述凯莱图双正则扩展的定义并给出基本性质，揭示其与凯莱超图及陪集几何、差集、笼等几何和组合结构的关联。
Some properties of generalized Cayley graphs
本文研究广义Cayley图，给出了阿贝尔群上二部图的充要条件及有限群上连通性的充要条件，并确定了所有三次广义Cayley图连通且整数的群。
Domination parameters and diameter of Abelian Cayley graphs
利用由$\mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{m}$构造的Cayley图的控制参数，本文讨论了这类Cayley图的全控制数、连通控制数和直径，其中$m\in\{p^α, p^αq^β, p^αq^βr^γ\},$.
Fractional revival on Cayley graphs over abelian groups
本文研究有限阿贝尔群上凯莱图的分数复兴问题，给出其存在的充要条件，并应用于循环图与立方体类图的刻画。
Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets
本文给出了“双曲”型强正则Cayley图的一个新的提升构造。基于Singer差集的次差集的划分，给出了有限域的可加群上强正则Cayley图的新构造.我们的结果统一了有限几何中与$m$ -卵形和$i$ -紧集有关的强正则Cayley图的一些新的构造.此外，本文所得到的强正则Cayley图中有一些是新的，或者与已知的具有相同参数的强正则图不同构.
Arc-transitive pentavalent Cayley graphs with soluble vertex stabilizer on finite nonabelian simple groups
一个Cayley图$\Ga=\Cay(G,S)$称为正规图，如果$G$在$\Aut\Ga$中正规。正规Cayley图的概念最早由M. Y. Xu在[Discrete Math.182，309-319，1998]中提出，它在确定Cayley图的全自同构群中起着重要作用。本文研究了有限非交换单群上具有可解点稳定的连通弧传递五价Cayley图的正规性问题。我们证明了所有这样的图$\Ga$要么是正规的，要么是$G=\A_{39}$或$\A_{79}$。进一步构造了$\A_{79}$上的连通弧传递五价Cayley图.据我们所知，这是第一个已知的有限非交换单群上的五价3-弧传递Cayley图的例子。
Directed Strongly Regular Cayley Graphs on Dihedral groups
本文在二面体群上构造了一些有向强正则Cayley图，推广了一些早期的构造，并刻画了二面体群$D_{p^α}$上的一些有向强正则Cayley图，其中$D_{p^α}$是素数，$α\geqslant 1$是正整数.
2-Arc-transitive Cayley graphs on alternating groups
一个有趣的事实是，大多数已知的有限单群上的连通$2$ -弧传递非正规小效价Cayley图都是$\mathrm{A}_n$上的$(\mathrm{A}_{n+1},2)$ -弧传递Cayley图.这激发了对任意价的$\mathrm{A}_n$上的$2$ -弧传递Cayley图的研究。在本文中，我们刻画了这类图的自同构群。特别地，我们证明了对于$G$几乎简单的$\mathrm{A}_n$上的非完全$(G,2)$ -弧传递Cayley图，$G$的基柱是$\mathrm{A}_{n+1}$或$\mathrm{A}_{n+2}$ .我们还构造了$\mathrm{A}_n$上的第一类$(\mathrm{A}_{n+2},2)$ -弧传递Cayley图.
