Precoloring Extension. IV. General Bounds and List Colorings
证明了图的列表着色问题的时间复杂度的一个有保证的上界。
2021-04-01 math.CO
On Dynamic Coloring of Graphs
图$G$的动态着色是一种适当的着色，使得对于度至少为2的每个顶点$v\in V(G)$，$v$的邻居接收至少2种颜色。本文给出了图的动态色数的一些上界。在这方面，我们将证明，有一个常数$c$，使得对每个$k$ -正则图$G$，$χ_d(G)\leq χ(G)+ c\ln k +1$。同时，我们也给出了正则图的动态表色数的一个上界。
2009-08-18 math.CO
List strong edge-coloring of graphs with maximum degree 4
图$G$的强边染色是使得长度为3的路上的任意两条边接收不同颜色的边染色。我们用$χ_{s}'(G)$表示强色指数，它是允许$G$强边着色的最小颜色数。1985年Erdens和Nešetzil证明了$χ_{s}'(G)$的上界是$\frac{5}{4}Δ^{2}$，当$Δ$是偶数时，$Δ$是奇数时，$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$是$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。当$Δ\leq3$ .由于Cranston之前的研究，$Δ=4$最著名的上界是22。本文将Cranston的结果推广到列表强边染色，即证明了当$Δ=4$时，列表强边染色指数的上界为22。
2018-01-21 math.CO
The half-monochromatic colorings of plane graphs with even polygonal faces
Nihon University（日本大学）
本文研究了平面图中偶多边形面的半单色着色问题，给出了基于独立数的着色颜色数上界。
2026-02-23 math.CO math.GT
On the balanced upper chromatic number of finite projective planes
本文研究了所有色类大小相差至多一个的超图的顶点着色（平衡着色）和每个超边至少包含两个相同颜色的顶点的超图的顶点着色（无彩虹着色）。对于任何超图$H$，使$H$有平衡的无彩虹$k$ -染色的最大数称为超图的平衡上色数。通过对所有$q$确定Deskeresian射影平面$\mathrm{PG}(2,q)$的平衡上色数，证实了Araujo-Pardo，Kiss和Montejano的猜想.此外，我们还渐近地确定了几类非Deskenesian射影平面的平衡上色数，并利用概率方法给出了任意射影平面的平衡上色数的一般下界，该下界确定了直到乘法常数的参数.
2020-05-25 math.CO
Upper bounds for the achromatic and coloring numbers of a graph
Dvotelák \emph{et al.}引入了图$G$的Randić指标的一个变体，记为$R'(G)$，其中$R'(G)=\sum_{uv\in E(G)}\frac 1 {\max\{d(u), d(v)\}}$和$d(u)$表示$G$中顶点$u$的度。图$G$的色数$col(G)$是最小的数$k$，对于该最小的数，存在$G$的顶点的线性排序，使得每个顶点之前的邻居少于$k$。众所周知，对于任何图$G$，都有$χ(G)\leq col(G)$，其中$χ(G)$表示$G$的色数.本文证明了对任何不含孤立点的图$G$，$col(G)\leq 2R'(G)$具有相等性当且仅当$G$是通过用一个完全图的顶点确定一个星的中心而得到的.这推广了一些已知的结果。此外，我们给出了图的染色数和消色数的一些新的谱界。
2015-11-05 math.CO
An improved upper bound on the adjacent vertex distinguishing chromatic index of a graph
图G的邻点可区别染色是指图G的正常边染色使得任意一对邻顶点与不同的颜色集相关联。图G的邻点可区别染色所需的最少颜色数记为$χ'_a(G)$ .本文证明了对任意一个具有最大度$Δ$且无孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 5（$Δ+2$）/2.这改进了[S. Akbari，H. Bidkhori，N. Nosrati，r-Strong edge colorings of graphs，Discrete Math.306（2006），3005-3010]，其中指出对于任何没有孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 3 $Δ$。
2012-08-11 math.CO
Another approach to non-repetitive colorings of graphs of bounded degree
