Pure pairs. V. Excluding some long subdivision
图$G$中的纯对是$V(G)$的不相交子集的对$A,B$，使得$A$是$B$的完全或反完全。Jacob Fox证明了对于所有的$ε>0$，存在一个具有$n$顶点的可比图$G$，其中$n$很大，其中没有纯对$A,B$与$|A|,|B|\ge εn$。他还证明了对于所有的$c>0$存在$ε>0$，使得对于每一个具有$n>1$顶点的可比图$G$，存在一个具有$|A|,|B|\ge εn^{1-c}$的纯对$A,B$;并证明了这同样适用于每一个完美图$G$。我们证明这个猜想，并加强它在几个方面。特别地，我们证明了，对于所有的$c>0$，和所有的$\ell_1, \ell_2\ge 4c^{-1}+9$，存在$ε>0$，使得，如果$G$是一个图与$n>1$顶点和没有洞的长度正好$\ell_1$和没有反洞的长度正好$\ell_2$，那么有一个纯对$A,B$在$G$与$|A|\ge εn$和$|B|\ge εn^{1-c}$。这是进一步加强，取代排除洞排除一些长的细分一般图。
2022-10-09 math.CO
Excluding induced subdivisions of the bull and related graphs
对于任何图$H$，设${\rm Forb}^*(H)$是不具有$H$的诱导细分的图类。在[A. D. Scott，Induced trees in graphs of large色数，{ \em Journal of图论}，24：297- 311，1997]中阐明，对于每个图$H$，存在函数$f_H:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$，使得对于每个图$G \in {\rm Forb}^*(H)$，$χ(G) \leq f_H(ω(G))$。我们证明了这个猜想的几个图$H$，即爪（有下垂边的三角形），公牛（具有两个顶点不相交的悬垂边的三角形），以及我们称之为“项链”的东西，即，通过选择匹配使得匹配的任何边都不与路径的端点相关联而从路径获得的图，并且对于匹配的每个边，添加与该边的端点相邻的顶点。
2013-09-05 math.CO
Excluding a large theta graph
θ图，记为$θ_{a,b,c}$，是一个阶为$a+b+c-1$的图，由一对顶点和它们之间的三条独立路径组成，长度为$a$、$b$和$c$。我们提供了一个完整的表征图，不包含一个大的$θ_{a,b,c}$作为拓扑未成年人。更具体地说，我们描述了结构的$θ_{1,2,t}$ -，$θ_{2,2,t}$ -，$θ_{1,t,t}$ -，$θ_{2,t,t}$ -，和$θ_{t,t,t}$ -自由图，其中$t$是大的。主要结果是对大$t$的无$θ_{t,t,t}$图的一个刻画. $3$ -连通$θ_{t,t,t}$ -自由图是由$3$ -求和图构成的，这些图没有到某些平面图的长路. $2$ -连通的无$θ_{t,t,t}$图也可以用类似的方法通过2-和3-和来构造.这一结果意味着一个著名的定理罗伯逊和Chakravarti的图，没有一个键包含三个指定的边缘。
2016-09-05 math.CO
Excluding hooks and their complements
著名的Erdos-Hajnal猜想指出，对于每个$n$ -顶点无向图$H$，存在$\eps(H)>0$使得每个不包含$H$作为诱导子图的图$G$包含大小至少为$n^{\eps(H)}$的团或独立集。该猜想的一个较弱的版本指出，多项式大小的集团/独立集现象发生，如果一个排除$H$和它的补充$H^{\compl}$。我们证明了较弱的猜想成立，如果$H$是任何道路的悬垂边在其第三个顶点，从而我们给了一个新的无限族的图猜想成立。
2015-08-05 math.CO
Excluding an apex-forest or a fan as quickly as possible
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Carleton University（卡尔顿大学）
该研究证明了排除顶点森林或扇形作为子图的图的分层路径宽度和树深度的最优界，并改进了相关结果的上界。
