Sobolev--type metrics in the space of curves
我们定义一个流形$M$，其中对象$c\in M$是曲线，我们将其参数化为$c:S^1\to R^n$（$n\ge 2$，$S^1$是圆）。给定一条曲线$c$，我们定义$M$在$c$的切空间$T_cM$，其中包括$c$的所有变形$h:S^1\to R^n$。本文研究由Sobolev型度量$H^j$给出的曲线流形上的几何。我们研究$H^j$型度量的情况下$j=1,2$，我们证明的估计，并刻画完成的光滑曲线的空间。作为奖励，我们证明了曲线的Fréchet距离（参见arXiv：math.DG/0312384）与在arXiv：math.DG/0412454中的\S 2.2中定义的"Finsler $L^\infinity$度量“所引起的距离一致。
2006-04-30 math.DG
Sobolev Metrics on Spaces of Discrete Regular Curves
本文针对数学形状分析中常用的离散正则曲线空间诱导黎曼度量，补充研究其有限维黎曼流形的理论性质，证明了度量与测地完备性，对应无穷维情形下的已有结果。
2025-03-24 math.DG
$R$-transforms for Sobolev $H^2$-metrics on spaces of plane curves
我们考虑光滑浸入平面曲线（模平移和/或旋转）的空间，配备了涉及二阶导数的重参数化不变弱黎曼度量。这包括没有零级项的完整$H^2$度量。我们发现等距（称为$R$ -变换）从这些空间到函数空间与简单的弱黎曼度量，我们用它来给明确的公式测地线，测地距离，截面曲率。我们还展示了如何利用等距计算测地线数值。
2013-11-14 math.AP math.DG
Fractional Sobolev metrics on spaces of immersed curves
受形状分析领域应用的启发，我们研究了光滑正则曲线空间$\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$及其Sobolev完备化空间$\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$上的重参数化不变分数阶Sobolev型度量.我们证明了局部适定性的测地线方程的巴拿赫流形$\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$和Fréchet流形$\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$上的度量的阶是大于或等于一。此外，我们还证明了当$s>\frac 32$满足一定条件时，$H^s$度量在同阶$s$的巴拿赫流形$\mathcal{I}^{s}(S^1,\mathbb{R}^{d})$上诱导出强黎曼度量.这些研究也可以被解释为右不变度量分析的推广。
2017-03-09 math.AP math.DG
Completeness and geodesic distance properties for fractional Sobolev metrics on spaces of immersed curves
本文研究浸入闭曲线空间上分数阶Sobolev黎曼度量的几何性质，证明度量空间结构成立的临界指标为q>1/2，测地完备性成立的临界指标为q>3/2。
2024-05-04 math.AP math.DG
Hardy-Sobolev inequality with singularity a curve
我们考虑$\mathbb{R}^N$的有界域$Ω$，$N\geq 3$，$h$是$Ω$上的连续函数.令$Γ$是包含在$Ω$中的闭合曲线。研究了方程$$ -Δu+h u=ρ^{-σ}_Γu^{2^*_σ-1} \qquad \textrm{ in } Ω$$正解$u\in H^1_0(Ω)$的存在性，其中$2^*_σ:=\frac{2(N-σ)}{N-2}$，$σ\in (0,2)$，$ρ_Γ$是到$Γ$的距离函数.对于$N\geq 4$，我们找到了一个充分条件，给出了曲线的局部几何，基态解的存在。在$N=3$情形下，只要$-Δ+h$的格林函数的正则部分的迹在曲线的某一点为正，我们就得到基态解的存在性.
2017-02-07 math.AP math.DG
On closed finite gap curves in spaceforms II
证明了双曲3-空间$\mathbb{H}^3$中的闭有限间隙曲线集在$\mathbb{H}^3$中的所有闭$W^{2,2}$ -曲线的索伯列夫空间中是$W^{2,2}$ -稠密的.我们还证明了在任何二维空间型$\mathbb{E}^2$中的闭有限间隙曲线集在$\mathbb{E}^2$中的所有闭$W^{2,2}$ -曲线的索伯列夫空间中是$W^{2,2}$ -稠密的.
