A simplicial model for infinity properads
Philip Hackney, Marcy Robertson, Donald Yau
我们展示了模型结构的简单丰富的（有色）道具类诱导模型结构的简单丰富的（有色）propriads类。类似的结果也适用于双算符。
We show how the model structure on the category of simplicially-enriched (colored) props induces a model structure on the category of simplicially-enriched (colored) properads. A similar result holds for dioperads.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Infinity Properads and Infinity Wheeled Properads
推广了Joyal-Lurie $\infty$ -范畴和Cisinski-Moerdijk-Weiss $\infty$ -运算，建立了$\infty$ -运算的理论.每一个连通无轮图都生成一个适格图，从而产生适格图的图形范畴$Γ$。使用coface映射和propreadic神经函子的图形类似物，$\infty$ -propread被定义为满足某些内角扩张性质的图形集范畴$Set^{Γ^{op}}$中的对象。对称么半群闭结构是在图集范畴和真序范畴中构造的。严格的$\infty$ -propreads，其中内角有独特的填料，给出了两个可供选择的表征，一个在Segal地图的图形类似物方面，和其他的propreadic神经的图像。一个$\infty$ -proprad的基本proprad的特点是在$1$维元素的同伦类。用全连通图代替连通无轮图，建立了$\infty$ -有轮的平行图理论.
On rectification and enrichment of infinity properads
我们发展了一个理论的无穷propreads丰富的一般对称monoidal无穷范畴。这些被定义为预层，满足Segal条件和Rezk完备性条件，在某些类别的图。特别是，我们引入了一个新的类别的水平图，这也使我们能够给一个丰富的无限propriad代数的框架。我们表明，人们可以改变的类别的图，而不改变的基本理论。我们还表明，无穷propriads不能总是纠正，表明第二作者和罗伯逊的猜想是不太可能举行。这与无穷操作数的情况形成鲜明对比，我们通过研究无穷双操作数和无穷输出真值的情况来进一步划分这些情况。在这两种情况下，我们提供了一个纠正定理，说每个上同伦对象是等价的严格。
Simplicial properadic homotopy
本文解决了properad上同伦代数无穷态射的同伦性质，通过建立单纯富化构造同伦范畴实现局部化，并刻画了无穷态射类型，将operad的已知性质扩展至properad层面。
Lecture notes on infinity-properads
这些是2016年6月在澳大利亚数学研究所MATRIX的一个项目中给出的关于更高propriads的三个讲座的笔记。第一堂课涵盖了操作的情况下，并提供了一个简要介绍Moerdijk-Weiss理论的树状集。第二个讲座扩展了讨论propriads和我们的工作与唐纳德丘的图形集。这两个讲座以由内圆号填充条件给出的更高（pr）操作数模型结束。最后，在最后一节课中，我们探索了图范畴的一些性质，并利用它们给出了一个更高正确数的Segal型模型。
On factorizations of graphical maps
我们研究的范畴管理无限（轮式）proplads。图范畴，这已经被称为广义Reedy，实际上是一个Eilenberg-Zilber范畴。对轮式图范畴的定义做一个小小的改动，就可以证明它是一个广义的Reedy范畴。最后，我们提出了模型结构的Segal的自行车和Segal轮式自行车。
Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections
在适当的monoidal模型范畴上，我们构造了增广运算集上代数范畴的Dwyer-Kan模型范畴结构。作为例子，我们得到了德怀尔-坎模型的类别结构上的类别丰富的轮式道具，轮式propriads，轮式操作，等等。这一结果扩展了已知的模型范畴结构的范畴上的operads，propriads和props丰富的单纯集和其他monoidal模型类别。我们还表明，我们的Dwyer-Kan模型类别结构是行为良好的同时变化的基础monoidal模型类别和增强的操作集合。
Simplicial nerve of an A-infinity category
在本文中，我们引入一个函子，称为单纯神经的A-无限范畴，定义在范畴的（小）A-无限范畴的值在单纯集。证明了任意A-无穷范畴的单纯神经是无穷范畴。这种构造在函数上推广了J.Lurie在《高等代数》中提出的微分分次范畴的神经构造。证明了如果微分分次范畴在A. I. Bondal-M.Kapranov意义下是预三角化的，则它的神经在J. Lurie意义下是稳定无穷范畴.