2026-10-20 cs.DM math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions III. Three-path-configurations and logarithmic treewidth
一个θ是一个图，它由两个不相邻的邻顶点和三条内部不相交的路径组成，每条路径的长度至少为2。对于图族$\mathcal{H}$，如果$G$的诱导子图中没有一个同构于$\mathcal{H}$的成员，则称图$G$是$\mathcal{H}$ -free的.本文证明了Sintiari和Trotignon的一个猜想：存在一个绝对常数$c$，使得每一个（theta，triangle）-free图$G$至多有树宽$c\log (|V(G)|)$ . Sintiari和Trotignon的一个构造表明，这个界是渐近最好的，并且（theta，triangle）-free图包括第一个已知的具有任意大但对数树宽的遗传类图。我们的主要结果实际上是上述猜想的推广，即对于除所谓的三路构型以及固定完全图之外的每个图$G$，树宽在$|V(G)|$中至多是对数的。因此，稳定集、顶点覆盖、控制集和着色等NP难问题都可以在不含三路构型和固定完全图的图中使用多项式时间算法求解。
2022-09-07 math.CO
Quickly excluding an apex-forest
本文证明了排除apex-forest作为minor的图的layered pathwidth上界，改进了前人结果，并提供了关于rooted minor、treedepth和treewidth的结构性工具及Erdős-Pósa性质的讨论。
2025-04-04 cs.DM math.CO
Excluding a ladder
阶梯是一个$2 \times k$网格图。图类$\mathcal{C}$什么时候排除一些梯子作为子图？我们证明了这种情况的充分必要条件是$\mathcal{C}$中的所有图$G$都有一个有界的顶点着色，使得对于$G$的每个$2$连通子图$H$，都有一种颜色在$H$中只出现一次.这种类型的顶点着色是中心着色概念的放松，其中对于$G$的每个连通子图$H$，必须有一种颜色在$H$中只出现一次。$G$的中心着色中的最小颜色数是$G$的树深度，并且已知具有有界树深度的图的类恰好是排除作为子图的固定路径的那些，或者等价地，作为子图的那些。在这个意义上，排除固定梯子作为子图的图的结构类似于没有长路径的图的结构。另一个相似之处如下：很容易观察到，每个具有两条长度为$k$的顶点不相交路径的连通图都有一条长度为$k+1$的路径。我们发现，每一个$3$连通图，其中包含作为一个未成年人的工会足够多的顶点不相交的副本的$2 \times k$网格有一个$2 \times (k+1)$网格未成年人。我们的结构结果有应用偏序集维数。我们证明了偏序集的覆盖图排除一个固定的梯子作为一个小有界的维数。这是一个新的一步的目标，了解哪些图是不可避免的，作为小的覆盖图的偏序集具有大的维数。
2021-04-06 cs.DM math.CO
Excluding a Ladder as an Induced Minor in Graphs Without Induced Stars
本研究证明排除k-梯子图作为诱导子式的K_{1,d}-自由图类有有界树独立数，并基于该方法改进了多项已有图论结果，还拓展了K_{1,d}-自由图中的诱导Erdős-Pósa定理适用范围。
2025-09-04 cs.DM math.CO
Excluding a Forest Induced Minor
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学校、克洛德·贝尔纳里昂大学）；Département d’Informatique, Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学信息学系）
本文提出了诱导极小定理的诱导版本，研究了K_{t,t}-子图自由的H-诱导极小无向图的路径宽度有界条件，揭示了H属于特定森林类的特征。
2025-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
Dimension of posets with planar cover graphs excluding two long incomparable chains
