Overview of the Geometries of Shape Spaces and Diffeomorphism Groups
本文概述了形状空间的各种概念，包括参数化和非参数化曲线的空间，浸入空间，双同态群和黎曼度量空间。我们讨论的黎曼度量，可以定义在其上，以及什么是已知的这些度量的属性。重点讨论了诱导测地距离、测地方程及其适定性、测地完备性和度量完备性以及曲率的性质。
2013-10-31 math.AP math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the 3-D sphere
单位球面$\mathbb S^3$可以用酉群SU（2）来标识。在这种标识下，单位球面可以被认为是一个非交换的李群。相应的李代数的向量场的对易关系定义了一个2步亚黎曼流形。利用Hamilton形式并求解相应的哈密顿系统，研究了次黎曼流形上的次黎曼测地线。
2008-06-03 math.DG
A note on hyperbolic flows in sub-Riemannian Structures
曲率和约化曲率是辛流形上哈密顿系统、拉格朗日分布对的基本微分不变式。它表明，约化曲率的负性意味着双曲性的任何紧凑的不变集的哈密顿流限制到一个指定的能量水平。本文研究具有对称性的次黎曼结构中自然力学系统最小作用量曲线的哈密顿流。我们给出了约化流（在约化由对称性引起的首次积分后）为双曲的充分条件，并给出了Anosov流的新例子。
2010-08-21 math.DG
Riemannian geometry for shape analysis and computational anatomy
形状分析和计算解剖学都利用了无穷维微分流形和函数空间上的黎曼几何的复杂工具。虽然存在全面的数学基础参考，有时很难获得一个概述如何微分几何和泛函分析相互作用，在一个给定的问题。本文的目的是提供一个路线图的unitated到世界的无限维黎曼流形，映射空间和Sobolev度量：所有的工具，用于计算解剖学和形状分析。
2018-07-30 math.DG
Geodesics on Riemannian stacks
最近引入了可微李群胚和可微堆叠，将流形和轨道折叠的黎曼几何扩展到更一般的奇异空间。在这里，我们继续这一理论，研究堆叠曲线的黎曼堆栈，测量其长度使用堆叠度量，并介绍堆叠测地线。我们的主要结果表明，Stacky曲线的长度度量轨道空间上的距离，将Stacky测地线刻画为局部极小曲线，并建立了Stacky形式的Hopf-Rinow定理.我们包括一个简洁的概述，绕过不必要的技术性，我们把重点放在轨道空间的等距行动和叶空间的黎曼叶的例子。
2019-10-23 math.DG
Warped products and synthetic lower curvature bounds: an overview
本文综述半Riemann流形与度量（测度）空间之间的扭曲积构造，梳理其性质、示例及截面与Ricci曲率下界相关结果，并提出问题和猜想。
2025-03-14 math.DG math.MG
Hyperpolar homogeneous foliations on symmetric spaces of noncompact type - an overview
黎曼流形M上的叶状F是齐次的，如果它的叶与M上等距作用的轨道重合。一个叶理F是极的，如果它有一个截面，即M的一个连通闭全测地子流形与F的每一个叶相交，并正交于每一个交点。一个叶理F是超极的，如果它有一个平截面。这些笔记是有关联合工作与何塞卡洛斯迪亚兹-拉莫斯和田丸博关于超极齐性叶理的黎曼对称空间的非紧型。除了我们在arXiv：0807.3517v2 [math.DG]中证明的分类结果外，本文更详细地介绍了非紧型对称空间的一些相关材料，并对特殊情况M = SL_{r+1}（R）/ SO_{r+1}的分类进行了更详细的讨论.
