Directed Strongly Regular Cayley Graphs on Dihedral groups $D_n$
Yiqin He, Bicheng Zhangb, Rongquan Feng
本文刻画了二面体群$D_{n}$上的某些有向强正则Cayley图，其中$n\geqslant 3$是正整数.
In this paper, we characterize some certain directed strongly regular Cayley graphs on Dihedral groups $D_{n}$, where $n\geqslant 3$ is a positive integer.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Classification of reflexibile regular Cayley maps for dihedral groups
本文对二面体群的自反正则Cayley映射进行了分类。
Directed Strongly Regular Cayley Graphs on Dihedral groups
本文在二面体群上构造了一些有向强正则Cayley图，推广了一些早期的构造，并刻画了二面体群$D_{p^α}$上的一些有向强正则Cayley图，其中$D_{p^α}$是素数，$α\geqslant 1$是正整数.
Hamiltonian decomposition of the Cayley graph on the dihedral group $D_{2p}$ where $p$ is a prime
本文给出了二面体群$D_{2p}$上Cayley图的Hamilton分解，其中$p$是素数.
Integral Cayley Graphs over Dihedral Groups
本文给出了二面体群$D_n=\langle a,b\mid a^n=b^2=1,bab=a^{-1}\rangle$上Cayley图是完整图的一个充要条件。利用$\langle a\rangle$的布尔代数，得到了$D_n$上Cayley图完整性的一些简单的充分条件，并由此得到了$D_n$上完整Cayley图的无限类.特别地，我们完全确定了二面体群$D_p$上的所有整数Cayley图，其中$p$是素数。
Enumerating Cayley (di-)graphs on dihedral groups
设$p$是奇素数，$D_{2p}=\langle τ,σ\mid τ^p=σ^2=e,στσ=τ^{-1}\rangle$是$2p$阶二面体群.本文利用Pólya计数定理给出了$D_{2p}$上直到同构的（连通）Cayley（di-）图的个数.在这个过程中，我们还列举了$k$的出度到同构的$k$的$D_{2p}$上的（连通）Cayley有向图。
Diameter 2 Cayley Graphs of Dihedral Groups
研究了二面体群的Cayley图的度直径问题。我们找到了直径为2度为$d$的图的最大顶点数的上界和下界。我们完全确定这类图的渐近行为，表明这两个限制是渐近$d^2/2$。
Enumerating Cayley digraphs on dihedral groups
该研究聚焦二面体群上Cayley有向图的CI-同构计数，借助Cauchy-Frobenius引理与自同构性质，推导了具有DCI性质的二面体群（特别是$\text{D}_{6p}$，p为大于3的素数）上非同构Cayley有向图数的显式公式。
Perfect codes in quartic Cayley graphs of generalized dihedral groups
本文分类了广义二面体群上存在完美码的所有连通四次Cayley图，并确定了其中的所有完美码。
Distance-regular Cayley graphs over (pseudo-) semi-dihedral groups
本文对半二面体群和伪半二面体群上的距离正则 Cayley 图给出部分刻画，这两类群均为含指数 2 循环子群的 2-群，回应了 Miklavič 和 Potočnik 提出的刻画问题。
Enumeration of cubic Cayley graphs on dihedral groups
设$p$是奇素数，$D_{2p}=\langle a,b\mid a^p=b^2=1,bab=a^{-1}\rangle$是$2p$阶二面体群.本文利用谱方法对$D_{2p}$上的三次Cayley图进行了同构的完全分类.另外，我们证明了$D_{2p}$上的两个三次Cayley图同构的充要条件是它们是共谱的。利用高斯著名的二次互反律，我们得到了$D_{2p}$上三次Cayley图的同构类数.