40多年前，人们就知道存在具有任意大维数的平面覆盖图的偏序集。最近，Streib和Trotter证明了这样的偏序集必须有大的高度。事实上，所有已知的这种偏序集的构造都有两个大的不相交链，其中一个链中的所有点都不能与另一个链中的所有点相比较。Gutowski和Krawczyk认为这个特性是必要的。更正式地说，他们证明了对于每个$k\geq 1$，都有一个常数$d$，使得如果$P$是一个具有平面覆盖图的偏序集，并且$P$不包括$\mathbf{k}+\mathbf{k}$，则$\dim(P)\leq d$。我们对他们的猜测做出了肯定的回答。我们还讨论了通过放宽覆盖图是平面图的条件来推广结果的可能性。
2018-12-19 cs.DM math.CO
Planar graphs have bounded nonrepetitive chromatic number
一个图的着色是“非重复”的，如果对于偶数阶的每条路径，路径的前半部分的颜色序列不同于后半部分的颜色序列。我们证明了可平面图具有非重复染色，且颜色数有界，从而证明了Alon，Grytczuk，Haluszczak和Riordan（2002）的一个猜想.我们还概括了这一结果的图有界欧拉属，图不包括一个固定的未成年人，图不包括一个固定的拓扑未成年人。
2022-01-20 cs.DM math.CO
Tree-alpha and excluding finitely many graphs
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文证明了由有限个排除诱导子图定义的图类具有有界树-α当且仅当它是（tw,ω）有界。该结论解决了两个猜想，包括排除完全二分图、森林及其组件每个最多有三个叶子的图，以及此类森林的线图。
2026-05-02 math.CO
Better 3-coloring algorithms: excluding a triangle and a seven vertex path
本文提出一种针对$\{P_7,C_3\}$-free图的列表3-着色算法，复杂度优于现有方法；并证明当$t \leq 7$时该类问题的极小障碍有限，从而推出多项式时间证书算法。
2020-01-21 cs.DM math.CO
Pure pairs. VI. Excluding an ordered tree
图$G$中的纯对是一对不相交的顶点集$(Z_1,Z_2)$，使得$Z_1$中的每个顶点都与$Z_2$中的每个顶点相邻，或者在$Z_1$和$Z_2$之间没有边。最近，我们与Maria Chudnovsky一起证明了，对于每一个森林$F$，每一个至少有两个顶点的图$G$不包含$F$或其补图作为导出子图，都有一个纯对$(Z_1,Z_2)$，其中$|Z_1|,|Z_2|$在$|G|$中是线性的。在这里，我们调查我们可以说纯对在{ \em有序}图$G$，当我们排除了有序森林$F$和它的补充作为诱导子图。福克斯表明，不需要有一个线性纯对，但帕奇和托蒙表明，如果$F$是一个单调的道路，然后有一个纯对的大小$c|G|/\log |G|$。我们推广到所有的有序森林，在一个稍差的界限的成本：我们证明，对于每一个有序森林$F$，每一个有序图$G$至少有两个顶点，不包含$F$或其补充作为一个诱导子图有一个纯对大小$|G|^{1-o(1)}$。
2021-05-21 math.CO
Excluding a line from gammoids
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文证明不含 $U_{2,\ell+2}$-子式的有限简单秩-$r$ gammoid 至多有 $\ell(r-1)+1$ 个元素，回答了 Boretsky 和 Walsh 的问题，且界是紧的。
2026-09-21 math.CO
Asymptotic structure. III. Excluding a fat tree
University of Oxford（牛津大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明了粗图论版本的Robertson-Seymour定理：对于每个有限树H和每个c，存在k,L,C使得不含H作为c-肥子式的图可以(L,C)-拟等距到线宽至多为k的图；反之亦然。
2026-09-29 math.CO math.MG