我们提出了一种新的证明技术，旨在应用于相同的问题，作为Lovász局部引理或熵压缩方法。我们提出了这种方法的背景下，非重复着色，我们用它来提高上界相关的不同的非重复数字的最大程度的一个图。看来，应该有其他有趣的应用所提出的方法。就上限而言，我们的方法似乎与熵压缩一样强大，但证明更基本，更短。我们在本文中提供的应用程序是最大程度的最多$Δ$图的上界：一个小的改进的上界的非重复数，$4.25Δ+o(Δ)$上界的弱总非重复数和$ Δ^2+\frac{3}{2^\frac{1}{3}}Δ^{\frac{5}{3}}+ o(Δ^{\frac{5}{3}})$上界的总非重复数的图。这最后一个结果意味着相同的上限的非重复指数的图，这提高了最好的已知的界限。
2020-06-23 cs.DM math.CO
A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。
2012-05-31 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: I. Acyclic, star, and treewidth colorings
我们证明了对任意固定整数$m \geq 1$，最大度$Δ$的图有一个用$O(Δ^{(m+1)/m})$颜色着色的图，其中每个连通的双色子图至多包含$m$边.这一结果统一了先前已知的上界的颜色的数量足够的某些类型的图着色，包括星形着色，其中$O(Δ^{3/2})$颜色足够，和非循环着色，其中$O(Δ^{4/3})$颜色足够。我们的证明使用了Alon，McDiarmid和Reed的概率方法。这个结果也给出了以前未知的上界，包括这样一个事实，即最大程度$Δ$的图有一个适当的着色与$O(Δ^{9/8})$颜色，其中每个双色子图是平面的，以及一个适当的着色与$O(Δ^{13/12})$颜色，其中每个双色子图有树宽最多$3$。
2022-09-23 math.CO
Improved bounds for centered colorings
一个图$G$的顶点着色$ϕ$是$p$ -中心的，如果对于$G$的每个连通子图$H$，或者$ϕ$使用$H$上的多个$p$颜色，或者有一种颜色在$H$上只出现一次.中心着色形成允许捕获图的稀疏性的概念的参数族之一：一类图具有有界扩展当且仅当存在函数$f$使得对于每个$p\geq1$，类中的每个图允许使用至多$f(p)$颜色的$p$中心着色。在本文中，我们从几个广泛研究的图类中给出了图的$p$ -中心着色所需的最大颜色数的上界。我们证明：（1）平面图允许具有$\mathcal{O}(p^3\log p)$颜色的$p$ -中心着色，其中前一个界限是$\mathcal{O}(p^{19})$：（2）有界度图允许具有$\mathcal{O}(p)$颜色的$p$ -中心着色，但它们可能需要$p$中指数数目的颜色;（3）避免固定图作为拓扑子图的图允许以$p$为中心的着色，其颜色数为$p$的多项式。所有这些上界意味着计算着色的多项式算法。在此之前，没有已知的非平凡下限。我们证明：（4）存在树宽$t$的图，其在任何$p$中心着色中需要$\binom{p+t}{t}$颜色，并且该界限匹配上界;（5）存在平面图，其在任何$p$中心着色中需要$Ω(p^2\log p)$颜色。
2021-08-12 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
2018-11-21 math.CO
First non-trivial upper bound on the circular chromatic number of the plane
我们考虑著名的Nelson-Hadwiger问题的圆形版本。众所周知，4种颜色是必要的，7种颜色足以以这样的方式对欧几里得平面进行着色，即距离不同的点得到不同的颜色。在$r$ -圆形着色中，我们指定周长为$r$的圆的长度为1的弧，以使距离为1的点得到不相交的弧。本文证明了$r=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 6.30$的$r$ -圆染色的存在性.这是平面的$r$ -圆染色的第一个结果，其中$r$小于7。我们还显示$r$ -圆形着色的平面与$r<7$的情况下，当我们需要不相交的弧点的距离属于内部$[\frac{10}{11}, \frac{12}{11}]$。
2015-06-05 math.CO
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
2009-07-20 math.CO
Some Results on incidence coloring, star arboricity and domination number
建立了连接关联色数、星荫度和控制数三个孤立图不变量的两个不等式。由此，我们得到了所有图的关联色数的上界和下界。利用这些界，我们进一步降低了可平面图的关联色数的上界，并证明了阶数不可被4整除的三次图是不可4-关联着色的。确定了图的笛卡儿积、并、并的关联色数。
2012-03-28 math.CO
On line colorings of finite projective spaces
本文证明了$q$阶$n$维有限射影空间的消色差指数和伪消色差指数的上界.