2019-01-10 math.DG math.DS
Soliton solutions for the elastic metric on spaces of curves
本文研究了浸入曲线空间上的一阶重参数化不变Sobolev度量。出于形状分析中的应用，需要这个无限维空间的离散化，我们将这个度量扩展到Lipschitz曲线的空间，建立适定性的测地方程，并表明分段线性曲线的空间是一个完全测地子流形。因此，分段线性曲线是用于测地线方程离散化的自然有限元。有趣的是，这个空间中的测地线可以被看作是测地线方程的孤子解，这对于曲线空间上的重新参数化不变的索伯列夫度量来说是不存在的。
2017-11-12 math.DG
Regularity of Maps between Sobolev Spaces
设$F : H^q \to H^q$是$\mathbb R^d$或紧流形上索伯列夫空间之间的$C^k$ -映射.我们发现，$F$下的同构群的等方差允许贸易的规律性$F$作为一个非线性映射的规律性的图像空间：对于$0 \leq l \leq k$，地图$F: H^{q+l} \to H^{q+l}$是定义良好的类$C^{k-l}$。利用这一结果研究了Sobolev度量的测地线边值问题在曲线空间和同构群上的正则性。
2016-02-21 math.DG
On $H^2$-gradient Flows for the Willmore Energy
研究H²梯度流在Willmore能量及其他二次依赖第二基本形式的功能的定义，探讨Sobolev空间中浸入的性质及投影流的存在条件与应用。
2017-03-19 cs.NA math.DG math.NA
Brownian motion on spaces of discrete regular curves
University of Warwick（华威大学）；University of Houston（休斯顿大学）
研究离散正则曲线空间上的布朗运动，证明几何完备性与Sobolev型度量阶数的关系，展示随机完备性并应用于数据统计。
2025-10-28 math.DG math.PR
Homogeneous Sobolev gradient flow of the length functional
Murdoch University（默多克大学）；University of Wollongong（伍伦贡大学）
研究平面浸入闭曲线空间中长度泛函的梯度流，采用参数λ>0和a∈R的同质SobolevH^1型Riemann度量。通过弧长卷积和周期格林函数得到梯度流，证明在最优低正则性设定下局部适定性，并展示长度指数衰减和全局存在性。
2026-07-30 math.AP math.DG
Convergence of Sobolev gradient trajectories to elastica
Tohoku University（东北大学）
本文研究$\n\bbr^n$闭曲线上修正弹性能的$H^2(ds)$梯度流，证明其存在唯一全局时间解，并借助Łojasiewicz–Simon梯度不等式确立了向弹性曲线的完全收敛性。
2023-01-27 math.AP math.DG
On Closed Finite Gap Curves in Spaceforms I
我们证明了${\mathbb R}^3$和${\mathbb S}^3$中的闭有限间隙曲线空间分别关于${\mathbb S}^3$和${\mathbb R}^3$中的闭曲线空间中的Sobolev $W^{2,2}$ -范数是稠密的.
2020-03-04 math.DG math.DS
Ultralimits of Sobolev maps and stability of Dehn functions
University of Fribourg（弗里堡大学）
本文通过研究Sobolev映射的超极限，证明了德恩函数在超收敛定点长度空间下的稳定性，并简化了Stadler--Wenger关于曲率上界空间的等周不等式结果的证明。
2026-03-05 math.DG math.MG
Curve Matching with Applications in Medical Imaging
Universität Wien（维也纳大学）；Brunel University London（伦敦布鲁内尔大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文提出基于二阶Sobolev度量的曲线空间数值离散化方法，结合Riemann梯度优化计算Karcher均值，用于分析HeLa细胞核形状变化和心脏形变周期。
2015-06-29 cs.NA math.DG math.NA
An overview of the Riemannian metrics on spaces of curves using the Hamiltonian approach