Low-Congestion Shortcuts for Graphs Excluding Dense Minors
本文证明了任何直径为$D$的$n$ -节点图$G$都允许具有拥塞$O(δD \log n)$和膨胀$O(δD)$的捷径，其中$δ$是$G$的任何子图的最大边密度.我们的证明是简单的，基本的，建设性的-具有$\tildeΘ(δD)$轮分布式构造算法。我们的结果与$\tilde{O}(1)$因子紧密相关，推广、简化、统一和加强了已有的结果.例如，对于不包括固定子图的图，即，对于具有常数$δ$的图，基于依赖于Robertson-Seymour图结构定理的非常技术性的证明，仅知道$\tilde{O}(D^2)$界。我们的研究结果的一个直接后果是，许多图形的家庭，包括任何未成年人排除的，有接近最佳的$\tildeΘ(D)$轮分布式算法的许多基本的通信原语和优化问题，包括最小生成树，最小切割，最短路径近似。
2020-08-07 cs.DC cs.DS math.CO
On an induced version of Menger's theorem
Institute for Basic Science（基础科学研究所）；McGill University（麦吉尔大学）
本文证明了导出Menger定理，即在有界最大度或排除拓扑子式的图中，存在两两不相邻的路径，并在次三次情形下给出更优界及两条路径的紧致结果。
2023-09-14 math.CO
Blow-up structure of graphs excluding a tree or an apex-tree as a minor
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Université Côte d’Azur, CNRS, Inria, I3S（蔚蓝海岸大学、法国国家科学研究中心、法国国家信息与自动化研究所、I3S）
本文证明了排除树或顶点树作为矿的图的爆炸结构定理，改进了现有结果并提供了更优的界。
2026-03-17 cs.DM math.CO
Induced subgraphs and path decompositions
图$H$是图$G$的诱导子图，如果通过删除顶点可以从图$G$得到与图$H$同构的图.最近，人们对理解大树宽图的不可避免的诱导子图产生了极大的兴趣。受这项工作的启发，我们考虑了类似的问题的路径宽度：什么是不可避免的诱导子图的大路径宽度的图？虽然解决这个问题的一般设置看起来具有挑战性，我们证明了稀疏图的各种结果。特别地，我们证明了每个具有有界最大度和足够大的路宽的图包含一个大的完全二叉树的一个剖分或一个大的完全二叉树的一个剖分的线图作为一个诱导子图。同样地，我们证明了每个图除了一个固定的子图，并具有足够大的路径宽度包含一个大的完全二叉树的一个细分或一个大的完全二叉树的一个细分的线图作为一个诱导子图。最后，我们给出了由有限集禁止诱导子图定义的遗传类具有有界路宽的一个刻画。
2022-06-30 math.CO
Basis Number of Graphs Excluding Minors
Institute for Basic Science（基础科学研究所）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文研究了排除固定小图H的图的基数问题，证明了此类图的基数有界，并通过结合现有结果将上界改进为多项式形式。
2026-02-12 cs.DM math.CO
Excluding a Planar Matching Minor in Bipartite Graphs
匹配子式是子式的一种特殊化，适合于研究具有完美匹配的图。匹配子图的概念被用来对二部图进行结构描述，在此基础上，McCuaig等人在1999年给出了Little的一个结果.本文将Robertson和Seymour的图子级数的基本思想推广到具有完美匹配的二部图的设置.我们介绍了一个版本的Erdos-Posa属性匹配未成年人，并找到这个属性和平面性之间的直接联系。由此得到一类具有完美匹配的二部图具有有界完美匹配宽度当且仅当它不包含一个平面匹配子图。我们还提出了算法二部图的有界完美匹配宽度的匹配版本的不相交路径问题，匹配未成年人的包容性，并计算完美匹配的数量。从结构上得到了判定二部图G是否含有固定平面图G有匹配子图和计算排除固定可平面图作为匹配子图的二部图的完美匹配数都是多项式时间可解的.
