A binary Cayley graph is a Cayley graph based on a binary group. In 1982, Payan proved that any non-bipartite binary Cayley graph must contain a generalized Mycielski graph of an odd-cycle, implying that such a graph cannot have chromatic number 3. We strengthen this result first by proving that any non-bipartite binary Cayley graph must contain a projective cube as a subgraph. We further conjecture that any homo- morphism of a non-bipartite binary Cayley graph to a projective cube must be surjective and we prove some special case of this conjecture.
Finite irreflexive homomorphism-homogeneous binary relational systems
如果一个结构的有限子结构之间的每一个同构都延伸到该结构的一个自同构，则该结构被称为齐次的。最近，P. J. Cameron和J. Nešetziil引入了一个放松版本的齐性：我们说一个结构是同态齐性的，如果结构的有限子结构之间的每个同态都延伸到结构的自同态。本文刻画了具有一个非自反二元关系的有限同态-齐次关系系统。
On finite reflexive homomorphism-homogeneous binary relational systems
一个结构称为齐次的，如果该结构的每个子结构之间的同构都延伸到该结构的一个自同构。最近，P. J. Cameron和J. Nešetziil引入了一个放松版本的齐性：我们说一个结构是同态齐性的，如果该结构的每一个导生子结构之间的同态都延伸到该结构的一个自同态。本文考虑具有一个自反二元关系的有限同态-齐次关系系统。我们表明，对于很大一部分这样的关系系统（双向连接有向图;一个有向图是双向连接的，如果它的每个连接组件可以遍历的$\rightleftarrows$ -路径）的问题，决定系统是否是同态齐次是coNP-完全的。因此，对于这类关系系统，我们不能指望有一个包含目录的描述，因为通过目录我们可以理解一个有限的多项式可判定的结构类列表。另一方面，在双向不连通有向图的情况下，我们提出了完整的特征。我们的主要结果表明，如果一个有向图是双向不连通的，那么它是同态齐次的当且仅当它是有限同态齐次拟序，或者是同态齐次有向图的对合膨胀（本文后面介绍的一类特殊的有向图），或者是连通分支为$C_3^\circ$和$\1^\circ$的有向图的膨胀.
Matroid invariants and counting graph homomorphisms
从有限图$F$到完全图$K_n$的同态数是$F$在$n$上的色多项式的赋值。适当地缩放，这是Tutte多项式求值$T(F;1-n,0)$和$F$的循环拟阵的不变量。De la Harpe和Jaeger \cite{dlHJ95}提出了一个更一般的问题，即从$F$到一个固定图$G$的同态计数得到的一个图参数何时只依赖于$F$的圈拟阵。他们证明，当$G$有一个慷慨传递的自同构群时，这是正确的（例子包括交换群上的凯莱图和Kneser图）。使用工具，从多重线性代数，我们证明了相反的声明，从而表征有限图$G$计数同态$G$产生拟阵不变。我们还将这一结果扩展到有限加权图$G$（其中计算从$F$到$G$的同态包括诸如计算$F$的无零流和评估$F$上交互模型的分拆函数等问题）。
Equality on all #CSP Instances Yields Constraint Function Isomorphism via Interpolation and Intertwiners
图同态研究中的一个基本结果是Lovász定理，即两个图是同构的当且仅当它们从每个图中允许相同数量的同态。最近，蔡和戈沃罗夫（英语：Cai and Govorov）将洛瓦兹的结果扩展到更一般类型的图，他们证明了它适用于顶点和边权来自特征为0的任意域的图。在这项工作中，我们推广从图同态-一个特殊的情况下，#CSP与一个单一的二元函数-一般#CSP通过显示两个集合$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$是同构的当且仅当任何#CSP实例的分区函数是不变的，当我们取代$\mathcal{F}$中的功能与那些在$\mathcal{G}$。我们给出了这个结果的两个非常不同的证明。首先，我们通过将其扩展到一般的CSP来展示Cai和Govorov的简单Vandermonde插值技术的强大功能。其次，我们给出了一个证明使用的自同构群的约束函数集，一个概念，从紧群的表示理论的交织。这个证明是最近Mančinska和Roberson关于平面图的量子同构和同态的Lovász型结果的经典证明的推广。