这里的形空间是$\mathbb R^2$中的简单闭光滑非参数曲线的流形，或者是从$S^1$到$\mathbb R^2$模$S^1$的自同构群的浸入的轨道。本文研究了形状空间上的几种黎曼度量：$L^2$ -度量，它们分别由长度和曲率的表达式加权.这些度量包括尺度不变度量和夹在两个长度加权度量之间的Wasserstein型度量。描述了曲线上$n$阶的Sobolev度量.这里切场的水平投影由一个伪微分算子给出。最后讨论了由Sobolev度量在$\mathbb R^2$上的同构群上导出的度量.虽然商度量都是由伪微分算子给出的，但它们的逆是由光滑核的卷积给出的。我们能够证明这两种Sobolev度量的测地线方程解的局部存在唯一性。我们感兴趣的是所有的守恒量，所以本文从哈密顿设置和计算守恒动量和测地线一般的浸入空间。对于每个度量，我们计算形状空间上的测地线方程。最后，我们在一些例子中概述了这些指标之间的差异。
2006-07-11 math.DG math.SG
Fractional Sobolev metrics on spaces of immersions
本文利用分数阶 Laplace 算子对底层度量的实解析依赖性，证明微分同胚与浸入空间上一阶及以上分数阶 Sobolev 度量的测地线方程局部适定，并推广至 Euler-Arnold 方程等多种变分 PDE。
2020-02-04 math.DG
Hybrid Riemannian Metrics for Diffeomorphic Shape Registration
我们考虑的结果相结合的两种方法的设计黎曼度量曲线和曲面，即参数化不变度量的Sobolev型空间的浸入，和度量通过黎曼淹没右不变Sobolev度量的群的同构（后者导致的“大变形同构度量映射”框架）。我们表明，这种相当简单的方法继承了这两种方法的优点，无论是在理论和实验水平上，并提供额外的灵活性和建模能力，特别是在处理复杂的形状配置。实验结果表明，该方法提供的曲线和曲面配准。
2018-04-22 math.DG
On Geodesics in the Spaces of Constrained Curves
本文研究赋予一阶Sobolev度量的受约束浸入曲线子空间中的测地线，涵盖弹性曲线并将平面同心圆结果推广到曲面，采用内在与构造性方法。
2023-09-22 math.DG stat.AP
Sobolev-to-Lipschitz property of geodesically complete spaces with curvature bounded from above
Università di Trento（特伦托大学）；University of Fribourg（弗里堡大学）
证明每个曲率上有界且测地完备的长度空间具有指数无穷的Sobolev-to-Lipschitz性质，即每个W^{1,∞}空间中的Sobolev映射有Lipschitz代表，且Lipschitz常数等于映射的无穷能量。
2026-06-24 math.DG math.MG
Existence of curvature flow with forcing in a critical Sobolev space
NYU Shanghai（纽约大学上海分校）；NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences at NYU Shanghai（纽约大学上海分校华东师范大学数学科学研究所）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
研究给定闭1-可求积集\(\Gamma_0\)及临界Sobolev空间向量场\(u\)时，从\(\Gamma_0\)出发的曲线流的存在性，其法向速度由曲率与\(u\)之和给出，运动定律在Brakke意义下成立且流在奇点处存在。
2026-07-23 math.AP math.DG
Pushforward of currents under Sobolev maps
该研究证明Sobolev映射可将模意义下几乎所有紧支撑整流推前为度量空间中的Ambrosio–Kirchheim整流，推导了相应的相对等周不等式，并正面解答了拟正则曲线最优Hölder连续性的公开问题。
2024-08-13 math.CV math.DG math.MG
Completeness of reparametrization-invariant Sobolev metrics on the space of surfaces
Florida State University（佛罗里达州立大学）；Hebrew University（希伯来大学）；University of Münster（明斯特大学）
研究浸入曲面空间上重参数化不变索伯列夫型黎曼度量，通过重铸完备性方法并结合几何估计，得到度量和测地线完备性等结果，是浸入曲线完备性结果的首次扩展，有望用于其他映射流形。
2026-07-09 math.AP math.DG
Second order elastic metrics on the shape space of curves
Technical University of Vienna（维也纳工业大学）；Brunel University London（布鲁内尔伦敦大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文提出算法解决曲线形状空间上二阶Sobolev度量的初值和边界值问题，用于计算Riemann梯度优化下的Karcher均值，且允许自由选择度量权重常数。
2015-07-31 cs.NA math.DG math.NA