2021-06-01 cs.DM math.CO
On regular 2-path Hamiltonian graphs
本文研究2-路哈密顿图相关问题，刻画了说明2k界紧性的一类图，并证明排除该类图后，满足顶点数条件的2-连通、3-连通k-正则图在G\V(P)连通时存在含指定2-路的哈密顿圈。
2023-11-01 math.CO
Towards Esperet's Conjecture: Polynomial $χ$-Bounds for Structured Graph Classes
University of Mazandaran（马赞德兰大学）
本文研究了结构图类的色数界，证明了特定图类在排除某些子图时色数具有多项式或线性界。
2025-12-09 math.CO
Induced Forest Minor Theorem for Graphs Without an Induced Star
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文研究图的路径独立数，证明排除诱导森林子式和诱导星图的图类具有有界路径独立数，部分解决猜想，并推广至树独立数，从而为相关图类上的最大权独立集等问题提供多项式时间算法。
2026-09-10 cs.DM math.CO
Some sufficient conditions for path-factor uniform graphs
对于一个连通图集$\mathcal{H}$，如果$\mathcal{H}$的每个分支同构于$\mathcal{H}$的一个元素，则称$G$的一个生成子图$H$为$G$的一个$\mathcal{H}$ -因子.一个图$G$称为$\mathcal{H}$ -因子一致图，如果对于$G$的任意两条边$e_1$和$e_2$，$G$有一个$\mathcal{H}$ -因子覆盖$e_1$而不包含$e_2$ .设$\mathcal{H}$中的每个分支都是至少有$d$顶点的路径，其中$d\geq2$是整数。则$\mathcal{H}$ -因子和$\mathcal{H}$ -因子一致图分别称为$P_{\geq d}$ -因子和$P_{\geq d}$ -因子一致图。在本文中，我们验证了（\romannumeral 1）2-边连通图$G$是$P_{\geq3}$ -因子一致图，如果$δ(G)>\frac{α(G)+4}{2}$ ;（\romannumeral 2）一个$n$阶的$n\geq5k+3-\frac{3}{5γ-1}$-连通图$G$是一个$P_{\geq3}$ -因子一致图，如果对于$G$的任意独立集$A$，$|N_G(A)|>γ(n-3k-2)+k+2$有$|A|=\lfloorγ(2k+1)\rfloor$，其中$k$是正整数，$γ$是具有$\frac{1}{3}\leqγ\leq1$的实…
2022-04-21 math.CO
Bounding the distance among longest paths in a connected graph
很容易看出，在一个连通图中，任何两条最长的路都有一个公共顶点。当k>=7时，Skupien在[7]中得到了一个连通图，其中某些k条最长路没有公共点，但每k-1条最长路都有公共点.连通图中的3条最长路是否有公共顶点，以及4、5、6条最长路是否有公共顶点，这一点还不清楚.在[5]中，作者给出了连通图中3条最长路之间距离的一个上界.在本文中，我们给出了一个类似的上界之间的距离4最长的道路和k最长的道路，在一般情况下。
2018-05-03 math.CO
Long $A$-$B$-paths have the edge-Erd\H os-Pósa property
对于固定整数$\ell$，如果路径的长度至少为$\ell$，则路径是长的。本文证明了对所有整数$k$和$\ell$，存在一个数$f(k,\ell)$使得对每个图$G$和顶点集$A,B$，图$G$要么包含$k$边不相交的长$A$-$B$-路，要么包含一个大小为$|F|\leq f(k,\ell)$的边集$F$满足每个长$A$-$B$-路，这是Montejano和Neumann-Lara（1984）定理的边类比.对于长$A$ -路和长$\mathcal{S}$ -路，我们也证明了类似的结果.
2019-03-19 math.CO
Longest Paths in Circular Arc Graphs
正如Rautenbach和Sereni（arXiv：1302.5503）所观察到的那样，Balister等人的定理证明存在差距（圆弧图中的最长路径，Combin.可能吧计算：13，No. 3，311-317（2004）），其指出连通圆弧图中所有最长路径的交集是非空的。在本文中，我们缩小了这一差距。
2013-12-11 math.CO
Maximum Independent Set when excluding an induced minor: $K_1 + tK_2$ and $tC_3 \uplus C_4$
Univ Lyon, CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂大学、法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、克莱贝尔·贝尔纳·里昂第一大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文为排除特定诱导极小图 $K_1 + tK_2$ 和 $tC_3 \uplus C_4$ 的情况，分别给出了多项式和亚多项式时间算法，扩展了相关经典结果。
2025-12-31 cs.DM cs.DS math.CO
On Vertex Rankings of Graphs and its Relatives
一个图的顶点排序是给图的顶点分配秩（或颜色），以这种方式，任何连接两个相等秩的顶点的简单路径必须包含一个更高秩的顶点。在本文中，我们研究了这个概念的放松，其中上述要求应该只适用于一些固定的$l$的有界长度$l$的道路。例如，案例$l=2$已经表现出与正确着色完全不同的行为。我们证明了树、可平面图、不含固定子图和退化图等图族所需的最小秩数的上界和下界。
2016-09-20 cs.DM math.CO
Maxima of the Q-index: graphs without long paths
本文给出了无给定阶路图的无号拉普拉斯算子的最大特征值q（G）的紧上界。我们的证明的主要成分是一个稳定性的结果，它自己的利益，关于图的最小程度大，没有长路径。这一结果推广了Ali和Staton以前的工作。
2013-08-20 math.CO
On the intersection of two longest paths in $k$-connected graphs
本文证明了$k$连通图中每对最长路至少相交于$(8k-n+2)/5$顶点。我们还证明了，在一个4-连通图中，每对最长路至少相交于四个顶点。这证实了Hippchen关于$k$ -连通图当$k\leq 4$或$k\geq (n-2)/3$ .
