On minimal models of projective Hyperkaehler manifolds
Antonio Rapagnetta
射影Hyperkaehler流形的任何极小模型都是射影Hyperkaehler流形。因此，k3上不允许辛分解的层的模空间对于超凯勒流形不是双有理的。
Any minimal model of a projective Hyperkaehler manifold is a projective Hyperkaehler manifold. As a consequence, moduli spaces of sheaves on a k3 that don't admit a symplectic resolution are not birational to Hyperkaehler manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Pairwise incident planes and hyperkaehler four-folds
我们解决以下问题：什么是极大有限族的成对入射平面在复射影空间的基数？人们很容易证明平面的跨度是5维或6维。直到射影有一个这样的家庭跨越一个6维射影空间-这是一个基本的结果。在5维射影空间中，成对入射平面的极大有限族是相当神秘的：它们与某些特殊的（EPW）六次超曲面相联系，这些超曲面具有非平凡的双重覆盖，一般是超凯勒4重。我们证明了这样一个集合的基数不能超过20。我们还表明，存在这样的家庭的基数16 -事实上，我们猜想，16是最大的。
Projective bundles over hyperkaehler manifolds and stability of Fourier-Mukai transform
论文因错误而撤回（由数学AG/0604303取代）。命题11.4是假的，第12节是假的，并且主语句仅对具有$c_1(B)$ SU（2）-不变量的丛$B$是真的。
Picard number of the generic fiber of an abelian fibered hyperkaehler manifold
我们将证明射影空间上阿贝尔纤维超凯勒流形的一般纤维在概型意义下的Picard数总是1。然后，我们给出了一些应用的Mordell-Weil群。特别地，通过变形O 'Grady的10维流形，我们构造了一个Mordell-Weil秩为20的交换纤维超kähler流形，这是所有已知流形中的最大可能。
Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on hyperkaehler manifolds
证明了不可约射影超Kaehler流形$X$中非奇异因子$D$上的特征叶理$F$不可能是代数的，除非$F$的叶是有理曲线或$X$是曲面.更一般地说，我们证明了，如果$X$是一个任意射影流形携带一个全纯辛$2$ -形式，和$D$和$F$是如上所述，那么$F$可以代数与非理性叶只有当，直到有限的代数覆盖，$X$是产品的辛射影流形$Y$与辛曲面和$D$是拉回的曲线在这个表面上。Hwang和Viehweg证明了当$D$是一般型时，除非$X$是曲面，否则$F$不可能是代数的.我们的结果的主要新成分是观察到的典范丛的（先验，orbifold的;但orbifold结构实际上是平凡的）基地的家庭的叶子必须扭转。这意味着，特别是，isotriviality的家庭的叶子的$F$。我们还在Kähler的情况下做了一些评论，并在最后一节中将其应用于拉格朗日猜想。
Compact tori associated to hyperkaehler manifolds of Kummer type
设X是Kummer型超Kaehler流形.我们研究了由X的3阶上同调构造的4维中间Jacobian J^3（X），其动机是理解与X相关联的Kuga-Satake环面。证明了H^2（X）的Hodge结构在H^2（J^3（X））中的嵌入.因此，如果X是具有极化L的射影，则（X，L）的射影久贺-佐竹环面与J^3（X）的四次幂同构。通过对X的上同调环的研究，我们发现在H^3（X）的射影化中存在一个自然光滑二次曲面Q（X），且Q（X）的极大线性子空间的簇的两个不可约分支中的一个是自然选择的.设Q^{+}（X）是所选的不可约分支，则它是S^{+}（X）的射影化中的光滑二次曲面，S ^{+}（X）是自旋H^3（X）的两个旋量表示之一，其中H^3（X）具有零轨迹为Q（X）的二次型。高斯-马宁平行输运确定了H^{2，1}（Y）的投影集，其中Y是X的变形，具有Q^{+}（X）的线性截面的开子集。这相当于根据H. S.在H^2（X）上。一个简单的推论是Mongardi给出了单值作用于H^2（X）的（必要）条件的一个结果的新证明。最后，我们证明了如果X是投射的，则J^3（X）是Weil型的阿贝尔四重。
