On Lattice Coverings by Simplices
Fei Xue, Chuanming Zong
通过对广义差体体积的研究，给出了$n$维单形的格覆盖密度的第一非平凡下界。
By studying the volume of a generalized difference body, this paper presents the first nontrivial lower bound for the lattice covering density by $n$-dimensional simplices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
This paper presents new lower bounds for the lattice covering densities of simplices by studying the Degree-Diameter Problem for abelian Cayley digraphs. In particular, it proves that the density of any lattice covering of a tetrahedron is at least $25/18$ and the density of any lattice covering of a four-dimensional simplex is at least $343/264$.
We explore upper bounds on the covering radius of non-hollow lattice polytopes. In particular, we conjecture a general upper bound of $d/2$ in dimension $d$, achieved by the "standard terminal simplices" and direct sums of them. We prove this conjecture up to dimension three and show it to be equivalent to the conjecture of González-Merino \& Schymura (2017) that the $d$-th covering minimum of the standard terminal $n$-simplex equals $d/2$, for every $n>d$. We also show that these two conjectures would follow from a discrete analog for lattice simplices of Hadwiger's formula bounding the cover…
Dimension-free estimates for covering functionals of simplices and $\ell_p$ balls
本文研究了凸体被2^n个平移覆盖所需的最小缩放因子，证明了单纯形的该因子趋于1/2，给出了交叉多面体的上界，并证明了对于所有ℓ_p球存在一个小于1的通用上界。
Higher-order Godbersen inequality and a characterization of simplices via the face lattice
本文证明了 Godbersen 猜想，即固定正体积凸体与其原点反射的混合体积由单纯形最大化，并建立了高阶 Godbersen 不等式，证实了 Schneider 的猜想。
Coweight lattice $A^*_n$ and lattice simplices
六方晶格的指数$k$子晶格的数量与归一化体积$k$的晶格三角形的数量一样多，直到等距，这可以用orbifolds来解释。在3维中，注意到fcc和bcc晶格的子晶格的数目和晶格四面体的数目似乎都相同。我们给出了余权格$A^*_n$的子格与$n$维格单形之间的一个双射。它解释，证明，并概括了观察到的巧合到任意尺寸。
Lattice Delone simplices with super-exponential volume
本文给出了Delone单形的一个无穷级数的构造，它的相对体积随维数的增加而超指数增长。这极大地改进了先前线性的最佳下界。
Lattice Embedding of Heronian Simplices
一个有理三角形有有理边长和面积;一个有理四面体有有理面和体积;当它的边长是整数时，它是Heronian的，当它的内容是非零时，它是真的。利用复数GCD给出了已知结果的一个变形证明，即任何Heronian三角形都可以嵌入到笛卡尔格Z ^2中，然后证明了对于一个真三角形，这种嵌入是唯一的模格等距;最后，通过四元数GCD将该方法扩展到Z^3中的四面体，其中不再获得唯一性，并且还存在通过这种构造无法获得的嵌入。必要的复杂和四元数数论背景是事先总结。随后的章节涉及附属的实现问题：初始的合理嵌入，规范化约简，对通过GCD产生的嵌入的穷举搜索;并提供了说明性的数值例子。一个反例表明，这种方法在高维空间中一定会失败。最后，其他作者的替代方法进行了总结。
Lattice simplices with a fixed positive number of interior lattice points: A nearly optimal volume bound