2020-08-05 math.CO
Minimal graph in which the intersection of two longest paths is not a separator
本文证明了对于一个具有$n\le 10$个顶点的连通单图$G$，以及$G$中的两条最长路$C$和$D$，顶点集$V(C)\cap V(D)$的交是一个分离子.这表明，以前用$n=11$找到的图，其中两条最长路径的顶点集$V(C)\cap V(D)$的交集的补是连通的，是最小的。
2021-05-25 math.CO
Any Three Longest Paths In A Connected Graph Has A Common Vertex
本文解决了1995年英国组合数学会议提出的问题，证明了连通图中任意三条最长路径必有一个公共顶点。
2024-05-06 math.CO
A New Approach Towards a Conjecture on Intersecting Three Longest Paths
1966年，T. Gallai问是否每一个连通图有一个顶点，出现在所有最长的路径。从那时起，这一问题就引起了人们的广泛关注，并在这方面做了大量的工作。这一领域的一个重要的开放性问题是问在一个连通图中是否有任意三条最长路包含一个公共顶点。据确认，对这一问题的回答是肯定的。本文针对连通图中最长路径之间的距离提出了一种新的方法，并沿着这一思想对猜想做出了实质性的进展。
2015-07-27 math.CO
Intersecting longest paths in chordal graphs
我们考虑弦图中与每条最长路径相交所需的最小顶点集的大小。这样的集合被称为最长路径断面。证明了若$ω(G)$是弦图$G$的团数，则存在至多$4\lceil\frac{ω(G)}{5}\rceil$阶的断面.我们还考虑了类似的问题，最长的周期，并表明，如果$G$是一个2-连通弦图，然后有一个横截相交的所有最长的周期的顺序至多$2\lceil\frac{ω(G)}{3}\rceil$。
2020-12-14 math.CO
Note on Long Paths in Eulerian Digraphs
欧拉有向图中的长路和长圈是近年来研究的热点。在这个简短的说明中，我们展示了如何使用从Escherim，Larcher，Martinsson，Noever（2021）的方法来寻找长度为$d/(\log d+1)$的路径在平均度为$d$的欧拉有向图中，改进了最近的结果$Ω(d^{1/2+1/40})$。我们的结果是最佳的，最多一个对数因子。
2021-10-19 math.CO
Quickly excluding a non-planar graph
Robertson和Seymour的图的子图系列中的一个基石定理是每个没有子图同构于固定图$H$的图$G$具有一定的结构。然后，可以利用这种结构来推断深远的后果。确切的说法需要一些解释，但大致上它说，存在整数$k,n$只依赖于$H$，使得$0<k<n$和对于$G$的每个$n\times n$网格子$J$，图$G$具有一个$k$ -近似嵌入在表面$Σ$中，该表面$Σ$不嵌入$H$，使得$J$的实质部分嵌入在$Σ$中。这里，$k$ -近嵌入意味着在删除最多$k$顶点之后，可以在没有交叉的情况下在$Σ$中绘制图形，除了非平面的局部区域，其中交叉是允许的，但是这些区域中的最多$k$通过四个或更多个顶点附接到图形的其余部分，并且在这些顶点内，图形以不同的方式被约束，再次取决于参数$k$。到目前为止，原始的也是唯一的证明是相当长的，并且使用了在Graph Minors系列中开发的许多结果。我们给出了一个证明，只使用我们以前的文件[一个新的证明平壁定理，{ \it J.~组合。理论系列B \bf 129}（2018），158- 203]和研究生教科书的结果。我们的证明是建设性的，并产生一个多项式时间的算法来构建这样的结构。我们也给出了明确的常数的结构定理，而原来的证明只保证存在这样的常数。
2021-01-02 cs.DS math.CO
Longest Path and Cycle Transversals in Chordal Graphs
本文研究弦图中最长路径与最长圈横截集的大小上界，证明连通弦图的最长路径横截集为 O(log²n)，2-连通弦图的最长圈横截集为 O(log n)，并给出由叶度界定的构造。
