Centered colorings and weak coloring numbers in minor-closed graph classes
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；I3S（创新信息系统研究所）
本文研究了在排除特定小图的图类中，q-中心色数和q阶弱色数的上界，证明了在O(q)因子内可确定，并在排除平面图时达到常数因子。结果改进了K_t-无小图图的q-中心色数界。
2026-03-13 cs.DM math.CO
A counterexample to a conjecture of Björner and Lovász on the $χ$-coloring complex
与色数为$χ$的每个图$G$相关联的是另一个图$G'$。$G'$的顶点集由$G$的所有$χ$ -着色组成，并且当两个$χ$ -着色恰好在一个顶点上不同时，它们是相邻的。根据Björner和Lovász的猜想，这个图$G'$必须是不连通的。本文给出了这个猜想的一个反例。
2005-05-17 math.CO
On the complexity of graph coloring with additional local conditions
设$G = (V,E)$是有限单图.回想一下，$G$的正确着色是一个映射$φ: V\to\{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类都导出一个独立集。如果任何两个连续颜色类的并集诱导匹配，则这样的$φ$称为半匹配着色。我们证明了半匹配着色问题对于任何固定的$k\geqslant 3$都是NP完全的，并且对于这个问题的另一个版本，我们得到了相同的结果，其中G的任何三角形都需要有颜色至少相差三个的顶点。
2017-12-08 math.CO
Measurable patterns, necklaces, and sets indiscernible by measure
在最近的一些论文中，经典的“分裂项链定理”以一种有趣的方式与几何“模式回避问题”联系在一起。我们探讨了R^d的（放松的）可测着色的存在性的拓扑约束，使得任何两个不同的，非退化的立方体（平行六面体）是可测的。例如，受Lason猜想的启发，我们证明了对于每个集合μ_1，.，μ_{2d-1}，存在两个非平凡的轴向d维长方体（长方体）C_1和C_2，使得μ_i（C_1）=μ_i（C_2），其中i=1，.，2d-1。我们还通过例子表明，在一般情况下，2d-1界不能得到改善。这些结果在研究可测空间存在非重复着色的一般拓扑障碍的方向上迈出了一步。
2013-05-31 math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
The condensation phase transition in random graph coloring
基于一种称为“腔方法”的非严格形式主义，物理学家对离散结构中的相变提出了有趣的预测。其中最显著的是，在诸如随机$k$ -SAT或随机图$k$ -着色的问题中，在解存在的阈值之前不久，发生了另一种称为“凝聚”的相变[Krzakala等人，PNAS 2007]。这种相变的存在似乎与证明精确结果的困难密切相关，例如，$k$可着色性阈值以及消息传递算法的性能。在随机图的$k$ -着色中，凝聚相变的位置是一个精确的猜想，它是一个分布不动点问题。本文证明了当$k$超过某个常数$k_0$时的猜想。
2014-04-19 cs.DM math.CO math.PR
Kempe Equivalent List Edge-Colorings of Planar Graphs
本文研究了具有较大最大度的平面图线图的 $L$-可交换性，证明了在 $Δ(G)\ge 9$ 且为 $(Δ(G)+1)$-分配，或 $Δ(G)\ge 15$ 且为 $Δ(G)$-分配时线图均 $L$-可交换。
2022-09-12 math.CO
List majority edge-colorings of graphs
本文将有限图的多数边着色理论推广到无限图，在列表设定下证明了无悬挂边的无限图可用大小为4的列表实现多数边着色，并由此证实了线图的不友好划分猜想。
2023-12-01 math.CO
On extremal properties of perfect 2-colorings
研究完美2-着色与图划分的极值性质，指出多个谱界仅在完美2-着色上达到，并对充分正则图给出固定平均内部度下子集大小的新上界。
2025-05-15 math.CO
The existence of uniform hypergraphs for which interpolation property of complete coloring fails