On an enhancement of the category of shifted L-infinity algebras
我们构造了一个对称幺半范畴$LIE^{MC}$，它的对象是具有完全下降滤子的移位L-无穷代数。这个范畴的态射是移位L-无穷代数之间的“增强”无穷态射。证明了任何在$LIE^{MC}$上富集的范畴都可以积分为一个其映射空间是Kan复形的单纯范畴.使用增强态射的好处是，我们可以从L-无穷代数的角度看到更多的单纯世界。我们使用这种结构在随后的文件中产生一个单纯模型的$(\infty,1)$范畴，其对象是同伦代数的固定类型。
Algebras over infinity-operads
我们开发了一个概念的代数上的无穷运算值的无穷范畴，这是完全内在的形式主义的树集。它的定义涉及概念的coCartesian纤维化的树状集和扩展卢里的定义coCartesian纤维化的单纯集。我们证明了，对于一个树状集X，在X上的coCartesian纤维化如何拟合在一起，形成一个无限范畴coCart（X）。利用Grothendieck构造的推广，我们证明了coCart（X）等价于与X相关联的单纯运算上的无穷范畴中的代数的无穷范畴.这个等价性可以被限制为给出取值于无限广群（或等价地，取值于空间）的代数与X上的所谓左纤维化的无限范畴之间的等价性。
On the equivalence between Lurie's model and the dendroidal model for infinity-operads
我们比较了两种方法的无穷操作同伦理论。其中之一，理论的树状集，是基于一个扩展的理论单纯集和无穷范畴取代单纯树。另一种是基于Segal范畴Gamma神经上的标记单纯集的同伦理论。在本文中，我们证明，对于没有常数的操作，这两个理论是等价的，在精确的意义上存在一个之字形的奎伦等价的各自的模型类别之间。
Dendroidal sets and simplicial operads
建立了Segal算子同伦理论与单纯算子同伦理论之间的一个Quillen等价关系，由此导出了从单纯算子模型范畴到树状集范畴上无穷算子模型范畴结构的同伦凝聚神经函子是一个右Quillen等价.通过对monoidal单位的切片，给出了Bergner证明的Segal范畴与单纯范畴之间的Quillen等价性，以及A. Joyal和J. Lurie。我们还解释了这个理论如何适用于通常的概念operad（即与一个单一的颜色）的范畴内的空间。
Moduli stacks of algebraic structures and deformation theory
我们将代数结构的单纯模空间的同伦类型与它们的变形复形的上同调联系起来。然后证明了在若干假设下，单子上代数的映射空间在适当的图范畴中形成Toen-Vezzosi同伦代数几何意义下的仿射栈.这包括给定对象（例如上链复形）上代数结构的单纯模空间。当这些代数结构参数化的propriads，切线复合物给出了已知的上同调理论等结构，并有一个相关的障碍理论的无穷小，高阶和正式的变形。该方法是一般的，足以适应更一般的代数结构。
Principal infinity-bundles - Presentations