Non-algebraic Hyperkaehler manifolds
研究了2n维紧超Kaehler流形的代数维数a（X）.我们证明了a（X）至多为n，除非X是射影的。如果代数维数为0且Kodaira维数为0的紧致Kaehler流形有一个极小模型，则只有值0，n和2n是可能的。在中维情况下，代数约化是全纯拉格朗日。如果n = 2，那么-没有任何假设-代数维数只取值0，2和4。本文给出了“广义超Kaehler”流形的结构结果，并研究了Nef线丛。
Cohomology of compact hyperkaehler manifolds and its applications
本文包含了alg-geom/9501001的结果的压缩，省略了大部分证明。我们证明了全纯辛流形的连通模空间的每两点都可以与所谓的“扭量线”--全纯嵌入到模空间的对应于超kähler结构的投影线相连接.这对紧致超凯勒流形和此类流形上的全纯向量丛的几何有着有趣的意义。
Model theory and Kaehler geometry
我们调查和解释最近的一些工作在交叉的模型论和双纯几何（分类紧凑复流形）。其中包括紧致Kaehler流形的多排序结构$\mathcal{C}$的本质饱和性，超Kaehler流形在描述$\mathcal{C}$中的强极小集中的重要作用，以及Campana关于超Kaehler族的平凡性及其与非多维性猜想的联系。
HyperKähler Manifolds and Birational Transformations
本文将极小模型规划方法与传统的辛几何方法相结合，研究了超Kaehler流形的双有理几何。
Relatively Minimal Quasihomogeneous Projective 3-Folds
本文在自同构群不可解的假设下，对相对极小的三维拟齐次复射影簇进行了分类。通过相对极小，我们理解簇X至多具有Q-阶乘终端奇点，并且允许X到Y的极值收缩，其中dim Y <3。
Ulrich bundles on smooth projective varieties of minimal degree
本文在极小次光滑射影簇上对任意秩的Ulrich向量丛进行了分类。在此过程中，我们证明了有理涡卷上相对微分层的稳定性。
Minimal model program for projective morphisms between complex analytic spaces
本文讨论复解析空间的射影态射的极小模型规划。粗略地说，我们证明了Birkar-Cascini-Hacon-\textsuperscript{c} Kernan的结果对复解析空间之间的射影态射成立.我们也讨论了一些相关的话题。
Quasi-Projective Moduli for Polarized klt Good Minimal Models
本文利用Gabber定理证明局部稳定族的直接像弱正性，进而应用Viehweg放大准则，展示极化klt极小模型模空间的正则化是准射影的。
On the Existence of Good Minimal Models for Kähler Varieties with Projective Albanese Map
本文研究了凯勒变种在阿尔巴因映射为投影时的良好最小模型存在性，基于KLT对和一般纤维的良好最小模型。
The minimal projective bundle dimension and toric $2$-Fano manifolds
受环面$2$ -Fano流形分类问题的启发，我们引入了光滑射影环面簇的一个新的不变量--最小射影丛维数.这个不变量$m(X)\in\{1, \dots,\dim(X)\}$捕获了$X$上有理曲线的支配族的最小度，或者等价地，捕获了$X$的扇形的中心对称本原关系的最小长度。利用$m(X)\geq \dim(X)-2$对光滑射影环面簇进行了分类，并证明了在利用$m(X)\in\{1, \dim(X)-2,\dim(X)-1,\dim(X)\}$的光滑射影环面簇中，射影空间是唯一的$2$-Fano流形.