2021-01-28 math.CO
On interval edge-colorings of planar graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。1990年，Kamalian证明了：如果至少有一条边的图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq 2|V(G)|-3$。2002年，Axenovich改进了平面图的这个上界：如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{11}{6}|V(G)|$ .在同一文件Axenovich提出了一个猜想，如果一个平面图$G$有一个区间$t$染色，然后$t\leq \frac{3}{2}|V(G)|$。本文证明了如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{3|V(G)|-4}{2}$ .证明了如果外平面图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq |V(G)|-1$ .此外，所有这些上界都是尖锐的。
2023-03-20 cs.DM math.CO
A stronger upper bound on the D-chromatic index
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Augustana College（奥古纳学院）
该研究针对图的D-色指数的Brooks型上界问题，采用概率方法，首次改进了此前由贪心着色得到的上界，证明了最大度足够大时D-色指数不超过带正系数修正的二次上界。
2026-09-03 math.CO
An Improved Upper Bound for Colorings Without Symmetrically Colored $k$-Term Arithmetic Progressions
University of Washington（华盛顿大学）；Tsinghua University（清华大学）
研究关于无对称着色 \(k\) 项等差数列的着色问题，通过结合进位控制着色与分层域范数映射给出一种着色方法，改进了 4 - 等差数列着色上界指数，反驳了高尔斯对于偶数 \(k\geq6\) 的猜想下界，还在相关问题上取得进展。
2026-07-30 cs.DM math.CO
Upper chromatic number of generalized quadrangles
Universidad Nacional Autonóma de México（墨西哥国立自治大学）；Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Cuajimalpa（墨西哥自治 metropolitan 大学 - 夸希马尔帕校区）；Western Michigan University（西密歇根大学）
研究广义四边形超图的上色数，通过将点和线对应顶点和超边，定义彩虹着色与无彩虹着色，进而确定给定超图\(H\)的上色数\(\overline{\chi}(H)\)。
2026-07-13 math.CO
Improper interval edge colorings of graphs
图$G$的$k$ -不当边着色是映射$α:E(G)\longrightarrow \mathbb{N}$，使得具有公共端点的$G$的至多$k$边具有相同的颜色。图$G$的非正常边染色称为非正常区间边染色，如果与图$G$的每个顶点关联的边的颜色形成整数区间.本文引入并研究了一个新的概念：图$G$的区间不恰当染色（或仅仅是不恰当染色），定义为最小$k$使得$G$具有$k$ -不恰当区间边染色，我们用$μ_{\mathrm{int}}(G)$表示最小$k$.我们证明了上界$μ_{\mathrm{int}}(G)$一般图$G$和特殊的家庭，如二部，完全多部和outerplanar图，我们还确定$μ_{\mathrm{int}}(G)$确切地为$G$属于某些特定类别的图。此外，我们提供了几个家庭的图与大的不当，特别是，我们证明了，对于每一个正整数$k$，存在一个图$G$与$μ_{\mathrm{int}}(G) =k$。最后，对于至少有两个顶点的图，我们证明了一个新的非正常区间边着色所用颜色数的上界。
2020-03-13 math.CO
Coloring half-planes and bottomless rectangles
本文证明了由几何区域定义的某些超图的色数的上下上界。这个问题与无冲突着色有着密切的关系。对于这个问题，要考虑的最有趣的区域类型之一是轴平行矩形。我们完全解决了一个特殊的情况下，他们的问题，无底矩形。我们也给了一个几乎完整的答案半平面，并提出了几个开放的问题。此外，我们给出了有效的着色算法。
2011-05-01 math.CO
New Results on Two Hypercube Coloring Problems
本文研究了以下两个超立方体着色问题：给定$n$和$d$，求出最小颜色数，记为$χ'_{d}(n)$（分别为. $χ_{d}(n)$），需要对$n$立方体的顶点进行着色，使得汉明距离最大为$d$的任何两个顶点（分别确切地说是$d$）具有不同的颜色。这些问题最初出现在光网络的可扩展性研究中。利用编码理论中的方法，证明了对任意奇数$r\geq3$，$χ'_{4}(2^{r+1}-1)=2^{2r+1}$，$χ'_{5}(2^{r+1})=4^{r+1}$都成立，并给出了$χ_{d}(n)$的两个上界.第一个上界改进了Kim，Du和Pardalos的上界.对于小的$n$，第二个上界比第一个上界更好。进一步，我们得到了关于$χ_{d}(n)$和$χ'_{d}(n)$的一个不等式.
