Cayley graphs on nilpotent groups with cyclic commutator subgroup are hamiltonian
Ebrahim Ghaderpour, Dave Witte Morris
证明了：如果G是幂零有限群，且G的换位子群是循环的，则G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
We show that if G is any nilpotent, finite group, and the commutator subgroup of G is cyclic, then every connected Cayley graph on G has a hamiltonian cycle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cayley graphs on groups with commutator subgroup of order 2p are hamiltonian
证明了：若有限群G的换位子群[G，G]的阶为2p，其中p为奇素数，则G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
Odd-order Cayley graphs with commutator subgroup of order pq are hamiltonian
证明了：若G是奇阶非平凡有限群，其换位子群[G，G]是p^mq ^n阶循环的，其中p和q是素数，则G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
2-generated Cayley digraphs on nilpotent groups have hamiltonian paths
设G是一个幂零的有限群.证明了：如果{a，b}是G的任意2元生成集，则相应的Cayley有向图Cay（G;a，b）有一条Hamilton路，这意味着G上的每个连通Cayley图中存在一条Hamilton路，其效价不超过4.
Diameters of random Cayley graphs of finite nilpotent groups
证明了有限个秩和幂零类有界的幂零群的随机无向Cayley图的适当重标直径的极限分布的存在性，从而推广了Shapira和Zuck关于阿贝尔群的一个结果.极限分布被定义在幺模格空间上，如阿贝尔群的随机凯莱图的情况。我们的结果，当专门为某一家庭的unitriangular集团，建立了一个非常最近的猜想，赫尔蒙和托马斯。我们得出这是一个一般的不等式的结果，表明一个幂零群的凯莱图的直径是由它的阿贝尔化的直径。
The smallest part of the generic partition of the nilpotent commutator of a nilpotent matrix
设$k$为无限域。通过$n$矩阵$B = J_P$修复Jordan幂零$n$，其中条目在$k$和关联的Jordan类型$P$中。设$Q(P)$是与$B$交换的一般幂零矩阵的Jordan型.本文利用与$P$划分相关联的偏序集的组合学，给出了与$k$的特征无关的$Q(P)$的最小部分的一个显式公式.特别地，当$Q(P)$最多有三个部分时，这导致对它的完整描述。
Isomorphisms of Cayley graphs on nilpotent groups
设S是无挠幂零群G的有限生成集。我们证明了Cayley图Cay（G;S）的每一个自同构都是仿射的。(That图的每个自同构都是通过将群自同构与群的一个元素相乘而得到的。更一般地，我们证明了：如果Cay（G;S）和Cay（G '; S'）是两个幂零群G和G '上的有限价连通Cayley图，则从Cay（G;S）到Cay（G'; S '）的每个同构因子到一个从G/N到G'/N '的定义良好的仿射映射，其中N和N'分别是G和G '的扭子群.对于群是阿贝尔群的特殊情况，这些结果先前分别由A.A.Ryabchenko和C.Loeh证明。
The poset of the nilpotent commutator of a nilpotent matrix
设$B$是元素在无限域$\k$中的$n \times n$幂零矩阵.假设$B$是Jordan标准型，具有相关联的Jordan块划分$P$。本文研究了与$B$的幂零交换子相关联的偏序集$\mathcal{D}_P$和$n$的某个划分（记为$λ_U(P)$），该划分由$\mathcal{D}_P$中特殊链的并的长度定义. Polona Oblak将一个给定的分区$P$与另一个由递归过程产生的分区$Ob(P)$相关联。她证明了$Ob(P)$与$B$的幂零交换子的一般元素的Jordan划分$Q(P)$相同。Roberta Basili，Anthony Iarrobino和作者后来推广了Oblak介绍的过程。在本文中，我们表明，所有这些过程的结果在分区$λ_U(P)$。
Automorphism groups with cyclic commutator subgroup and Hamilton cycles
证明了在群G上的每个连通Cayley图中存在Hamilton圈，其中G的换位子群是素幂阶循环的.本文考虑阶至少为3的连通点传递图X，其中X的自同构群包含一个传递子群G，G的换位子群是素幂阶循环的.我们证明了在这些图中，只有Petersen图不是Hamilton图。
Hamiltonicity of Transitive Graphs Whose Automorphism Group Has $\Z_{p}$ as Commutator Subgroups
本研究将Durnberger关于素数阶换位子群有限群的连通Cayley图含哈密顿圈的结论，推广到无限情形及自同构群含素数阶循环换位子群传递子群的更广泛无限图类。
A classification of nilpotent 3-BCI groups
给定一个有限群$G$和一个子集$S\subseteq G,$，双Cayley图$\bcay(G,S)$是其点集为$G \times \{0,1\}$，边集为$\{\{(x,0),(s x,1)\} : x \in G, s\in S \}$的图.一个双Cayley图$\bcay(G,S)$称为BCI-图，如果对任何双Cayley图$\bcay(G,T),$ $\bcay(G,S) \cong \bcay(G,T)$，对某些$g \in G$和$α\in \aut(G)$都蕴涵$T = g S^α$.一个群$G$称为$m$-BCI-群，如果$G$的所有不超过$m$的双Cayley图都是BCI-图.本文证明了一个有限幂零群是3-BCI-群当且仅当它是$U \times V,$型的，其中$U$是奇数阶同素循环群，$V$是平凡的或$\Z_{2^r},$、$\Z_2^r$和$\Q_8$之一.