给出了具有固定正数内部格点的格单形体积的一个显式上界。该界与几何上的锐上界的区别仅在于维数上的线性因子。这大大改善了Pikhurko自2001年以来的最佳成绩。
On the size of lattice simplices with a single interior lattice point
设$\mathcal{T}^d(1)$是$\real^d$中所有$d$维单形$T$的集合，其顶点为整数，且在$T$内部有一个整数点.从Hensley的一个结果可以看出，直到保持$\mathbb{Z}^d$的仿射变换，$\mathcal{T}^d(1)$是有限的。已知当$d$增长时，单形$T \in \cT^d(1)$的最大体积变得非常大。我们改进和完善的$T \in \mathcal{T}^d(1)$（其中的大小，我们的意思是体积或晶格点的数量）的大小上的界限。它示出，每个$T \in \mathcal{T}^d(1)$可以被分解成一个上升链的面的大小是“不太大”。更确切地说，如果$T \in \mathcal{T}^d(1)$，则存在$T$的面$G_1 \subseteq ... \subseteq G_d=T$，使得对于每个$i \in \{1,...,d\}$，$G_i$是$i$维的，并且$G_i$的大小根据$i$和$d$从上方有界。$G_i$大小的界在$i$中是双指数的。给出的上界在双对数尺度上是渐近紧的。
The seven dimensional perfect Delaunay polytopes and Delaunay simplices
对于$R^n$的格点$L$，如果对于任何$v\in L$，我们有$\Vert v - c\Vert \geq r$，则中心为$c$，半径为$r$的球面$S(c,r)$称为{ \em empty}。则集合$S(c,r)\cap L$是{ \em Delaunay多面体} $P=conv(S(c,r)\cap L)$的顶点集。一个Delaunay多面体称为{ \em完美}，如果任何仿射变换$ϕ$使得$ϕ(P)$是一个Delaunay多面体必然是由一个同素同构构成的空间的等距。完美Delaunay多面体是一种只有当$n=1$或$n\geq 6$存在时才存在的特殊结构，最近在覆盖极大值的研究中也发现了它。在这里，我们给出了一个一般的算法，其枚举依赖于Erdahl锥。我们应用这个算法在7维，使我们能够发现，只有两个完美的Delaunay多面体：$3_{21}$，这是一个Delaunay多面体的根格$\mathsf{E}_7$和Erdahl Rybnikov多面体。然后，我们使用这种分类，以获得所有类型的Delaunay单形在7维的列表，并发现11种类型。
The Flatness theorem states that the maximum lattice width ${\rm Flt}(d)$ of a $d$-dimensional lattice-free convex set is finite. It is the key ingredient for Lenstra's algorithm for integer programming in fixed dimension, and much work has been done to obtain bounds on ${\rm Flt}(d)$. While most results have been concerned with upper bounds, only few techniques are known to obtain lower bounds. In fact, the previously best known lower bound ${\rm Flt}(d) \ge 1.138d$ arises from direct sums of a $3$-dimensional lattice-free simplex. In this work, we establish the lower bound ${\rm Flt}(d) \ge …
Empty simplices of large width
本文研究空单纯形，通过引入分圆单纯形并穷举计算维数10的实例，以及利用特定循环矩阵构造任意维数的方法，首次得到了宽度大于其维数的空单纯形。
Flat simplices and kissing polytopes
本文研究了超立方体中格单纯形的平坦性，并改进了kissing多面体的距离下界。
Local optimality of Zaks-Perles-Wills simplices
1982年，Zaks，Perles和Wills发现了一个d维格单形S_{d,k}，它具有k个内部格点，其体积在k中是线性的，在d维中是双指数的。证明了对于所有\ge 3和\ge 1，单纯形S_{d,k}是具有k个内部格点的所有d维格多面体族P^d（k）中的体积最大化器.为了部分地证实这个猜想，我们可以试着对P^d（k）的一个自然包含S_{d,k}作为成员之一的子族进行验证。目前，人们甚至不知道S_{d,k}在所有具有k个内部格点的d维格单形的族S^d（k）内是否是最优的。有鉴于此，研究更窄的族是有意义的，例如，S^d（k）的一些子族。Zaks，Perles和Wills的单形S_{d,k}有一个在相对内部只有一个格点的刻面。我们证明了S_{d,k}是单形族S \in S^d（k）中的体积极大化子，该单形族具有在其相对内部具有一个格点的小平面。我们还表明，在上述家庭中，体积最大化是唯一的么模变换。