Algebraic Cayley Graphs over Finite Fields
利用有限域构造了一个新的代数Cayley图。利用特征和的Weil估计研究了它的连通性和直径界。这些图提供了一个新的扩张图的来源，推广了Chung的经典结果。
Non-expander Cayley graphs of simple groups
对于任意无穷序列的李型增长秩单群，我们给出了度至多为10的连通凯莱图，使得这些图的等周数收敛于0。这证明了这些图不构成扩张子族。
On hamiltonian cycles in Cayley graphs of order pqrs
设$G$是一个有限群.证明了如果$|G| = pqrs$，其中$p$，$q$，$r$和$s$是不同的奇素数，则$G$上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
Pretty good fractional revival on Cayley graphs over dicyclic groups
针对双循环群上的 Cayley 图，本文刻画其发生极佳分数复兴的充要条件，并据此给出允许与不允许该现象的充分条件。
Grover walks on unitary Cayley graphs and integral regular graphs
本文研究酉Cayley图与整正则图上的Grover游走，刻画了周期酉Cayley图，给出循环图完美态传输充要条件，证明仅4个酉Cayley图有完美态传输，还给出整正则图上Grover游走周期性的谱刻画。
Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven
本文研究了非交换单群上的弧传递Cayley图，它具有可解稳定子和7度.设$\Ga$是一类非交换单群$T$上的Cayley图.证明了$\Ga$是正规Cayley图或$\Ga$是$S$ -弧传递的，有$(S,T)=(\A_n,\A_{n-1})$和$n=7,21,63$或$84$ ;并且，对于$n$的这四个值中的每一个，$\A_{n-1}$上都存在弧传递的$7$ -价非正规Cayley图，并构造了具体的例子.
Nowhere-zero 3-flows in Cayley graphs on supersolvable groups
Tutte的3-流猜想证明了每个$4$ -边连通图都存在一个无处为零的$3$ -流.我们证明了这个猜想对任何具有非循环Sylow $2$ -子群的超可解群上的每一个至少4度的Cayley图和任何导出子群具有无平方阶的群上的每一个至少4度的Cayley图都成立。
Deza Cayley graphs from difference sets
本文提出利用差集构造具有广义二面体子群的Deza Cayley图的方法。
Firefighting on trees and Cayley graphs
我们研究了无限树上的Hartnell消防员问题，并利用消防对策的概念，给出了消防员问题的分支数。利用我们关于树的结果，我们给出了Martínez-Pedroza关于凯莱图上消防问题的部分答案。
Cayley graphs on nilpotent groups with cyclic commutator subgroup are hamiltonian
证明了：如果G是幂零有限群，且G的换位子群是循环的，则G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
Distance-regular Cayley graphs with least eigenvalue $-2$
对最小特征值为$-2$且直径不超过3的距离正则Cayley图进行了分类。除了零星的例子，这些包括点阵图，某些三角形图，以及某些射影平面的关联图的线图。此外，我们还对格图的可能连通集进行了分类，得到了广义多边形关联图的距离正则Cayley线图的结构的一些结果。
Integral Cayley Graphs over Dihedral Groups
本文给出了二面体群$D_n=\langle a,b\mid a^n=b^2=1,bab=a^{-1}\rangle$上Cayley图是完整图的一个充要条件。利用$\langle a\rangle$的布尔代数，得到了$D_n$上Cayley图完整性的一些简单的充分条件，并由此得到了$D_n$上完整Cayley图的无限类.特别地，我们完全确定了二面体群$D_p$上的所有整数Cayley图，其中$p$是素数。
On bipartite distance-regular Cayley graphs with small diameter
研究了直径为3或4的二部距离正则Cayley图。本文给出了在群的半直积上构造二部Cayley图的充分条件--二部Cayley图中包含单位元的部分--和$\mathbb{Z}_{2}$ .我们将其应用到直径为3的二部距离正则Cayley图的情况下，并考虑的情况下，充分条件不满足某些特定的群体，如二面体群。我们还扩展了Miklavidian和Potočnik的一个结果，该结果将直径为3的二部距离正则凯莱图的差集与直径为4的情况相关联。这种新的情况下，涉及某些部分几何差集和-在对映的情况下-相对差集。
Enumerating typical abelian coverings of Cayley graphs
本文通过将凯莱图的典型阿贝尔覆盖枚举问题归结为有限阿贝尔群子群的枚举，从而完成了相关计数工作。
Classification of Cayley Rose Window Graphs
玫瑰窗图是一类四价图，由Steve Wilson提出。Kovacs，Kutnar和Marusic对边传递玫瑰窗图进行了分类，Dobson，Kovacs和Miklavic对点传递玫瑰窗图进行了刻画。本文对Cayley玫瑰窗图进行了分类。
Balanced Cayley graphs and balanced planar graphs
一个平衡图是一个二部图，它没有长度为2模4的导出回路。这些图出现在线性规划中。本文主要研究平衡图的图代数性质，证明了阿贝尔群上平衡Cayley图的一个完全分类。在第五节中，我们证明了不存在三次平衡可平面图。最后，还给出了平衡正则图的一些有意义的结果.