我们讨论了两个方面的介绍理论的主要无穷大束在一个无穷大拓扑，介绍了在[NSSa]，在类别的单纯（预）层。首先证明了在凝聚中心C上，对于C-非循环的单纯群的预层G，C上无限拓扑中任意对象上的G-主无限丛都可以用系数在G中的超Cech上同调来分类.然后，我们表明，在一个网站C有足够的点，在无限拓扑的主无限丛表示层拓扑中的普通单纯丛，满足主stalkwise弱等价。最后，我们讨论了这些演示文稿的离散网站（在离散无穷广群）和光滑网站（在光滑无穷广群，推广李群群和可微堆栈）的明确细节。在配套文章[NSSc]中，我们使用这些演示文稿来构建（扭曲）主无穷大束的例子类，并讨论各种应用。
Another approach to the Kan-Quillen model structure
通过对Kan的ex-无穷函子下单纯集到其像的比较映射的分析，得到了它是弱同伦等价的一个新的组合证明.此外，我们得到一个介绍，它作为一个强的止痛剂的扩展。从这个描述中，我们能够快速地推出一些基本的事实ex-infinity，从而提供了一个新的构造的Kan-Quillen模型结构的单纯集，它避免了使用拓扑空间或最小纤维。
Profinite $\infty$-operads
我们表明，一个profinite完成函子（单纯或拓扑）具有良好的同伦性质的操作可以构造为一个左Quillen函子从一个适当的模型范畴的无穷大运算到一定的模型范畴的profinite无穷大运算。该结构是基于精益无穷运算的概念，我们刻画了这些无穷运算弱等价于精益同伦有限性的性质。还讨论了该构造的几个变体，例如单位（或封闭）无穷操作数和无穷范畴的情况。
Feynman Categories
在本文中，我们给出了一个新的基本的，明确的制定业务和关系和对象参数化。这概括和统一了运算及其所有表亲的理论，包括但不限于PROPs，模运算，扭曲（模）运算，propriads，超运算，它们的有色版本，以及运算上的代数和丰富的其他相关结构，如交叉单纯群，增广单纯范畴或FI-模。这种方法的有用之处在于，它允许我们在一个共同的框架下处理所有经典以及更深奥的结构，我们可以同时处理所有情况。许多已知的构造只是成为Kan扩张。在这个共同的框架下，我们还得到了普遍的操作，如那些潜在的Deligne猜想，构造霍普夫代数以及执行决议，（co）酒吧变换和费曼变换，这是与主方程。对于这些应用，我们构建了相关的模型类别结构。这产生了许多新的例子。
On the structure of simplicial categories associated to quasi-categories
从单纯范畴到单纯集的同伦相干神经及其左伴随C对（无穷大，1）-范畴的研究很重要，因为它们提供了一种比较两种同伦理论模型的方法，给出了拟范畴和单纯范畴的模型结构之间的Quillen等价性。函子C也给出了普通范畴（被视为平凡单纯范畴）的一个相关替换。然而，从拟范畴X产生的单纯范畴CX的hom-space并没有被很好地理解。证明了当X是拟范畴时，其单纯范畴的hom-space中的所有2，1-角都是可填充的.出乎意料的是，我们证明了对于任何单纯集X，CX的hom-space是3-costallic的。我们的特点是准范畴的单纯范畴是局部准，找到明确的例子3维角，不能填补在所有其他情况下。最后，我们证明了当X是一个普通范畴的神经时，CX同构于由标准自由单纯分解得到的单纯范畴，从而证明了普通范畴的两个已知的凝聚“单纯加厚”是一致的，而且它的hom-space是2-上骨架的.