Minkowski Bisectors, Minkowski Cells, and Lattice Coverings
本文介绍并研究了Minkowski平分线、Minkowski胞腔和格覆盖。
On the lattice point covering problem in dimension 2
本文研究二维正多边形的格点覆盖性质。
A note on lattice coverings
本文对一个基本覆盖问题给出了一个有趣的反例。
Minimal Covering Bodies and a Minkowski-Type Criterion for Lattice Coverings
引入最小覆盖体概念，建立三维格覆盖的构造性准则，证明高维空间中最小覆盖体有无穷多种组合类型，并提出闵可夫斯基型几何准则与代数交框架。
Lattice-like Packings and Coverings with Congruent Translation Balls and Cylinders in Sol geometry
本文研究了在Sol空间中，利用等距平移球和圆柱进行类似晶格的包装与覆盖，并确定了相关密度的最优解。
On lattice coverings of Nil space by congruent geodesic balls
Nil几何是8个三维Thurston几何之一，可以从{W. Heisenberg}著名的实矩阵群。本文研究了诣零空间中的{ \it格覆盖}。引入了覆盖密度的概念，给出了覆盖密度的上、下估计，并对最小稠格状测地球覆盖的球排列提出了一个猜想，给出了它的覆盖密度$Δ\approx 1.42900615$ .齐性3-空间在射影3-球面中有统一的解释，在我们的工作中，我们将使用Nil几何的射影模型。
Largest integral simplices with one interior integral point: Solution of Hensley's conjecture and related results
对每一维$d$，只有一个内积分点的$d$维积分单形有界体积.这是汉斯莱首次提出的。明确的体积界限由Hensley、Lagarias和Ziegler、Pikhurko和Averkov确定。在本文中，我们确定了这类单形的精确体积上界，并刻画了体积最大化单形的特征。我们还确定了具有单个内部积分点的积分多胞形的非对称系数的精确上界。这个结果证实了Hensley在1983年提出的一个猜想。此外，对于仅有一个内积分点的整单形，我们给出了它的面的体积、内积分点的重心坐标和整点数的界。此外，我们证明了具有固定内部整点数的整多面体的格直径的一个界。所给出的结果在复曲面几何和整数优化中有应用。
Covering convex bodies by cylinders and lattice points by flats
本文结合Bang（1951）的一个未解决的问题，给出了复盖d维凸体的柱的基体积之和的一个下界，它是由给定的凸体的相应基本测度给出的.作为应用，我们建立了覆盖d维欧几里得空间中给定凸体的所有整数点所需的k维平坦（即k维线性子空间的平移）个数的下界，其中0<k<d.
On lattice coverings by locally anti-blocking bodies and polytopes with few vertices
本文将Rogers关于欧几里得球的格覆盖密度上界n(logₑn)^c推广到反阻塞体、局部反阻塞体及n+2个顶点的n维多胞形等更一般的无对称性凸体类。
Lattice coverings by congruent translation balls using translation-like bisector surfaces in Nil geometry
本文研究了8个齐次Thurston三维几何中的Nil几何.确定了任意两点的类平行平分线曲面的方程。证明了平移三角形的等腰性质不等价于两个三角形的角相等，并且证明了三角不等式一般不适用于平移三角形.给出了一种确定给定{ \it平移四面体}外切平移球的球心和半径的方法。本文进一步研究了诣零空间中具有全等平移球的格状覆盖。我们引入覆盖密度的概念，并利用给定{ \it平移四面体}的外切平移球的半径和体积给出覆盖密度的上估计.求出了平移球覆盖$Δ\approx 1.42783$的最小上界密度。在我们的工作中，我们将使用由E.在\cite{M97}的Molnár。
Local Covering Optimality of Lattices: Leech Lattice versus Root Lattice E8
我们表明，水蛭格给出了一个球覆盖，这是局部最不稠密的格覆盖。我们证明了一个类似的结果是假的根格E8。为此，我们构造了一个不太稠密的覆盖格，其Delone细分与E8的Delone细分具有共同的细化。新的格产生一个球面覆盖，其密度比以前最著名的格A8* 小12%以上。目前，Leech格是第一个也是唯一已知的具有非单纯Delone细分的局部最优格覆盖的例子。我们在此特别回答迪克森在1968年提出的一个问题。通过证明Leech格是刚性的，我们的答案在某种意义上甚至是最强的。
Methods in the Local Theory of Packing and Covering Lattices