Regular Cayley maps on dihedral groups with the smallest kernel
设$\mathcal{M}=CM(D_n,X,p)$是二面体群$D_n$上的正则Cayley映射，阶为$2n, n \ge 2,$，$π$是与$\mathcal{M}$相关的幂函数.本文证明了幂函数$π$的核Ker $(π)$是$D_n$的一个二面体子群，如果$n \ne 3,$，则核Ker $(π)$的阶至少为$4$ .此外，所有的$\mathcal{M}$都被分类为Ker $(π)$为$4$阶。特别地，除了分别在$4,4,8$和$12$顶点上的$4$零星映射外，还得到了$D_n$上的两个无限族非$t$ -平衡Cayley映射.
Hamilton cycles in generalized dihedral Cayley graphs and digraphs
本文证明了广义二面体群上连通Cayley有向图存在有向Hamilton圈，证实了1978年的猜想，关键新工具是三次Haar图的三重和集覆盖定理。
Ollivier Ricci curvature of Cayley graphs for dihedral groups, generalized quaternion groups, and cyclic groups
本文基于Lin-Lu-Yau公式计算了二面体群、广义四元数群和循环群在特定小生成集下Cayley图所有边的Ollivier Ricci曲率，给出了完整曲率结果。
A characterization of 2-dimensional Cayley graphs on dihedral groups
本文刻画了度量维数为2的二面体群上的所有Cayley图。
Perfect state transfer on Cayley graphs over dihedral groups: A complete and practical characterization
该文针对二面体群上Cayley图的完美态转移问题，通过数学方法完成完整实用表征，为识别构建此类图及确定最小转移时间提供准则。
Classification of two-distance-transitive Cayley graphs of the semi-dihedral groups
本文聚焦半二面体群的二距离传递凯莱图分类问题，通过特定方法，给出了该类图的完整分类，为代数图论相关研究提供了重要成果。
Using mixed dihedral groups to construct normal Cayley graphs, and a new bipartite $2$-arc-transitive graph which is not a Cayley graph
本文提出混合二面体群上 Cayley 图自同构群的判定条件，并据此构造 K_{16,16} 的阶 2^{53} 的非 Cayley 2-弧传递正规覆盖，解决了 2009 年的相关公开问题。
On arc-transitive inner-automorphic Cayley graphs on dihedral groups
本文研究二面体群上的弧传递内自同构赛雷图，分析其结构并给出存在条件，构造无限例并完成2-距离传递赛雷图的分类。
Perfect state transfer on bi-Cayley graphs over abelian groups
本文针对任意有限阿贝尔群上的双凯莱图，建立了完美状态转移的充分必要条件，并由此统一导出多类群上凯莱图的已知与新结果，还构造了二面体群上连通非正规凯莱图存在完美状态转移的反例。
A classification of prime-valent regular Cayley maps on some groups
凯莱映射是凯莱图到具有相同局部方向的可定向曲面的2胞嵌入，该局部方向由每个顶点处的生成元的轮换引起。本文给出了阿贝尔群、二面体群和双循环群上素叶正则Cayley映射的分类。从而证明了二面体群上的素叶正则Cayley映射是平衡的，阿贝尔群上的素叶正则Cayley映射是平衡的或反平衡的.进一步证明了任何双循环群上都不存在素叶正则Cayley映射。
On the complexity of Cayley graphs on a dihedral group
本文研究二面体群上无限族Cayley图的复杂度，给出生成树数目的切比雪夫多项式闭式公式，分析其算术性质与渐近行为，并证明生成函数为整数系数有理函数。
On $\ell$-distance-balancedness of cubic Cayley graphs of dihedral groups
本文证明了生成集为特定形式的二面体群三次Cayley图均高度距离平衡，部分解决了Miklavič和Šparl提出的问题。
Normal and non-normal Cayley digraphs on cyclic and dihedral groups
本文研究循环群与二面体群上兼具正规性及非正规正则同构子群的 Cayley 有向图，证明循环群均不构成 NNND/NNN-群，并给出二面体群的完整阶数判定。