2009-12-22 math.DG
Classification of the geodesic curves of the sub-Riemannian LR system on the Heisenberg group in dimension 5
University of Belgrade（贝尔格莱德大学）
本文研究了五维Heisenberg群上子Riemannian LR系统测地曲线的分类及完全可积哈密顿系统的解法。
2026-10-14 math.DG
A Hamiltonian version of a result of Gromoll and Grove
将黎曼双球面上的测地线都是闭的也是单闭的定理推广到$\mathbb{R}P^3$上的实Hamilton结构.对于可逆的芬斯勒$2$ -球，其所有测地线都是闭合的，这意味着所有测地线的长度重合。
2016-03-31 math.DG math.SG
Sub-Riemannian Geometry and Geodesics in Banach Manifolds
本文定义并研究了巴拿赫流形上的次黎曼结构。我们得到的Chow-Rashevski定理的精确能控性的扩展，并给出的条件存在的Hamilton测测地流，尽管缺乏庞特里亚金最大值原理在无限维设置。
2016-01-05 math.DG
Topological contact dynamics III: uniqueness of the topological Hamiltonian and C^0-rigidity of the geodesic flow
证明了拓扑切触合痕唯一定义了拓扑切触哈密尔顿算子。结合文献[MS 11]的结果，将光滑接触合痕与光滑接触Hamilton算子和共形因子之间的经典一一对应关系推广到拓扑接触动力系统.这种广义对应的应用包括光滑接触哈密尔顿算子的C^0-刚性、拓扑接触动力系统的变换律和黎曼流形测地流的C^0-刚性。
2013-05-29 math.DG math.SG
Displacement interpolations from a Hamiltonian point of view
最优运输理论中最著名的结果之一是关于黎曼瓦瑟斯坦度量的熵泛函的凸性与基本黎曼流形的里奇曲率下界之间的等价性。这个结果也被推广到Finsler流形和具有里奇流背景的流形。本文从哈密顿系统的角度研究位移插值，并给出了上述结果的统一方法。
2013-07-20 math.DG
Submanifold averaging in riemannian and symplecitc geometry
给出了辛流形中给定的$C^1$ -闭迷向子流形的正则“迷向平均”的构造.为了做到这一点，我们使用改进的温斯坦的子流形平均定理（获得合作H。”“Moser的把戏。我们还提出了一个应用到哈密顿群作用。
2004-02-25 math.DG math.SG
Sub-Riemannian geometry of the coefficients of univalent functions
我们考虑单叶函数的系数体$\mathcal M_n$。基于Löwner-Kufarev参数表示，我们得到了Virasoro代数表示的部分可积哈密顿系统，其中首次积分是Kirillov算子.然后将$\mathcal M_n$定义为子黎曼流形.给定一个李-泊松括号，它们形成一个分次的子空间，第一个子空间是复维数为2的括号生成分布。利用这种次黎曼结构，我们构造了一个新的哈密顿系统，并计算了正则测地线，这些测地线是水平的。在特殊情况下也给出了拉格朗日公式$\mathcal M_3$。
2006-08-22 math.CV math.DG
On Lagrangian and Hamiltonian systems with homogeneous trajectories
受黎曼空间齐次测地线的各种结果的启发，我们研究了拉格朗日和哈密顿系统的齐次轨线，即单参数对称群的轨线。我们提出的标准下，一个对称群G的单参数子群的轨道是一个解决方案的欧拉-拉格朗日或哈密顿方程。特别是，我们推广的'测地线引理'在黎曼几何拉格朗日和哈密顿系统。本文给出了拉格朗日系统齐次轨线的存在性结果。我们研究了哈密顿和拉格朗日g.o.空间，即齐次空间G/H与G-不变拉格朗日或哈密顿函数的运动方程的每一个解决方案是齐次的。我们证明了Hamilton g.o.空间与在G的余伴随作用下不变的函数有关。黎曼几何因此，空间对应于特殊的Ad*（G）-不变函数。一个Ad*（G）-不变函数，它与一个g.o.空间也是称为“测地线图”的映射的一种势。作为例证，我们讨论黎曼g.o.。SU（3）/SU（2）上的度量。
2010-08-19 math-ph math.DG math.MP