本文研究了三个格问题：格填充问题、格覆盖问题和格填充覆盖问题。找到这些问题的最优格的一种方法是枚举所有的多个局部最优格。对于格填充问题，有两个经典的算法可以追溯到Minkowski和Voronoi。对于覆盖和包装覆盖问题，我们提出了新的算法。在这里，我们给一个简短的调查，这些方法。我们报告最近的一些基于计算机的计算，我们能够再现和部分扩展的局部最优格的已知分类。此外，我们发现了新的破纪录的覆盖和包装覆盖格。我们描述了几种方法，并举例说明格是这三个问题之一的局部最优解。
Computational Approaches to Lattice Packing and Covering Problems
我们描述的算法，解决两个经典的问题，在晶格几何：晶格覆盖和同时晶格包装覆盖问题。从理论上讲，我们的算法解决了这两个问题在任何固定的尺寸d的意义上，他们近似的最佳覆盖格和最佳包装覆盖格在任何所需的精度。这两种算法都涉及半定规划，并基于Voronoi的约化理论的正定二次型，它描述了所有可能的Delone三角剖分Z^d。在实践中，我们的实现再现了维度d <= 5中的已知结果，并且特别地解决了这些维度中的两个问题。对于d = 6，我们的计算产生了新的最好的覆盖以及包装覆盖格，这是密切相关的格（E6）*。对于d = 7，8，我们的方法导致新的最佳已知的覆盖格。虽然我们使用数值方法，我们做了一些努力，将数值证据转化为严格的证明。我们提供了严格的误差界，并证明了一些新的格是局部最优的。
The lattice covering density of the regular octahedron
本文证明了正八面体的格覆盖密度为9/8，解决了Dougherty和Faber提出的猜想。
Mixed Minkowski-Covering Inequalities for Convex Bodies and Lattices
本文提出了一个关于原点对称凸体相对于格点的逐次极小与商覆盖半径的精确混合不等式，该不等式在经典覆盖密度下界与Minkowski第二定理下界之间插值。
The complexity of computing the covering radius of a Euclidean lattice
本文证明欧几里得格覆盖半径问题属于多项式谱系第二层完全，并记录了作者首次使用生成式AI进行数学研究的实验。
On the Lattice Packings and Coverings of the Plane with Convex Quadrilaterals
众所周知，三角形的晶格堆积密度和晶格覆盖密度分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$。我们还知道，达到这些密度的晶格都是唯一的。令$δ_{L}(K)$和$\vartheta_{L}(K)$分别表示$K$的晶格填充密度和晶格覆盖密度。本文研究了一类特殊的凸圆盘的格填充和覆盖，这类凸圆盘包括所有的三角形和凸四边形。特别是，我确定的密度$δ_{L}(Q)$和$\vartheta_{L}(Q)$，其中$Q$是一个任意的凸四边形。此外，我还得到了所有达到这些密度的格。最后，我证明了$δ_{L}(Q)\vartheta_{L}(Q)\geq 1$和$\frac{1}{δ_{L}(Q)}+\frac{1}{\vartheta_{L}(Q)}\geq 2$，对于每个凸四边形$Q$。
Covering the plane by rotations of a lattice arrangement of disks
假设我们在平面中的每个晶格点周围放置一个$ε$ -圆盘，然后我们围绕原点旋转这个物体一组$Θ$角度。我们什么时候覆盖整个平面，除了原点的邻域？这就是本文研究的问题。很容易看出，如果$Θ= [0,2π]$，那么我们确实覆盖。如果我们试图用一个小的闭集$Θ$来实现覆盖，这个问题就变得更有趣了。
A non-lattice periodic point set beating the optimal lattice packing-covering constant in dimension five
本文构造了五维空间中一个2-周期非格点集，其填充-覆盖常数低于已知最优格常数，证明五维填充-覆盖问题的最优解并非格。
Multiple Lattice Packings and Coverings of the Plane with Triangles
本文针对平面上三角形的多重格填装与覆盖问题，推导得出其j重格填装密度、覆盖密度公式及对应格的数量表达式，完善了凸圆盘多重格填装与覆盖的相关理论。
We obtain new upper bounds on the minimal density of lattice coverings of Euclidean space by dilates of a convex body K. We also obtain bounds on the probability (with respect to the natural Haar-Siegel measure on the space of lattices) that a randomly chosen lattice L satisfies that L+K is all of space. As a step in the proof, we utilize and strengthen results on the discrete Kakeya problem.
