关于格覆盖的一个注记

柱面覆盖凸体平面覆盖格点

Covering convex bodies by cylinders and lattice points by flats

本文结合Bang（1951）的一个未解决的问题，给出了复盖d维凸体的柱的基体积之和的一个下界，它是由给定的凸体的相应基本测度给出的.作为应用，我们建立了覆盖d维欧几里得空间中给定凸体的所有整数点所需的k维平坦（即k维线性子空间的平移）个数的下界，其中0<k<d.

2009-03-27math.MG

计算欧几里得格覆盖半径的复杂性

The complexity of computing the covering radius of a Euclidean lattice

Universität zu Köln（科隆大学）

本文证明欧几里得格覆盖半径问题属于多项式谱系第二层完全，并记录了作者首次使用生成式AI进行数学研究的实验。

2026-09-29cs.CCmath.MG

格的局部覆盖最优性：Leech格与根格E8

Local Covering Optimality of Lattices: Leech Lattice versus Root Lattice E8

我们表明，水蛭格给出了一个球覆盖，这是局部最不稠密的格覆盖。我们证明了一个类似的结果是假的根格E8。为此，我们构造了一个不太稠密的覆盖格，其Delone细分与E8的Delone细分具有共同的细化。新的格产生一个球面覆盖，其密度比以前最著名的格A8* 小12%以上。目前，Leech格是第一个也是唯一已知的具有非单纯Delone细分的局部最优格覆盖的例子。我们在此特别回答迪克森在1968年提出的一个问题。通过证明Leech格是刚性的，我们的答案在某种意义上甚至是最强的。

2004-11-10math.COmath.MG

单形格覆盖密度的下界

Lower Bounds on Lattice Covering Densities of Simplices

本文通过研究交换Cayley有向图的度直径问题，给出了单形的格覆盖密度的新的下界.特别地，证明了四面体的任意格覆盖的密度至少为$25/18$，四维单形的任意格覆盖的密度至少为$343/264$ .

2022-02-12math.COmath.MG

局部填充与覆盖格理论中的方法

Methods in the Local Theory of Packing and Covering Lattices

本文研究了三个格问题：格填充问题、格覆盖问题和格填充覆盖问题。找到这些问题的最优格的一种方法是枚举所有的多个局部最优格。对于格填充问题，有两个经典的算法可以追溯到Minkowski和Voronoi。对于覆盖和包装覆盖问题，我们提出了新的算法。在这里，我们给一个简短的调查，这些方法。我们报告最近的一些基于计算机的计算，我们能够再现和部分扩展的局部最优格的已知分类。此外，我们发现了新的破纪录的覆盖和包装覆盖格。我们描述了几种方法，并举例说明格是这三个问题之一的局部最优解。

2008-09-26math.COmath.MG

格填充和覆盖问题的计算方法

Computational Approaches to Lattice Packing and Covering Problems

我们描述的算法，解决两个经典的问题，在晶格几何：晶格覆盖和同时晶格包装覆盖问题。从理论上讲，我们的算法解决了这两个问题在任何固定的尺寸d的意义上，他们近似的最佳覆盖格和最佳包装覆盖格在任何所需的精度。这两种算法都涉及半定规划，并基于Voronoi的约化理论的正定二次型，它描述了所有可能的Delone三角剖分Z^d。在实践中，我们的实现再现了维度d <= 5中的已知结果，并且特别地解决了这些维度中的两个问题。对于d = 6，我们的计算产生了新的最好的覆盖以及包装覆盖格，这是密切相关的格（E6）*。对于d = 7，8，我们的方法导致新的最佳已知的覆盖格。虽然我们使用数值方法，我们做了一些努力，将数值证据转化为严格的证明。我们提供了严格的误差界，并证明了一些新的格是局部最优的。

2005-07-27math.COmath.MG

正八面体的格覆盖密度

The lattice covering density of the regular octahedron

Hangzhou Normal University（杭州师范大学）；Cardiff University（卡迪夫大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）