1967年Harary，Hedetniemi和Prins证明了每个图$G$允许一个完全的$t$ -着色，对于每个具有$χ(G) \le t \le ψ(G)$的$t$，其中$χ(G)$表示$G$的色数，$ψ(G)$表示$G$的消色差数，它是$G$允许一个完全的$r$ -着色的最大数。最近，Edwards和Rz \c aesthewski（2020）证明了这个结果对于超图是不成立的，证明了对于每一个具有$k\ge 9$的整数$k$，存在一个具有完全$χ(H)$ -染色和完全$ψ(H)$ -染色的$k$ -一致超图$H$，但对于某些具有$χ(H)< t<ψ(H)$的$t$，不存在完全$t$ -染色。他们还问是否会存在这样一个例子$3$ -一致超图，并提出了另一个问题，以加强他们的结果。本文将他们的结果推广到了$k$与$k\ge 3$的所有情形，并通过给出几类$3$ -一致超图来解决他们的问题。特别地，我们反驳了Matsumoto和第三作者（2020）最近提出的一个猜想，他们提出了一个特殊的$3$ -一致超图族来满足所需的插值性质。
2021-03-02 math.CO
Distinguishing density and the Distinct Spheres Condition
若图$G$的可区别数为2，则存在图的顶点集的一个划分，使得$G$的非平凡自同构不固定这两个部分.这样的划分称为$G$的2-可区别着色，并且部分称为其颜色类。如果$G$允许这样的着色，那么通常可以找到另一个颜色类，其中一个颜色类在某种意义上是稀疏的。在这种情况下，我们说$G$具有2-可区别密度零。一个极端的例子是一个无限图，它允许一个2-可区别染色，其中一个色类是有限的。如果一个图$G$包含一个顶点$v$，使得对于所有的$n \in \mathbb N$，任何两个与$v$等距的不同顶点都有不相等的$n$ -球面，那么我们说$G$满足不同球面条件.本文证明了一个一般性结果：满足相异球面条件的可数连通图是密度为零的2-可区别图。我们提出了两个证明，一个使用确定性着色，另一个（仅适用于局部有限图）使用随机着色。从这个结果，我们推出几个重要的家庭的可数无限和连通图是2-可区别的密度为零，包括那些是局部有限的和原始的。进一步证明了任意具有无限运动和次二次增长的连通图是2-可区别的且密度为零。
2018-01-08 math.CO
Edge-Coloring Power Graphs
研究有限群幂图的边着色数，证明幂图是过满的当且仅当它是第2类图当且仅当群是奇素数幂阶循环群。
2026-09-30 math.CO math.GR
Solutions for two conjectures on kaleidoscopic edge-colorings
对于$r$ -正则图$G$，我们定义了一个边着色的$c$，其颜色来自于$\{1,2,\cdots,$ $k\}$，使得$G$的任意顶点至少与每种颜色的一条边关联.顶点$v$的多集颜色$c_m(v)$被定义为有序元组$(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$，其中$a_i \ (1\leq i\leq k)$表示与$G$中的$v$关联的具有颜色$i$的边的数目。然后这个边着色$c$被称为$G$的{ \it $k$ -万花筒着色}，如果$G$中的每两个不同的顶点有不同的多集颜色，这样，图$G$被定义为{ \it $k$ -万花筒}。在本文中，我们确定完全图$K_n$的整数$k$是$k$ -万花筒，从而解决了[P. Zhang，A Kaleidoscope View of Graph Colorings，Springer，New York，2016]中的一个猜想，即对于任何整数$n$和$k$与$n\geq k+3 \geq 6$，完全图$K_n$是$k$ -万花筒。然后，我们构造了一个$r$ -正则$3$ -万花筒的顺序$\binom{r-1}{2}-1$为每个整数$r\geq 7$，其中$r\equiv 3\ (\text{mod}\ 4)$，这解决了另一个猜想，在同一本书的最大阶$r$ -正则$3$ -万花筒。
2016-11-24 math.CO
Packing coloring of graphs with long paths
Gebze Technical University（盖布泽理工大学）
本文研究含长路径的图的填充着色问题，引入路径对齐图积证明其多类子族填充色数有常数上界，刻画了填充色数不超过3的毛虫图结构并提出公开问题。
2025-11-16 math.CO
Domination on Vertex-weighted Graphs Induce by a Coloring
