Sobolev--type metrics in the space of curves
我们定义一个流形$M$，其中对象$c\in M$是曲线，我们将其参数化为$c:S^1\to R^n$（$n\ge 2$，$S^1$是圆）。给定一条曲线$c$，我们定义$M$在$c$的切空间$T_cM$，其中包括$c$的所有变形$h:S^1\to R^n$。本文研究由Sobolev型度量$H^j$给出的曲线流形上的几何。我们研究$H^j$型度量的情况下$j=1,2$，我们证明的估计，并刻画完成的光滑曲线的空间。作为奖励，我们证明了曲线的Fréchet距离（参见arXiv：math.DG/0312384）与在arXiv：math.DG/0412454中的\S 2.2中定义的"Finsler $L^\infinity$度量“所引起的距离一致。
2006-04-30 math.DG
Sobolev Metrics on Spaces of Discrete Regular Curves
本文针对数学形状分析中常用的离散正则曲线空间诱导黎曼度量，补充研究其有限维黎曼流形的理论性质，证明了度量与测地完备性，对应无穷维情形下的已有结果。
2025-03-24 math.DG
Geodesic completeness of the $H^{3/2}$ metric on $\mathrm{Diff}(S^{1})$
所关心的是右不变$H^{3/2}$ -度量的欧拉-阿诺德方程的解的长期存在性的研究在圆的同态群。在以前的工作中，由Kubler和Kolev它已被证明，这个方程承认长时间的解决方案，如果该阶$s$的度量是大于$3/2$，行为的关键Sobolev指数$s=3/2$已被打开。在这篇文章中，我们填补了这一空白，证明类似的结果也为边界的情况。然而，$H^{3/2}$ -度量的行为仍然不同于它的高阶对应部分，因为它不会在任何Sobolev同构群上导出完全的黎曼度量。
2020-03-20 math.AP math.DG
The smooth Riemannian extension problem: completeness
通过一般的胶合和保角变形构造，证明了任何光滑的度量完备的具有光滑边界的黎曼流形都可以作为一个闭域实现为光滑的测地线完备的无边界黎曼流形.给出了它在索伯列夫空间、Nash嵌入和具有严格曲率界的局部扩张中的应用。
2016-06-30 math.DG math.MG
Sobolev metrics on spaces of manifold valued curves
该研究分析了流形值开、闭浸入曲线空间上阶数$n\ge2$的重参数化不变Sobolev度量的完备性，证明多类重要度量的Sobolev浸入射地与度量完备，还指出开曲线常系数Sobolev度量的不完备仅源于全消失曲线。
2024-01-30 math.AP math.DG
On Geodesics of Sprays and Projective Completeness
测地线是流形上喷雾向量场的积分曲线，在喷雾-芬斯勒几何中起着重要作用。建立了关于Spray度量和Finsler度量的测地线完备性的比较定理和刚性问题。本文研究了具有弱Ricci常数（eps.常曲率）在测地线水平上进行分类。此外，一个测地线的方法被引入到确定$n$维喷雾的基础上的一个家庭的曲线与$2(n-1)$自由常数参数作为测地线。最后，证明了在所有测地线的测地参数定义域所满足的一定条件下，一个喷雾是射影完备的。
2023-01-02 math.DG
Why Use Sobolev Metrics on the Space of Curves
University of Vienna（维也纳大学）；Brunel University London（布鲁内尔伦敦大学）
本文研究了曲线空间上不变的Sobolev度量，探讨其完备性及在形状分析中的应用价值，强调发展高阶Sobolev类型度量的数值方法至关重要。
2015-02-11 cs.NA math.DG math.NA
Varifold-based matching of curves via Sobolev-type Riemannian metrics
Florida State University（佛罗里达州立大学）；Brunel University London（布鲁内尔伦敦大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文提出利用Sobolev二阶度量与变分不精确匹配方法，研究无参数曲线间测地线的计算，应用于蚊翅形状分析并与LDDMM框架进行比较。