2010-01-13 math.CO
Majority dominator colorings of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图.图$G$的多数支配着色是指图的每个顶点至少支配一个色类的一半的真着色。多数支配色数$χ_{md}(G)$是$G$的多数支配着色中颜色类的最小数目。本文研究了图的多数支配染色的性质。利用色数、控制色数、最大度、控制数和独立数得到了紧的上、下界。我们还研究了所选图族的多数支配染色数。
2022-12-28 math.CO
On the Complexity of Maximum Clique Algorithms: usage of coloring heuristics leads to the 2^(n\5) algorithm running time lower bound
最大团问题（Maximum Clique Problem，MCP）是Karp在1972年提出的21个NP完全问题之一。近年来出现了大量求解MCP的精确方法（Babel，Wood，Kumlander，Fahle，Li，Tomita等）。其中大部分是分支定界算法，它们利用Balas和Yu提出的分支规则，基于着色算法来建立团数的上界。它们之间的区别主要在于顶点预排序和顶点着色方法。目前的分支定界算法的最坏情况下的运行时间分析方法不允许提供严格的上限。这激发了对此类算法的下界的研究。利用着色算法证明了一类MCP算法的2^（n\5）下界.
2013-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
Proper conflict-free and unique-maximum colorings of planar graphs with respect to neighborhoods
图{ \em相对于开}的{ \em无冲突着色}（相应地，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，在其开域中存在恰好出现一次的颜色（相应地，关闭）社区。类似地，图{\em相对于开}的{\em唯一最大着色}（分别，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，出现在其开放（相应地，封闭的）邻居只出现一次。关于这两个概念有大量的文献，其中着色不需要适当，即，允许邻顶点具有相同的颜色。本文主要研究可平面图的两种着色问题。我们建立了上界的颜色的数量在类的可平面图的所有考虑的着色，并提供建设的可平面图达到相对较高的值，相应的色数。作为主要结果，我们证明了每个平面图都有关于开邻域的最多10种颜色的唯一最大真染色，并给出了可平面图至少需要$6$颜色的例子.我们还建立了外平面图的紧上界。最后，我们提供了几个新的界限也考虑着色的不适当的设置。
2022-07-11 cs.DM math.CO
On proper colorings of hypergraphs
设$\mathcal{H}$是最大顶点度为$Δ$的超图，使得它的每个超边至少包含$δ$顶点.令$k=\lceil\frac{2Δ}δ\rceil$。我们证明了（i）超图$\mathcal{H}$允许点按$k+1$颜色染色. (ii)超图$\mathcal{H}$允许$k$色的正常点染色，如果$δ\ge 3$和$k\ge 3$ .作为这些结果的结果，我们推导出动态着色的颜色数的上界。
2011-11-07 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Upper bounds for the 2-hued chromatic number of graphs in terms of the independence number
图$G$的双色着色（也称为条件$(k, 2)$着色和动态着色）是这样的着色，使得对于度至少为$2$的每个顶点$v\in V(G)$，$v$的邻居至少接收$2$颜色。使$G$具有$ k $颜色的2色调着色的最小整数$k$被称为$G$的{ \it 2色调色数}，并由$χ_2(G)$表示。本文证明了：若$G$是正则图，则有$ χ_{2}(G)- χ(G) \leq 2 \log _{2}(α(G)) +\mathcal{O}(1) $;若$G$是图且有$δ(G)\geq 2$，则有$ χ_{2}(G)- χ(G) \leq 1+\lceil \sqrt[δ-1]{4Δ^{2}} \rceil ( 1+ \log _{\frac{2Δ(G)}{2Δ(G)-δ(G)}} (α(G)) ) $;若$G$是图，则有$ χ_{2}(G)- χ(G) \leq 2+ \min \lbrace α^{\prime}(G),\frac{α(G)+ω(G)}{2}\rbrace $ .