Curvature and Concentration of Hamiltonian Monte Carlo in High Dimensions
在这篇文章中，我们分析哈密顿蒙特卡罗（HMC）通过放置在黎曼几何的设置使用雅可比度量，使每一步对应于一个合适的黎曼流形上的测地线。然后，我们结合的概念曲率的马尔可夫链由于Joulin和奥利维尔与经典的截面曲率从黎曼几何推导出误差界HMC在重要的情况下，我们有积极的曲率。这些情况包括几个经典的分布，如多元高斯分布，也出现在贝叶斯图像配准的研究中的分布。理论的发展表明，截面曲率作为一种新的诊断工具，某些马尔可夫链的收敛性。
2015-05-19 math.DG math.PR math.ST
Sympletic reduction of the sub-Riemannian geodesic flow for metabelian nilpotent groups
本文研究导子群为阿贝尔群的幂零李群上的次黎曼正规哈密顿流，通过辛约化建立正规轨迹与多项式哈密顿量的对应，并给出可积性判据及全局长度极小化条件。
2023-09-22 math-ph math.DG math.DS
A variational analysis of Einstein-scalar field Lichnerowicz equations on compact Riemannian manifolds
建立了紧流形上Einstein-标量场Lichnerowicz方程正解的存在性和不存在性的新结果。该方程源于广义相对论中爱因斯坦-标量场系统的哈密顿约束方程。我们的分析介绍变分技术，在山路引理的形式，分析的哈密顿约束方程，这是以前研究过的其他方法。
2007-02-05 gr-qc math.AP math.DG
Lagrangian metric geometry with Riemannian bounds
研究具有一致黎曼边界的精确拉格朗日子流形集合，在辛拓扑度量（如拉格朗日Hofer度量或谱度量）下的度量与辛性质，证明其完备化紧致且仅含有限哈密顿同痕类，并推广到单调拉格朗日子流形。
2024-07-16 math.DG math.MG math.SG
Isoperimetry on manifolds with Ricci bounded below: overview of recent results and methods
本文综述了Ricci下界流形上等周问题的最新进展，重点介绍等周轮廓二阶微分不等式及其证明方法，并展示了其在等周不等式和等周集存在性等方面的应用，同时指出了若干开放问题。
2023-05-13 math.AP math.DG math.MG
Sub-Riemannian geodesics on nested principal bundles
我们研究了两个非完整系统上测地线之间的相互作用，这两个系统通过李群的作用而相互关联。经过一些几何上的简化，我们利用哈密顿形式给出了测地线的参数形式。我们提出了几个几何的例子，包括Gromoll-Meyer奇异球和扭量空间的非完整结构。
2020-09-02 math.DG
A geometric study of marginally trapped surfaces in space forms and Robertson-Walker spacetimes -- an overview
时空中的边缘俘获曲面是一个黎曼曲面，它的中曲率向量在每一点都是类光的。在本文中，我们给出了一个最新的概述微分几何研究这些曲面在闵可夫斯基，德西特，反德西特和罗伯逊沃克时空。我们给出了Anciaux和他的同事证明的一般局部描述，以及满足以下附加几何条件之一的边际捕获曲面的已知分类：具有正的相对零度，具有平行的中曲率向量场，具有有限型高斯映射，在一个单参数的环境等距群下不变，是各向同性的，是伪脐。最后，我们给出了常高斯曲率边缘捕获曲面的例子，并提出了一些悬而未决的问题。
2020-05-26 math.DG
Semi - Riemannian Geometry with Nonholonomic Constraints
本文研究了具有不完整约束的半黎曼流形的几何.这些流形可以被认为是次黎曼流形的类似物，其中正定度量被非退化度量取代。为了研究指数映射的性质，引入了Christoffel符号和其它微分算子.我们研究了哈密顿系统的解及其在流形上的投影。对一个特殊的具有不完整约束的半黎曼流形的例子，得到了该方程的显式表达式。
2009-01-11 math.DG math.OC
Four Lectures on Scalar Curvature
本文综述了数量曲率下界空间中的主要问题和思想，并详细地阐述了黎曼空间中由数量曲率下界所隐含的几个已知的和一些新的几何约束