2017-06-06 cs.NA math.DG math.NA
Soliton solutions for the elastic metric on spaces of curves
本文研究了浸入曲线空间上的一阶重参数化不变Sobolev度量。出于形状分析中的应用，需要这个无限维空间的离散化，我们将这个度量扩展到Lipschitz曲线的空间，建立适定性的测地方程，并表明分段线性曲线的空间是一个完全测地子流形。因此，分段线性曲线是用于测地线方程离散化的自然有限元。有趣的是，这个空间中的测地线可以被看作是测地线方程的孤子解，这对于曲线空间上的重新参数化不变的索伯列夫度量来说是不存在的。
2017-11-12 math.DG
$R$-transforms for Sobolev $H^2$-metrics on spaces of plane curves
我们考虑光滑浸入平面曲线（模平移和/或旋转）的空间，配备了涉及二阶导数的重参数化不变弱黎曼度量。这包括没有零级项的完整$H^2$度量。我们发现等距（称为$R$ -变换）从这些空间到函数空间与简单的弱黎曼度量，我们用它来给明确的公式测地线，测地距离，截面曲率。我们还展示了如何利用等距计算测地线数值。
2013-11-14 math.AP math.DG
Fractional Sobolev metrics on spaces of immersed curves
受形状分析领域应用的启发，我们研究了光滑正则曲线空间$\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$及其Sobolev完备化空间$\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$上的重参数化不变分数阶Sobolev型度量.我们证明了局部适定性的测地线方程的巴拿赫流形$\mathcal{I}^{q}(S^1,\mathbb{R}^{d})$和Fréchet流形$\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb{R}^d)$上的度量的阶是大于或等于一。此外，我们还证明了当$s>\frac 32$满足一定条件时，$H^s$度量在同阶$s$的巴拿赫流形$\mathcal{I}^{s}(S^1,\mathbb{R}^{d})$上诱导出强黎曼度量.这些研究也可以被解释为右不变度量分析的推广。
2017-03-09 math.AP math.DG
Regularity of Maps between Sobolev Spaces
设$F : H^q \to H^q$是$\mathbb R^d$或紧流形上索伯列夫空间之间的$C^k$ -映射.我们发现，$F$下的同构群的等方差允许贸易的规律性$F$作为一个非线性映射的规律性的图像空间：对于$0 \leq l \leq k$，地图$F: H^{q+l} \to H^{q+l}$是定义良好的类$C^{k-l}$。利用这一结果研究了Sobolev度量的测地线边值问题在曲线空间和同构群上的正则性。
2016-02-21 math.DG
Hardy-Sobolev inequality with singularity a curve
我们考虑$\mathbb{R}^N$的有界域$Ω$，$N\geq 3$，$h$是$Ω$上的连续函数.令$Γ$是包含在$Ω$中的闭合曲线。研究了方程$$ -Δu+h u=ρ^{-σ}_Γu^{2^*_σ-1} \qquad \textrm{ in } Ω$$正解$u\in H^1_0(Ω)$的存在性，其中$2^*_σ:=\frac{2(N-σ)}{N-2}$，$σ\in (0,2)$，$ρ_Γ$是到$Γ$的距离函数.对于$N\geq 4$，我们找到了一个充分条件，给出了曲线的局部几何，基态解的存在。在$N=3$情形下，只要$-Δ+h$的格林函数的正则部分的迹在曲线的某一点为正，我们就得到基态解的存在性.
2017-02-07 math.AP math.DG
On closed finite gap curves in spaceforms II
证明了双曲3-空间$\mathbb{H}^3$中的闭有限间隙曲线集在$\mathbb{H}^3$中的所有闭$W^{2,2}$ -曲线的索伯列夫空间中是$W^{2,2}$ -稠密的.我们还证明了在任何二维空间型$\mathbb{E}^2$中的闭有限间隙曲线集在$\mathbb{E}^2$中的所有闭$W^{2,2}$ -曲线的索伯列夫空间中是$W^{2,2}$ -稠密的.