本文提出着色图中的上色支配概念，证明相关优化问题为NP完全问题（含三色二分图），提出上色支配权重变体并确立其计算复杂性，还探讨与经典概念的关系，开发树图的多项式时间算法。
2025-02-11 math.CO
Enumeratively Chromatic-Choosable Theta Graphs
Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究了可数染色-可选θ图的特性，通过DP着色理论方法，揭示了θ图在列表着色中的结构性质。
2026-06-27 math.CO
The Strong Colors of Flowers - The Structure of Graphs with Chordal Squares
图的正常顶点着色是图的顶点在一组颜色上的映射，使得两个相邻的邻顶点不映射到相同的颜色。这个约束可以用顶点之间的距离来解释，因此可以定义一个更一般的着色概念：图的强着色。因此，k-强染色是一种染色，其中两个顶点可能不具有相同的颜色，如果它们彼此的距离至多为k。线图的2-强染色称为强边染色。图G的k次幂G^k的着色与找到G自身的k-强着色是相同的。为了得到一个图类上的2-强染色变得有效可解，我们正在寻找一个结构，产生诱导循环的平方G，因此，通过排除这种结构，我们得到一个图类弦平方，弦图是一个图没有任何诱导循环的长度至少为4。这种结构被称为花。另一个结构将被发现和解释，这是负责花出现在线图G：新芽。与此图与弦线图广场描述以及。一些尝试在推广这些结构，以获得完美的图平方和弦图功率的一般概念，即存在一个最小的权力，使一个图成为弦，弦的权力被引入，以解决一些染色相关的NP-难问题的图的参数化算法。与著名的参数树宽的一些联系，以及边着色和顶点着色之间的一些更深层次的联系。
2017-11-09 math.CO
Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques
首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。
2020-01-11 cs.CC cs.DM cs.DS
The structure and the list 3-dynamic coloring of outer-1-planar graphs
本文刻画外1-平面图的局部结构，证明其包含十七种最小固定构型，并据此得出最小度至少2的图存在度数和至多9（极大情形为7）的边，且列表3-动态色数至多为6，上界均最优。
2021-08-19 cs.DM math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
A note on Hadwiger's conjecture: Another proof that every 4-chromatic graph has a $K_4$ minor
本文针对哈德维格猜想的第一个非平凡情形，给出一种新证明，通过利用图的子图的正常3-染色来构造$K_4$子式，从而证明每个色数至少为4的图都含有$K_4$子式。
2023-08-10 math.CO
Kempe Equivalent List Colorings Revisited
本文证明对每个非完全的4-连通图及其任意度分配，所有列表着色在Kempe变换下均等价，回答了Cranston和Mahmoud的提问。
2024-02-10 math.CO
Polychromatic Coloring for Half-Planes
我们证明了对于每一个整数$k$，平面上的每一个有限点集都可以是$k$着色的，使得每一个至少包含$2k-1$点的半平面也至少包含一个来自每一个颜色类的点。我们还表明，绑定的$2k-1$是最好的可能。这分别改进了$\frac{4}{3}k$和$4k-1$的最佳先前已知的下限和上限。我们还表明，每一个有限集的半平面可以$k$着色，使如果一个点$p$属于一个子集$H_p$至少$3k-2$的半平面，然后$H_p$包含一个半平面从每个颜色类。这改进了$8k-3$的最佳先前已知的上界。我们的第一个结果的另一个推论是一个新的证明存在的小尺寸$\eps$ -网的平面上的点相对于半平面。
2010-06-16 math.CO
Sufficiency of Hall's Condition for Graphic List Coloring
本文研究图列表着色中Hilton和Johnson提出的霍尔型条件的充分性，刻画了满足该条件的图$H$与$G$的类型，解答了Johnson的问题并获若干图族的完整结果。
2026-09-03 math.CO
Full Characterization of Color Degree Sequences in Complete Graphs Without Tricolored Triangles