2015-01-26 cs.DM math.CO
Counting Gallai 3-colorings of complete graphs
n-顶点完全图K_n的边染色是Gallai染色，如果它不包含任何彩虹三角形，即边被三种不同颜色着色的三角形。本文证明了K_n的最多三种颜色的Gallai着色数至多为7（n+1）*2^{n选2}，从而改进了已知的\frac{3}{2} *（n-1）的上界. * 2^{（n-1）choose 2} in [Discrete Mathematics，2017].
2018-05-17 math.CO
Dominated and dominator colorings over (edge) corona and hierarchical products
图的控制染色是指图的一种正常（顶点）染色，其特征是图的每个顶点要么在其色类中是单独的，要么与至少一个色类的所有顶点相邻。图的控制染色是指每一个色类都被至少一个顶点控制的真染色。确定了电晕产物和边电晕产物的主色数色数。给出了边电晕积的支配色数的上、上界。给出了层次积的控制色数的上有界性，并确定了两因子层次积的控制色数。最后给出了控制着色在遗传网络中的一个应用。
2020-02-18 math.CO
On facial unique-maximum (edge-)coloring
平面图的面唯一极大染色是顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上恰好出现一次。如果要求着色是适当的，则将这种着色所需的最小颜色数的上界设置为$5$。Fabrici and Goring [Fabrici and Goring 2016]甚至认为$4$颜色总是足够的。因此，证明这个猜想将大大加强四色定理。本文证明了该猜想对次三次平面图、外平面图和平面四边形都成立。此外，我们考虑面边染色类似上述着色，并证明了每个$2$连通平面图允许这样的着色与最多$4$颜色。
2017-11-27 math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Entropy compression method applied to graph colorings
基于Moser和Tardos对Lovász局部引理的算法证明，Grytczuk等人关于词的工作，以及Dujmović等人关于着色的工作，Esperet和Parreau开发了一个框架，使用所谓的\emph{entropy compression method}来证明几个色数（特别是非循环色指数，星色数和图厄色数）的上界。受这项工作的启发，我们提出了一个更一般的框架和更好的分析。这导致改进的上界色数和指数。特别地，每个具有最大度$Δ$的图的无圈色数至多为$\frac{3}{2}Δ^{\frac43} + O(Δ)$。并且每个具有最大度$Δ$的平面图具有至多$Δ+ O(Δ^\frac 12)$的面Thue选择数和至多$10$的面Thue选择指数。
2015-01-22 cs.DM math.CO
A note on panchromatic colorings
本文研究了$r$色的$n$ -均匀超图的最小边数$p(n,r)$，即没有全色着色（即每条边都与每种颜色相交）的$n$ -均匀超图的最小边数.如果$r \leq c \frac{n}{\ln n}$，则所有边界都有类型$A_1(n, \ln n, r)(\frac{r}{r-1})^n \leq p(n, r) \leq A_2(n, r, \ln r) (\frac{r}{r-1})^n$，其中$A_1$，$A_2$是一些代数分数。主要结果是一个新的下界$p(n,r)$时，$r$至少是$c \sqrt n$ ;我们改进了一个上界$p(n,r)$，如果$n = o(r^{3/2})$。我们还表明，$p(n,r)$的上，下界只依赖于$n/r$的比例$n/r$是小的，这是不能达到以前的概率机制。最后，我们构造了一个明确的例子，超图没有全色染色和$(\frac{r}{r-1} + o(1))^n$边$r = o(\sqrt{\frac{n}{\ln n}})$。
2017-05-10 math.CO
Conflict-Free Coloring of String Graphs