The probability that an operator is nilpotent
在有限基数N的向量空间上选择一个随机线性算子：那么它是幂零的概率是1/N。这是一个线性模拟的事实，即对于一个基数为N的集合的随机自映射，某个常数的概率是1/N。第一个结果是由于罚款，Herstein和霍尔，第二个基本上是凯莱的树公式。我们给出了一个新的证明幂零的结果，类似Joyal的美丽的凯莱公式的证明。它只使用一般的线性代数，完全避免了计算。
Constructing Directed Cayley Graphs of Small Diameter: A Potent Solovay-Kitaev Procedure
设$Γ$是群，$(Γ_n)_{n=1} ^{\infty}$是有限指数正规子群的降序序列.在对$Γ$中的幂和换位子字的行为的一些自然假设下，我们建立了$Γ/Γ_n$的有向Cayley图的直径的上界.我们得到的边界不依赖于生成集的选择。此外，在合理的条件下，我们的方法提供了一个快速的算法来构造直径满足我们的界限的有向凯莱图。这个证明非常类似于Solovay-Kitaev过程，它只使用交换子字，但也只构造小直径无向Cayley图。作为一个应用，我们给出了两个不同群：$SL_2 (\mathbb{F}_q [[t]])$（对于$q$偶群）和Fabrykowski和Gupta引入的三元有根树的自同构自同构群的有限直径界.
Coloring minimal Cayley graphs
本文研究极小 Cayley 图的色数，证明广义二面体群与幂零群情形至多需 3 色、可解群有时需 4 色，并构造相关无界色数图以推进 Babai 猜想。
Approximate subgroups of residually nilpotent groups
证明了剩余幂零群G的K-近似子群A包含在幂零因子有界阶的有限幂零子群的有界陪集中.结合作者以前的一个结果，这意味着A包含在有界秩和有界步长的陪集诣零级数的有界多个平移中。这些界是有效的，并且只依赖于K;特别地，如果G是幂零的，它们不依赖于G的步长。作为应用，我们证明了存在某个绝对常数c，使得如果G是剩余幂零群，且存在一个整数n > 1，使得G的某个Cayley图中半径为n的球的基数以n^（c log log n）为界，则G是虚（log n）步幂零群.
The Cayley graph of a quandle
本文研究了 quandle 的 Cayley 图的结构特性，描述了若干重要 quandle 类型的图结构，证明了 Alexander quandle 的连通分量与子群 coset 的关系，并展示了广义 Alexander quandle 的 Cayley 图的正则性。
On subgroup perfect codes in Cayley graphs
图$Γ= (V, E)$中的完美码是$V$的子集$C$，使得$C$中没有两个顶点是相邻的，并且$V \setminus C$中的每个顶点都恰好与$C$中的一个顶点相邻。若存在$G$的Cayley图，且该图允许$H$为完美码，则称群$G$的子群$H$为$G$的子群完美码.等价地，$H$是$G$的子群完全码，如果存在包含单位元的$G$的逆闭子集$A$，使得$(A, H)$是$G$的平铺，在这个意义上，$G$的每个元素可以唯一地表示为$A$的元素和$H$的元素的乘积。本文得到了有限群的子群完美码的若干结果，包括有限群的子群是子群完美码的几个充要条件，子群完美码研究中涉及$2$ -子群的几个结果，亚交换群、广义二面体群、幂零群和$2$ -群的子群完美码的几个结果.