A Riemann--Hilbert correspondence for infinity local systems
本文描述了第一作者的$\mathcal{P}_{\mathcal{A}}$ --具有平坦$\Z$ -联络的完美$A^0$ -模范畴的范畴与$M$上的\emph{infinity-local systems}--光滑奇异单纯集的同伦相干表示$\Pinf$的dg-范畴之间的$A_\infty$ -拟等价.我们把这理解为Riemann-Hilbert对应到$\Z$ -联络（在某些圈子里是$\Z$ -分次超联络）的推广。在一个公式中，无穷-局部系统是单纯集$π_{\infty}M$之间的单纯映射和借助于单纯神经和Dold-Kan对上链复形的dg-范畴的重新包装。这个理论的关键使用Igusa的概念更高的holonomy运输的$\Z$ -联系，这是一个衍生的陈的主要思想广义holonomy。
2-Segal objects and algebras in spans
我们定义了一个范畴参数化的Calabi-Yau代数对象在一个无限范畴的跨度。利用这一范畴，我们证明了：（1）C中的2-Segal单纯对象与Span（C）中的代数对象;（2）C中的2-Segal循环对象与Span（C）中的Calabi-Yau代数对象之间的无穷范畴的等价性。
Integrating L-infinity algebras
给定一个n项L-无穷代数L，我们构造一个Kan单纯流形，我们认为它是积分L的“Lie n-群”。这扩展了Getzler数学的工作。AT/0404003。在普通李代数的情形下，我们构造出了相应单连通李群的单分类空间。在Baez和Crans的弦Lie 2-代数的情况下，这恢复了在数学QA/0504123中引入的弦群的模型。
Rectification of enriched infinity-categories
我们证明了一个关于丰富无穷范畴的修正定理：如果V是一个很好的Monoidal模型范畴，我们证明了丰富于V的无穷范畴的同伦理论等价于我们熟悉的严格丰富于V的范畴的同伦理论。例如，丰富于谱或链复形的无穷范畴等价于谱范畴和dg-范畴。一个类似的方法给出了丰富的西格尔范畴的比较结果，这意味着由迭代无穷范畴丰富定义的n-范畴和（无穷，n）-范畴的同伦理论等价于这些对象的更熟悉的版本。在后一种情况下，我们还包括一个直接比较完整的n重西格尔空间。一路上，我们证明了一个比较结果的纤维单纯本地化潜在的独立使用。
E-infinity structure in hyperoctahedral homology
对合代数的超八面体同调是与超八面体交叉单群相关的同调论。它通过等变无限闭路空间的同调性与等变稳定同伦理论相联系。在本文中，我们表明，有一个E-无穷代数结构的单纯模计算超八面体的同源性。我们推导出超八面体同调容许Dyer-Lashof同调运算。此外，有一个庞特里亚金产品，使超八面体同调的结构的结合，分次交换代数。我们也给出了超八面体同调的一个明确的描述。结合这种描述和庞特里亚金产品，我们表明，超八面体的同源性未能保持森田等价。
A simplicial $A_\infty$-operad acting on $R$-resolutions
我们构造了一个A-无穷操作数的组合模型，它单纯地作用于关于环R的单纯集的cobar分解（而不仅仅是它的全空间）。
The diagonal of the Stasheff polytope
利用Stasheff多面体的单纯分解，构造了两个A-无穷代数的张量积上的A-无穷结构.重点是基于单纯Stasheff多胞形构造运算AA-无穷。运算子AA-无穷包含一个余结合对角线，运算子A-无穷是一个通过变形的收缩核，我们将这些构造与Saneblidze-Umble和Markl-Shnider基于Stasheff多面体的Boardman-Vogt三次分解的类似构造进行了比较.