On the covering radius of lattice zonotopes and its relation to view-obstructions and the lonely runner conjecture
本文的目标是双重的，首先，显示某些几何问题，如视线障碍和台球运动之间的等价性，与覆盖半径的晶格zonotopes的估计。其次，我们将估计上界的半径凭借平坦定理。这些问题在性质上与著名的孤独跑步者猜想相似。
When is the ball a local pessimum for covering?
研究了格平移覆盖n维欧几里得空间的最坏点对称形状的判定问题。在这里，我们专注于最薄的格子覆盖球是已知的尺寸，并询问球是否是一个pessimum覆盖在这些方面相比，所有的点对称凸形。我们发现，球是一个当地的pessimum在3维，但不是这样的4和5维。
Lattice coverings and gaussian measures of n-dimensional convex bodies
令$\| \cdot \|$是${\bf R}^n$上的欧几里德范数，$γ_n$是${\bf R}^n$上的（标准）高斯测度，密度为$(2 π)^{-n/2} e^{- \| x\|^2 /2}$。令$\vartheta$（$ \simeq 1.3489795$）由$γ_1 ([ - \vartheta /2, \vartheta /2]) = 1/2$定义，并且令$L$是由范数$\leq \vartheta$的向量生成的${\bf R}^n$中的格。然后，对${\bf R}^n$中的任何闭凸集$V$，有$γ_n (V) \geq \frac{1}{2}$，对任何$a \in {\bf R}^n$，有$(a +L) \cap V \neq ϕ$。上述陈述可以被看作是闵可夫斯基定理的“非对称”版本。
Inhomogeneous extreme forms
G.F. Voronoi（1868-1908）写了两本回忆录，其中他描述了两个约化理论的格，非常适合球包装和覆盖问题。在他的第一个回忆录的特点，当地最经济包装，但相应的结果覆盖一直失踪。在本文中，我们桥接两个经典的回忆录。通过从不同的角度看待覆盖问题，我们发现了缺失的类似物。我们不再试图寻找给出经济覆盖的格，而是考虑给出至少局部非常不经济覆盖的格。我们分类的地方覆盖最大的6维，并证明他们的存在，在所有的维度以外。出现了新的现象：许多高度对称格给出了不经济的覆盖;覆盖密度函数不是拓扑Morse函数。这两种现象与包装问题形成鲜明对比。
Lattice coverings by parallelotopes containing cube vertices
该研究探讨含单位立方体顶点的平行多面体的格覆盖问题，证明特定平行多面体具备覆盖$\boldsymbol{R}^n$的性质，得出$Q_n$内特定棱锥体积的精确界并给出另一种证明。
Nearly Sharp Bounds for Lattice Coverings by Convex Bodies
该研究针对n维凸体的格覆盖密度，通过垂直-水平构造等方法，将其最坏情形增长指数优化为近线性，改进了此前O(n²)的通用界，确定了最优多项式增长指数。
New upper bound for lattice covering by spheres
本文证明了存在密度为 $O(n\ln^{1.858}n)$ 的等半径球格覆盖，改进了 Rogers 的 $O(n\ln^{2.047}n)$ 上界。
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