Embeddedness and graphicality of the elastic flow for complete curves
针对欧几里得空间中非紧完备曲线弹性流，基于适配弹性能量推导维持平面嵌入性和图性的非平凡最优阈值，并得到新Li-Yau型不等式，解决标准弹性能量无穷大的问题。
2025-08-26 math.AP math.DG
The critical points of the elastic energy among curves pinned at endpoints
在本文中，我们找到的曲线，其长度是固定的，其端部被钉的弹性能量最小的曲线。应用打靶法，我们可以明确地识别所有的临界点，并确定哪条曲线是全局最小值。结果表明，临界点由波状弹性组成，极小值不存在任何环或内部拐点。
2021-06-24 math.AP math.CA math.DG
Generalized Elastic Translating Solitons
我们研究了用平面曲线曲率的幂来表示孤子解的平移问题。我们将这些孤子描述为依赖于曲率的泛函的临界曲线。更准确地说，孤子的曲率的幂的流动的平移被证明是广义弹性曲线。特别地，针对曲线缩短流，我们推导了一个新的变分表征的死神曲线。
2022-11-08 math.DG
Elastic Curves with Variable Bending Stiffness
该研究针对受弧长和完整约束、弯曲刚度沿弧长变化的曲线，推导其弯曲能平稳点的Euler-Lagrange方程，给出曲率函数等替代刻画，并探究其与变长度摆、有限厚度涡丝流的动力学联系。
2025-08-03 math.DG
A gradient flow for the p-elastic energy defined on closed planar curves
本文研究了在二阶流动中，当$p$ -弹性能降低时，封闭的不可伸展平面曲线的演化。通过最小化运动方法得到了$p \in (1,\infty)$的短时存在性结果。对于$p = 2$，即在经典弹性能的情况下，恢复了长时间存在。
2018-11-15 math.AP math.DG
Migrating elastic flows
本文针对开曲线场景研究Huisken弹性流迁移问题的变体，在自然边界条件下，通过解析和数值两种方法构造出多种迁移弹性流，拓展了原有闭合曲线问题的研究范畴。
2024-04-17 cs.NA math.AP math.DG
A survey of the elastic flow of curves and networks
本文将近年来关于曲线和网络的弹性流动问题的几个结果进行了归纳和统一，试图勾勒出这一课题的发展现状。特别地，我们给出了$\mathbb{R}^2$中闭曲线弹性流解的整体存在性和光滑收敛到临界点的完整证明。在本文的最后一节中，我们还讨论了一系列开放的问题。
2023-03-29 math.AP math.DG
A minimising movement scheme for the $p$-elastic energy of curves
通过一个最小化运动方案证明了$p$ -弹性能曲线的负$L^2$ -梯度流的短时存在性.为了解释曲线重参数化下能量不变性所引起的退化，我们将演化曲线写成固定平滑曲线上的近似正规图。这使我们能够建立短期存在性，并给出一个下界的解决方案的生命周期，只依赖于初始数据的$W^{2,p}$ -Sobolev规范。
2021-01-25 math.AP math.DG
Knot types, homotopies and stability of closed elastic rods
与均匀、各向同性、线性弹性杆相关的能量最小化问题导致杆中心线的几何变分问题，其解包括封闭、打结曲线。给出了闭解空间和拟周期解空间的完整描述。准周期曲线由二维圆盘参数化。闭曲线作为单参数族的可数集合出现，对于任何m，n互素，将m重覆盖圆连接到n重覆盖圆。每一族都只包含一条自相交曲线、一条弹性曲线和一条常挠率的闭曲线。每个族中表示两种圆环结类型，并且所有圆环结都由弹性杆中心线表示。
1999-01-28 math.DG
The free elastic flow for closed planar curves
本文研究闭平面曲线的自由弹性流，证明初始曲线接近圆（可多重覆盖）时，适当重缩放后平滑收敛到唯一圆，确定了其渐近形状。
2025-06-23 math.AP math.DG
Constrained elastic curves and surfaces with spherical curvature lines