2019-01-10 math.DG math.DS
Fractional Sobolev metrics on spaces of immersions
本文利用分数阶 Laplace 算子对底层度量的实解析依赖性，证明微分同胚与浸入空间上一阶及以上分数阶 Sobolev 度量的测地线方程局部适定，并推广至 Euler-Arnold 方程等多种变分 PDE。
2020-02-04 math.DG
Hybrid Riemannian Metrics for Diffeomorphic Shape Registration
我们考虑的结果相结合的两种方法的设计黎曼度量曲线和曲面，即参数化不变度量的Sobolev型空间的浸入，和度量通过黎曼淹没右不变Sobolev度量的群的同构（后者导致的“大变形同构度量映射”框架）。我们表明，这种相当简单的方法继承了这两种方法的优点，无论是在理论和实验水平上，并提供额外的灵活性和建模能力，特别是在处理复杂的形状配置。实验结果表明，该方法提供的曲线和曲面配准。
2018-04-22 math.DG
A Numerical Framework for Sobolev Metrics on the Space of Curves
Florida State University（佛罗里达州立大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；Brunel University London（布鲁内尔伦敦大学）；Freiburg University（弗赖堡大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文提出数值算法解决Sobolev度量下的测地线初值和边界值问题，用于计算Riemann梯度优化下的Karcher均值及主成分分析与聚类。
2016-10-16 cs.NA math.DG math.NA
On Geodesic Completeness for Riemannian Metrics on Smooth Probability Densities
最优输运和信息论的几何方法引发了概率密度作为无限维黎曼流形的解释。研究最多的黎曼结构是奥托度量，产生最佳质量输运的$L^2$ -Wasserstein距离，以及在信息几何理论中占主导地位的Fisher-Rao度量。在光滑概率密度的空间上，这些黎曼度量都不是测地线完备的-例如在成像应用中，这是一个理想的性质。也就是说，测地流方程解的存在区间不能扩展到整条实数线。本文研究光滑概率密度空间上高阶Sobolev型度量的一类作为测地流方程的Hamilton-Jacobi型偏微分方程.我们给出了整体存在唯一性的序条件，从而提供了测地完备性。我们研究的系统是一个有趣的例子，流方程损失的衍生物，这是适定的光滑类，但非抛物和完全非线性。在一个更一般的说明，本文建立了一个链接的概率密度空间的几何分析和分析的欧拉-阿诺德方程的拓扑流体力学。
2017-06-19 math.AP math.DG
Brownian motion on spaces of discrete regular curves
University of Warwick（华威大学）；University of Houston（休斯顿大学）
研究离散正则曲线空间上的布朗运动，证明几何完备性与Sobolev型度量阶数的关系，展示随机完备性并应用于数据统计。
2025-10-28 math.DG math.PR
Homogeneous Sobolev gradient flow of the length functional
Murdoch University（默多克大学）；University of Wollongong（伍伦贡大学）
研究平面浸入闭曲线空间中长度泛函的梯度流，采用参数λ>0和a∈R的同质SobolevH^1型Riemann度量。通过弧长卷积和周期格林函数得到梯度流，证明在最优低正则性设定下局部适定性，并展示长度指数衰减和全局存在性。
2026-07-30 math.AP math.DG
Convergence of Sobolev gradient trajectories to elastica
Tohoku University（东北大学）
本文研究$\n\bbr^n$闭曲线上修正弹性能的$H^2(ds)$梯度流，证明其存在唯一全局时间解，并借助Łojasiewicz–Simon梯度不等式确立了向弹性曲线的完全收敛性。
2023-01-27 math.AP math.DG
On Closed Finite Gap Curves in Spaceforms I
我们证明了${\mathbb R}^3$和${\mathbb S}^3$中的闭有限间隙曲线空间分别关于${\mathbb S}^3$和${\mathbb R}^3$中的闭曲线空间中的Sobolev $W^{2,2}$ -范数是稠密的.