Minimal algebraic space filling curves on the product of projective lines
本文研究了射影线积上最小次数的光滑代数空间填充曲线，证明了存在大量例子并扩展了Homma和Kim的结果。
The minimal exponent of cones over smooth complete intersection projective varieties
本文计算了光滑射影超曲面横截完全交上仿射锥的最小指数，在加权齐次情形下证明上界，并利用强因子分解消解推导下界。
Actions of Linear Algebraic Groups on Projective Manifolds and Minimal Model Program
设X是n维光滑射影簇，单李群G在其上正则地非平凡地作用.则X不是极小模型程序意义下的极小。本文在X的维数相对于G的维数较小的假设下，利用极小模型程序给出了X的一个分类.更精确地说，我们对所有n小于或等于（r_G +1）的X进行分类，其中r_G是G的极大抛物子群的最小余维数（例如r_{SL(m)} = m-1）。我们还考虑了当G = SL（3）且X是光滑的4-fold时G作用于其上的开轨的情形。
Algorithms And Programming On The Minimal Combinations Of Weights Of Projective Hypersurfaces
设计了一种计算欧几里得空间中有限集的极小组合的算法，并将该算法应用于研究超曲面的矩映射和几何不变稳定性。该算法重复了三次曲线的经典例子。该算法还适用于三次曲面。对于给定的仿射独立单项式子集，如果存在Morse层的唯一不稳定点，则该算法可以输出该不稳定点。并对单项式的仿射依赖集进行了讨论。
Varieties of minimal rational tangents on double covers of projective space
设$ϕ: X \to \mathbb P^n$是一个沿光滑超曲面分支的双复盖，超曲面的次数为$2m, 2 \leq m \leq n-1$ .研究了在$X$的一般点$x$上的极小有理切线$\mathcal C_x \subset \mathbb P T_x(X)$的簇.我们描述了$\mathcal C_x$的齐次理想，并证明了当$x$在$X$的一般点上变化时，$\mathcal C_x$的投射同构型以极大的方式变化.我们对$\mathbb C_x$的理想的描述暗示了覆盖态射$ϕ$的某种刚性性质。作为这个刚性的应用，我们证明了任何有限态射之间的这种双重覆盖$m=n-1$必须是同构。证明了$X$上极小有理曲线的Liouville型扩张性质成立.
Morphisms of Projective Varieties from the viewpoint of Minimal Model Theory
在这堂课的讲稿中，我们以一种足够独立的方式，介绍我们在极小模型理论领域的贡献和兴趣。我们从双正则和双有理的角度研究Fano-Mori空间。对于前者，我们回顾并发展了Kawamata的基点自由技术和Mori的一些变形论点。对于后者，我们依靠Sarkisov和#-极小模型程序。在写这些笔记时，我们想给出我们对这一研究领域的观点。我们并不打算对整个问题进行论述。这些笔记收集了我们分别在Wykno（Pl）（1999），Recife（Br）（2000）和Ferrara（It）（2000）举办的三个小型课程中提出的一些主题。
Projective surfaces with many nodes
本文推广了I.多尔加切夫Mendes Lopes和R.帕迪尼证明了光滑的射影复曲面$X$（不一定是极小的）包含$h^{1,1}(X)-1$不相交的$(-2)$ -曲线当且仅当$X$同构于极小有理直纹曲面${\bf F}_2$或${\bf P}^2$或伪射影平面.我们还描述了光滑的射影复曲面$X$与$h^{1,1}(X)-2$不相交的$(-2)$ -曲线。
Minimal free resolutions of sheaves on the projective plane and the stable base locus decomposition of their moduli spaces
本文的目的是将极小自由分解引入到具有特征标$ξ$（记为$M(ξ)$）的平面上相干层的模空间的双有理几何的研究中.我们表明，它是可能的，以计算有效锥$\mathrm{Eff}(M(ξ))$和猜想Bridgeland不稳定的对象和最小的自由分解之间的完整关系，以恢复相关的Bridgeland不稳定的对象从最小的自由分辨率。此外，我们还证明了最小的自由分解，与向量丛的插值配对，产生可移动的锥的希尔伯特计划的$n$点的平面$\mathbb{P}^{2[n]}$上，对于某些值的$n$。我们提出了一个程序，计算充分稳定的基轨迹分解$\mathbb{P}^{2[n]}$的基础上自由分解和插值。我们表明，该方案产生正确的答案为小值的$n$。
Vanishing of weight one syzygies of projective varieties
本文探究射影簇上权1 Koszul上同调的消失条件，结合(M_q)与(N_p)性质推导相关推论，深化了对极小自由消解的认知。
Minimal models and boundedness of stable varieties
我们考虑一类稳定光滑的n维变种，稳定曲线的类似物。假设n+1维上的极小模型规划，我们证明了这类规划是有界的。从Kollar构造投射模空间的方法得到一个推论：n+1维的极小模型规划蕴含着对于稳定光滑的n重映射存在一个投射粗模空间.