该研究针对不含三色三角形的完全图Gallai着色，完整刻画了所有可行颜色度序列的充要条件，并由此给出2018年相关最小颜色度结论的新证明，推动了图论着色问题的研究。
2023-04-28 math.CO
On properly ordered coloring of vertices in a vertex-weighted graph
引入了赋权图的正序染色（POC）的概念，推广了图的顶点染色的概念。在POC下，如果$xy$是一条边，则权重较大的顶点接收较大的颜色;在$x$和$y$权重相等的情况下，它们的颜色必须不同。在本文中，我们将开始研究这种特殊的着色图。对于图$G$，我们引入了函数$f(G)$，它给出了在$G$的所有权重上POC所需的最大颜色数。我们证明了$f(G)=\ell(G)$，其中$\ell(G)$是$G$中最长路径的顶点数。我们引入的另一个函数是$χ_{POC}(G;t)$，它给出了使用$t$不同权重的$G$的所有权重上所需的最小颜色数。我们证明了对于任何图$G$，$χ_{POC}(G;t)-1$与$χ(G)-1$之比都可以由$t$来定界;事实上，当$G$是完全多部图时，这个结果是通过确定$χ_{POC}(G;t)$得到的.我们还确定的最小数量的颜色，以给出一个POC的顶点加权图的最长有向路径的方向的底层图的顶点数。这推广了所谓的Gallai-Hasse-Roy-Vitaver定理，这是一个关于图$G$的色数与在$G$方向上的最长有向路的顶点数之间关系的经典结果。
2021-02-16 math.CO
Interlacing triangles, Schubert puzzles, and graph colorings
本文证明交错三角阵列可用于计算 Grassmannians 及相关簇上同调中 Schubert 类乘法的结构常数，通过建立分裂引理和构造与图着色及 Knutson-Tao 谜题相关的双射，证明并反驳了相关计数猜想。
2025-04-22 math.AG math.CO math.PR
Excluding a ladder
阶梯是一个$2 \times k$网格图。图类$\mathcal{C}$什么时候排除一些梯子作为子图？我们证明了这种情况的充分必要条件是$\mathcal{C}$中的所有图$G$都有一个有界的顶点着色，使得对于$G$的每个$2$连通子图$H$，都有一种颜色在$H$中只出现一次.这种类型的顶点着色是中心着色概念的放松，其中对于$G$的每个连通子图$H$，必须有一种颜色在$H$中只出现一次。$G$的中心着色中的最小颜色数是$G$的树深度，并且已知具有有界树深度的图的类恰好是排除作为子图的固定路径的那些，或者等价地，作为子图的那些。在这个意义上，排除固定梯子作为子图的图的结构类似于没有长路径的图的结构。另一个相似之处如下：很容易观察到，每个具有两条长度为$k$的顶点不相交路径的连通图都有一条长度为$k+1$的路径。我们发现，每一个$3$连通图，其中包含作为一个未成年人的工会足够多的顶点不相交的副本的$2 \times k$网格有一个$2 \times (k+1)$网格未成年人。我们的结构结果有应用偏序集维数。我们证明了偏序集的覆盖图排除一个固定的梯子作为一个小有界的维数。这是一个新的一步的目标，了解哪些图是不可避免的，作为小的覆盖图的偏序集具有大的维数。
2021-04-06 cs.DM math.CO
Structure and coloring of some ($P_7,C_4$)-free graphs
设$G$是一个图。我们使用$P_t$和$C_t$分别表示$t$顶点上的路径和循环。{ \em diamond}是从两个恰好共享一条边的三角形获得的图。{ \em kite}是由一个菱形和与该菱形的2度顶点相邻的另一个顶点组成的图。{ \em gem}是由一个$P_4$加上一个与$P_4$的所有顶点相邻的顶点组成的图。本文证明了$(P_7, C_4,$ diamond）-free图、$(P_7, C_4,$ kite）-free图和$(P_7, C_4,$ gem）-free图的一些结构性质。作为它们的推论，我们证明了（\romannumeral 1）$χ(G)\leq \max\{3,ω(G)\}$（如果$G$是$(P_7, C_4,$钻石）-free，（\romannumeral 2）$χ(G)\leq ω(G)+1$（如果$G$是$(P_7, C_4,$风筝）-free和（\romannumeral 3）$χ(G)\leq 2ω(G)-1$（如果$G$是$(P_7, C_4,$宝石）-free。这些结论推广了Choudum { \em et al}和Lan { \em et al}的一些结果.