Diffeological Principal Bundles and Principal Infinity Bundles
本文研究微分学空间的∞-层上同调，对比现有Čech上同调概念，并证明微分学主G-丛与主∞-丛范畴神经弱同伦等价，沟通微分学丛理论与高阶拓扑斯理论。
Dendroidal sets as models for homotopy operads
将Joyal的无穷范畴同伦理论推广到树状集范畴，定义了无穷运算同伦理论。本文证明了树状集范畴具有一个模范畴结构，其映射对象是无穷操作数（即树状内Kan复形）。这扩展了无限范畴理论，在这个意义上，单纯集上的Joyal模型范畴结构（其映射对象是无限范畴）可以通过简单地在点上切片而从树状集上的模型范畴结构中恢复出来。
From homotopy operads to infinity-operads
本文的目的是比较，在一个精确的方式，两个概念的操作同伦出现在文献中。也就是说，我们构造了一个从严格酉同伦有色算子范畴到无穷算子范畴的函子。前一个概念，我们使精确，是操作推广的概念的A-无限范畴和后一个概念是由Moerdijk-Weiss定义的，以推广单纯概念的无限范畴的Joyal-Lurie。这个函子在两个方向上扩展了A-无穷范畴的Faonte-Lurie的单纯神经和微分分次算子的Moerdijk-Weiss的同伦相干神经;它也被证明等价于微分分次算子的大神经à la Lurie。我们证明了它满足一些同伦性质的弱等价和纤维化，例如，它是一个右Quillen函子。
Templicial nerve of an A-infinity category
本文针对富集拟范畴理论的发展，构造了Faonte的A∞神经到templicial向量空间的提升，证明其在dg范畴上恢复已知templicial dg神经，且A∞范畴的神经为向量空间中的拟范畴。
Models for cyclic infinity operads
本文在循环树状集与空间上构建了循环拟算畴与完备循环树状 Segal 空间的模型结构，证明其与单纯循环算畴 Quillen 等价，并推广至平面情形以支持 Walde 纲领。
What do homotopy algebras form?
在论文arXiv：1406.1744中，我们构造了一个对称幺半范畴$LIE^{MC}$，它的对象是移位（和过滤）的L-无穷代数.在这里，我们固定一个cooperad $C$，并表明，代数在操作数$Cobar(C)$自然形成一个范畴丰富的$LIE^{MC}$。在arXiv：1406.1744之后，我们把这个$LIE^{MC}$ -丰富范畴“整合”到一个单纯范畴$HoAlg^Δ_C$中，它的映射空间是Kan复形.单纯范畴$HoAlg^Δ_C$给出了$Cobar(C)$ -代数的$(\infty,1)$ -范畴的一个特别好的模型。证明了$HoAlg^Δ_C$的同伦范畴是$Cobar(C)$ -代数范畴和无穷态射关于无穷拟同构的局部化.最后，我们证明了同伦转移定理是Goldman-Millson定理的一个简单推论。
Dwyer-Kan localization revisited
在无限范畴和单纯范畴的背景下，给出了Dwyer-Kan局部化的一个版本.对Dwyer和Kan关于单纯局部化的经典文献中的一些结果进行了重新证明和推广。证明了模型范畴的Quillen对产生DK局部化的伴随对。证明了一类无穷范畴的局部化结果。这，特别是，适用于本地化的对称monoidal无穷范畴，其中一些（部分）的结果。
Rigidification of dendroidal infinity-operads
我们给出了一个明确的描述刚性的$\infty$ -operad作为一个单纯的operad。这种描述是基于树状项链的概念，将Dugger和Spivak的工作从范畴语境扩展到操作语境，尽管使用了不同的框架，将涉及项链的构造与树范畴中映射的标准分解式联系起来。
Left fibrations and homotopy colimits
对小范畴A，证明了从A上的单纯图范畴到A上的神经上的单纯集范畴的同伦余极限函子建立了前一范畴上的投射（或Reedy）模型结构与后一范畴上的协变模型结构之间的左Quillen等价.我们比较这个等价的奎伦等价在相反的方向先前建立的Lurie。从我们的结果中，我们推断出单纯集的范畴等价诱导了相应的上范畴的Quillen等价，配备了协变模型结构。此外，我们表明，版本的奎伦定理A和B的无穷范畴容易遵循。
E-infinity obstruction theory