2020-03-04 math.DG math.DS
Geometric Integration by Parts and Sobolev Spaces on Vector Bundles: A Unified Global Approach
Department of Mathematics, Facultad de Ciencias, UNAM（墨西哥国立自治大学理学院数学系）
本文提出一种统一的全局框架，用于研究Riemann流形上的向量丛Sobolev空间理论，通过显式高阶几何积分求解公式，推导出协变导数的正式伴随，并在任意Riemann流形上建立Sobolev嵌入和Rellich-Kondrachov紧致性定理的自包含证明。
2026-09-18 math.AP math.DG
Ultralimits of Sobolev maps and stability of Dehn functions
University of Fribourg（弗里堡大学）
本文通过研究Sobolev映射的超极限，证明了德恩函数在超收敛定点长度空间下的稳定性，并简化了Stadler--Wenger关于曲率上界空间的等周不等式结果的证明。
2026-03-05 math.DG math.MG
Sobolev Gradients for the Möbius Energy
为了优化指定的合痕类内的封闭嵌入曲线的形状，我们使用基于梯度的方法来近似Möbius能量的稳定点。梯度是相对于类似于$W^{3/2,2}$ -内积的Sobolev内积计算的。这导致了比基于$L^2$梯度的标准技术显著更有效和更鲁棒的最优化方法。
2021-07-04 cs.NA math.DG math.NA
An overview of the Riemannian metrics on spaces of curves using the Hamiltonian approach
这里的形空间是$\mathbb R^2$中的简单闭光滑非参数曲线的流形，或者是从$S^1$到$\mathbb R^2$模$S^1$的自同构群的浸入的轨道。本文研究了形状空间上的几种黎曼度量：$L^2$ -度量，它们分别由长度和曲率的表达式加权.这些度量包括尺度不变度量和夹在两个长度加权度量之间的Wasserstein型度量。描述了曲线上$n$阶的Sobolev度量.这里切场的水平投影由一个伪微分算子给出。最后讨论了由Sobolev度量在$\mathbb R^2$上的同构群上导出的度量.虽然商度量都是由伪微分算子给出的，但它们的逆是由光滑核的卷积给出的。我们能够证明这两种Sobolev度量的测地线方程解的局部存在唯一性。我们感兴趣的是所有的守恒量，所以本文从哈密顿设置和计算守恒动量和测地线一般的浸入空间。对于每个度量，我们计算形状空间上的测地线方程。最后，我们在一些例子中概述了这些指标之间的差异。
2006-07-11 math.DG math.SG
On Geodesics in the Spaces of Constrained Curves
本文研究赋予一阶Sobolev度量的受约束浸入曲线子空间中的测地线，涵盖弹性曲线并将平面同心圆结果推广到曲面，采用内在与构造性方法。
2023-09-22 math.DG stat.AP
Characterization of the Metric Completion of Immersed Open-Curve Spaces
本文研究了赋予Sobolev型度量的浸入开曲线空间的度量完备化，通过证明多个不同极限点的存在性推翻了先前关于完备化仅含单个额外点的猜想，并给出了该情形下度量结构的近乎完整刻画。
2025-09-13 math.DG
Sobolev-to-Lipschitz property of geodesically complete spaces with curvature bounded from above
Università di Trento（特伦托大学）；University of Fribourg（弗里堡大学）
证明每个曲率上有界且测地完备的长度空间具有指数无穷的Sobolev-to-Lipschitz性质，即每个W^{1,∞}空间中的Sobolev映射有Lipschitz代表，且Lipschitz常数等于映射的无穷能量。
2026-06-24 math.DG math.MG
Computing distances and geodesics between manifold-valued curves in the SRV framework
研究了黎曼流形M中的开曲线，给出了这类开曲线空间上的一个重参数化不变度量。利用Srivastava等人提出的平方根速度函数（SRVF），通过拉回切丛TM '上的一个自然度量，定义了浸入空间M'= Imm（[0，1]，M）上的一个黎曼度量.这在M'上引入了一阶Sobolev度量，并导致考虑M中原点之间的距离和曲线的SRV表示之间的L2距离的距离。给出了该度量的测地线方程，并利用该方程定义了M '上的指数映射。一条曲线到另一条曲线的最佳变形可以使用测地线射击来构造，这需要表征M '的Jacobi场。在雷达信号处理的设置中，曲线位于双曲半平面的特定情况被认为是一个例子。