Hamilton circles in Cayley graphs
对于局部有限的无限图，Hamilton圈的概念可以推广到Hamilton圈，$S^1$在Freudenthal紧化中的同胚像。本文证明了局部有限Cayley图存在Hamilton圈的一个充分条件。
Construction of Directed Strongly Regular Graphs as Generalized Cayley Graphs
有向强正则图是Duval在1998年提出的，它是经典强正则图到有向图的一种可能的推广。Duval还提供了几种构造有向强正则图的方法。本文构造了一类有向强正则图，作为循环群的广义Cayley图.
Directed Strongly Regular Cayley Graphs on Dihedral groups $D_n$
本文刻画了二面体群$D_{n}$上的某些有向强正则Cayley图，其中$n\geqslant 3$是正整数.
On the existence and the enumeration of bipartite regular representations of Cayley graphs over abelian groups
本文研究了二部Cayley有向图和阿贝尔群上Cayley图的渐近计数问题。设$A$是一个阿贝尔群，$ι$是由$a^ι=a^{-1}$定义的$A$的自同构，对每个$a\in A$。一个Cayley图$\Cay(A, S)$被称为有一个尽可能小的自同构群，如果$\Aut(\Cay(A,S)) = \langle A,ι\rangle$。本文证明了，除了两个无限族外，几乎所有阿贝尔群上的二部Cayley图都有尽可能小的自同构群。我们还研究了二部Cayley有向图的类似问题。
Token graphs of Cayley graphs as lifts
本文提出将凯莱图的k-令牌图表示为电压图提升的一般方法，据此构造循环图和Johnson图的线图，并推导其谱，同时可推广到拉普拉斯矩阵及凯莱有向图的令牌有向图。
Uniform Mixing on Cayley Graphs
我们提供了新的例子凯莱图上的量子行走达到均匀混合。我们的第一个结果是在$\mathbb{Z}_3^d$上的所有$2(d+2)$ -正则Cayley图的一个完整的特征，这些图在时间$2π/9$上允许均匀混合。我们的第二个结果表明，对于每一个整数$k\ge 3$，我们可以构造$\mathbb{Z}_q^d$上的Cayley图，允许在时间$2π/q^k$均匀混合，其中$q=3, 4$。我们还发现了第一个家庭的不规则图，笛卡尔权力的明星$K_{1,3}$，承认均匀混合。
Two families of graphs that are Cayley on nonisomorphic groups
许多作者研究了一个图何时可以表示为多个非同构群上的Cayley图的问题。迄今为止的工作集中在几个特殊的情况下：当群体是$p$ -群体;当群体有秩序$pq$ ;当凯莱图是正常的;或当群体都是阿贝尔。本文构造了两个无限图族，每个图族都是阿贝尔群和非阿贝尔群上的Cayley图.这些族包括了在其他结果中没有出现的这种图的最小的例子。
On the eigenvalues of certain Cayley graphs and arrangement graphs
本文证明了某些Cayley图类的特征值是整数。（n，k，r）-排列图A（n，k，r）是以n元集合的所有k-排列为顶点的图，其中如果两个k-排列在r个位置上不相同，则它们相邻。建立了排列图的特征值与某些Cayley图的特征值之间的关系。因此，关于A（n，k，1）的特征值的完整性的猜想如下。
On the spectral gap of Cayley graphs
针对无向非二分的 Cayley 图、Cayley 和图、扭曲 Cayley 图、扭曲 Cayley 和图及顶点传递图，本文建立归一化邻接算子最小特征值与第二大特征值与度之间的谱间隙下界。
Hamiltonian decomposition of the Cayley graph on the dihedral group $D_{2p}$ where $p$ is a prime
本文给出了二面体群$D_{2p}$上Cayley图的Hamilton分解，其中$p$是素数.