单纯操作数C上的E-无限结构空间是纤维化塔的极限，因此它的同伦是Bousfield-Kan流苏谱序列的邻接。谱序列开始于（在温和的限制下）由C的同伦群形成的分次右Gamma-模的稳定上同伦;边缘包含C上存在E-无限结构的阻塞理论。这个公式是非常灵活的：应用程序扩展到经典的环谱结构的例子（在参考文献中）motivic同伦理论。
Transferring homotopy commutative algebraic structures
我们证明了Kontsevich和Soibelman的平面树求和公式沿着一个压缩转移C-无穷大结构。将这一结果应用于特征为零的域上的上单交换代数A^*，我们得到了Tot（A^*）上的一个标准有单位的C-无穷大结构，如果A^* 是，则它是有单位的;特别地，我们得到了一个单纯集的上链复形上的一个标准C-无穷大结构。
Simplicial model structures on pro-categories
我们提出一种在 ind-和 pro-范畴上构造单纯模型结构的通用方法，可恢复已知模型并生成新模型，并研究其函子性、Bousfield 局部化及与无穷范畴方法的关联。
Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis
引入并研究了与Grothendieck凝聚子类似的柱面凝聚子的概念，它定义了更灵活的弱无穷广群胚的概念。我们表明，每个这样的圆柱coherator产生一个组合半模型范畴的弱无穷广群，其对象都是不可数的，这是在一个精确的意义上“自由生成的对象”。我们证明了所有这些半模型范畴都是Quillen等价的，并且Quillen等价于空间的模型范畴。给出了产生这种相干子的一般过程，并给出了几个明确的例子：一个是单纯的性质，并允许比较空间的模型范畴。第二个例子可以被描述为赋予“所有可以在弱类型理论中定义的操作”的球形集合的范畴。这第二个概念似乎提供了弱无穷广群胚的定义，它可以在类型论内部定义，并且在经典上等价于同伦类型。最后，一个固定的Grothendieck凝聚子的Grothendieck无穷广群范畴将是一个例子，这种形式主义下一个看似简单的猜想，其有效性表明暗示Grothendieck同伦假设。这个猜想似乎总结了需要在技术层面上证明，以确保格罗滕迪克弱无穷广群理论是良好的行为。
Existence and uniqueness of E-infinity structures on motivic K-theory spectra
我们证明了代数K理论KGL、动机Adams和项ML及其连接覆盖在动机稳定同伦范畴中获得了唯一的E-无穷结构，从而改进了朴素乘法结构。证明结合伽玛同源计算和工作，由于罗宾逊引起动机障碍理论。作为一个应用，我们采用了一个motivic单纯的delooping参数显示的唯一性结果E-无穷大结构的K-理论Nisnevich预层的频谱。
A-infinity Persistence
引入并研究了拓扑空间的同调滤子的A-无穷持久性。这是一个家庭，一个为每个n > 0，同源不变量，提供信息不容易获得的（持久）贝蒂数的给定过滤。这可能有助于检测噪声，不仅在滤波的单纯结构中，而且在A-无穷大结构的较高共对角线被平移的进一步几何性质中。在对Z字形模进行分类的基础上，给出了A-无穷维持久性的一个条码刻画。
A higher homotopic extension of persistent (co)homology
在这篇文章中，我们的目标是显示一个可能有趣的结构的同伦性质出现在持久（共）同源性。假设嵌入在有限维向量空间中的（比方说）单纯集的滤子在由单纯上链的复形给出的dg代数上导出乘法滤子（在我们的设置中这不是一个如此苛刻的假设），我们可以使用T. Kadeishvili得到了滤单纯（或拓扑）集的完全持久上同调上的唯一（直到非典型等价）A_无穷代数结构。然后，我们在所有（广义）条形码（即，所有上同调度）的集合上提供了一个（伪）度量的构造，该集合富含前面所述的A_无穷大代数结构，改进了通常的瓶颈度量，并且该度量也独立于所选择的特定A_无穷大代数结构（在那些彼此等价的结构中）。我们认为，这个距离可能值得一些拓扑数据分析的关注，因为它特别是可以识别不同的链接或折叠模式，如在Borromean环。作为一个旁白，我们给出了一个简单的证明的结果之间的持续同源性和上同源性的条形码结构。这一结果在V. de Silva，D. Morozov和M. Vejdemo-Johansson在一些我们没有假设的限制性假设下进行了研究。