Defects in weighted graphs and Commutators
本文利用四顶点 $F$-加权图及其缺陷刻画一致标号条件，并据此研究 Lie 括号与 2 类幂零群交换子的满射性，给出维数阈值结果与反例。
Eventually constant maps for two sets and nilpotent pairs
本文通过双射关系，将两个集合上的最终常数映射与生成树联系起来，并扩展了Cayley公式和Leinster的工作，推导出nilpotent对数量的公式。
Rotational circulant graphs
Frobenius群是一个传递的置换群，它不是正则的，但只有单位元能固定两个点。这样的群可以表示为幂零正规子群$K$与固定一点的另一个群$H$的半直积$G = K \rtimes H$.第一类$G$ -Frobenius图是$K$上的连通Cayley图，其连接集是生成$K$的$K$上的$H$ -轨道$a^H$，其中$H$具有偶数阶或$a$是对合.众所周知，第一类Frobenius图承认有吸引力的路由和八卦算法。具有联系集$S$的群$G$上的Cayley图的完全旋转是$G$的自同构，$S$按集固定，$S$的元素循环置换。如果这样一个完全旋转的不动点集是一个独立集而不是一个顶点割集，则Cayley图的闲话时间（在一定模型下）达到最小可能值。在本文中，我们分类所有的第一类Frobenius循环图，承认完全旋转，并描述了一种方法来构造它们。这一结果可作为第一类Frobenius循环图作为平衡正则Cayley映射可嵌入闭可定向曲面的2-胞的充要条件.我们构造了一个非Frobenius循环允许完全旋转，使相应的不动点集是独立的，而不是顶点切割。对于Cayley图的每一个完全旋转的不动点集不是点割的猜想，我们也给出了无穷多个反例。
Trivalent expanders, $(Δ-Y)$-transformation, and hyperbolic surfaces
我们构造了一类新的三价扩张子，它们用于镶嵌具有大等距群的双曲曲面。这些图是由幂零群的Cayley图族通过$(Δ-Y)$ -变换得到的。我们比较这个家庭与柏拉图图及其相关的双曲曲面，看到他们通常是非常不同的，只有一个双曲曲面的交集。此外，我们还研究了三价图及其相关的双曲曲面的组合、拓扑和谱性质。
Factor maps for automorphism groups via Cayley diagrams
本文利用群作用与边标记图的对应关系统一了弱包含、局部-全局收敛与连续模型论的相关结果，并系统研究了 Aut(Cay(Γ))-fiid 与 Γ-fiid 组合学的差异，通过构造例子与反例刻画了哪些群的凯莱图允许（近似）fiid 凯莱图。
Scaling limits of Cayley graphs with polynomially growing balls
Benjamini，Finucane和第一作者证明了：如果（G_n，S_n）是一列Cayley图，使得|S_n^n| =O（n^D |S_n|），则序列（G_n，d_{S_n} /n）对于Gromov-Hausdorff拓扑是相对紧的，并且每个聚点是一个具有左不变次Finsler度量的连通幂零李群.本文证明了这类聚点的维数是D有界的，并且在较强的界下|S_n^n|（2）如果一个簇的维数是O（n^D），那么这个簇的维数是O（n^D）。我们的方法大致是利用Breuillard，Green和Tao关于近似群的一个著名的结构定理，用一个有界秩的陪集零级数代替S_n^n，然后利用我们以前的一篇文章中关于零级数的结果来研究这类陪集零级数的超极限。作为应用，我们给出了大直径点传递图序列的标度极限的维数界。我们还恢复和有效化部分的一个论点陶有关的进一步增长的单一集S满足界|S^n| < Mn^D |S|。
Learning the Graphical Nature of Symmetries
构建含131406个凯莱图的数据集研究有限群属性，给出新枚举贡献和经验规律。比较经典模型、MLP与图神经网络预测群属性，发现工程化图统计信息丰富，GNN能直接从图中恢复大量结构信号。
CayleyPy Growth: Efficient growth computations and hundreds of new conjectures on Cayley graphs (Brief version)
CayleyPy项目利用人工智能解决群论问题，实现了高效Cayley图和Schreier图计算，并提出200多个新猜想，包括直径和增长的多项式公式及改进的Babai猜想。
A finitary structure theorem for vertex-transitive graphs of polynomial growth
我们证明了一个定量的，有限的版本Trofimov的结果，一个连接，局部有限顶点传递图G的多项式增长承认商与有限纤维上的行动Aut（G）几乎是幂零的有限顶点稳定。我们还介绍了一些应用。我们表明，一个有限的，连接顶点传递图G的大直径承认一个商与纤维的小直径的行动Aut（G）几乎是阿贝尔顶点稳定的有界大小。我们还表明，G有适度的增长在Diaconis和Saloff-Coste的意义下，这是已知的，这意味着混合和松弛时间的懒惰随机游动在G的直径是平方。这些结果推广了Breuillard和第二作者关于大直径有限Cayley图的结果。最后，给定一个连通的，局部有限的顶点传递图G表现出多项式增长在一个单一的，足够大的规模，我们描述其增长在随后的规模，延长陶的结果和早期的结果，我们自己的凯莱图。在接下来的工作中，我们将进一步应用。
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