The Log Minimal Model Program for horospherical varieties via moment polytopes
在以前的工作中，我们描述了极小模型计划的家庭$\Qbb$ -Gorenstein投影horosphere品种，通过研究某些连续变化的时刻多面体的极化horosphere品种。在这里，我们总结了以前的工作的结果，我们解释如何推广它们，以描述日志极小模型程序对$(X,\D)$时，$X$是一个投射horosphere品种。
On the non-vanishing conjecture and existence of log minimal models
证明了射影对数典型对的非零猜想和对数极小模型猜想可归结为光滑射影簇的非零猜想，使得边界因子为零.
Isotrivial VMRT-structures of complete intersection type
拟齐次射影流形上的极小有理切线簇族是等平凡的。反之，具有极小有理切线的等平凡簇的射影流形是拟齐次的吗？我们将证明这在一般情况下是不正确的，即使投射流形的皮卡数为1。事实上，一个最小有理切线簇的等平凡族在微分几何意义下不一定是局部平坦的。这就引出了一个问题：对于哪一个射影簇Z，最小有理切线簇的Z-等平凡性蕴涵局部平坦性。我们的主要结果验证了这一点，在许多情况下Z之间的完整的交叉。
Chern class inequalities for non-uniruled projective varieties
众所周知，投影极小模型满足著名的Miyaoka-Yau不等式。在本文中，我们将这些不等式推广到所有光滑、射影和非正则簇的集合。
$G$-birational rigidity of the projective plane
给定曲面$S$和$S$的自同构的有限群$G$，考虑与$G$的作用可交换的双有理映射$S\dashrightarrow S'$。这导致了$G$ -极小簇的概念。一个自然的问题出现了：对于一个固定群$G$，在两个不同的$G$ -极小曲面之间是否存在一个双有理$G$ -映射？如果不存在这样的映射，则称曲面是$G$ -有理刚性的。本文确定了有限子群$G\subset\mbox{PGL}_3\left(\mathbb{C}\right)$的射影平面的$G$ -刚性.
K3 carpets on minimal rational surfaces and their smoothings
本文研究极小有理曲面$Y$上的K3重结构。结果表明，在由$\mathbb P^1$参数化的$Y = \mathbb{F}_e$上存在无穷多个非分裂的抽象K3二重结构，其中有可数个是投射的.对于$Y = \mathbb{P}^2$，存在唯一的非分裂抽象K3双结构，它是非投射的（参见Drézet在arXiv：2004.04921中的文章）。我们证明了所有的射影K3地毯都可以被平滑为光滑的K3曲面。证明的一个副产品表明，除非$Y$被嵌入为各种最小程度，否则在$Y$上有无限多个嵌入的K3地毯结构。此外，我们发现任何嵌入的投影K3地毯$\mathbb F_e$与$e<3$作为一个平坦的极限退化到$2:1$态射的嵌入。其余的不做，但我们仍然证明了平滑的结果。进一步证明了由完备线性级数嵌入的投影K3地毯所对应的Hilbert点是光滑点的充要条件是$\mathbb{F}_e$.相反，对应于支持在$\mathbb{P}^2$上并被完全线性级数嵌入的投射K3地毯的Hilbert点总是光滑的。Bangere、Gallego和González最近的一篇论文中的结果表明，本文中的结果没有高维类似物。
Miyaoka-Yau inequality for minimal projective manifolds of general type
本文利用Kähler-里奇流证明了一般型极小射影$n$ -流形的Miyaoka-Yau不等式.