本文考虑具有一族或两族球面曲率线的曲面。我们表明，每一个表面的一个家庭的球面曲率线可以本地生成的一对初始数据：一个合适的曲线的李球变换和球面勒让德曲线。然后，我们提供的条件，这样的表面是李适用的初始数据，一类可积的表面，包括CMC和伪球面。特别地，我们证明了在某些空间型中，一条约束弹性曲线的提升必然会生成一个具有恰好一族球面曲率线的Lie适用曲面。基于这一目标，我们利用一类联络的多项式守恒量给出了约束弹性曲线的Lie球几何刻画。
2021-04-22 math.DG
A nongraphical obstacle problem for elastic curves
本文研究边界固定的开放平面曲线带长度惩罚弹性弯曲能的障碍问题，分析了不同长度惩罚参数下极小值是否接触障碍物的条件，并给出显式阈值与弹性曲线解。
2025-10-31 math.AP math.DG
Weak elastic energy of rectifiable curves in the sphere
本文在二维球面上定义并证明了 $p$-曲率泛函对可求长曲线有限且等于测地曲率 $p$ 次幂积分，推广了弹性能量理论。
2025-09-11 math.DG
Elastic curves and self-intersections
Graduate School of Science, Kyoto University（京都大学研究生院）
本文为综述性短文，回顾经典弹性线理论，旨在为欧氏空间自交曲线的Li--Yau型不等式提供更详细证明，并探讨相关领域的开放问题。
2025-11-18 math.AP math.DG
Relaxed Elastic Line On An Oriented Surface In The Galilean Space
本文考虑伽利略空间中的经典变分问题。本文在三维伽利略空间$G_3$中建立了弹性线在定向曲面上的欧拉-拉格朗日方程。本文用变分方法对$G_3$中由有向曲面上曲线的总曲率平方函数描述的能量方程的解曲线（弹性线）给出了一些特征。最后，我们将研究松弛弹性曲线是否在测地线上。
2018-06-06 math.DG
Weak elastic energy of irregular curves
提出了任意维空间中（不一定是正则的）可求长曲线的弹性能量的弱概念。我们的$p$ -能量是通过一个松弛过程来定义的，其中采用了一个合适的$p$ -旋转的内接矩阵。我们选择的离散$p$ -旋转具有几何风格：多边形被视为对平滑曲线的近似，因此其离散曲率被展开为平滑密度。对于任何大于1的指数$p$，$p$ -能量是有限的当且仅当曲线的弧长参数化具有具有相同增长指数的二阶可求和性。此外，在这种情况下，能量与数量曲率的$p$次幂的积分的自然扩张一致。最后，与其他定义的离散曲率的比较进行了讨论。
2022-12-29 math.DG
Existence and convergence of the length-preserving elastic flow of clamped curves
本文研究固定长度夹持曲线在弹性能量负$L^2$-梯度流下的演化，证明了解的存在性、抛物光滑化及长时间收敛到临界点。
2024-06-22 math.AP math.DG
Closed $p$-Elastic Curves in Spheres of $\mathbb{L}^3$
本文研究了在 $\mathbb{L}^3$ 球面上闭合 $p$-弹性曲线的存在性，发现超曲面 $\mathbb{H}^2$ 中需 $p>1$，而 de Sitter 2 空间 $\mathbb{H}_1^2$ 中需 $p<0$。
2024-04-12 math.DG
Weak elastic energy of rectifiable curves in Riemannian surfaces
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）；Università di Parma（帕尔马大学）；Università degli Studi di Ferrara（费拉拉大学）
研究黎曼曲面上可求长曲线的弱弹性能量，通过内接测地多边形的p-旋转概念经松弛定义该能量，能检测曲线弧长参数化的内在二阶Sobolev正则性，且有限时与测地曲率p次幂积分一致。
2026-07-24 math.DG
Soliton solutions for the elastic metric on spaces of curves
本文研究了浸入曲线空间上的一阶重参数化不变Sobolev度量。出于形状分析中的应用，需要这个无限维空间的离散化，我们将这个度量扩展到Lipschitz曲线的空间，建立适定性的测地方程，并表明分段线性曲线的空间是一个完全测地子流形。因此，分段线性曲线是用于测地线方程离散化的自然有限元。有趣的是，这个空间中的测地线可以被看作是测地线方程的孤子解，这对于曲线空间上的重新参数化不变的索伯列夫度量来说是不存在的。