2023-02-22 math.CO
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
2024-03-07 math.CO
On Fair and Tolerant Colorings of Graphs
本文研究了图的公平和容忍着色问题，证明了关于FAT色数与常规色数之间关系的两个问题均无解。
2025-11-21 math.CO
Burling graphs in graphs with large chromatic number
Stanford University（斯坦福大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Leipzig University（莱比锡大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本研究证明在排除固定图诱导细分的大类图中，大色数仅由大团或Burling图B_k迫使，得出相关极小遗传图类结论，并给出非χ-有界图类的近似着色多项式时间算法。
2026-10-16 cs.DM math.CO
From independent sets and vertex colorings to isotropic spaces and isotropic decompositions
在20世纪70年代，Lovász在完美匹配的背景下建立了图和交替矩阵空间之间的桥梁（FCT 1979）。二分图和矩阵空间之间的类似联系在最近解决非交换秩问题中起着关键作用（Garg-Gurvits-Oliveira-Wigderson，FOCS 2016; Ivanyos-Qiao-Subrahmanyam，ITCS 2017）。在本文中，我们奠定了另一个图和交替矩阵空间之间的桥梁的基础，在独立集和顶点着色的背景下。交错矩阵空间中的相应结构是迷向空间和迷向分解，这两种结构在群论和流形理论中都很有用。我们首先证明了极大独立集问题和顶点c-着色问题分别归结为极大迷向空间问题和迷向c-分解问题。接下来，我们证明了关于独立集和顶点着色的几个主题和结果对于迷向空间和分解具有自然的对应关系。这些包括算法问题，如二分图的最大独立集问题，色数的精确指数时间算法，以及数学问题，如最大独立集的数量，最大度和色数之间的关系。这些联系导致了图论和代数之间新的相互作用。一些结果有具体的应用群论和流形理论，我们在量子信息论的背景下，这些结构的变体。最后，我们提出了几个有待进一步探讨的问题。谨以此文纪念柯可一。
2019-09-22 cs.DS math.CO math.GR
Kempe Equivalent List Colorings
本文研究连通正则图中列表着色经有效 Kempe 交换相互可达的问题，证明 $k$-分配下所有 $L$-着色等价（除 3-棱柱外），并给出 $k\ge4$ 时经典结果的自包含新证。
2023-08-30 math.CO
Another view of Bipartite Ramsey numbers
对于二部图$G$和$H$以及正整数$m$，$G$和$H$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G, H)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个红-蓝着色都导致红色$G$或蓝色$H$。毕振明、Gary Chartrand和Ping Zhang在\cite{bi2018another}中对所有正整数$m$当$G= K_{2,2}$和$H \in \{K_{2,3}, K_{3,3}\}$，特别是在一个长而硬的论证中，他们证明了$BR_5(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_6(K_{2,2}, K_{3,3}) = 12$和$BR_7(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_8(K_{2,2}, K_{3,3}) = 9$。在本文中，我们通过简短的论证来确定每个$m\geq 1$的$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的确切值。
2022-01-30 math.CO
Weakening Total Coloring Conjecture: Weak TCC and Hadwiger's Conjecture on Total Graphs
Hadwiger猜想是图论中最重要和最古老的猜想之一。Reed和Seymour在2004年证明了Hadwiger猜想对于线图是正确的。我们调查这个猜想的密切相关的类全图。$G$的全图，记为$T(G)$，定义在$G$中$c_1$和$c_2$相邻或相互关联的顶点集$V(G)\sqcup E(G)$上，其中$c_1,c_2\in V(G)\sqcup E(G)$相邻。首先证明了存在一个常数$C$，使得如果$G$的连通性至少为$C$，则Hadwiger猜想对$T(G)$成立.定义图$G$的全色数$χ"(G)$等于它的全图的色数。也就是说，$χ"(G)=χ(T(G))$。图论中另一个著名的猜想是全染色猜想（TCC），它指出对每个图$G$，$χ"(G)\leqΔ(G)+2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。证明了如果全染色猜想的一个较弱的版本（弱TCC），即$χ"(G)\leqΔ(G)+3$，对一类在取子图运算下闭的图$\mathcal{F}$成立，则Hadwiger猜想对$\mathcal{F}$中的图的全图类成立.这促使我们寻找满足弱TCC的图类。值得注意的是，即使经过几十年的努力，即使是4-可着色图（实际上甚至是平面图）的TCC的完整证明仍然难以捉摸;但弱TCC可以很容易地证明为4-可着色图。我们注意到，尽管从最初的几天在研究$χ"(G)$的$χ(G)$方面的兴趣，弱TCC没有被证明是…