Deza Cayley graphs from difference sets
本文提出利用差集构造具有广义二面体子群的Deza Cayley图的方法。
On Isomorphisms of Tetravalent Cayley Digraphs over Dihedral Groups
本文研究二面体群上四度Cayley有向图的同构，给出了4-DCI-群和4-CI-群的充要条件，即n为奇数且不被9整除时是4-DCI-群，n为奇数时是4-CI-群。
Normal Cayley digraphs of dihedral groups with CI-property
一个群$G$关于$S$的Cayley（di）图$Cay(G,S)$称为正规图，如果$G$的右正则表示在$Cay(G,S)$的自同构群中是正规的，并且称为CI-（di）图，如果存在$α\in Aut(G)$使得$S^α=T$，无论何时$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$对于Cayley（di）图$Cay(G,T)$ .一个有限群$G$被称为DCI-群或NDCI-群，如果$G$的所有Cayley有向图或正规Cayley有向图都是CI-图，并且被称为CI-群或NCI-群，如果$G$的所有Cayley图或正规Cayley图都是CI-图。受Ádám于1967年提出的一个猜想的启发，CI-群和DCI-群在过去的50年里被代数图论中的许多研究者所积极研究。循环CI-群和DCI-群的分类花了大约30年的时间，最近，前两个作者，其中包括分类循环NCI-群和NDCI-群。尽管关于二面体CI-群和DCI-群有许多部分结果，但它们的分类仍然是模糊的。本文证明了$2n$阶二面体群是NCI-群或NDCI-群当且仅当$n=2,4$或$n$是奇数。作为一个直接结果，我们得到了如果一个$2n$阶的二面体群$D_{2n}$是DCI-群，则$n=2$或$n$是无奇方的，如果$D_{2n}$是CI-群，则$n=2,9$或$n$是无奇方的，从而为二面体CI-群和DCI-群的分类提供了新的线索.
Automorphism Groups and Structure of 4-Valent Cayley Graphs on Dihedral Groups
研究二面体群上4度Cayley图的自同构群与结构，通过分析不同生成集的Cayley图性质，确定其分类与构造方法。
Cayley graphs on non-isomorphic groups
许多作者研究了一个图何时可以表示为多个非同构群上的Cayley图的问题。本文给出了阿贝尔群上的Cayley图可表示为广义二面体群上的Cayley图的条件，以及反之成立的条件。
Dihedral groups with the $m$-DCI property
一个群$G$关于$G$的子集$S$的Cayley有向图$\rm{Cay}(G,S)$称为CI-有向图，如果对于任何一个与$\rm{Cay}(G,S)$同构的Cayley有向图$\rm{Cay}(G,T)$，存在一个$α\in \rm{Aut}(G)$使得$S^α=T$。对于正整数$m$，如果$G$的所有具有出价$m$的Cayley有向图都是CI-有向图，则称$G$具有$m$-DCI性质. Li [The Cyclic groups with the $m$-DCI Property，European J. Combin. 18（1997）655-665]用$m$ -DCI性质刻划了循环群，本文用$m$ -DCI性质刻划了二面体群.对于一个$2n$阶的二面体群$\mathrm{D}_{2n}$，假设对于某个$1 \leq m\leq n-1$，$\mathrm{D}_{2n}$具有$m$-DCI性质.然后证明了$n$是奇数的，如果进一步的$p+1\leq m\leq n-1$对于$n$的一个奇数素因子$p$，则$p^2\nmid n$ .此外，如果$n$是素数$q$的幂，则$\mathrm{D}_{2n}$具有$m$ -DCI性质当且仅当$n=q$或$q$是奇数且$1\leq m\leq q$。
Hamiltonicity in generalized quasi-dihedral groups
研究了无限二面体群和广义准二面体群的连通Cayley图的哈密顿性，证明其存在哈密顿双射线并扩展了相关结论。
Regular Cayley Maps of Elementary abelian $p$-groups: Classification and Enumeration
最近，人们对循环群和二面体群的正则Cayley映射进行了分类.初等交换$p$ -群$Z_p^n$的正则Cayley映射的分类是一个自然问题.本文给出了$Z_p^n$的正则Cayley映射的一个完整分类，并列举了这类映射的数目及其属。
Construction of Directed Strongly Regular Graphs as Generalized Cayley Graphs
有向强正则图是Duval在1998年提出的，它是经典强正则图到有向图的一种可能的推广。Duval还提供了几种构造有向强正则图的方法。本文构造了一类有向强正则图，作为循环群的广义Cayley图.