2021-07-08 math.DG
Group-invariant soliton equations and bi-Hamiltonian geometric curve flows in Riemannian symmetric spaces
从黎曼对称空间$M=G/H$中的非拉伸几何曲线流$\map(t,x)$导出了群不变（多分量）孤子方程的泛双Hamilton族，其中包括$G=K\times K$的紧半单李群$M=K$，$H={\rm diag} G$ .这些孤立子层次的推导利用移动的平行框架和连接1-形式沿曲线流，相关的克莱因几何的李群$G\supset H$，其中$H$是本地框架结构组。孤子方程出现在明确的形式从诱导流的框架组件上的主法向量$N=\covder{x}\mapder{x}$沿每条曲线，并显示不变性下的等价子群在$H$，保持单位切向量$T=\mapder{x}$在框架中的任何点$x$曲线。它们的双Hamilton可积性结构被几何编码在曲线流的切空间$T_\map M$中平行标架及其连接1-形式的挠率和曲率的Cartan结构方程中.该层次结构包括群不变版本的正弦戈登（SG）和修改Korteweg-de Vries（mKdV）孤子方程，被发现是普遍给出的曲线流描述非拉伸波映射和mKdV类似物的非拉伸薛定谔映射$G/H$。这些结果为许多已知的多分量孤子方程提供了一个几何解释和显式的双哈密顿公式。此外，所有的例子群不变（多分量）孤子方程给出本几何框架可以构造在一个明确的方式的基础上Cartan的对称空间的分类。
2008-01-21 math-ph math.DG math.MP
Integrable sub-Riemannian geodesic flows on the special orthogonal group
本文研究特殊正交群上橡胶滚动分布诱导的次黎曼几何，通过构造Lax对和双哈密顿结构，证明了任意右不变次黎曼度量的几乎所有正规测地线完全可积。
2025-08-18 math.DG math.DS
An Index Theorem for Non Periodic Solutions of Hamiltonian Systems
我们考虑一个{ \em哈密顿系统} $\sextuple$，其中$(\mathcal M,ω)$是一个辛流形，$\mathfrak L$是$\mathcal M$中拉格朗日子空间的分布，$\mathcal P$是$ \mathcal M$的拉格朗日子流形，$H$是$\mathcal M$上光滑的时间依赖哈密顿函数，而$Γ:[a,b]\to\mathcal M$是哈密顿流$\Hf$从$\mathcal P$开始的积分曲线.我们不要求哈密顿函数$H$的任何凸性。在假设$Γ(b)$不是$\mathcal P$ -焦点的情况下，引入了$Γ$的Maslov指数$\maslov(Γ)$，该指数是根据拉格朗日格拉斯曼的第一相对同调群给出的;在一般情况下，$\maslov(Γ)$被计算为沿着$Γ$的$\mathcal P$ -焦点的一种{ \em代数计数}。我们证明了指数定理的如下版本：在适当的假设下，限制于$Γ$的适当变化的拉格朗日作用泛函的Morse指数等于$\maslov(Γ)$与Hamilton $H$相对于子流形$\mathcal P$的{ \em凸项}之和.当把这个结果应用到半黎曼流形$(M,g)$的余切丛$\mathcal M=TM^*$和测地线哈密顿量$H(q,p)=\frac12 g^{-1}(p,p)$的情形时，我们得到了黎曼几何中著名的变端点测地线Morse指标定理的半黎曼形…
2000-10-30 math.DG math.FA
Sub-Riemannian geodesics on the free Carnot group with the growth vector (2,3,5,8)
我们考虑步骤4中具有2个生成元的自由幂零李代数$L$以及相应的连通单连通李群$G$。研究了由$L$的生成元定义的$G$上的左不变子黎曼结构。利用$R^8$中的多项式向量场计算了$L$的两个向量场模型，并发现了次黎曼结构的无穷小对称性。进一步，我们计算了$G$上的乘积规则，$G$上的右不变标架，$G$上的左不变标架和右不变标架对应的纤维上的线性哈密顿量，$L^*$上的Casimir函数和共伴随轨道.利用庞特里亚金最大值原理，我们描述了反常极值，并导出了正常极值的哈密顿系统$\dot λ= \vec{H}(λ)$，$λ\in T^*G$.计算了$\vec{H}$的10个独立积分，其中只有7个是对合积分.通过对$\vec{H}$在$L^*$上的垂直子系统进行4个Casimir函数的约化处理，发现其在数值上表现出混沌动力学，由此提出了$\vec{H}$在Liouville意义下不可积的猜想.