2022-01-25 math.CO
Odd-Sum Colorings of Planar Graphs
本文研究了平面图的奇数和染色问题，否定了Caro等人关于特定最大度和围长条件下奇数和色数上界的两个猜想，并反驳了其另一猜想，同时解决了相关遗留问题。
2023-08-29 math.CO
$C_{2k+1}$-coloring of bounded-diameter graphs
本文研究有界直径图上的奇圈同态问题，证明 $Hom(C_{2k+1})$ 在直径-$(k+1)$ 图上多项式时间可解，并给出直径-$(k+2)$ 图的次指数算法及更大直径下的 NP 难下界，同时将无三角形目标图的同态问题推广到直径-$2$ 图。
2024-10-22 cs.CC math.CO
Local chromatic number, Ky Fan's theorem, and circular colorings
图的局部色数是由Erdos等人在1986年提出的。它介于色数和分数色数之间。这激发了对这些量相距甚远的图的局部色数的研究。这些图包括Kneser图，它们的顶点色临界子图，Schrijver（或稳定Kneser）图; Mycielski图及其推广;和Borsuk图。我们给出了这些图的局部色数或多或少的紧界。我们使用一个旧的拓扑结果的Ky范推广Borsuk-Ulam定理。它暗示了在许多图的每一个真染色中，存在t点上的平衡完全二部图的多色副本，这些图的色数t由拓扑变元确定。(This特别是Ky Fan的Kneser图。这就得到了这些图的局部色数的一个下界t/2+1。我们证明了在许多情况下这必然是紧的或几乎紧的。作为上面的另一个结果，我们证明了这里考虑的图有相等的循环和普通的色数，如果后者是偶数。这部分地证明了Johnson，Holroyd和Stahl的一个猜想，并且F. Meunier.我们还证明了奇色Schrijver图的行为是不同的，它们的圆色数可以任意接近另一个极端。
2004-11-26 math.AT math.CO
On coloring parameters of triangle-free planar $(n,m)$-graphs
本文证明了无三角形平面$(n,m)$-图的相对团数上界为$2(2n+m)^2+2$，并构造达到该界的图，从而解决了Sopena的猜想，同时给出$(n,m)$-色数的下界。
2023-10-15 cs.DM math.CO
Coloring the squares of graphs whose maximum average degrees are less than 4
图$G$的正方形$G^2$是定义在$V(G)$上的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。$G$的{ \em最大平均度} $mad (G)$是$G$的子图的平均度中的最大值。已知在\cite{BLP-14-JGT}中不存在常数$C$，使得具有$mad(G)< 4$的每个图$G$具有$χ(G^2) \leq Δ(G) + C$。Charpentier \cite{Charpentier14}证明了存在一个整数$D$，使得每个具有$Δ(G)\ge D$和$mad(G)<4$的图$G$都有$χ(G^2) \leq 2 Δ(G)$ . \cite{BLP-DM}的最新结果表明，如果$mad(G) < 4 -\frac{1}{c}$与$Δ(G) \geq 40c -16$联用，则$χ(G^2) \leq 2 Δ(G)$。本文证明了对于$c\ge 2$，如果$mad(G) < 4 - \frac{1}{c}$和$Δ(G) \geq 14c-7$，则有$χ_\ell(G^2) \leq 2 Δ(G)$，改进了\cite{BLP-DM}的结果.我们还证明了对任意整数$D$，存在一个具有$Δ(G)\ge D$的图$G$，使得$mad(G)<4$，和$χ(G^2) \geq 2Δ(G) +2$，从而反驳了Charpentier猜想.另外，我们…
2015-06-14 math.CO
Another proof that the two color bipartite Ramsey number is $O(2^t)$
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文独立证明了二分拉姆齐数 $b_2(t)\le 128\cdot 2^t$，并推广到一般 $q$ 色情形 $b_q(t)\le 128\cdot q^t$，通过密度论证给出 Zarankiewicz 数的统一上界。
2026-10-01 math.CO
Proof of the mad conjecture and its coloring applications