Every finite group has a normal bi-Cayley graph
一个图$\G$有一个自同构群$H$半正则地作用在具有两个轨道的顶点上，称为$H$上的{ \em bi-Cayley图}.当$H$是$\Aut(\G)$的正规子群时，我们说$\G$相对于$H$是{ \em正规}的。本文证明了每个有限群都有一个连通的正规双Cayley图。这改进了[M. Arezoomand湾Taeri，Normality of 2-Cayley digraphs，Discrete Math.338（2015）41- 47]，并对上述论文的问题提供了肯定的答案。
On the average hitting times of weighted Cayley graphs
本文给出了某些加权Cayley图上随机游走从一个顶点到另一个顶点的平均命中时间的精确公式。
Isomorphism factorizations of the complete graph into Cayley graphs on CI-groups
本文研究了将完全图分解为CI群上的Cayley图的等价因子分解问题，提出了相关条件和构造方法。
On directed strongly regular Cayley graphs over non-abelian groups with an abelian subgroup of index $2$
1988年，Duval引入了有向强正则图的概念，它可以看作是强正则图的有向图版本。这样的有向图具有与强正则图相似的结构和代数性质。在过去的三十年里，人们发现Cayley图，特别是二面体群上的Cayley图，在构造有向强正则图中起着关键的作用。本文主要研究了更一般群上的有向强正则Cayley图的刻画。设$G$是一个非阿贝尔群，其阿贝尔子群的指数为$2$ .给出了$G$上的Cayley图是有向强正则图的一些必要条件，并刻画了满足特定条件的$G$上的有向强正则Cayley图.这推广了He和Zhang（2019）的一些结果。
Integral mixed cayley graph over abelian group
一个混合图称为整图，如果它的埃尔米特邻接矩阵的所有特征值都是整数。设$Γ$是一个阿贝尔群. \textit{mixed Cayley graph} $Cay(Γ,S)$是顶点集$Γ$和边集$\{ (a,b): b-a\in S \}$上的混合图，其中$0\not\in S$ .利用符号集$S$刻画了阿贝尔群上的整数混合Cayley图$Cay(Γ,S)$.
Spectrum of twists of Cayley and Cayley sum graphs
设$G$是一个具有$|G|\geq 4$的有限群，$S$是$G$的子集.给定$G$的一个自同构$σ$，我们构造了扭曲Cayley图$C(G, S)^σ$（分别为.扭曲Cayley和图（$C_Σ(G, S)^σ$）被定义为具有$G$作为其顶点集的图，并且顶点$g\in G$的相邻顶点具有$σ(gs)$的形式（相应地，$σ(g^{-1} s)$）用于一些$s\in S$。如果扭曲Cayley图$C(G, S)^σ$是无向连通的，则证明了它的正规邻接算子的非平凡谱是有界的，并且这个界只依赖于它的度、$σ$的阶和$C(G, S)^σ$的顶点Cheeger常数.此外，如果扭曲Cayley和图$C_Σ(G, S)^σ$是无向连通的，则证明了它的正规化邻接算子的非平凡谱有界远离$-1$，并且这个界只依赖于它的度和$C_Σ(G, S)^σ$的顶点Cheeger常数.我们还研究了这些扭曲图的反自同构，得到了类似的结果。此外，我们证明了一个类似的结果，满足一定条件的Schreier图。
Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs using Even Index Gauss Sums
本文推广了\cite{GXY}中的结果，利用$\F_q$的分圆类与指标$w$的高斯和的并构造了强正则Cayley图，其中$w\geq 2$是偶数.特别地，我们得到了三个具有新参数的强正则图的无限族。
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