图$G = (V,E)$的无着色（CF-着色）是指图$V$的一种着色，使得每个顶点的邻域都包含一个顶点，该顶点的颜色与该邻域中任何其他顶点的颜色不同。本文研究了一般图和几何形状的交图的CF-色数的界。在本文中，我们得到了几类字符串图，即，（1）给出了任意顶点为$n$的弦图$G$的CF-色数的$O(χ(G)^2 \log n)$关于经典色数$χ(G)$的一般上界。这一结果与一般图的CF-色数可以是$Ω(\sqrt{n})$已经为二部图相反。(ii)对于某些中心类的弦图，CF-色数与$Θ(\sqrt{n})$一样大，这是任何图的上界，即使在非几何的背景下。对于几个这样的类（例如，图的交叉图），我们证明了一个紧界的$Θ(\log n)$关于$k$-CF-着色的概念（其中每个顶点的打孔邻域包含的颜色，出现在最多$k$时间），对于一个小的常数$k$。(iii)本文得到了任意超图的$k$-CF-色数的一个一般上界：任何具有$m$超边的超图都可以被$\tilde{O}(m^{\frac{1}{k+1}})$着色.这个界扩展了Pach和Tardos（2009）的界，对于某些弦图是紧的，直到对数因子。(iv)我们的第四个结果涉及圆图中的着色问题的动机VLSI设计。证明了$Θ(\log n)$关于圈图CF-色数的一个紧界，以及$O(\log^{3} n)$对于包含圈图的更广泛的一类，即接地L-形的交图…
2019-01-18 math.CO
Strong Majority Edge-Coloring
Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）；AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文研究图的强多数边染色，即每条边相邻边中每种颜色至多占一半，证明了每个可允许图可用5种颜色染色，改进了之前8种颜色的上界。
2026-07-02 math.CO
Upper Bounds of the Odd Chromatic Number of a Graph in terms of its Thickness
本文研究图的奇色数上界，证明最小度至少为2倍厚度减1且围长至少为6的图可被6倍厚度种颜色奇染色。
2024-03-18 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
Strongly proper connected coloring of graphs
基于\emph{strong}边着色的概念，研究了图的\emph{connected coloring}的一个新的变形（每个颜色类形成一个\emph{induced}匹配）.特别地，如果边缘着色路径的颜色序列在至多两个距离内不包含相同项，则该边缘着色路径是\emph{strongly proper}。图$G$的\emph{strong proper connected}染色是指图$G$的每对顶点至少由一条强真路连接的染色，用spc（$G$）表示图$G$的这种染色所需的最少颜色数.本文证明了对于任何$2$ -连通图$G$，上界spc（$G$）$\leq$ {5}成立.另一方面，我们证明了存在具有任意大围长的$2$连通图满足spc（$G$）$\geq$ {4}.此外，我们还证明了圈长可被$3$整除的图满足spc（$G$）$\leq{3}$ .我们还简要地考虑了其他连接着色定义的各种限制的颜色序列的连接路径。例如，在$G$的\emph{nonrepetitive connected coloring}中，每对顶点都应该由颜色序列为\emph{nonrepetitive}的路径连接，也就是说，它不包含两个相邻的相同块。我们证明了$2$ -连通图是$15$ -可着色的，而$4$ -连通图是$6$ -可着色的，在连通非重复意义下.一个类似的结论与有限的上限的颜色的数量保持了更广泛的各种连接着色…
2023-02-08 math.CO
Some upper bounds for 3-rainbow index of graphs
边着色图$G$中的树$T$称为{ \em a rainbow tree}，如果没有给$T$的两条边指定相同的颜色. $G$的{ \em $k$ -彩虹着色}是$G$的边着色，其具有以下性质：对于$G$的$k$顶点的每个集合$S$，在$G$中存在彩虹树$T$，使得$S\subseteq V(T)$。在$G$的$k$ -彩虹着色中所需的最小颜色数是{ \em $k$ -$G$的彩虹指数}，由$rx_k(G)$表示。本文考虑了$G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$.我们首先证明了对于具有最小度$δ(G)\geq 3$的连通图$G$，$rx_3(G)$的紧上界是$rx_3(G[D])+4$，其中$D$是$G$的连通2-控制集.然后我们确定了$K_{s,t}(3\leq s\leq t)$的一个紧上界和$(P_5,C_5)$ -free图的一个更好的上界。最后，我们得到了一般图的3-彩虹指数的一个精确界。
2013-10-09 math.CO
Algorithms and Bounds for Very Strong Rainbow Coloring