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）；Charles University（查理大学）；Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西安-布达佩斯组合学联合研究中心，西北工业大学）；AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
本文证明了关于最大平均度可分的 mad 猜想，并将其推广到任意多个划分类，进而解决了聚类色数的一个开放问题，并给出了松弛染色的新界。
2026-10-06 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number $BR_m(H_1,H_2)$
在图$G$的$(G^1,G^2)$染色中，$G$的每条边都在$G^1$或$G^2$中。对于两个二部图$H_1$和$H_2$，二部Ramsey数$BR(H_1, H_2)$是最小整数$b\geq 1$，使得对于完全二部图$K_{b,b}$的每个$(G^1, G^2)$着色，都导致$H_1\subseteq G^1$或$H_2\subseteq G^2$。作为另一种观点，对于二部图$H_1$和$H_2$以及正整数$m$，$H_1$和$H_2$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(H_1, H_2)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个子图$G$导致$H_1\subseteq G$或$H_2\subseteq \overline{G}$。迄今为止，已有几篇文章计算了$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{2,2})$的大小、$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的大小和$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$的大小.在本文中，我们确定的精确值$BR_m(K_{2,2}, K_{4,4})$为每个$m\geq 2$。
2022-02-10 math.CO
On the signed chromatic number of some classes of graphs
带符号图$(G, σ)$是图$G$以及函数$σ: E(G) \to \{+,-\}$。一个符号图的闭行走是正的（分别是，负的）如果它有偶数（相应地，奇数）负边缘的数量，计数重复。一个（简单）符号图到另一个符号图的同态是一个顶点映射，它保持了闭行走的邻接和符号。符号图的符号色数$(G, σ)$是指符号图$(H, π)$中允许同态的最小顶点数$|V(H)|$.符号图的同态在过去的几十年里受到了越来越多的关注，特别是由于它们与图着色和图的子式理论有着密切的联系.这些同态已经通过符号色数的范围进行了特别的研究。在这项工作中，我们提供了一些家庭的符号图（平面图，triangle-free平面图，$K_n$ -minor-free图，和有界度图）的符号色数的新结果和界。
2020-09-25 cs.DM math.CO
Distinguishing extension numbers for $\mathbf R^n$ and $S^n$
在组$Γ$忠实地作用于集合$X$的设置中，$k$着色$c: X\rightarrow \{1, 2, ..., k\}$被称为$Γ$ -区分是否$Γ$中固定$c$的唯一元素是单位元。区别数$D_Γ(X)$是$k$的最小值，使得$X$的$Γ$ -区别$k$ -着色存在。固定$k= D_Γ(X)$，若每个预着色$c: X-W\rightarrow \{1, ..., k\}$都可扩充为$X$的一个$Γ$ -可区别$k$ -着色，则具有平凡点态稳定子的子集$W\subset X$满足预着色扩充性质$P(W)$.然后将区别扩展数$\text{ext}_D(X, Γ)$定义为最小$n$，使得对于所有适用的$W\subset X$，$|W|\geq n$意味着$P(W)$成立。在本文中，我们计算$\text{ext}_D(X, Γ)$在两个特殊的情况下：当$X = S^1$是单位圆和$Γ= \text{Isom}(S^1) = O(2)$是它的等距群，和当$X = V(C_n)$是一个正则$n$ -gon的二面体群的阶$n$和$Γ= \text{Aut}(C_n) = D_n$的循环的顶点的集合。这解决了费拉拉、格特纳、哈特克、斯托利和温格的两个问题。在$X=\mathbf R^2$的情况下，我们证明，$\text{ext}_D(\mathbf R^2, SE(2))<\infty$，这是一致…
2014-08-25 math.CO math.MG
On a Problem of Ramsey Theory
本文研究完全三色图K17^(3)中同色单色三角形的最小数量问题，通过分析17个顶点的完全图的三色着色性质，推广了Greenwood和Gleason关于Ramsey数R(3,3,3)=17的经典结论。
2024-08-01 cs.DM math.CO
Hypergraph Ramsey numbers
