Morphing of Manifold-Valued Images inspired by Discrete Geodesics in Image Spaces
Technische Universität Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）；Fraunhofer ITWM（弗劳恩霍夫工业数学研究所）
本文基于Berkels等人2015年的离散测地线模型，研究流形值图像的变形问题，证明了在有限维Hadamard流形上的最小序列存在性，并提出基于有限差分的离散模型，通过求解注册问题和欧拉-拉格朗日方程实现图像序列的计算。
2018-05-08 cs.NA math.DG math.NA
Analytic properties of Stretch maps and geodesic laminations
本文通过 p-Schatten 调和映射在 p→∞ 时的极限构造最佳 Lipschitz 映射，并证明极限对偶测度 dv 的支集位于 Thurston 典范测地叶状层上。
2025-08-31 math.DG
Iteration of closed geodesics in stationary Lorentzian manifolds
根据R. Bott（Comm. Pure Appl. Math.9，1956）研究了定常Lorentzian流形中闭测地线的迭代Morse指数，或者更一般地，研究了允许类时周期Jacobi场的闭Lorentzian测地线的迭代Morse指数。给定一个这样的闭测地线$γ$，我们证明了单位圆上的局部常数整数值映射$Λ_γ$的存在性，其性质是迭代的$γ^N$的Morse指数直到修正项$ε_γ\in\{0,1\}$为止等于$Λ_γ$在$N$次单位根上的值之和. $Λ_γ$的不连续性发生在单位圆上的有限个点上，这些点是$γ$的线性化Poincaré映射的特殊特征值。我们讨论了该理论的一些应用。
2007-06-12 math.DG
Sobolev metrics on spaces of manifold valued curves
该研究分析了流形值开、闭浸入曲线空间上阶数$n\ge2$的重参数化不变Sobolev度量的完备性，证明多类重要度量的Sobolev浸入射地与度量完备，还指出开曲线常系数Sobolev度量的不完备仅源于全消失曲线。
2024-01-30 math.AP math.DG
A priori bounds for geodesic diameter. Part II. Fine connectedness properties of varifolds
本文研究了变分的细连通性性质，通过引入不可分解性概念，推导出几何结论。
2025-12-23 math.AP math.CA math.DG
Non-existence of Riemannian metric satisfying Yamabe soliton
本文证明了紧致黎曼流形不允许有正数量曲率的度量，如果在该流形中存在一个实值函数，且该函数沿满足扩张或稳定Yamabe孤子的测地线严格为正.我们还导出了极点满足稳定Yamabe孤子的黎曼流形中测地球的数量曲率与表面积之间的关系。
2019-08-01 math.DG
Proper affine actions and geodesic flows of hyperbolic surfaces
本文给出了O（2，1）的Schottky子群的仿射变形正确作用于仿射空间的充要条件.在Schottky群的上同调和相应的双曲曲面S上测地流空间之间存在一个实值双仿射映射。对于固定的上同调类，该映射在测地流空间上一致正或一致负当且仅当相应的仿射变形是适当的。作为推论，真仿射变形的变形空间是开凸锥。
2008-09-24 math.DG math.DS
On complexified analytic Hamiltonian flows and geodesics on the space of Kahler metrics
在紧致实解析辛流形M的情况下，我们描述了Kahler度量空间上Hamilton流[Se，Do 1，Th 1]和相应测地线的复化方法.在这种方法中，最近的量子化工作的动机，复杂化的哈密顿流的行为，通过Grobner理论的李级数，对层的复值实解析函数，改变层的全纯函数。这定义了对M的（等价）复结构空间的作用，也定义了对M的直接作用。这个描述与[BLU]的方法有关，其中一个人对M的复化M_C有一个作用，然后投影到M。我们的方法允许研究一些哈密顿函数，这不是真正的分析。它也自然地导致考虑连续退化的单同态和Kahler结构的M。因此，我们可以连续地（几何量子化）链接实的，更一般的非卡勒偏振与卡勒偏振。这相当于测地线延伸到Kahler度量空间的边界。考虑三个说明性的例子。我们发现一个明确的公式下的流动的Kahler势的复杂的时间演化。对于积分辛形式，这个公式对应于哈密顿辛同胚的预量子化的复化。我们验证了某些家庭的Kahler结构，这已被研究的几何量子化，是测地线家庭。