本文证明了正八面体的格覆盖密度为9/8，解决了Dougherty和Faber提出的猜想。

2026-11-03math.COmath.MG

关于局部反阻塞体与少顶点多胞形的格覆盖

On lattice coverings by locally anti-blocking bodies and polytopes with few vertices

本文将Rogers关于欧几里得球的格覆盖密度上界n(logₑn)^c推广到反阻塞体、局部反阻塞体及n+2个顶点的n维多胞形等更一般的无对称性凸体类。

2025-06-03math.MG

凸体与格点的混合Minkowski覆盖不等式

Mixed Minkowski-Covering Inequalities for Convex Bodies and Lattices

Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）

本文提出了一个关于原点对称凸体相对于格点的逐次极小与商覆盖半径的精确混合不等式，该不等式在经典覆盖密度下界与Minkowski第二定理下界之间插值。

2026-06-04math.COmath.MG

Nil几何中全等平移球的格覆盖

Lattice coverings by congruent translation balls using translation-like bisector surfaces in Nil geometry

本文研究了8个齐次Thurston三维几何中的Nil几何.确定了任意两点的类平行平分线曲面的方程。证明了平移三角形的等腰性质不等价于两个三角形的角相等，并且证明了三角不等式一般不适用于平移三角形.给出了一种确定给定{ \it平移四面体}外切平移球的球心和半径的方法。本文进一步研究了诣零空间中具有全等平移球的格状覆盖。我们引入覆盖密度的概念，并利用给定{ \it平移四面体}的外切平移球的半径和体积给出覆盖密度的上估计.求出了平移球覆盖$Δ\approx 1.42783$的最小上界密度。在我们的工作中，我们将使用由E.在\cite{M97}的Molnár。

2017-10-05math.MG

关于凸四元数平面的格填充与覆盖

On the Lattice Packings and Coverings of the Plane with Convex Quadrilaterals

众所周知，三角形的晶格堆积密度和晶格覆盖密度分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$。我们还知道，达到这些密度的晶格都是唯一的。令$δ_{L}(K)$和$\vartheta_{L}(K)$分别表示$K$的晶格填充密度和晶格覆盖密度。本文研究了一类特殊的凸圆盘的格填充和覆盖，这类凸圆盘包括所有的三角形和凸四边形。特别是，我确定的密度$δ_{L}(Q)$和$\vartheta_{L}(Q)$，其中$Q$是一个任意的凸四边形。此外，我还得到了所有达到这些密度的格。最后，我证明了$δ_{L}(Q)\vartheta_{L}(Q)\geq 1$和$\frac{1}{δ_{L}(Q)}+\frac{1}{\vartheta_{L}(Q)}\geq 2$，对于每个凸四边形$Q$。

2014-12-19math.MGmath.NT

通过圆盘的格子排列的旋转覆盖平面

Covering the plane by rotations of a lattice arrangement of disks

假设我们在平面中的每个晶格点周围放置一个$ε$ -圆盘，然后我们围绕原点旋转这个物体一组$Θ$角度。我们什么时候覆盖整个平面，除了原点的邻域？这就是本文研究的问题。很容易看出，如果$Θ= [0,2π]$，那么我们确实覆盖。如果我们试图用一个小的闭集$Θ$来实现覆盖，这个问题就变得更有趣了。

2006-11-26math.CAmath.MG

一个非格周期点集在五维中优于最优格填充-覆盖常数

A non-lattice periodic point set beating the optimal lattice packing-covering constant in dimension five