Existence of least-area discs
本文证明欧几里得空间中每条闭Lipschitz曲线可延拓为最小面积Lipschitz圆盘，并推广至Alexandrov曲率有上界的度量空间。
2026-09-28 math.DG math.MG
Optimal Monotonicity of $L^p$ Integral of Conformal Invariant Green Function
在$Ω$上的共形度量的总高斯曲率的正部分有限的条件下，通过一维Riemann-Stieltjes型幂积分的精确估计和Huber解析不等式和几何等周不等式，建立了以可求长简单曲线为边界的平面单连通区域$Ω$上的格林函数的$L^p$ -积分的最优单调原理的解析和几何形式.因此，新的解析和几何等周型不等式被发现。此外，当将几何原理应用于二维黎曼流形时，我们幸运地发现，诱导原理的$\{0,1\}$ -形式是完全非紧边界自由曲面上的Moser-Trudinger不等式和Nash-Sobolev不等式之间的中间形式，但等价于Nash-Sobolev/Faber-Krahn的特征值/热核上限/Log-面积平方增长的有限全高斯曲率曲面上的Sobolev不等式
2009-08-11 math.DG math.FA
Characterization of the Metric Completion of Immersed Open-Curve Spaces
本文研究了赋予Sobolev型度量的浸入开曲线空间的度量完备化，通过证明多个不同极限点的存在性推翻了先前关于完备化仅含单个额外点的猜想，并给出了该情形下度量结构的近乎完整刻画。
2025-09-13 math.DG
Computing distances and geodesics between manifold-valued curves in the SRV framework
研究了黎曼流形M中的开曲线，给出了这类开曲线空间上的一个重参数化不变度量。利用Srivastava等人提出的平方根速度函数（SRVF），通过拉回切丛TM '上的一个自然度量，定义了浸入空间M'= Imm（[0，1]，M）上的一个黎曼度量.这在M'上引入了一阶Sobolev度量，并导致考虑M中原点之间的距离和曲线的SRV表示之间的L2距离的距离。给出了该度量的测地线方程，并利用该方程定义了M '上的指数映射。一条曲线到另一条曲线的最佳变形可以使用测地线射击来构造，这需要表征M '的Jacobi场。在雷达信号处理的设置中，曲线位于双曲半平面的特定情况被认为是一个例子。
2017-03-15 math.DG
Elastic distance between curves under the metamorphosis viewpoint
我们提供了一个新的角度，并获得新的结果一类度量长度归一化曲线在$d$尺寸，其单位切线表示为弧长的函数，这是从单位间隔的$(d-1)$维单位球的功能。这些度量是来自于共同作用的同胚（参数的变化）和弧长相关的旋转作用于切线。最小化一个黎曼度量，平衡一个右不变度量上的同态和一个$L^2$范数上的运动的切线导致一个特殊的情况下“变态”，这提供了一个一般的框架，适用于类似的情况下，李群作用在黎曼流形。在这个框架内，并使用索伯列夫范数与阶1上的同构群，我们推广了以前的结果，从文献中提供明确的测地距离参数化曲线。
2018-04-26 math.DG
Reparameterization invariant metric on the space of curves
本文研究了流形M中的开曲线，并给出了这类开曲线空间上的一个重参数化不变度量。本文利用Srivastava等人在[11]中引入的平方根速度函数（SRVF），通过拉回由Sasaki度量导出的切丛TM'上的度量，在浸入空间M' = Imm（[0，1]，M）上定义了一个重参数化不变度量.我们观察到，这样一个自然的选择TM'上的黎曼度量诱导M'上的一阶Sobolev度量与一个额外的条款涉及的起源，并导致一个距离，考虑到原点之间的距离和之间的距离的曲线的SRV表示。给出了该度量的测地线方程，以及在应用中如何计算观测轨迹的指数映射的想法。这为一般流形M中的曲线提供了一个广义的理论SRV框架。
2015-10-27 math.DG
On the Metric Completion of Immersed Open Curves
University of Toronto（多伦多大学）；Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学耶路撒冷分校爱因斯坦数学研究所）
本文刻画了实值浸入开曲线空间在Sobolev型黎曼度量下的度量完备化，证明额外极限点与闭区间的$H^n$-微分同胚群同胚，否定了既有猜想并提出更精细猜想。
2026-09-17 math.DG
M{ö}bius-invariant self-avoidance energies for non-smooth sets in arbitrary dimensions