2024-12-30 math.CO
Long induced paths in expanders
本文证明了具有充分强谱扩张的有界度正则图包含线性长度的导出路径，这是扩张图中的首个此类结果，并在更广泛的稀疏图中推广了该结论。
2024-10-21 math.CO
Bi-traceable graphs, the intersection of three longest paths and Hippchen's conjecture
设$P,Q$是简单图中的最长路。我们分析了$P\cup Q\setminus (V(P)\cap V(Q))$的组件之间的可能的连接，并介绍了一个双可追踪图的概念。我们使用的结果为所有可能的配置的交点时，$\#V(P)\cap V(Q)\le 5$为了证明，如果三个最长的路径$P,Q,R$的交集是空的，然后$\#(V(P)\cap V(Q))\ge 6$。证明了Hippchen关于$k\le 6$的猜想：如果图$G$对于$k\le 6$是$k$ -连通的，且$P$和$Q$是$G$中的最长路，则有$\#(V(P)\cap V(Q))\ge 6$ .
2021-05-25 math.CO
Connected Hypergraphs without long Berge paths
本文推广了Balister，GyIgnri，Lehel和Schelp关于超图的一个结果.本文确定了无$k$ -Berge-路的具有最大超边数的$n$ -顶点，$r$ -均匀连通超图的唯一极值结构，其中$n \geq N_{k,r}$，$k\geq 2r+13>17$ .
2021-04-28 math.CO
Nonempty intersection of longest paths in $2K_2$-free graphs
1966年，Gallai提出了一个问题：在一个连通图中，是否所有的最长路都有一个公共顶点。反例表明，这是不正确的一般。然而，Gallai的问题对于某些著名的连通图类是肯定的，例如分裂图、区间图、圆弧图、外平面图和串-平行图。一个图是$2K_2$ -free的，如果它不包含两个独立的边作为诱导子图.本文证明了在非空无$2K_2$图中，每个最大度的顶点是所有最长路的公共点。我们的结果意味着在一个非空的$2K_2$ -free图中所有的最长路都有一个非空的交集。特别地，当分裂图是$2K_2$ -free图时，给出了分裂图的结果的一个新的证明.
2016-11-18 math.CO
A note on long powers of paths in tournaments
$k$顶点上的路径的正方形是有向路径$x_1\ldots x_k$，其中对于每个$i\in \{1,\ldots, k-1\}$，$x_i$指向$x_{i+2}$。最近，Yuster证明了$n$顶点上的任何竞赛图都包含一个长度至少为$n^{0.295}$的路径的平方。在这篇短文中，我们改进了这个界。更精确地说，我们证明了，对于每个$\varepsilon>0$，存在$c_{\varepsilon}>0$，使得任何在$n$顶点上的竞赛图至少在$c_{\varepsilon}n^{1-\varepsilon}$顶点上包含一个路径的平方。
2020-10-06 math.CO
On Relative Length of Long Paths and Cycles in Graphs
令$G$是$n$顶点上的图，$p$是最长路径的阶，$κ$是$G$的连通性。1989年，Bauer，Broersma Li和Veldman证明了：如果$G$是一个2-连通图，且对所有独立顶点的三元组$x,y,z$都有$d(x)+d(y)+d(z)\ge n+κ$，则$G$是哈密尔顿图。在本文中，我们改进了这一结果，降低了下界$n+κ$的$p+κ$。
2014-07-30 math.CO
Long directed paths in Eulerian digraphs
Bollobás和Scott的一个古老的猜想断言，每个平均度为$d$的欧拉有向图都包含一个长度至少为$Ω(d)$的有向圈。最有名的下界为这个问题是$Ω(d^{1/2})$黄，马，Shapira，Sudakov和Yuster。他们问这个估计是否可以改善至少有向路径，而不是循环，以及是否可以找到一个长路径从任何顶点开始，如果主机有向图是连接的。在本文中，我们打破了$\sqrt{d}$障碍，展示了如何找到一个道路的长度$Ω(d^{1/2+1/40})$从任何顶点的连通欧拉有向图。