On projective threefolds of general type with p_g=2
通过研究一般型极小射影3-折叠的6-标准映射的双合理性，利用$p_g = 2$对极小射影3-折叠进行分类.
Explicit minimal embedded resolutions of divisors on models of the projective line
设$K$是一个离散值域，其整数环$\mathcal{O}_K$具有完美剩余域.设$K(x)$为单变量有理函数域。设$\mathbb{P}^1_{\mathcal{O}_K}$是$\mathbb{P}^1_K$在不可约特殊纤维上的标准光滑模型，其坐标为$x$.设$f(x) \in \mathcal{O}_K[x]$是一个一元不可约多项式，其零因子$\text{div}_0(f)$对应于$\mathbb{P}^1_{\mathcal{O}_K}$ .利用Mac Lane的理论写出$K(x)$上对应于$\mathcal{Y}$特殊纤维不可约分量的离散赋值，给出了对$(\mathbb{P}^1_{\mathcal{O}_K}, \text{div}_0(f))$的最小嵌入分辨率$\mathcal{Y}$的显式描述.
Global minimal models for endomorphisms of projective space
证明了定义在主理想整环的分式域上的射影空间的有理态射$ϕ:{\mathbb P}^N\rightarrow{\mathbb P}^N$的全局极小模型的存在性。
Characterization of projective varieties beyond varieties of minimal degree and del Pezzo varieties
本文研究了超越最简度品种和del Pezzo品种的投影品种特征化，给出了二次链中分层Betti数的上界，并扩展了关于二次曲面线性syzygies的特征化结果。
Uniqueness of minimal morphisms of logarithmic schemes
给出了对数格式间态射的模空间在基本格式间态射的模空间下是拟有限的一个充分条件。这意味着从对数曲线到目标对数格式的稳定映射的模空间在稳定映射的模空间上是有限的，因此当目标是投射的时，它具有投射的粗模空间。
Stability conditions and birational geometry of projective surfaces
我们表明，极小模型程序在任何光滑的射影表面上实现的Bridgeland稳定对象的模空间的变化的导出范畴的相干层。
Existence of flips and minimal models for 3-folds in char p
本文证明了特征$p>5$的代数闭域$k$上的$3$ -折叠对$(X,B)$的下列结果：$\Q$ -阶乘dlt对$(X,B)$存在对数翻转，具有伪有效$K_X+B$的射影klt对$(X,B)$存在对数极小模型，当$K_X+B$是大$\Q$ -因子时，射影klt对$(X,B)$的对数正则环$R(K_X+B)$是逆生成的;对于nef和big $\Q$，半满性成立;如果$D-(K_X+B)$是nef和big，并且$(X,B)$是投射klt，则除数$D$成立; $\Q$ -对于lc对$(X,B)$，存在阶乘dlt模型;对于klt对$(X,B)$，存在终端模型;对于lc阈值，ACC成立;等等。
On the rank index of projective curves of almost minimal degree
本文研究了几乎最小次数投影曲线的秩指数，证明其最大为4，当投影中心为坐标点时恰好为3，并探讨了投影中心位于特定条件下的情况。
On the projective normality of double coverings over a rational surface
本文研究了极小曲面$X$的投影正规性，它是有理曲面$X$上的分歧双重覆盖，具有$\dim|-K_S|\ge 1$。特别是Horikawa曲面，一般类型的极小曲面与$K^2_X=2p_g(X)-4$，是这种类型，直到奇点的分解。令$π$为从$X$到$S$的覆盖映射。证明了$\mathbb{Z}_2$ -不变伴随因子$K_X+rπ^*A$是正规生成的，其中整数$r\ge 3$和$A$是$S$上的一个充分因子.