Universität Rostock（罗斯托克大学）；MSM Programing d.o.o.（MSM程序有限公司）

本文构造了五维空间中一个2-周期非格点集，其填充-覆盖常数低于已知最优格常数，证明五维填充-覆盖问题的最优解并非格。

2026-09-28math.COmath.MG

度量空间中测度的微分

Differentiation of measures in metric spaces

测度微分理论起源于贝西科维奇20世纪40年代的著作。他的开创性工作，以及随后的理论发展，依赖于适当的覆盖性质作为基本工具。这些说明的第一个目的是回顾当今经典的结果分化的措施在度量设置连同覆盖性质的基础上。然后，我们将重点放在这些覆盖性质之一，在本说明中称为弱贝西科维奇覆盖性质，它在（完全可分）度量空间的特征中起着核心作用，其中微分定理对每个（局部有限Borel正则）测度都成立。我们在这些笔记的最后一部分审查最近的结果有效性或无效性的覆盖性质。

2018-02-06math.CAmath.MG

格覆盖密度的新界

New bounds on the density of lattice coverings

通过对凸体K的扩张，得到了欧几里得空间格覆盖的最小密度的新的上界。我们还得到了概率上的界限（相对于自然Haar-Siegel措施的空间格），一个随机选择的格L满足L+K是所有的空间。作为证明的一个步骤，我们利用和加强离散Kakeya问题的结果。

2020-05-30cs.ITmath.ITmath.MG

关于睡衣问题的一个注记

A note on the pyjama problem

本文讨论的是所谓的睡衣问题，即半宽$\varepsilon$的垂直条是否可以旋转100次来覆盖平面。首先证明了$\varepsilon<1/3$不存在周期覆盖。然后，我们描述了一个明确的（非周期性）建设$\varepsilon =1/3-1/48$。最后，我们使用一个紧性参数结合一些想法从加法组合证明了有限覆盖存在$\varepsilon =1/5$。$\varepsilon$是否可以任意小的问题仍然没有解决。

2012-11-26math.COmath.MG

格状环带的覆盖半径及其与视线障碍和孤独行者猜想的关系

On the covering radius of lattice zonotopes and its relation to view-obstructions and the lonely runner conjecture

本文的目标是双重的，首先，显示某些几何问题，如视线障碍和台球运动之间的等价性，与覆盖半径的晶格zonotopes的估计。其次，我们将估计上界的半径凭借平坦定理。这些问题在性质上与著名的孤独跑步者猜想相似。

2016-09-07math.COmath.MGmath.NT

平面上三角形的多重格填装与覆盖

Multiple Lattice Packings and Coverings of the Plane with Triangles

Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）

本文针对平面上三角形的多重格填装与覆盖问题，推导得出其j重格填装密度、覆盖密度公式及对应格的数量表达式，完善了凸圆盘多重格填装与覆盖的相关理论。

2026-10-14math.MGmath.NT

什么时候球是一个覆盖的地方pessimum？

When is the ball a local pessimum for covering?

研究了格平移覆盖n维欧几里得空间的最坏点对称形状的判定问题。在这里，我们专注于最薄的格子覆盖球是已知的尺寸，并询问球是否是一个pessimum覆盖在这些方面相比，所有的点对称凸形。我们发现，球是一个当地的pessimum在3维，但不是这样的4和5维。

2014-10-02math.FAmath.MG

n维凸体的格覆盖与高斯测度

Lattice coverings and gaussian measures of n-dimensional convex bodies

令$\| \cdot \|$是${\bf R}^n$上的欧几里德范数，$γ_n$是${\bf R}^n$上的（标准）高斯测度，密度为$(2 π)^{-n/2} e^{- \| x\|^2 /2}$。令$\vartheta$（$ \simeq 1.3489795$）由$γ_1 ([ - \vartheta /2, \vartheta /2]) = 1/2$定义，并且令$L$是由范数$\leq \vartheta$的向量生成的${\bf R}^n$中的格。然后，对${\bf R}^n$中的任何闭凸集$V$，有$γ_n (V) \geq \frac{1}{2}$，对任何$a \in {\bf R}^n$，有$(a +L) \cap V \neq ϕ$。上述陈述可以被看作是闵可夫斯基定理的“非对称”版本。