2017-03-15 math.DG
Existence of curvature flow with forcing in a critical Sobolev space
NYU Shanghai（纽约大学上海分校）；NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences at NYU Shanghai（纽约大学上海分校华东师范大学数学科学研究所）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
研究给定闭1-可求积集\(\Gamma_0\)及临界Sobolev空间向量场\(u\)时，从\(\Gamma_0\)出发的曲线流的存在性，其法向速度由曲率与\(u\)之和给出，运动定律在Brakke意义下成立且流在奇点处存在。
2026-07-23 math.AP math.DG
Elastic distance between curves under the metamorphosis viewpoint
我们提供了一个新的角度，并获得新的结果一类度量长度归一化曲线在$d$尺寸，其单位切线表示为弧长的函数，这是从单位间隔的$(d-1)$维单位球的功能。这些度量是来自于共同作用的同胚（参数的变化）和弧长相关的旋转作用于切线。最小化一个黎曼度量，平衡一个右不变度量上的同态和一个$L^2$范数上的运动的切线导致一个特殊的情况下“变态”，这提供了一个一般的框架，适用于类似的情况下，李群作用在黎曼流形。在这个框架内，并使用索伯列夫范数与阶1上的同构群，我们推广了以前的结果，从文献中提供明确的测地距离参数化曲线。
2018-04-26 math.DG
Reparameterization invariant metric on the space of curves
本文研究了流形M中的开曲线，并给出了这类开曲线空间上的一个重参数化不变度量。本文利用Srivastava等人在[11]中引入的平方根速度函数（SRVF），通过拉回由Sasaki度量导出的切丛TM'上的度量，在浸入空间M' = Imm（[0，1]，M）上定义了一个重参数化不变度量.我们观察到，这样一个自然的选择TM'上的黎曼度量诱导M'上的一阶Sobolev度量与一个额外的条款涉及的起源，并导致一个距离，考虑到原点之间的距离和之间的距离的曲线的SRV表示。给出了该度量的测地线方程，以及在应用中如何计算观测轨迹的指数映射的想法。这为一般流形M中的曲线提供了一个广义的理论SRV框架。
2015-10-27 math.DG
On the Metric Completion of Immersed Open Curves
University of Toronto（多伦多大学）；Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学耶路撒冷分校爱因斯坦数学研究所）
本文刻画了实值浸入开曲线空间在Sobolev型黎曼度量下的度量完备化，证明额外极限点与闭区间的$H^n$-微分同胚群同胚，否定了既有猜想并提出更精细猜想。
2026-09-17 math.DG
Pushforward of currents under Sobolev maps
该研究证明Sobolev映射可将模意义下几乎所有紧支撑整流推前为度量空间中的Ambrosio–Kirchheim整流，推导了相应的相对等周不等式，并正面解答了拟正则曲线最优Hölder连续性的公开问题。
2024-08-13 math.CV math.DG math.MG
Existence of least-area discs
本文证明欧几里得空间中每条闭Lipschitz曲线可延拓为最小面积Lipschitz圆盘，并推广至Alexandrov曲率有上界的度量空间。
2026-09-28 math.DG math.MG
A convenient setting for real analytic mappings
本文给出了实解析映象的Carnival闭理论。它是基于局部凸向量空间中实解析曲线的概念。一个映射是实解析的，如果它将平滑曲线映射到平滑曲线，将实解析曲线映射到实解析曲线。在温和的完备性条件下，第二个要求可以被替换为：沿仿射直线的实解析。封闭的和必要的是认真研究的局部凸拓扑空间的实解析映射。作为应用，我们还提出了实解析映射的流形理论：紧致实解析流形的实解析同胚群是实解析李群。
1992-01-01 math.CA math.DG math.FA
Curve Matching with Applications in Medical Imaging
Universität Wien（维也纳大学）；Brunel University London（伦敦布鲁内尔大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文提出基于二阶Sobolev度量的曲线空间数值离散化方法，结合Riemann梯度优化计算Karcher均值，用于分析HeLa细胞核形状变化和心脏形变周期。
2015-06-29 cs.NA math.DG math.NA