2014-04-30 math.DG math.OC
Riemannian Geometry: Definitions, Pictures, and Results
一个教学，但简洁的概述黎曼几何提供，在物理学的使用范围内。重点是定义和可视化概念和它们之间的关系，以及列出常见的混淆，替代符号和行话，以及相关的事实和定理。特别注意的是详细的数字和几何观点，其中一些似乎是小说的文学。避免了教科书中涵盖的主题，如历史动机，证明和推导，以及实际计算的工具。尽可能多的材料被开发的流形与连接（省略一个度量），以明确哪些方面可以很容易地推广到规范理论。在大多数情况下的介绍并不假设一个坐标系或零挠，和坐标自由，张量和嘉当形式主义是并行开发的。
2022-08-17 gr-qc math.DG
Duality on geodesics of Cartan distributions and sub-Riemannian pseudo-product structures
给定一个具有Cartan分布的五维空间，这些异常测地线构成另一个具有锥结构的五维空间。然后指出，如果把圆锥结构看作一个控制系统，那么圆锥结构的异常测地线空间自然地与原空间一致。本文在更广泛的框架下，即在控制系统的对偶和次黎曼伪积结构的框架下，对反常测地线的对偶性进行了讨论。我们还考虑了锥结构的能控性，给出了正规测地线和非正规测地线上的约束Hamilton方程。
2014-03-24 math.DG
Geometry of optimal control problems and Hamiltonian systems
这些笔记是基于2004年6月在意大利Cetraro举办的小型课程，在C.I.M.E.框架内。学校当然，它们包含了更多的材料，我可以在6小时的课程。主要目标是给一个想法的一般变分和动力性质的尼斯和强大的概念和结果主要是已知的狭义框架黎曼几何。这涉及Jacobi领域，莫尔斯指数公式，列维奇维塔连接，黎曼曲率和相关的主题。我试图使演讲尽可能轻松：在平稳的常规情况下给出更多细节，在更复杂的情况下参考文献。
2005-06-10 math.DG math.DS math.OC
Modified action and differential operators on the 3-D sub-Riemannian sphere
我们的主要目的是在单位球面$\mathbb S^3$上的亚黎曼几何中给出二阶次椭圆微分方程和与次椭圆算子相关的热方程的基本解的一个几何上有意义的公式.我们的方法是基于哈密顿方法，其中相应的哈密顿系统求解混合边界条件。给出了修改动作的封闭形式。它是一个亚黎曼不变量，在$\mathbb S^3$上扮演距离的角色。
2008-09-16 math.AP math.DG
Normal Singular Geodesics of a Conformally Generic Sub-Riemannian Metric
Chern Institute of Mathematics and LPMC, Nankai University（南开大学陈省身数学研究所和LPMC）；Nankai University（南开大学）
该研究证明了在特定分布下，即使加入势函数，也不存在非平凡的正则奇异轨道。
2025-12-22 math.DG math.DS
Wind Riemannian spaceforms and Randers metrics of constant flag curvature
最近，风黎曼结构（WRS）已被引入作为Randers和Kropina度量的推广。它们是由Zermelo导航问题的自然数据，即黎曼度量$g_R$和向量场$W$（风），其中，现在，温和的风$g_R(W,W)<1$的限制被删除。本文确定了常旗曲率WRS空间型的模型。事实上，著名的分类Randers度量的恒定旗曲率的鲍，罗伯斯和沉，扩展到Kropina的情况下，在工作中由Yoshikawa，大久保和Sabau，可以用来获得本地分类。对于全局模型，WRS完备性的一个适当结果给出了完备的单连通模型。特别是，在兰德斯分类中的任何局部模型都允许扩展到风的黎曼结构的唯一模型，即使它不能扩展为完整的芬斯勒流形。因此，WRS的出现作为自然的框架，兰纳斯空间形式的分析，展望未来，风Finslerian结构将成为其他全球性问题的重要。为了完整起见，还提供了关于WRS的简要概述（包括与一类相对论时空的共形几何的有用链接）。
2017-01-05 math.DG
Volume geodesic distortion and Ricci curvature for Hamiltonian dynamics
研究了一类具有不完整约束和类作用量的变分问题的光滑体积形式沿极值的变化。我们引入了一个新的不变量描述的体积与动力学的相互作用，我们研究了它的基本性质。然后，我们展示了如何这个不变，连同曲率一样的不变量的动力学，出现在膨胀的体积在正则点的指数映射。这推广了著名的展开的黎曼体积的里奇曲率方面的广泛的一类几何结构，包括所有的子黎曼流形。
2018-03-13 math.DG math.DS math.MG
Short geodesics losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds and stability of the 5-dimensional caustic
研究了维数大于等于5的流形上切触分布的次黎曼指数。我们计算近似的次黎曼哈密顿流，并表明，在这种情况下，共轭时间可以有重数2。我们得到的第一共轭轨迹的小半径的近似，并引入几何不变的接触分布的度量通常表现出一个原始的行为，从经典的3维的情况下不同。我们应用这些方法的情况下，5维接触流形。本文从拉格朗日的角度分析了次黎曼焦散线的稳定性，并对指数映射的奇点进行了分类。
2018-12-29 math.DG math.OC
A Review on Riemannian Metric Learning: Closer to You than You Imagine
Université Paris-Saclay, ENS Paris-Saclay, Centre Borelli（巴黎-萨克雷大学、巴黎-萨克雷高等学院、Borelli中心）