Ramsey数r_k（s，n）是最小的N，使得N元集合的k元组的每个红-蓝着色包含大小为s的红色集合或大小为n的蓝色集合，其中如果来自该集合的所有k元组都是红色（蓝色），则该集合被称为红色（蓝色）。本文给出了几个基本超图Ramsey问题的新估计。当k \geq = 3且s固定时，我们给出了r_k（s，n）的一个新的上界.特别是，我们证明了r_3（s，n）\leq 2^{n^{s-2} \log n}，这提高了一个因子n^{s-2}/ polylog n的指数，以前的上界的鄂尔多斯和雷达从1952年。我们还得到了这些数的一个新的下界，证明了存在常数c_1，c_2>0，使得对于所有4个\leq s \leq c_2 n，r_3（s，n）\geq 2^{c_1 snPDMATHABMO（n/s）}.当s为常数时，它给出了r_3（s，n）的第一个超指数下界，回答了Erdos和Hajnal在1972年提出的一个公开问题.其次，我们考虑了三色Ramsey数r_3（n，n，n），它是使得一个N元集合的三元组的每一个三色都包含一个大小为n的单色集合的最小N。改进了Erdos和Hajnal的另一个结果，证明了r_3（n，n，n）\geq 2^{n^{c \log n}}.最后，我们在超图Ramsey型问题上取得了一些进展。
2008-08-27 math.CO
Some bounds on the size of Maximum $G$-free sets in graph
对于给定的图$H$，$H$的独立数$α(H)$是$V(H)$的最大独立集的大小。求图的最大独立集是一个NP难问题。独立数的另一个版本被定义为$H$的最大导出森林的大小，并称为$H$的森林数，并表示为$f(H)$。寻找$f(H)$也是一个NP难问题。设$H=(V(H),E(H))$是一个图，$\G$是一个图族，如果存在$V(H)$分解为集合$V_i$，$i-1,2,\ldots,k$，使得对每个$i$有$G\nsubseteq H[V_i]$，对每个$G\in\G$有$G\in\G$，则图$H$有$\G$ -free $k$ -染色. $S\subseteq V(H)$不含$G$，其中由$S$诱导的$H$的子图不含$G$，即它不含$G$的拷贝.寻找$H$的最大子集，使$H[S]$成为无$G$图也是一个很难的问题.本文研究了图的独立数的推广形式。本文的另一个目的是给出图的最大无$G$子集的大小的一些界。
2022-01-12 math.CO
Zero-free regions of partition functions with applications to algorithms and graph limits
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文研究了图分区函数在有限度图上的非零性质，并提出了一种多项式时间近似方案用于计算相关图多项式。
2016-05-26 cs.DS math.CO
Color $2$-switches and neighborhood $λ$-balanced graphs with $k$ colors
Wesleyan University（卫斯理安大学）；Mount St. Mary’s University（圣母山大学）；Providence College（普罗维登斯学院）；Wellesley College（韦尔斯利学院）
本文研究了颜色2切换和k种颜色的λ-平衡图，提出新的图类定义并证明了相关平衡数结果。
2026-03-05 math.CO
Bounds for DP color function and canonical labelings
本文研究了DP色函数的界与覆盖中的规范标号问题，获得了n顶点2-连通图DP色函数的紧上界，并探讨了色多项式等式成立与规范标号存在性之间的关系。
2024-04-25 math.CO
Irreducible Markov Chains on spaces of graphs with fixed degree-color sequences
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）
本文研究了一种彩色扩展的简单切换马尔可夫链，用于采样具有固定度色序列的图集。通过证明简单颜色保持切换可连接该空间，为测试块划分网络数据统计模型拟合提供了不可约马尔可夫链的基础。
2026-04-23 cs.DM math.AC math.CO
On multichromatic numbers of widely colorable graphs
如果没有长度为$2s-1$的走线连接相同颜色的顶点，则着色称为$s$ -wide.一个图是$s$ -广泛可染的$t$颜色当且仅当它允许一个同态到泛图$W(s,t)$。Tardif观察到这些图的$r^{\rm th}$多色数$χ_r(W(s,t))$的值至少为$t+2(r-1)$，并且等式对$r=s=2$成立。他问，对$r=s=3$是否也存在平等。我们表明，$χ_s(W(s,t))=t+2(s-1)$的所有$s$，从而回答Tardif的问题。我们观察到，对于大的$r$（相对于$s$和$t$固定），我们不能有平等和$s$固定和$t$走向无穷大的分数色数$W(s,t)$也趋于无穷大。后者是Tardif关于广义Mycielski图的分数色数的另一个结果的简单推论。
2021-02-05 math.CO