On directed strongly regular Cayley graphs over non-abelian groups with an abelian subgroup of index $2$
1988年，Duval引入了有向强正则图的概念，它可以看作是强正则图的有向图版本。这样的有向图具有与强正则图相似的结构和代数性质。在过去的三十年里，人们发现Cayley图，特别是二面体群上的Cayley图，在构造有向强正则图中起着关键的作用。本文主要研究了更一般群上的有向强正则Cayley图的刻画。设$G$是一个非阿贝尔群，其阿贝尔子群的指数为$2$ .给出了$G$上的Cayley图是有向强正则图的一些必要条件，并刻画了满足特定条件的$G$上的有向强正则Cayley图.这推广了He和Zhang（2019）的一些结果。
Coloring semiminimal Cayley Graphs
针对Babai提出的半极小Cayley图色数有界性问题，本文证明阿贝尔群和广义二面体群的半极小Cayley图圆色数至多为4，推广了Barajas与Serra的相关结果。
Perfect state transfer on semi-Cayley graphs over abelian groups
本文研究了阿贝尔群（不一定是正则的）上的半Cayley图，即具有半正则和阿贝尔子群的图的完全状态转移（PST）的存在性问题.建立了具有PST的阿贝尔群上的半Cayley图的一个刻画.从而给出了指数为2的交换子群具有PST的群上的Cayley图的一个刻划，改进了关于阿贝尔群、二面体群和双圈群上的Cayley图的一些结果，并确定了具有PST的广义二面体群和广义双圈群上的Cayley图.
Arc-transitive cyclic and dihedral covers of pentavalent symmetric graphs of order twice a prime
一个连通图的正则覆盖称为{ \em cyclic}或{ \em dihedral}，如果它的变换群分别是循环的或二面体的;如果保纤维自同构子群作用在正则覆盖上是弧传递的，则称为{ \em arc-传递}（或{ \em对称}）。本文给出了二素数阶连通五价对称图的弧传递圈覆盖和弧传递二面体覆盖的分类。所有这些覆盖都被明确地构造为某些群上的Cayley图，并确定了它们的全自同构群。
Fractional revival on semi-Cayley graphs over abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群上半凯莱图分数复苏的存在性，给出了充要条件、整数性必要条件及最短时间刻画，并提供了广义二面体群和双循环群上凯莱图的应用实例。
Cayley graphs and G-graphs of Gyro-groups
本文研究若干陀螺群的凯莱图与G-图结构，证明相关性质，并考察其对称性。
Expansion in Cayley graphs, Cayley sum graphs and their twists
已知有限群的凯莱图提供了扩张子族的几个例子，其中一些是Ramanujan图。Babai研究了二面体群的等谱非同构Cayley图。Lubotzky，Samuels和Vishne证明了对每一个$d\geq 5$（$d \neq 6$）和素幂$q> 2$，存在$\mathrm{PSL}_d(\mathbb F_q)$的等谱非同构Cayley图.在这篇文章中，我们关注Cayley图的三个变体，即，Cayley和图、扭曲Cayley图和扭曲Cayley和图。证明了有界度的非同构扩张族的存在性，其谱与某些特征标的值有关。我们还提供了几个新的例子，扩展家庭，和非扩展和拉马努金图形成的这三个变种的例子。
Regular balanced Cayley maps on ${\rm PSL}(2,p)$