本文综述黎曼度量学习，梳理其连接经典度量学习与黎曼几何的关键方法、应用及进展，阐明其捕捉数据内在流形几何的基础意义。
2025-09-30 cs.LG math.DG stat.ML
Geodesics in semi-Riemannian Manifolds: Geometric Properties and Variational Tools
测地线成为半黎曼流形几何的基本要素。事实上，它们与（正定）黎曼情形的异同，构成了理解半黎曼几何的第一步。在过去的二十年中取得的进展已成为令人印象深刻的，特别是有关的系统介绍（无穷维）变分方法。我们的目的是给出一个概述，从经典结果的改进更新变分设置。首先，研究了某些环境空间中测地线的若干性质（特别是完备性）。这包括启发式结构的紧凑不完整的例子，测地线在翘曲，GRW或静止时空，性质的表面和空间形式，或问题的稳定性的完整性。然后，我们研究了变分框架，并着重讨论了这种方法的两个基本问题，即测地连通性。第一个涉及一个平稳流形的变分原理，以及它最近在因果理论中的实现。第二个是关于正交分裂流形，并提供了一个合理的自足的发展，收集一些步骤，在文献中传播。
2010-03-21 gr-qc math.DG
$G_2$-manifolds and the ADM formalism
本文研究了3-流形$M$上黎曼度量空间余切丛上的Hamilton函数，证明了约束Hamilton动力系统的轨道对应于由与$M\times \mathrm{SO}(3)$同构的超曲面所构成的$G_2$ -流形.
2019-05-29 gr-qc math.DG math.SG
Metric Lines in the Special Euclidean group on the plane
University of Michigan（密歇根大学）；New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences（纽约大学，库朗数学科学研究所）
本文研究平面特殊欧几里得群SE(2)中的子黎曼流形，探讨周期子黎曼测地线的必要条件及度量线的性质，采用哈密顿-雅可比理论提供新证明。
2024-12-05 math.DG
$W$-entropy formulas on super Ricci flows and Langevin deformation on Wasserstein space over Riemannian manifolds
本文综述了我们最近对黎曼流形上Wasserstein空间上的超里奇流和Langevin形变下的Witten Laplacian热方程的$W$ -熵的研究.受Perelman关于Ricci流的熵公式的开创性工作的启发，我们证明了在具有$CD(K, m)$ -条件的$n$维完备黎曼流形上与Witten Laplacian相关的热方程的$W$ -熵公式，和$n$ -维紧致流形上与含时Witten Laplacian相关的热方程的$W$ -熵公式，其中$n$ -维紧致流形上具有一个$(K, m)$ -超Ricci流，其中$K\in \mathbb{R}$和$m\in [n, \infty]$。此外，我们还证明了黎曼流形上Wasserstein空间上测地线流的$W$ -熵公式的一个类似形式。我们的结果重新获得了Lott和Villani关于具有非负Ricci曲率的黎曼流形上Boltzmann-Shannon熵的位移凸性的一个重要结果.为了更好地理解这两个$W$ -熵公式之间的相似性，我们引入了Wasserstein空间上余切丛上几何流的Langevin变形，并证明了$W$ -熵公式在Langevin变形下的推广.最后，从统计力学和概率论的角度讨论了Ricci流的$W$ -熵。
2017-10-12 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the Heisenberg 3D nil-manifold
本文研究了3D Heisenberg群上次黎曼结构到Heisenberg 3D nil-manifold的投影，分析了测地流的动力学性质，并基于$G$中次黎曼球与距离的精确双边界估计了$M$中测地线的切割时间。
2024-11-17 math.DG math.DS math.OC
Remarks on the completeness of trajectories of accelerated particles in Riemannian manifolds and plane waves
70年代初得到的关于哈密顿系统轨线完备性的经典结果，最近被重新讨论、改进并应用于洛伦兹几何。我们的目标有三个：在专家的背景下给出一些技术性的明确证明，以表明所介绍的工具允许获得更多的轨迹完备性结果，并将这些结果应用于推广经典平面和PP波的时空完备性。
2013-04-17 gr-qc math.DG
Existence of orthogonal geodesic chords on Riemannian manifolds with concave boundary and homeomorphic to the N-dimensional disk
本文给出了一个在同胚于一个闭圆盘且具有凹边界的黎曼流形上存在正交测地弦的证明。这类研究的动机是链接的多重性问题与著名的塞弗特猜想（制定于1948年）关于多制动轨道的一类哈密顿系统在一个固定的能量水平。
2010-03-19 math-ph math.DG math.DS
Orthogonal Geodesic Chords, Brake Orbits and Homoclinic Orbits in Riemannian Manifolds
通过经典的Maupertuis-Jacobi变分原理，将某些类Lagrange（或Hamilton）系统具有固定能量的解的研究归结为黎曼流形中测地线的研究.我们感兴趣的是研究刹车轨道和同宿轨道的存在性问题，在这种情况下，Maupertuis-Jacobi原理产生一个具有边界和在边界上以非平凡方式度量退化的黎曼流形.本文利用经典的Maupertuis-Jacobi原理，证明了如何消除边界上度量的退化，并证明了在具有{ \em正则}和{ \em强凹}边界的流形上，刹车轨道和同宿轨道的多重性问题可以归结为正交测地弦的多重性问题.