Infinity Structure of Poincare Duality Spaces
证明了在维数为$d$的紧三角化Poincaré对偶空间$X$上的有理单纯链复形$C_\bullet X$是一个具有$\infty$对偶的A $_\infty$余代数.这是循环德利涅猜想的A $_\infty$版本所需的结构。一个推论是上链代数$C^\bullet X$的移位Hochschild上同调$HH^{\bullet+d} (C^\bullet X, C_\bullet X)$具有BV结构，其值在$C_\bullet X$中。这意味着，如果$X$是单连通的，则自由闭路空间的移位同调$H_{\bullet+d}LX$允许BV结构。Dennis Sullivan的附录给出了$\infty$结构的一般局部构造。
Infinity category theory from scratch
我们使用术语“$\infty$ -categories”和“$\infty$ -functors”来表示“$\infty$ -cosmos”中的对象和态射。“拟范畴、Segal范畴、完备Segal空间、自然标记单纯集、迭代完备Segal空间、$θ_n$ -空间以及它们各自的纤维化版本在这个意义上都是$\infty$ -范畴。我们表明，基本的范畴论的$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子可以从一个$\infty$ -宇宙的公理发展;事实上，大部分的工作是内部的一个严格的2-范畴的$\infty$ -范畴，$\infty$ -函子，和自然变换。在准范畴的$\infty$ -宇宙中，我们精确地重新获得了Joyal和Lurie所发展的同一理论，尽管在大多数情况下，我们的定义是2-范畴的而不是组合的，是标准概念的新的化身。在第一讲中，我们定义了一个$\infty$ -宇宙，并引入了它的“同伦2-范畴”，利用形式范畴论定义和研究了$\infty$ -范畴之间的等价和互逆。在第二讲中，我们研究了取值于$\infty$ -范畴的图的（上）极限以及（上）极限与极限之间的关系。在第三讲中，我们引入了逗号$\infty$ -范畴，它们被用来编码（余）极限和伴随性的泛性质，并证明了“模型独立性”结果。在第四讲中，我们介绍了（上）卡氏纤维化，描述了$\infty$ -范畴之间的“模”演算，并利用…
Props in model categories and homotopy invariance of structures
我们证明了任何范畴的道具在对称monoidal模型范畴继承了一个模型结构。我们用一个附录，大约是这篇论文的一半大小，来证明一般情况下的模型范畴公理。我们需要一般性的论证来解决拓扑空间中的props和任意环上的dg-模的情况，但是我们给出了一个技术性较低的证明，它适用于特征为0的环上的单纯集、单纯模和dg-模中的props范畴。将道具的模型结构应用到道具上代数的同伦研究中，证明了与关联道具P上代数A等价的对象X同伦继承了P-代数结构，使得X定义了P-代数同伦范畴中A的模型.在微分分次的情况下，这一结果导致Kadeishvili的A-无穷代数的极小模型的推广。
Derived division functors and mapping spaces
单纯集N^*（Y）的正规上链复形被赋予E_{infinity}代数的结构。更具体地说，我们在前一篇文章中证明了N^*（Y）是Barratt-Eccles操作数上的代数。根据M. Mandell，在合理的完备性假设下，这个代数结构决定了Y的同伦类型。本文构造了一个映射空间Map（X，Y）的模型。为此，我们在E_{infinity}代数的框架下推广了Lannes T函子的形式.确切地说，在Barratt-Eccles算子上的代数范畴中，我们有一个除函子-oslash N_（X），它左伴随于函子Hom_F（N_*（X），-）.证明了相应的左导出函子-oslash^LN_*（X）具有拟同构N^*（Y）oslash^LN_*（X）--> N^* Map（X，Y）.
The enriched Thomason model structure on 2-categories
本文证明富化Thomason模型结构等价于Bergner模型结构，为(无穷,1)-范畴提供新模型，并构造模和幺半群模型结构，且证明同弱等价的非笛卡尔性。
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