一个研究得很好的着色问题是给图$G$的边分配颜色，使得对于每对顶点，它们之间至少有一条最短路径的所有边都接收不同的颜色。在这种着色中所需的最小颜色数是图的强彩虹连接数（$\src(G)$）。当证明$\src(G)$的上界时，很自然地要证明存在一个着色，其中对于图中每对顶点之间的\emph{every}最短路径，路径的所有边接收不同的颜色。因此，我们引入并正式定义了这个更受限制的边色数，我们称之为\emph{very strong rainbow connection number}（$\vsrc(G)$）。本文给出了几类图的$\vsrc(G)$的上界，其中有些图是紧图。这些立即意味着这些类的$\src(G)$的新上限，表明对$\vsrc(G)$的研究使有意义的进展绑定$\src(G)$。然后，我们研究的复杂性问题，计算$\vsrc(G)$，特别是有界树宽的图形，并显示这是一个有趣的问题，在其本身的权利。我们证明了$\vsrc(G)$可以在仙人掌图上在多项式时间内计算，相反，这个问题仍然是开放的$\src(G)$。我们还观察到，决定是否$\vsrc(G) = k$是固定参数易处理的$k$和$G$的树宽。最后，在一般图上，我们证明了没有多项式时间算法来决定是否$\vsrc(G) \leq 3$或近似$\vsrc(G)$内的一个因素$n^{1-\varepsilon}$，除非P $=$ …
2018-01-16 cs.DS math.CO
Set-coloring Ramsey numbers via codes
对于具有$r > s$的正整数$n,r,s$，集合着色拉姆齐数$R(n;r,s)$是最小$N$，使得如果完全图$K_N$的每条边从$r$颜色的调色板接收一组$s$颜色，则保证在$n$顶点上存在单色团，即，$n$顶点的子集，其中它们之间的所有边接收公共颜色。特别地，情况$s=1$对应于经典的Ramsey数。我们证明了$R(n;r,s)$的一般上界和下界，这意味着如果$s/r$有界远离$0$和$1$，则$R(n;r,s) = 2^{Θ(nr)}$。上界扩展了Erdés和Szemerédi的旧结果，他们处理了$s = r-1$的情况，而下界利用了纠错码的联系。我们还研究了超图的类似问题。
2022-06-22 math.CO
A random coloring process gives improved bounds for the Erdős-Gyárfás problem on generalized Ramsey numbers
Erdens-Gyárfás数$f(n, p, q)$是给完全图$K_n$的边着色所需的最小颜色数，使得它的所有$p$ -团至少跨越$q$颜色。本文对$p, q$和大$n$的许多固定值，改进了$f(n, p, q)$的最佳上界.我们的证明使用了一个随机着色过程，我们分析使用所谓的微分方程方法建立动态浓度。
2023-02-08 math.CO
A counterexample to a conjecture on facial unique-maximal colorings
平面图的面唯一最大染色是一个自然数的真顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上只出现一次。法布里齐和戈林证明了六种颜色是足够的任何平面图，并证明了四种颜色足够。这个猜想是四色定理的一个加强。温德兰后来把上界从6降到了5。本文通过给出无穷多个反例证明了该猜想的错误。从而得出球面的面唯一最大色数为5。
2017-09-14 math.CO
Colorings of complements of line graphs
我们的目的是证明线图的补图具有良好的着色性质。我们表明，在这个类中的所有图的本地和通常的色数是相等的。我们还证明了一个充分条件的色数等于一个自然的上界。后一个条件的结果是Kneser图$\operatorname{KG}(n,2)$的所有诱导子图的完全特征，这些子图的色数等于其色数，即$n-2$。除了上界之外，Dol'nikov定理还提供了下界，Dol'nikov定理是图论中拓扑方法的经典结果。我们证明了$\operatorname{NP}$ -硬度决定之间的平等的色数和任何这些界限。拓扑方法特别适用于超图的线图补图的着色性质的研究。尽管如此，本文中的所有证明都是基本的，我们还提供了一个简短的讨论的能力的拓扑方法，以涵盖我们的一些结果。
2020-04-06 cs.DM math.CO
A $(5,5)$-coloring of $K_n$ with few colors