本文针对每个素数 p>3，完整分类了群 PSL(2,p) 上的正则平衡凯莱地图，填补了此前仅对循环群、二面体群等特殊群类进行分类的空白。
Dihedral groups of order $2pq$ or $2pqr$ are DCI
本文证明了当 $p,q,r$ 为互不相同的奇素数时，$D_{2pqr}$ 是 DCI 群，并在无平方因子阶二面体群的更一般背景下呈现结果，为未来证明所有此类群均为 DCI 群奠定基础。
On integral mixed Cayley graphs over non-abelian finite groups admitting an abelian subgroup of index 2
本文将积分Cayley图的刻画从广义二面体群和广义双循环群推广到任意具有指数为2的阿贝尔子群的有限非阿贝尔群，并统一刻画了这类群上的积分混合Cayley图。
On bipartite distance-regular Cayley graphs with small diameter
研究了直径为3或4的二部距离正则Cayley图。本文给出了在群的半直积上构造二部Cayley图的充分条件--二部Cayley图中包含单位元的部分--和$\mathbb{Z}_{2}$ .我们将其应用到直径为3的二部距离正则Cayley图的情况下，并考虑的情况下，充分条件不满足某些特定的群体，如二面体群。我们还扩展了Miklavidian和Potočnik的一个结果，该结果将直径为3的二部距离正则凯莱图的差集与直径为4的情况相关联。这种新的情况下，涉及某些部分几何差集和-在对映的情况下-相对差集。
On Cayley graphs over generalized dicyclic groups
最近，一些作者研究了某些有限群（如双圈群和（广义）二面体群）上Cayley图的完整性、距离完整性和距离幂.我们的目的是推广和/或给出类似的结果，广义双循环群。例如，我们给出了广义双圈群上的Cayley图是整的一个充要条件（即，其邻接矩阵的所有特征值在$\mathbb{Z}$中）。我们还得到了广义双圈群上Cayley图的所有距离幂的整性的充分条件。这些结果分别推广了Cheng-Feng-Huang和Cheng-Feng-Liu-Lu-Stevanovic关于双循环群的工作.
List Coloring of some Cayley graphs using Kernel perfections
本文研究酉凯莱图及二面体群上凯莱图的列表色数，利用核完美化方法给出其可选性的精确值或界。
The application of representation theory in directed strongly regular graphs
有向强正则图（DSRG）的概念是Duval在1988年的\cite{A}中提出的。本文利用有限群的表示论研究了有向强正则Cayley图，首先证明了如果$S$是$G$的共轭类的并，则Cayley图$\mathcal{C}(G,S)$不是有向强正则图，这推广了Leif的一个结果其次，利用诱导表示，研究了Cayley图\cite{J1}与$N_1\subseteq N$和$H_1\subseteq H$的特征多项式和极小多项式，并在此基础上推广了Art M. Duval和Dmitri Iourinski在\cite{K1}中的结果，得到了一个更大的有向强正则图族，最后构造了二面体群上的有向强正则Cayley图，部分推广了Mikhail Klin，Akihiro Munemasa，Mikhail Muzychuk和Paul Hermann Zieschang在\cite{K1}中的结果，并利用特征标理论给出了有向强正则Cayley图$\mathcal{C}(D_n,X\cup Xa)$与$X\cap X^{(-1)}=\emptyset$的刻画.