2017-11-12 math.DG
Partial Elastic Shape Registration of 3D Surfaces using Dynamic Programming
针对三维曲面弹性形状配准中梯度法易陷入局部最优的问题，提出基于动态规划在重新参数化子集上优化距离函数的算法，以获得更优解作为梯度法的初始输入。
2024-09-24 math.DG
Simplifying transforms for general elastic metrics on the space of plane curves
在计算机视觉问题的形状分析方法中，人们将形状视为无限维黎曼流形中的点，从而便于统计计算的算法，例如形状之间的测地线距离和形状集合的平均值。这些算法的性能在很大程度上取决于黎曼度量的选择。在平面曲线形状的设置中，注意力主要集中在一阶Sobolev度量的双参数族上，称为弹性度量。由于存在针对特定参数值的简化坐标变换，例如众所周知的平方根速度变换，因此它们特别有用。在本文中，我们将现有文献中出现的变换推广到一族等距变换，它将任何弹性度量取为平坦的$L^2$度量。我们还扩展了处理分段线性曲线的变换，并证明了在这种设置下的最佳匹配的存在性的仿射组。我们总结了开放和闭曲线的形状测地线的多个例子的文件。我们还展示了我们的方法在一个简单的分类实验的好处。
2018-03-29 math.DG
Elastic Metrics on Spaces of Euclidean Curves: Theory and Algorithms
统计形状分析领域中的主要目标是在浸没流形的空间（诸如欧几里得空间中的曲线空间）上定义可计算的和信息性的度量。在弹性形状分析框架中所采取的方法是通过从参数化形状空间上的重新参数化不变黎曼度量开始并通过群同态导出商上的度量来定义这样的度量。在实践中，这个商度量是通过在同构群上找到两个形状的配准来计算的。对于欧氏曲线空间，初始黎曼度量通常是从一个两参数的索伯列夫度量族中选择的，称为弹性度量。弹性度量是特别方便的，因为对于几个参数的选择，它们被认为是局部等距黎曼度量，其中一个是能够解决测地线边界问题明确-这些局部等距的著名例子包括复杂的平方根变换Younes，Michor，芒福德和沙阿和平方根速度（SRV）变换的Srivastava，Klassen，乔希和Jermyn。在本文中，我们表明，SRV变换扩展到弹性度量的所有参数的选择，在任何维度的曲线，从而充分概括了许多作者在过去二十年的工作。我们给出了一个统一的治疗的弹性度量：我们延长结果Trouvé和Younes，Bruveris以及Lahiri，罗宾逊和Klassen的注册问题的解决方案的存在，我们开发算法计算距离和测地线，我们将这些算法的度量学习问题，在那里我们学习最佳的弹性度量参数的统计形状分析任务。
2022-09-20 math.DG
Elastic Curves via Geometric Mechanics
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文从几何力学视角提出弹性曲线的等周刻画，建立保结构的离散弹性曲线理论，为离散空间曲线的哈密顿动力学提供新方法。
2026-08-03 cs.GR math-ph math.DG
An inexact matching approach for the comparison of plane curves with general elastic metrics
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
针对浸入平面曲线的距离与测地线计算，提出结合一般简化弹性变换和参数化不变保真度松弛的非精确匹配方法，以简化优化并增强对噪声、不一致或损坏数据的处理能力。
2020-01-09 cs.CG cs.CV math.DG
Shape Analysis of Surfaces Using General Elastic Metrics
在这篇文章中，我们引入了一个家庭的弹性度量的空间中的参数化曲面在3D空间中使用相应的家庭度量的空间中的向量值的一个形式。我们提供了一个数值框架的计算测地线相对于这些指标。度量族在刚体运动和重参数化下是不变的，因此它在曲面的“形状空间”上导出了一个度量。这类新的度量推广了以前研究的弹性度量族，特别包括平方根正规函数（SRNF）度量，它已被证明是成功的，在各种应用中。我们展示了我们的框架，通过显示几个例子测地线和比较我们的结果与早期的结果从SRNF框架。
2019-10-07 math.DG math.OC