对于固定整数$p$和$q$，令$f(n,p,q)$表示对完全图$K_n$的所有边着色所需的最小颜色数，使得没有$p$顶点的团跨越少于$q$的不同颜色。任何具有此性质的边着色都称为$(p,q)$着色。我们构造了一个显式的$(5,5)$ -着色，证明了$f(n,5,5) \leq n^{1/3 + o(1)}$是$n \rightarrow \infty$ .这改进了Erdens和Gyárfás给出的$O\left(n^{1/2}\right)$的最佳概率上限，并且接近于匹配最佳已知下限$Ω\left(n^{1/3}\right)$。
2017-02-21 math.CO
Strong majority colorings of graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫 AGH 科技大学）
受图和有向图的顶点多数着色以及图的边多数着色的启发，引入了强多数顶点着色和强多数边着色两个概念，并分别给出了色数的上界。
2026-05-22 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Combinatorial Bounds for Conflict-free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图$G$中，关于开邻域的无冲突着色（表示为CFON着色）是对顶点的颜色分配，使得每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。$G$的CFON着色所需的最小颜色数是$G$的CFON色数，用$χ_{ON}(G)$表示。询问$χ_{ON}(G) \leq k$是否是NP完全的决策问题。我们得到了以下结果：* Bodlaender，Kolay和Pieterse [WADS 2019]显示了上界$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+3$，其中${\sf fvs}(G)$表示$G$的最小反馈顶点集的大小。我们证明了$χ_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+2$的改进界，它是紧的，从而回答了上述文件中的一个公开问题。* 本文研究了图$χ_{ON}(G)$与图$G$的路宽之间的关系，记为${\sf pw}(G)$ .上述来自WADS 2019的论文显示了上界$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf tw}(G)+1$，其中${\sf tw}(G)$代表$G$的树宽。这意味着$χ_{ON}(G) \leq 2{\sf pw}(G)+1$的上界。给出了$χ_{ON}(G) \leq \lfloor \frac{5}{3}({\sf pw}(G)+1) \rfloor$的一个改进的界. * 我们证明$χ_{ON}(G)$的结构参数邻域多样性和聚类距离方面的新的界限，改…
2020-07-10 math.CO
Complexity of equitable tree-coloring problems
图$G$的$(q,t)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是最大度至多为$t.$的森林图$G$的$(q,t)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是森林。Wu、Zhang和Li介绍了\emph{equitable $(q, t)$-tree-coloring}（分别为\emph{equitable $(q, \infty)$-tree-coloring}）的概念，它是一个$(q,t)$ -树着色（分别为$(q, \infty)$ -树着色），使得任何两个颜色类的大小最多相差一个。在其他结果中，他们得到了一个尖锐的上界的最小$p$，使$K_{n,n}$有一个公平的$(q, 1)$ -树着色的每一个$q\geq p.$在本文中，我们得到了一个多项式时间的标准，以决定是否完全二部图有一个公平的$(q,t)$ -树着色或公平的$(q,\infty)$ -树着色。然而，判定图$G$一般具有公平$(q,t)$ -树着色还是公平$(q,\infty)$ -树着色是NP-完全的。
2016-03-30 math.CO
On two $q$-ary $n$-cube coloring problems
令$χ'_d(n,q)$（分别$χ_d(n,q)$）表示对$q$元$n$立方体着色所需的最小颜色数，使得在至多$d$（分别为精确地$d$）得到相同的颜色。这两个问题是在光网络可扩展性研究中提出的。本文给出了当$q$是素数幂时，$χ'_d(n,q)$和$χ_d(n,q)$的上、下界.
2015-10-28 math.CO