Large butterfly Cayley graphs and digraphs
我们提出了家庭的大型无向和有向凯莱图的建设是相关的蝴蝶网络。一种方法产生，对于每个大的$k$和$d$的值从一个大的区间，最大的已知凯莱图和有向图的直径$k$和度$d$。另一种方法产生，足够大的$k$和无穷多个值的$d$，凯莱图和有向图的直径$k$和度$d$的阶是指数更大的$k$比任何以前构建的。在定向情况下，这些都在摩尔界的$k$中的线性因子内。
Existence of non-Cayley Haar graphs
一个群$H$的Cayley图是一个有限简单图$Γ$，使得它的自同构群${\rm Aut}(Γ)$包含一个同构于$H$的子群正则地作用在$V(Γ)$上，而$H$的Haar图是一个有限简单二部图$Σ$，使得${\rm Aut}(Σ)$包含一个同构于$H$的子群半正则地作用在$V(Σ)$上，并且$H$ -轨道等于$Σ$的部集.众所周知，有限交换群的每个Haar图都是Cayley图。本文证明了除二面体群$D_6$，$D_8$，$D_{10}$，四元数群$Q_8$和群$Q_8\times\mathbb{Z}_2$外，每个有限非交换群都有一个非Cayley-Haar图.这回答了Estélyi和Pisanski在2016年提出的一个开放问题。
A characterisation of edge-affine $2$-arc-transitive covers of $\K_{2^n,2^n}$
我们介绍的概念，一个\emph{$n$-dimensional mixed dihedral group}，一般类的群体，我们给一个图论的特征。特别地，如果$H$是$n$维混合二面体群，则我们构造$H$的边传递Cayley图$Γ$，使得$Γ$的团图$Σ$是$\K_{2^n,2^n}$的$2$ -弧传递正规覆盖，其中$\Aut(Σ)$的子群诱导$\K_{2^n,2^n}$上的特定\emph{edge-affine}作用。反之，证明了若$Σ$是$\K_{2^n,2^n}$的$2$ -弧传递正规覆盖，且$\Aut(Σ)$的子群在$\K_{2^n,2^n}$上诱导一个\emph{edge-affine}作用，则$Σ$的线图$Γ$是$n$维混合二面体群的Cayley图.此外，我们给出了一类$n$维混合二面体群的显式构造。这个家庭解决了一个问题提出的李关于正常覆盖的素数幂阶的“基本”$2$ -弧传递图。特别是，我们构造，为每个$n\geq 2$，$2$ -弧传递正常覆盖$2$ -权力秩序的“基本”图$\K_{2^n,2^n}$。
Perfect state transfer in Grover walks on normal Cayley graphs
研究正规凯莱图上格罗弗游走的完美状态转移，建立充要条件，推导阿贝尔群等上凯莱图的谱准则及组合特征，给出酉凯莱图完美状态转移完整特征，证明其中恰有四个图展示该转移。
Singular Graphs on which the Dihedral Group Acts Vertex Transitively
设$Γ$是有限顶点集$V$上的简单连通图，$A$是它的邻接矩阵。则称$Γ$是\textit{singular}当且仅当$0$是$A.$的一个特征值$Γ,$的\textit{nullity (singularity)}由${\rm null}(Γ),$表示是$Γ.$的谱中的特征值$0$的\textit{algebraic multiplicity}刻画奇异图的一般问题很容易陈述，但在这个时候似乎太难了。在这项工作中，我们研究这个问题的有限图上的二面体群$D_n$作为自同构群顶点传递。我们确定这样的图的零度。我们证明了二面体群$D_{p^s} $上的Cayley图是非奇异的，如果$|H \cap C_{p^s}|\neq |H \cap C_{p^s}b|$和$|H|<p$，其中$p$是素数，$s \in \mathbb{N}.$
Cayley graph on symmetric groups with generating block transposition sets
本文研究了Cayley图$\Cay,$，其中生成集由所有的块转置组成.研究这些特殊凯莱图的动机来自生物信息学的当前研究。证明了${\rm{Aut}}(\Cay)$是右平移群与$\textsf{N}\rtimes \textsf{D}_{n+1},$的乘积，其中$\textsf{N}$是按元素固定$S_n$的子群，$\textsf{D}_{n+1}$是$2(n+1)$阶二面体群.我们猜想$\textsf{N}$是平凡的。证明了顶点集为$S_n$的子图$Γ$是$2(n-2)$ -正则图，其自同构群为$\textsf{D}_{n+1}$ .此外，$Γ$具有与$n+1$一样多的大小为$2.$的最大团。此外，其顶点是这些团中的顶点的子图$Γ(V)$是$3$ -正则、汉密尔顿和顶点传递图。
Honeycomb Toroidal Graphs
蜂窝环形图是广义二面体群上的三价Cayley图.我们研究了导致这些图的两个历史线索，一些已经建立的属性，以及一些开放的问题。
Notes on Various Methods for Constructing Directed Strongly Regular Graphs
Duval在“A有向图Version of Strongly正则图“[{ \it Journal of Combinatorial Theory}，Series A 47（1988）71 - 100]中介绍了定向强正则图的概念。本文构造了几类具有新参数的有向强正则图。我们的结构产生新的参数是基于扩展已知的显式结构，以涵盖更多的参数集。我们还探讨了凯莱图，块矩阵和有向强正则图与某些参数之间的联系。有向强正则图也是Cayley图，由于其具有更多的代数结构而引起人们的兴趣。我们构造了具有参数$((m+1)s,ls,ld,ld-d,ld)$的有向强正则Cayley图，其中$d,l$和$s$是具有$dm=ls$和$1\leq l<m$的整数.我们还给出了具有参数$(m(dm+1),dm,m,m-1,m)$的有向强正则图的一个新的块矩阵刻画，这是Duval等人在“半直积Constructions of Directed Strongly正则图“[{ \it Journal of Combinatorial Theory}，Series A 104（2003）157 - 167]中首次讨论的.