On the Moduli of a quantized loop in P and KdV flows: Study of hyperelliptic curves as an extension of Euler's perspective of elastica I
量化需要评估量化对象的所有状态，而不是其相对于其能量的静止状态。本文研究了黎曼球面$\PP$上的量子化弹性体的模量$\CMeP$.然后证明了它的模空间被分解为一组由服从KdV（Korteweg-de Vries）族的流所确定的能量守恒的等价类。由于服从KdV层次的流具有自然拓扑，因此它在模空间$\CMeP$中导出拓扑。利用拓扑结构对$\CMeP$进行了分类。拓扑空间$\Top$范畴中的loop空间的研究已经很成熟，它的上同调性质也是众所周知的。由于量子化弹性体的模空间可以看作微分几何范畴$\DGeom$中的一个环空间，我们还利用诱导拓扑证明了与{ \bf Top}中的一个环空间相关的三角形范畴与$\DGeom$中的三角形范畴之间存在函子.由于欧拉通过在$\CC$上观察经典弹性曲线的形状来研究椭圆积分及其模量，本文致力于超椭圆曲线与$\PP$上的量子化弹性曲线之间的关系，作为欧拉对弹性曲线观点的扩展。
2003-05-04 math.DG
Existence, regularity and structure of confined elasticae
本文考虑了约束在给定开集$Ω$中的Jordan曲线间的弯曲能或弹性能的极小化问题。证明了极小元的存在性、正则性和一些结构性质。特别是，当$Ω$是凸的，我们表明，极小是凸曲线。我们还提供了一个例子，一个极小与自相交。
2015-08-24 math.DG math.OC
On Computing Elastic Shape Distances between Curves in d-dimensional Space
本文针对任意维空间中曲线间的弹性形状距离计算，提出线性动态规划算法求解最优微分同胚，并代数化论证Kabsch-Umeyama旋转矩阵算法，同时结合交替优化与快速傅里叶变换提升计算效率。
2024-09-28 cs.CG math.DG
Singularities of the hyperbolic elastic flow: Convergence, quantization and blow-ups
研究双曲平面中闭曲线与开曲线的弹性流，在无初始能量小假设下证明收敛定理，量化奇异性能耗至少为8并分类爆破，显式揭示$λ$-8字图形的奇异极限。
2024-08-29 math.AP math.DG
Inexact elastic shape matching in the square root normal field framework
本文提出了非参数曲线曲面弹性匹配问题的一种新形式和算法。我们的方法结合了平方根正常领域和varifold保真度指标的框架到一个新的框架，它有几个潜在的优势，比以前的作品。首先，我们的变分公式使我们能够最小化的重新参数化，而不离散的重新参数化组。其次，目标函数和梯度易于实现，并且可以有效地进行数值评估。第三，初始和目标表面可以具有不同的采样，甚至不同的拓扑。第四，纹理可以作为额外的信息，在匹配项类似的fshape框架。我们证明了这种方法的有用性与曲线和曲面的几个数值例子。
2019-03-03 math.DG
General rigidity principles for stable and minimal elastic curves
本文以统一的几何“剪切与粘贴”方法推广 Euler 弹性线刚性原理，给出固定长度下广义曲率能量极小值的最优必要条件，并完整分类稳定 p-弹性线。
2024-03-30 math.AP math.DG
Snapping elastic curves as a one-dimensional analogue of two-component lipid bilayers
为了研究双组分脂双层膜的自发曲率模型的一维模拟，我们考虑由具有两相的材料制成的平面曲线。每个相位诱导曲线的优选曲率，并且这些曲率以及相位边界可能导致扭结的发展。我们引入了一个家庭的能量平滑曲线和相场，我们表明，这些能量$Γ$ -收敛到一个能量曲线的有限数量的扭结。最后通过数值例子说明了理论结果。
2016-03-01 math-ph math.AP math.DG
Optimal thresholds for preserving embeddedness of elastic flows
本文研究欧几里得空间中闭曲线弹性流保持嵌入性的最优能量阈值，在余维一情形通过变分方法证明阈值形状为唯一的“弹性双泪滴”非经典曲线。
2023-05-13 math.AP math.DG