2004-10-18 math.DG math.DS
Port-Hamiltonian Modeling of Ideal Fluid Flow: Part I. Foundations and Kinetic Energy
在这篇两部分的论文中，我们提出了一个系统的程序，以推广的理想无粘流体流动的黎曼流形的Lie-Poisson结构的端口-哈密顿模型的Stokes-Dirac结构。所提出的模型的第一个新颖之处是包括非零能量交换通过，并在包含流体的域的空间边界内。第二个新颖之处是，端口哈密顿模型被构造为一个小的开放的充满活力的子系统的积木的互连。仅依赖于子系统的选择组成和它们的能量感知互连，可以实现广泛的流体动力系统的几何描述。所建立的端口-哈密顿模型包含了一系列具有可变边界条件的无粘流体动力系统。即可压缩等熵流、可压缩绝热流和不可压缩流。此外，使用外部微积分的微分几何工具，推导出的所有流体流动模型在n维黎曼流形上协变且全局有效。
2020-12-03 math-ph math.DG math.MP
An Approximation to Wiener Measure and Quantization of the Hamiltonian on Manifolds with Non-positive Sectional Curvature
本文给出了具有非正截面曲率的黎曼流形M上的Feynman路径积分的严格解释。在分段测地线空间$H_P(M)$上给出了一个适合于$[0,1]$的$P$划分的$L^2$黎曼度量$G_P$，由此得到了Wiener测度的一个有限维逼近.证明了在具有Wiener测度$ν$的Wiener空间$W(M)$上，近似Wiener测度作为$mesh(P) \to 0$在$L^1$意义下收敛于测度$e^{-\frac{2 + \sqrt{3}}{20\sqrt{3}} \int_0^1 Scal(σ(s)) ds} dν(σ)$.这给出了量子化哈密顿量的路径积分表示的可能处方，以及产生源于[L.]的自然几何近似方案的结果。A. Andersson和B. K. Driver，J. Funct. Anal. 165（1999），no. 2，430-498]，接着是[Adrian P. C. Lim，Rev.Math.Phys.19（2007），no.9，967-1044]。
2013-05-17 math-ph math.DG math.MP
A Manifold of Planar Triangular Meshes with Complete Riemannian Metric
形状空间是各种应用的基础，包括图像配准，变形，匹配，插值和形状优化。在这项工作中，我们考虑二维形状表示的三角形网格的一个给定的连接。我们表明，这种网格表示的容许配置的集合形成一个光滑流形。对于这个流形的平面三角形网格，我们提出了一个测地线完全黎曼度量。该度量的一个显着特征是它保留了网格的连通性，并防止网格沿着测地线曲线退化。我们详细介绍了一个辛数值积分的测地线方程的哈密顿公式。数值实验表明，所提出的度量保持细胞的长宽比有界远离零，从而避免网格退化沿任意长的测地线曲线。
2022-01-09 cs.NA math.DG math.NA
Lagrangian Formulation of the Raychaudhuri Equation in Non-Riemannian Geometry
本文研究一般非黎曼几何中的曲线汇，建立膨胀标量与加权横截面积体积变化率的关系，并构造拉格朗日量使 Euler–Lagrange 方程给出 Raychaudhuri 方程，同时给出哈密顿表述与 Poisson 括号。
2023-12-11 gr-qc math-ph math.DG
Hamiltonian reductions of free particles under polar actions of compact Lie groups