The minimal volume of log surfaces of general type with positive geometric genus
本文确定了一般型对数典范曲面在给定正几何亏格下的最小体积，并由此导出对数典范三维簇与稳定曲面的有效诺特型不等式以及一般型光滑射影曲面辛自同构群阶的一致上界。
On the geometry of the Hilbert schemes of points in the projective plane
我们在代数曲面上的点的希尔伯特格式中对最小度曲线进行了分类。当代数曲面为射影平面时，确定了这些Hilbert格式的Nef锥和翻转结构。
On log minimal models and Zariski decompositions II
我们继续我们的研究之间的关系日志极小模型和各种类型的Zagliki分解。设$(X,B)$是一个射影对数典型对。我们将证明，如果$K_X+B$具有带有nef正部分的Nakayama-Zariski分解，或者$K_X+B$很大并且具有Fujita或CKM Zariski分解，则$(X,B)$具有log极小模型。在此过程中，我们引入极化对$(X,B+P)$，其中$(X,B)$是一个常见的投影对和$P$是nef，并研究这种对的双有理几何。
Subcanonical points on projective curves and triply periodic minimal surfaces in the Euclidean space
如果除子$(2g-2)p$是标准的，则亏格为$g>3$的光滑复射影曲线$C$上的点$p$是次标准的.在尖曲线的模空间中，次正则轨迹由上述的对$(C,p)$描述，并且它由维度$2g-1$的三个不可约分量组成。除超椭圆分量$\mathcal{G}_g^{hyp}$外，其它分量$\mathcal{G}_g^{odd}$和$\mathcal{G}_g^{even}$依赖于$h^0(C,(g-1)p)$的奇偶性，它们的通点分别满足$h^0(C,(g-1)p)=1$和$2$.本文研究了$(C,p)$对的亚位点，使得$h^0(C,(g-1)p)$至少是$r+1$，并且它与$r+1$具有相同的奇偶性。特别是，我们提供了一个下界的尺寸，我们证明了其锋利的$r<4$。作为应用，我们进一步给出了三维欧几里得空间中三重周期极小曲面的存在性结果，完善了第二作者的一个结果.
Existence of minimal models for varieties of log general type
证明了光滑投射簇的标准环是双生成的。
Automorphism groups of positive entropy on minimal projective varieties
本文确定了具有两个独立可交换的正拓扑熵自同构的极小射影三重图的几何结构，并将这一结果推广到高维光滑极小对（X，G）.作为结果，我们给出了一个有效的下界的第一动力学度的这些自同构的X拟合的“边界情况”。
On the number and boundedness of log minimal models of general type
我们证明了一般类型的n维光滑复射影簇的标记极小模型的个数可用其体积有界，并且当n=3时，也可用其贝蒂数有界.对于n维射影klt对（X，D），当$K_X+D$较大时，我们更一般地证明了它的弱对数正则模型的个数可以根据D的系数和$K_X+D$的体积有界.我们进一步证明了所有n维射影klt对（X，D），使得$K_X+D$是大的且nef是固定体积的，并且使得D的系数包含在给定的DCC集中，形成一个有界族.由此可见，在任何维数上，一般类型的有界体积的极小模型构成一个有界族。
Seshadri constants and surfaces of minimal degree
在“Seshadri纤维化的代数曲面”[arXiv：0709.2592v1]，我们表明，如果重点Seshadri常数丰富的线丛上光滑的射影曲面在非常一般的点满足一定的不等式，然后该表面被包围的曲线计算这些常数。在这里，我们刻画了极化曲面的边界情况，其Seshadri常数在一般点满足相等而不是不等式，并且不被Seshadri曲线包围。证明了这些曲面是射影平面和极小次曲面。
Notes on cylinders in smooth projective surfaces
研究完美域上光滑极小几何有理曲面中柱面的存在条件，并证明柱面的存在性在光滑射影曲面的双有理映射下保持不变。
Transcendental Minimal Model Program for Projective Varieties
本文证明了若(X,B+β)是射影广义klt对且B+β大，则(X,B+β)具有良好的极小模型或Mori纤维空间。特别地，这证明了Tossati关于射影流形的超越基点自由猜想。
Base manifolds for fibrations of projective irreducible symplectic manifolds
给定一个维数为$2n$的射影不可约辛流形$M$，一个射影流形$X$和一个具有正维连通纤维的满射全纯映射$f:M \to X$，我们证明了$X$双全纯于维数为$n$的射影空间.证明是通过利用两个几何结构在一般点的$X$：所产生的仿射结构的拉格朗日纤维$f$的作用变量和结构定义的各种最小有理切线的Fano流形$X$。
Nef vector bundles on a projective space with first Chern class 3 and second Chern class 8
通过给出特征为零的代数闭域上第一类Chern空间为3、第二类Chern空间为8的射影空间上的nef向量丛关于线丛的强例外集的最小分解来描述它们.