2015-01-06 math.DG
Geodesic complexity of homogeneous Riemannian manifolds
本文研究完备黎曼流形的测地运动规划问题，利用黎曼几何方法建立了测地复杂度的新上下界，并计算了若干类齐次黎曼流形的测地复杂度值。
2022-01-21 math.AT math.DG math.GT
A discrete framework to find the optimal matching between manifold-valued curves
本文的目的是找到一个流形值曲线之间的最佳匹配，从而充分比较它们的形状，被视为等价类相对于动作的重新参数化。使用一个典型的分解路径的主丛，我们引入了一个简单的算法，找到一个最佳匹配的两条曲线之间的计算的测地线的无限维流形的曲线，在任何时候都是水平的纤维的形状束。我们专注于所谓的平方根速度框架中研究的弹性度量。形状束的商结构进行了检查，特别是相对于纤维的水平性。这些结果更一般地给出任何弹性度量。然后，我们介绍了一个全面的离散框架，正确地近似光滑设置时，基流形具有恒定的截面曲率。它本身是一个黎曼结构的产品流形上的“离散曲线”由有限数量的点，我们表明其收敛到连续模型的离散化的大小趋于无穷大。给出了双曲平面、平面和球面上的离散曲线最优匹配的实例，并与动态规划进行了比较。
2018-01-19 math.DG
Fractional Sobolev metrics on spaces of immersions
本文利用分数阶 Laplace 算子对底层度量的实解析依赖性，证明微分同胚与浸入空间上一阶及以上分数阶 Sobolev 度量的测地线方程局部适定，并推广至 Euler-Arnold 方程等多种变分 PDE。
2020-02-04 math.DG
A Hierarchical Geodesic Model for Longitudinal Analysis on Manifolds
在许多应用中，测地线分层模型足以用于时间观测的研究。我们采用这样一个模型导出的流形值的数据肯德尔的形状空间。特别是，而不是Sasaki度量，我们适应基于函数的度量，这提高了计算效率，不需要实现的曲率张量。我们提出了相应的变分时间离散测地线和纵向分析的方法，以及来自骨关节炎的成像研究的2D大鼠头骨形状和3D形状。特别是，我们进行假设检验和估计的平均趋势。
2022-03-04 math.DG math.MG math.OC
Harmonic Riemannian submersions between Riemannian symmetric spaces of noncompact type
该研究构造了非紧型对称空间到其一秩全测地子空间的调和黎曼淹没，证明了分裂实半单李群对应黎曼对称空间上存在全局非常值复值调和态射，完成了Gudmundsson猜想的肯定证明。
2024-04-12 math.DG
Geodesic string counting invariants and arithmetic of multiplicities
University of Colima（科利马大学）
该研究基于测地流的Fuller指标，推导测地弦计数的乘积型公式，结合KAM理论得出二维环面上测地弦重数的数论性质，还给出闭测地线计数及负截面曲率度量存在性的算术约束。
2026-08-05 math.DG math.DS math.SG
Sobolev Metrics on Shape Space, II: Weighted Sobolev Metrics and Almost Local Metrics
在[3]的继续中，我们讨论浸入空间$\Imm(M,N)$和形状空间$B_i(M,N)=\Imm(M,N)/\on{Diff}(M)$上的形式为$$ G^P_f(h,k)=\int_M \sum_{i=0}^pΦ_i(\Vol(f)) \g((P_i)_fh,k) \vol(f^*\g) $$的度量。这里$(N,\g)$是完备黎曼流形，$M$是紧致流形，$f:M\to N$是浸入，$h$和$k$是浸入空间中$f$的切向量，$f^*\g$是$M$上的诱导黎曼度量，$\vol(f^*\g)$是$M$上的诱导体密度，$\Vol(f)=\int_M\vol(f^*\g)$，$Φ_i$是正实值函数，和$(P_i)_f$是类似于拉普拉斯算子$Δ^{f^*\g}$的某个幂的算子。我们推导出这些度量的测地线方程，并证明它们有时与测地线指数映射是适定的。这里的新方面是权重$\Ph_i(\Vol(f))$，我们使用它来构造尺度不变度量和具有正测地距离的0阶度量。我们详细讨论了几个具体的特殊情况。
2012-12-27 math.DG