研究完备黎曼流形上自由测地线系统的经典和量子Hamilton约化。简化系统的假设下，基本紧凑的对称群的行为在极性的方式在这个意义上，存在定期嵌入，封闭，连接的子流形满足所有轨道正交的配置空间。李群和对称空间上的超极作用导致自旋Calogero-Sutherland型的可积系统族。
2007-11-30 math-ph math.DG math.MP
Sub-Lorentzian Geometry on Anti-De Sitter Space
亚黎曼几何被证明在许多应用中起着重要的作用，例如，数学物理与控制理论。亚黎曼结构的最简单的例子是由3-D海森堡群提供的。次黎曼几何与黎曼几何有很大的不同，同时也是后者的推广，例如，如果测地线不是唯一的，并且可以是奇异的，则豪斯多夫维数大于流形拓扑维数。有大量的文献发展亚黎曼几何。然而，很少有人知道它的自然扩张伪黎曼类似物。从一些低维流形开始这样的研究是很自然的。基于亚黎曼几何的思想，我们在经典的3-D anti-de Sitter空间上发展了亚洛伦兹几何。反德西特空间的切丛的两种不同分布产生两种不同的几何：次洛伦兹几何和次黎曼几何。它表明，类时和类空的“水平”曲线的集合是非空的，我们研究了反德西特空间中的水平连通性问题。我们还使用亚洛伦兹几何和亚黎曼几何的拉格朗日和汉密尔顿形式来寻找测地线。
2008-01-15 math-ph math.DG math.MP
Curve Flows in Lagrange-Finsler Geometry, Bi-Hamiltonian Structures and Solitons
应用Riemann-Finsler几何方法研究了由正则Lagrange量几何导出的孤子方程的双Hamilton结构和相关的mKdV族，以及切丛中非伸缩曲线的流动.由Lagrange半射诱导正则非线性联络（N-联络）、Sasaki型度量和线性联络定义了曲线的全空间几何和非完整流.这种几何的最简单的例子是黎曼对称空间$G/SO(n)$上的切丛，它具有N-联络结构和适应度量，我们对它进行了完整的分类，以及具有常数Hessian的广义Lagrange空间。在这种方法中，双哈密顿结构推导出几何力学模型和（伪）黎曼度量在重力。结果产生水平/垂直对向量sine-Gordon方程和向量mKdV方程，与相应的几何曲线流的层次结构中描述的显式形式的非完整波映射和mKdV类似物的非完整薛定谔映射的切丛。
2008-10-06 gr-qc hep-th math-ph
Geometry-Aware Hamiltonian Variational Auto-Encoder
Centre de Recherche des Cordeliers UMRS 1138（科德利尔研究中心UMRS 1138）；Université de Paris（巴黎大学）；INSERM（法国国家健康与医学研究院）；Sorbonne Université（索邦大学）；Centre de Mathématiques Appliquées, Inria（应用数学中心，法国国家信息与自动化研究所）；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
变分自动编码器（VAE）已被证明是一种非常适合的工具，用于通过提取潜在的比数据小得多的维度空间中的潜在变量来执行降维。当考虑到它们生成新的真实样本或在小得多的空间中执行潜在有意义的插值的能力时，可以很容易地理解它们从数据中捕获有意义的信息的能力。然而，这种生成模型在训练小数据集时可能表现不佳，这些数据集在许多现实生活领域（如医学）中非常丰富。除其他外，这可能是由于潜在空间缺乏结构，其几何形状往往被忽视。因此，在本文中，我们建议将潜在空间视为具有与编码器和解码器网络同时学习的参数化度量的黎曼流形。这个度量被用于我们称之为黎曼哈密顿VAE，它扩展了arXiv：1805.11328引入的哈密顿VAE，以更好地利用潜在空间的潜在几何。我们认为，这种潜在的空间建模提供了有用的信息，其潜在的结构，导致更有意义的插值，更现实的数据生成和更可靠的聚类。
2020-10-22 cs.LG math.DG math.ST
