从gammoids中排除一条线
Excluding a line from gammoids
- School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
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AI总结：
本文证明不含 $U_{2,\ell+2}$-子式的有限简单秩-$r$ gammoid 至多有 $\ell(r-1)+1$ 个元素，回答了 Boretsky 和 Walsh 的问题，且界是紧的。
AI中文摘要：
对于所有正整数 $\ell$ 和 $r$，我们证明了一个不含 $U_{2,\ell+2}$-子式的有限简单秩为 $r$ 的 gammoid 至多有 $\ell(r-1)+1$ 个元素。这给出了 Boretsky 和 Walsh [European J. Combin. 137 (2026), 104419] 的问题 7.2 的肯定回答，适用于 gammoids 和横截拟阵。该界对每个 $\ell$ 和 $r$ 都是紧的。关键估计是：对于每个有限简单 gammoid $M$，其长线上的 $|L|-2$ 之和至多为 $|E(M)|-r(M)$。
英文摘要：
For all positive integers $\ell$ and $r$, we prove that a finite simple rank-$r$ gammoid with no $U_{2,\ell+2}$-minor has at most $\ell(r-1)+1$ elements. This gives an affirmative answer to Problem~7.2 of Boretsky and Walsh [European J. Combin.\ 137 (2026), 104419], for both gammoids and transversal matroids. The bound is sharp for every $\ell$ and $r$. The key estimate is that, for every finite simple gammoid $M$, the sum of $|L|-2$ over its long lines is at most $|E(M)|-r(M)$.