Sheaves of nonlinear generalized functions and manifold-valued distributions
本文是一个正在进行的计划的一部分，以发展广义微分几何理论。本文考虑定义在流形$X$上取值于流形$Y$的Colombeau广义函数空间$\mathcal{G}[X,Y]$.这个空间是必不可少的，以研究概念，如流动的广义向量场或测地线的广义度量。引入连续映射空间$\mathcal{C}(X,Y)$到$\mathcal{G}[X,Y]$的嵌入，研究了$\mathcal{G}[X,Y]$的层性质.对广义向量丛同态空间也得到了类似的结果。基于这些结构，我们提出了一个空间$\mathcal{D}'[X,Y]$的分布在$X$采取值在$Y$。$\mathcal{D}'[X,Y]$被实现为$\mathcal{G}[X,Y]$的某个子空间的商。
2009-02-11 math.DG math.FA
Polygons in buildings and their refined side lengths
在非紧型对称空间中，人们可以将欧氏建筑中的定向测地线线段与欧氏外尔腔中的向量值长度联系起来;除了度量长度之外，它还包含关于线段方向的信息。本文研究了（厚）欧氏建筑物中多边形向量值边长的限制。主要的结果是，n-π的可能边长的集合只依赖于相关的球形考克斯特复形。我们还证明了它与半稳定加权组态在Tits边界上的向量值权空间一致。文献[KLM 1]研究了非紧型对称空间中多边形的边长。[KLM 3]给出了这两篇文章中几何结果在代数群理论中的应用。
2005-11-06 math.DG math.MG
The space of finite-energy metrics over a degeneration of complex manifolds
给定紧致射影复流形$X$在穿孔圆盘上的退化，具有亚纯奇点，以及$X$上的相对丰富的线丛$L$，我们研究了$L$上的多重次调和度量空间，特别关注（相对）有限能量条件.我们赋予空间$\hat \cE^1(L)$的相对最大，相对有限的能量度量与$d_1$型距离由Lelong数在零的收集纤维Darvas $d_1$距离。我们证明了这个度量结构是完备的和测地线的。将$X$和$L$看作复Laurent级数离散域$\K=\mathbb{C}((t))$上的$X_\K$，$L_\K$，证明了$L_\K\an$上的非阿基米德有限能量度量空间$\cE^1(L_\K\an)$等距地和测地线地嵌入到$\hat \cE^1(L)$中，并刻画了它的映象.这推广了Berman-Boucksom-Jonsson以前的工作，处理平凡值的情况。我们调查的非阿基米德泛函的凸性的后果。
2021-07-10 math.AG math.CV math.DG
Polynomial growth of subharmonic functions in a strongly symmetric Riemannian manifold
本文研究了具有极点的强对称黎曼流形中下调和函数的一些性质。作为函数多项式增长的推广，我们引入了函数关于实函数的多项式增长的概念，并证明了$1$维流形上的任何非负二次可微下调和函数都允许关于实直线上的非负实值下调和函数的多项式增长.我们还给出了测地线球上凸函数积分的一个下界。
2018-06-23 math.DG
Harmonic Morphisms on Lie groups and Minimal Conformal Foliations of Codimension two
本文研究配备左不变半黎曼度量的李群上由半单子群生成的余维二左不变共形叶状结构，证明其极小性，并在黎曼情形下给出全测地条件。
2024-03-29 math.DG
The Automorphism Group of a Banach Principal Bundle with {1}-structure
巴拿赫流形M（具有模型空间E）上的{1}-结构是M上的E值1-形式，它在每个切空间上诱导到E上的同构。给定一个具有连通底空间和{1}-结构的Banach主丛P，证明了只要无穷小自同构的李代数由完备向量场组成，则它的自同构群可化为光滑作用于P的Banach-李群.由此证明了连通测地线完备仿射巴拿赫流形M的自同构群可以化为光滑作用在M上的Banach-李群。
2011-02-10 math.DG
Shape Analysis of Surfaces Using General Elastic Metrics
在这篇文章中，我们引入了一个家庭的弹性度量的空间中的参数化曲面在3D空间中使用相应的家庭度量的空间中的向量值的一个形式。我们提供了一个数值框架的计算测地线相对于这些指标。度量族在刚体运动和重参数化下是不变的，因此它在曲面的“形状空间”上导出了一个度量。这类新的度量推广了以前研究的弹性度量族，特别包括平方根正规函数（SRNF）度量，它已被证明是成功的，在各种应用中。我们展示了我们的框架，通过显示几个例子测地线和比较我们的结果与早期的结果从SRNF框架。