Subgroup Perfect Codes in Bi-Cayley Graphs
本文研究双Cayley图中的完备码，探讨群的子群形成特定形式完备码的条件，得到正规子群、阿贝尔群及二面体群相关的完备码结果。
Cops and robbers on directed and undirected abelian Cayley graphs
本文通过精细归纳法证明阿贝尔群上有向与无向凯莱图的警察数上界为$O(\sqrt{n})$，改进无向情形并首次建立有向情形上界，同时构造了警察数为$Θ(\sqrt{n})$的Meyniel极值族。
Coloring minimal Cayley graphs
本文研究极小 Cayley 图的色数，证明广义二面体群与幂零群情形至多需 3 色、可解群有时需 4 色，并构造相关无界色数图以推进 Babai 猜想。
Constructing Directed Cayley Graphs of Small Diameter: A Potent Solovay-Kitaev Procedure
设$Γ$是群，$(Γ_n)_{n=1} ^{\infty}$是有限指数正规子群的降序序列.在对$Γ$中的幂和换位子字的行为的一些自然假设下，我们建立了$Γ/Γ_n$的有向Cayley图的直径的上界.我们得到的边界不依赖于生成集的选择。此外，在合理的条件下，我们的方法提供了一个快速的算法来构造直径满足我们的界限的有向凯莱图。这个证明非常类似于Solovay-Kitaev过程，它只使用交换子字，但也只构造小直径无向Cayley图。作为一个应用，我们给出了两个不同群：$SL_2 (\mathbb{F}_q [[t]])$（对于$q$偶群）和Fabrykowski和Gupta引入的三元有根树的自同构自同构群的有限直径界.
Edge-transitive bi-Cayley graphs
一个图$\G$允许一个自同构群$H$以恰好两个轨道半正则地作用在顶点上，称为$H$上的{ \em bi-Cayley图\/}.如果$H$在$\G$的全自同构群中是正规的，则这样的图$\G$称为{ \em正规\/}，如果$H$在$\G$的全自同构群中的正规化子在$\G$的边上是传递的，则称为{ \em正规边传递\/}。本文给出了正规边传递双Cayley图的一个特征，特别是$2$ -弧传递正规双Cayley图.利用这一点，我们研究了三类双Cayley图，即阿贝尔群，二面体群和亚循环$p$ -群上的双Cayley图。我们发现，在一定条件下，这三类图的“正规边传递”与“正规”是相同的。作为一个副产品，我们得到了一个完整的分类，所有连通的三价边传递图的围长最多$6$，并回答了一些开放的问题，从文献中的$2$ -弧传递，半弧传递和半对称图。
Two new families of non-CCA groups
我们确定了两个新的无限家族的凯莱图，承认不来自群作用的保色自同构。根据定义，这意味着这些凯莱图不具有CCA（凯莱色自同构）性质，并且相应的无限群族也不具有CCA性质。群族由任何$2n$阶二面体群的直积组成，其中$n \ge 3$是奇数，或者与自身，或者与$n$阶循环群。特别地，该示例族包括不适合任何先前已知非CCA组族的最小非CCA组。
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