本文研究了曲线\cite{ohara_1991a}上O 'Hara的Möbius能量到任意维数和余维数的$\R^n$的非光滑子集上的Möbius不变能量的推广.特别是，我们表明在温和的假设下，当地平坦的一个容许可能无界集$Σ\subset \R^n$，当地有限的能量意味着$Σ$，事实上，一个嵌入Lipschitz子流形的$\R^n$-有时甚至更顺利（取决于一个priorily给定的额外的正则性的容许集）。另一方面，我们还证明了一个局部图结构的低分数Sobolev正则性的集合$Σ$已经足以保证有限能量的$Σ$。这种类型的索伯列夫规律性正是人们所期望的鉴于布拉特的表征\cite{blatt_2012a}的正确的能量空间的莫比乌斯能量在闭曲线。我们的结果特别适用于Kusner和Sullivan的余弦能量$E_\textnormal{KS}$ \cite{kusner-sullivan_1997}，因为这里考虑的能量之一相当于$E_\textnormal{KS}$。
2021-02-16 math.DG
A Lorentz invariant sharp Sobolev inequality on the circle
证明了圆$$\int_{\mathbb{S}^1} [4(v')^2 - v^2] \mathrm{d} θ\geq - \frac{4π^2}{\int_{\mathbb{S}^1} v^{-2} \mathrm{d} θ},$$上的Sobolev不等式，当$v^{-2} (θ) = \frac{k\sqrt{1-α^2}}{1+ α\cos(θ- θ_o)}$满足等式时，不等式成立，其中$k>0$，$α\in (-1,1)$，$θ_0 \in \mathbb{R}$满足等式.如果PDMATHAMR在圆上的某个地方为零，则$$4 \int_{\mathbb{S}^1} (v')^2 \mathrm{d} θ\geq\int_{\mathbb{S}^1} v^2 \mathrm{d} θ.$$证明该不等式的基本工具是圆上的重排不等式和变分法。研究了泛函$\mathcal{F}[v] = \int_{\mathbb{S}^1} [4(v')^2 - v^2] \mathrm{d} θ$在约束$\int_{\mathbb{S}^1} v^{-2} \mathrm{d} θ= 2π$下的变分问题.泛函$\mathcal{F}$的一个重要的几何见解是它在洛伦兹群下是不变的，因为$\mathcal{F}[v]$是$3$ -昏暗闵可夫斯基时空中光锥中由函数$v^{-2}$参数化的类空曲线的两个…
2023-03-05 math.CA math.DG math.FA
Simplifying transforms for general elastic metrics on the space of plane curves
在计算机视觉问题的形状分析方法中，人们将形状视为无限维黎曼流形中的点，从而便于统计计算的算法，例如形状之间的测地线距离和形状集合的平均值。这些算法的性能在很大程度上取决于黎曼度量的选择。在平面曲线形状的设置中，注意力主要集中在一阶Sobolev度量的双参数族上，称为弹性度量。由于存在针对特定参数值的简化坐标变换，例如众所周知的平方根速度变换，因此它们特别有用。在本文中，我们将现有文献中出现的变换推广到一族等距变换，它将任何弹性度量取为平坦的$L^2$度量。我们还扩展了处理分段线性曲线的变换，并证明了在这种设置下的最佳匹配的存在性的仿射组。我们总结了开放和闭曲线的形状测地线的多个例子的文件。我们还展示了我们的方法在一个简单的分类实验的好处。
2018-03-29 math.DG
Optimal Riemannian metric for a volumorphism and a mean ergodic theorem in complete global Alexandrov nonpositively curved spaces
本文给出了黎曼流形$(M,g)$上的一个体积同构关于另一个最优黎曼度量$h$是等距的一个自然条件。本文考虑Sobolev类$H^s$，$s>n/2$的所有黎曼度量空间$\M_μ^s$上的体积同构的自然作用量，其体积形式为$μ$ .对于一个给定的体积同构，最优黎曼度量是这个作用在包含$\M_μ^s$作为等距嵌入子集的完全度量空间中的不动点。我们证明了一个不动点存在，如果行动的轨道是有界的。我们还推广了一个平均遍历定理和一个不动点定理到完备整体Alexandrov非正曲率空间的非线性设置。
2012-06-02 math.DG math.FA
Metric Registration of Curves and Surfaces using Optimal Control
本文介绍了最近的发展，如曲线和曲面的形状分析，通过黎曼度量的概述。我们表明，几个建设的度量空间的子流形可以统一通过棱镜的黎曼淹没，形状空间的度量被诱导定义在顶部空间的度量。计算所得的黎曼距离涉及解决具有边界条件的测地线匹配问题。为了有效地处理这样的变分问题，人们可以依靠一个辅助家庭的“弦”的距离，以简化处理的边界条件，我们使用来拿出一个宽松的不精确的配方匹配问题。这也允许将形状匹配转化为最优控制问题，并给出了一个通用的框架来解决它们在实践中。然后，我们指定我们的分析的情况下，使用不变的Sobolev度量参数化浸入，外部形状度量诱导的度量周围空间的同构群，最后一个最近的混合模型，结合这两种方法定义的内在形状度量。
2018-09-17 math.DG math.OC