2021-01-27 math.CO
Minimum degree of 3-graphs without long linear paths
图论中的一个著名定理指出，在$n$顶点和最小度至少为$d$的每个图$G$包含长度至少为$d$的路，并且如果$G$是连通的并且$n\ge 2d+1$，则$G$包含长度至少为$2d$的路（Dirac，1952）。本文将Dirac的结果推广到超图。给出了3-图的最小度的渐近下界，并证明了该下界是紧的。
2019-03-11 math.CO
Long paths and cycles in subgraphs of the cube
令$Q_n$表示具有顶点集$\{0,1\}^n$的$n$维立方体的图，其中如果两个顶点恰好在一个坐标上不同，则两个顶点相邻。设$G$是$Q_n$的一个子图，其平均度至少为$d$ .我们能保证在$G$中找到多长的路径？本文的目的是证明$G$一定包含一条指数长的路，事实上，我们证明了如果$G$的最小度至少为$d$，那么$G$一定包含一条长度为$2^d-1$的路.请注意，这个界限是紧的，如$Q_n$的$d$维子立方体所示。我们还得到了稍强的结果，$G$必须包含一个周期的长度至少为$2^d$，并证明了类似的结果，为其他的“产品型”图。
2015-03-20 math.CO
Long heterochromatic paths in heterochromatic triangle free graphs
在本文中，所考虑的图总是边着色的。本文研究了无异色三角形图的长异色路。考虑了两类图，一类是具有Gallai染色的完全图，即，一类是无异色三角形的完全图，另一类是有$k$ -好着色的无异色三角形的图，即，最小颜色度至少为$k$。对于异色无三角形图$K_n$，我们得到，对于每个顶点$v\in V(K_n)$，$K_n$有一个异色$v$ -路的长度至少$d^c(v)$ ;而对于异色无三角形图$G$，我们证明，如果，对于任何顶点$v\in V(G)$，$d^c(v)\geq k\geq 6$，那么$G$的异色路的长度至少$\frac{3k}{4}$。
2008-04-29 math.CO
Long rainbow path in properly edge-colored complete graphs
设$G$是边着色图. $G$的彩虹（异色或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。设顶点$v$的颜色度是在关联到$v$的边上使用的不同颜色的数量，并将其表示为$d^c(v)$。证明了若$G$的每个顶点$v$都有$d^c(v)\geq k$，则$G$有一条长度至少为$\min\{\lceil\frac{2k+1}{3}\rceil,k-1\}$的彩虹路.本文只考虑完全图$K_n$的适当边着色，并改进了最长彩虹路长度的下界，证明了若$n\geq 20$，必有一条长度不小于$\displaystyle \frac{3}{4}n-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{39}{11}}-\frac{11}{16}$的彩虹路.
2015-03-16 math.CO
Long Lattice Paths with No Three Collinear Vertices
该研究针对Z^d中步长为标准基向量且顶点无共线三点的路，证明其长度上确界的双重对数下界为(2/5)d减去常数项，拓展了格路相关理论。
2026-08-11 math.CO
Long paths and cycles passing through specified vertices under the average degree condition
设$G$是一个具有$k\geq 2$的$k$ -连通图.本文首先证明了：对于$G$中的两个不同顶点$x$和$z$，它包含一条通过其任意$k-2$ {specified}顶点的路径，该路径的长度至少为除$x$和$z$之外的顶点的平均度.利用这个结果，我们证明了：如果$G$有$n$顶点和$m$边，则它包含一个长度至少为$2m/(n-1)$的圈通过它的任何$k-1$指定的顶点.我们的结果推广了范关于长路存在性的一个定理和Erdös和Gallai关于平均度条件下长圈存在性的一个经典定理。
2011-10-02 math.CO