1995-03-20math.FAmath.MG

非齐次极值型

Inhomogeneous extreme forms

G.F. Voronoi（1868-1908）写了两本回忆录，其中他描述了两个约化理论的格，非常适合球包装和覆盖问题。在他的第一个回忆录的特点，当地最经济包装，但相应的结果覆盖一直失踪。在本文中，我们桥接两个经典的回忆录。通过从不同的角度看待覆盖问题，我们发现了缺失的类似物。我们不再试图寻找给出经济覆盖的格，而是考虑给出至少局部非常不经济覆盖的格。我们分类的地方覆盖最大的6维，并证明他们的存在，在所有的维度以外。出现了新的现象：许多高度对称格给出了不经济的覆盖;覆盖密度函数不是拓扑Morse函数。这两种现象与包装问题形成鲜明对比。

2011-09-24math.MGmath.NT

含立方体顶点的平行多面体的格覆盖

Lattice coverings by parallelotopes containing cube vertices

Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；Faculty of Information Sciences State University of Library Studies and Information Technologies（图书馆研究与信息技术州立大学信息科学学院）

该研究探讨含单位立方体顶点的平行多面体的格覆盖问题，证明特定平行多面体具备覆盖$\boldsymbol{R}^n$的性质，得出$Q_n$内特定棱锥体积的精确界并给出另一种证明。

2026-10-16math.COmath.MG

任意凸体的近线性格覆盖

Nearly Sharp Bounds for Lattice Coverings by Convex Bodies

School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group, Institute for Basic Science（基础科学研究所极值组合与概率组）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）

该研究针对n维凸体的格覆盖密度，通过垂直-水平构造等方法，将其最坏情形增长指数优化为近线性，改进了此前O(n²)的通用界，确定了最优多项式增长指数。

2026-08-11math.COmath.MG

格覆盖球体的新上界

New upper bound for lattice covering by spheres

本文证明了存在密度为 $O(n\ln^{1.858}n)$ 的等半径球格覆盖，改进了 Rogers 的 $O(n\ln^{2.047}n)$ 上界。

2025-08-08math.COmath.MG

关于环带拓扑格点和格面多面体的注记

Notes on lattice points of zonotopes and lattice-face polytopes

闵可夫斯基关于连续极小值的第二定理给出了凸体在其连续极小值方面的体积的上界。研究了用凸体的格点计数器代替体积来推广Minkowski界的问题。在这种情况下，我们感兴趣的是通过连续的最小值的格多面体的Ehrhart多项式的系数的界限。我们的结果晶格zonotopes和格面多面体意味着，特别是，0-对称格面多面体和晶格平行六面体的体积可以取代的格点计数器。

2010-11-08math.COmath.MG

Busemann曲面上的球填充与覆盖

Packing and covering with balls on Busemann surfaces

本文证明了对Busemann曲面$({\mathcal S},d)$的任一紧子集$S$（特别是，对于任何具有测地度量的简单多边形）和任何正数$δ$，以$\mathcal S$为中心并覆盖集合$S$的半径为$δ$的封闭球的最小数目至多是以$S$为中心的半径为$δ$的不相交封闭球的最大数目的19倍：$ν(S) \le ρ(S) \le 19ν(S)$，其中$ρ(S)$和$ν(S)$是$δ$ -球对$S$的覆盖数和堆积数。

2017-03-09cs.DMmath.MG

离散格周期集的一个注记及其在阿基米德镶嵌中的应用

A note on discrete lattice-periodic sets with an application to Archimedean tilings

Cao & Yuan得到了平面边到边镶嵌的正六边形顶点集的Blichfeldt型结果。由于每一个阿基米德镶嵌都是一个固定格的平移之和，因此我们从更一般的观点出发，研究了这类点集在数的几何中的齐次和非齐次问题的基本问题.阿基米德镶嵌很好地验证了我们的结果。

2017-10-06math.COmath.MG