Betti numbers in three dimensional minimal model program
设$X$是光滑三重射影。证明了在极小模型规划过程中，第三个贝蒂数的方差可以有界于某个只依赖于$X$的Picard数的整数.
Kähler-Ricci Flow and the Minimal Model Program for Projective Varieties
在本说明中，我们建议表明，凯勒-里奇流适合自然的上下文中的极小模型计划的投影品种。特别是，我们表明，流检测，在有限时间内，收缩定理的任何极值射线，我们分析的奇异性的度量的情况下，divisorial收缩品种的一般类型。在具有一般类型的平滑极小模型的情况下（即，典范丛是nef且大的），我们证明了无穷时间存在性并分析了奇异性。
Pseudo Kobayashi hyperbolicity of base spaces of families of minimal projective manifolds with maximal variation
本文证明了极大变差极小射影流形光滑族的拟射影底空间$V$是伪Kobayashi双曲的，即$V$是Kobayashi模一个真子簇$Z\subsetneq V$的双曲.特别地，$V$是代数退化的，也就是说，每一个非常数整曲线$f:\mathbb{C}\to V$具有位于该真子簇$Z\subsetneq V$中的像$f(\mathbb{C})$。作为一个直接结果，我们证明了极小射影流形的模空间的Brody双曲性，回答了Viehweg-Zuo在2003年提出的一个问题。
Varieties of minimal degree in weighted projective space
研究加权射影空间中极小度数品种的性质，定义加权1-通用矩阵并探讨其极小度数特征及加权N_p性质，提出关于一般加权三维流形的猜想。
On the next-to-minimal weight of projective Reed-Muller codes
本文给出了投影Reed-Muller码的次极小权值。我们用$q \geq 3$来研究$\mathbb{F}_q$，因为在IEEE-IT 62（11）p. 6300-6303（2016）中，我们已经确定了二进制投影Reed-Muller码的次最小权重的完整值。在LOC。前引书这里，我们还找到了具有次小权重的码字的例子，其零集合不在超平面排列中。
Minimal free resolutions of projective subschemes of small degree
讨论了不可约投射子概型X的最小自由分解。如果X也是约化的，我们关注它的度等于2加上余维的情况。若余维数为2，则描述了所有可能的分次贝蒂数的集合.总的来说，只有部分结果。然后讨论了线性子空间上的Cohen-Macaulay结构。对于这种二阶曲线，Notari，Spreafico和作者已经获得了分类。总的来说，分类问题似乎相当困难。Vatne已经证明，这种分类的结构，其程度是最多为3，相当于哈茨霍恩猜想光滑簇的余维2。
On the minimal model program for projective varieties with pseudo-effective tangent sheaf
本文发展正规射影簇上伪有效层的理论，并通过运行极小模型计划，证明具有伪有效切层的射影klt簇可分解为Fano簇和Q-阿贝尔簇。
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