2019-10-07 math.DG math.OC
Twisted Ruelle zeta function on hyperbolic manifolds and complex-valued analytic torsion
本文研究紧致双曲奇数维流形上与近酉非循环表示相关的扭曲 Ruelle zeta 函数，证明其在零点正则，并给出其与精化解析挠率平方及奇符号算子偶部分 eta 不变量的精确关系。
2023-05-26 math.DG math.DS math.SP
The X-ray transform for connections in negative curvature
我们考虑具有负截面曲率的流形上的酉联络和斜厄米希格斯场的积分几何反问题。结果适用于任何维度的流形，有或没有边界，也在存在被困测地线。在边界条件下，我们证明了在厄米特丛（即向量值的情况下）的张量场的衰减射线变换的内射性。我们还表明，一个连接和Higgs场的厄米丛上的规范所确定的边界点沿所有可能的测地线之间的平行输运的知识。主要工具是一个能量恒等式，与酉连接的佩斯托夫恒等式，这是在一个一般的形式，和一个精确的分析时，有捕获测地线输运方程的解的奇异性。在闭流形的情形下，我们得到了类似的结果模扭曲共形Killing张量给出的障碍，我们也研究了这种障碍。
2015-09-13 math.AP math.DG math.DS
Optimal matching between curves in a manifold
本文研究流形值曲线间的最优匹配，将曲线视为无穷维流形元素并使用重参数化群不变的黎曼度量，提出一种基于主丛路径典范分解的算法计算商形状空间测地线，并在弹性度量下对平面、双曲平面和球面上的开曲线进行了模拟。
2024-01-09 math.DG
Sharp Riemannian heat kernel estimates on the cut locus and the Parabolic Anderson model
Aarhus University（奥胡斯大学）；Lehigh University（利哈伊大学）；University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文利用精确的全局热核界和测地比较几何，证明了在一般紧黎曼流形上抛物型安德森模型的达兰格条件成立，并建立了所有解的上界和下界矩估计，为一般情况下的间歇性提供了证据。
2026-10-27 math.DG math.PR
Operator-valued formulas for Riemannian Gradient and Hessian and families of tractable metrics
本文提出一种算子值公式方法，用于计算一类商流形的黎曼梯度与海森矩阵，并将其应用于斯蒂费尔流形、旗流形及固定秩半正定矩阵流形，扩展了流形优化和机器学习中可用的度量族。
2021-06-29 cs.CV cs.LG math.DG
Integral Liouville theorem in a complete Riemannian manifold
如果黎曼流形中的Killing向量场是光滑实值函数的梯度，则称之为Killing势。本文给出了完备黎曼流形中Killing势存在的一个必要条件。Yau利用梯度估计证明了黎曼流形上调和函数的Liouville定理，此后许多作者推广了这一概念，并研究了各种类型的调和函数的Liouville定理。本文还证明了完备黎曼流形上调和函数积分形式的Liouville定理。最后研究了满足梯度Ricci孤立子的完备黎曼流形中调和函数的性质，证明了调和函数是沿测地线的距离函数的常数倍。
2018-08-01 math.DG
Injectivity and stability for the sub-Riemannian X-ray transform on H-type groups
University College London（伦敦大学学院）
本文研究 $H$ 型群上次黎曼测地线的 X 射线变换，通过傅里叶切片定理刻画单射集，证明全变换单射性并给出稳定性估计，与欧几里得情形对比揭示有限角度限制。
2026-10-14 math.AP math.DG math.RT
Thurston norms, $L^2$-norms, geodesic laminations, and Lipschitz maps
本文研究闭双曲 3-流形中 $L^2$-范数与 Thurston 范数的尖锐不等式，并结合最佳 Lipschitz 圆值映射和极大拉伸层状结构揭示熵与几何长度的关系。
2024-03-04 math.DG math.GT
Anisotropically Weighted and Nonholonomically Constrained Evolutions on Manifolds
我们提出了发展方程的路径，从各向异性加权曲线能量在非线性统计的流形值数据的家庭。当对具有非平凡协方差且各向异性分布的数据执行推断时，会出现这种情况。族可以被解释为驱动半鞅的最可能路径，通过随机发展映射到流形。我们讨论了路径如何是流形的标架丛上的次黎曼度量的测地线的投影，以及底层联络的曲率如何出现在次黎曼Hamilton-Jacobi方程中。导出了亚黎曼度规的度规和度量公式的发展方程。此外，我们展示了如何秩亏度量可以与一个基本的黎曼度量混合，我们与黎曼几何中的测地线和多项式的路径。从家庭的路径的例子被可视化的嵌入式表面上，我们探讨计算表示有限维地标流形的几何诱导右不变度量的仿射群。
2016-11-23 math.DG math.ST stat.TH
Parallel transport in shape analysis: a scalable numerical scheme
Inria Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎中心）
流形值数据的分析需要来自黎曼几何的有效工具来处理所涉及的计算复杂性。这种复杂性源于数据的维数不断增加，以及基本运算（如黎曼对数）缺乏封闭形式的表达式。在本文中，我们适应了一个通用的数值计划最近推出的计算并行运输沿测地线在黎曼流形有限维流形的同胚。我们提供了一个定性和定量的分析其行为的高维流形上，并探讨了应用与大脑结构的进展预测。
2017-11-23 cs.CV math.DG stat.ML
Learning Weighted Submanifolds with Variational Autoencoders and Riemannian Variational Autoencoders
Stanford University（斯坦福大学）
流形值数据自然出现在医学成像中。例如，在认知神经科学中，大脑连接组对不同大脑区域之间的共激活模式的分析是基于对功能性磁共振成像（fMRI）时间序列相关性的分析--这一对象因此受到结构的限制，属于对称正定矩阵的流形。自然产生的挑战之一是找到一个低维子空间来表示这种流形值数据。传统的技术，如主成分分析，不适合处理非欧几里德空间，并且可能无法实现数据的低维表示-因此可能指向缺乏数据的低维表示。然而，这些技术的限制在于：（i）它们不利用连接体属于预先指定的流形的假设，因此丢弃信息;（ii）它们只能将线性子空间拟合到数据。在本文中，我们感兴趣的变体学习潜在的高度弯曲的流形值数据的子流形。受大脑连接体例子的启发，我们研究了一个潜在变量生成模型，它具有为我们提供不确定性估计的额外好处-这是我们正在考虑的医学应用中的一个关键数量。虽然潜变量模型已经被提出来学习欧几里得数据的线性和非线性空间，或流形数据的测地线子空间，但不存在内在潜变量模型来学习流形数据的非测地线子空间。本文填补了这一空白，并制定了一个黎曼变分自动编码器与流形值数据的内在生成模型。我们通过引入加权黎曼子流形的形式来评估它在合成数据集和真实数据集上的性能。
2019-11-19 cs.LG math.DG stat.ML
A Riemannian View on Active Subspaces
National Institute of Standards and Technology（美国国家标准与技术研究院）
研究如何将活动子空间原理从欧几里得空间推广到黎曼流形，通过与平行传输结合，对比内在与外在方法，在局部意义上研究两者差异，以超球面为例进行数值说明，包括曲率限制下的岭恢复。
2026-07-29 cs.LG cs.NA math.DG
Information geometry for phylogenetic trees
我们提出了一个新的空间的系统发育树，我们称之为瓦尔德空间。其动机是开发一个适合于遗传学统计分析的空间，但具有基于比现有空间更生物学原则假设的几何形状：在瓦尔德空间中，如果树在遗传序列数据上诱导相似的分布，则它们是接近的。作为一个点集，瓦尔德空间包含先前发展的Billera-Holmes-Vogtmann（BHV）树空间;它也包含不连通的森林，像边积（EP）空间，但没有EP空间的某些奇点。研究了wald空间上两个相关的几何。第一个是几何形状的Fisher信息度量的字符分布引起的两个国家的对称马尔可夫替代过程中的每棵树。无穷小地，度量与Kullback-Leibler散度成比例，或者等价地，如我们所示，与f -散度成比例。第二个几何类似地获得，但使用相关的连续值高斯过程中的每棵树，它可以被看作是协方差阵的仿射不变度量的迹度量。我们推导了一个梯度下降算法，从协方差阵的周围空间投影到Wald空间。对于这两种几何形状，我们推导出计算方法来计算测地线在多项式时间和数值显示，两个信息几何（离散和连续）是非常相似的。特别地，测地线被外推近似。与BHV几何的比较表明，我们的规范和生物动机的空间是实质上不同的。
2020-09-17 cs.IT math.DG math.IT
