Multigrid methods: grid transfer operators and subdivision schemes
本文研究多网格方法中网格传输算子的新定义与分析，通过关联粗网格修正的符号分析与单变量细分方案的逼近特性，提出新的高阶问题适用的网格传输算子，并展示其在多网格方法中的收敛性和最优性。
2016-08-11 cs.NA math.NA
Aggregation based on graph matching and inexact coarse grid solve for algebraic multigrid
Université Libre de Brussels（布鲁塞尔自由大学）
提出一种基于图匹配的聚合策略用于代数多重网格，并通过数值实验分析不精确粗网格求解对高度不连续对流扩散系数矩阵及佛罗里达矩阵市场问题的影响，发现该方法比经典AMG更鲁棒。
2011-06-17 cs.NA math.NA
Anisotropic, interpolatory subdivision and multigrid
本文提出适用于各向异性多网格方法的多变量网格传输算子家族，基于新的各向异性插值细分方案，研究其最小性、多项式再生和收敛性质，并与对应多网格方法的收敛性和最优性联系起来。
2017-08-11 cs.NA math.NA
Scalable Multigrid Solver for the Helmholtz Equation: Real-Shifted Coarse Grid Correction
Institute for Interdisciplinary Computational Science, the Stein Faculty of Computer and Information Science, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学斯坦计算机与信息科学学院跨学科计算科学研究所）
本文提出一种可扩展的多网格求解器，通过实移粗网格的伽辽金算子修正数值色散，实现高频率亥姆霍兹方程的高效求解。
2026-04-21 cs.NA math.NA
A GPU Accelerated Aggregation Algebraic Multigrid Method
我们提出了一个高效的，强大的和完全GPU加速的聚合为基础的代数多重网格预处理技术的大型稀疏线性系的解决方案。这些线性系源于椭圆偏微分方程的离散化。该方法包括建立和求解两个阶段。在建立阶段，通过对细网格节点的聚合，构造出分级的粗网格。这些聚合是使用一组最大的独立节点从细网格节点。我们使用“细粒度”的并行算法从强负连接图中找到一个极大独立集。聚合与从粗网格解决方案到细网格解决方案的分段常数（不平滑）插值相结合，确保低设置和插值成本。在求解阶段采用递归Krylov迭代（K-圈）实现了与网格无关的收敛。一个有效的组合的K-圈和标准的多重网格V-圈被用来作为预条件的Krylov迭代求解器，如广义最小残差和共轭梯度。我们比较了求解器的性能与其他求解器的基础上平滑聚合和经典的代数多重网格方法。
2014-03-07 cs.NA math.NA
Optimization of the Multigrid-Convergence Rate on Semi-structured Meshes by Local Fourier Analysis
Department of Computer Science, System Simulation（计算机科学与系统模拟系）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
本文通过局部傅里叶分析研究多网格方法在四面体网格上的收敛率优化，提出四色平滑器适用于规则四面体网格，而劣质四面体需使用线性和平面松弛，通过傅里叶空间新划分验证理论预测，构建块状多网格方法提升效率。
2014-10-27 cs.NA math.NA
Tweed and wireframe: accelerated relaxation algorithms for multigrid solution of elliptic PDEs on stretched structured grids
提出了两种新的松弛格式，用于二维和三维拉伸结构网格上偏微分方程几何多重网格解的光滑化步骤。新的计划的特点是有效的行松弛的分支集的线交替的颜色，其中的线被构造成无处不在的最大网格聚类的局部方向正交。粗花呢松弛最适合计算域边界附近的网格聚类，而线框松弛最适合计算域中心附近的网格聚类。在这些类型的强拉伸网格，多重网格利用这些新的平滑计划显着优于多重网格的基础上其他领先的松弛计划，如棋盘和交替方向斑马松弛，数值解的大型线性系所产生的离散椭圆偏微分方程。
2021-10-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Solving the Poisson equation on small aspect ratio domains using unstructured meshes
Imperial College London（帝国理工学院）
针对小纵横比区域上泊松方程离散矩阵的病态问题，提出一种基于多网格预条件子的新解法，显著提升非静力海洋模型在非结构化网格上的计算可行性。
2009-12-10 cs.NA math.NA physics.ao-ph
Asynchronous Truncated Multigrid-reduction-in-time (AT-MGRIT)
在本文中，我们提出了新的“异步截断multigrid-reduction-in-time”（AT-MGRIT）算法引入时间并行的离散时间相关问题的解决方案。新算法是基于多重网格减少时间（MGRIT）的方法，这在一定的设置，相当于另一种常见的多级并行时间的方法，Parareal。与Parareal和MGRIT都在粗粒度级别上考虑整个时间间隔上的全局时间网格相比，AT-MGRIT算法在粗粒度级别上使用截断的本地时间网格，每个网格覆盖某些时间子间隔。这些局部网格可以彼此完全独立地求解，这减少了算法的顺序部分，从而增加了方法的并行性。在这里，我们研究的效果，使用截断的局部粗网格的算法的收敛性，在理论上和数值上，并显示，使用具有挑战性的非线性问题，新算法始终优于经典Parareal/MGRIT的时间解决方案。
2021-07-20 cs.NA math.NA
Surface Multigrid via Intrinsic Prolongation
本文介绍了一种新的几何多重网格求解器的非结构曲面。多重网格法是求解线性方程组的高效迭代法。尽管在解决结构域上定义的问题上取得了成功，但将多重网格推广到非结构化曲面域仍然是一个具有挑战性的问题。关键缺失的成分是一个延长运营商在不同的多重网格水平转移功能。我们提出了一种新的方法来计算延长三角形曲面的基础上的内在几何，使一个高效的几何多重网格求解器的曲面。我们的表面多重网格求解器实现了更好的收敛性比现有的多重网格方法。与直接求解器相比，我们的求解器快了几个数量级。我们评估我们的方法在许多几何处理应用程序和各种各样的复杂形状的边界和无边界。通过简单地取代直接求解器，我们升级现有的算法，以互动的帧速率，并转移的计算瓶颈，从解决线性系统。
2021-05-04 cs.GR cs.NA math.NA
Optimal interpolation and Compatible Relaxation in Classical Algebraic Multigrid
本文研究了经典最优代数多网格插值形式，并探讨了其与理想形式的对比，提出新的尖锐度量以保证收敛率下界，并设计了通用的bootstrap代数多网格设置算法。
2017-03-29 cs.NA math.NA
Rounding-Error Analysis of Multigrid V-Cycles
本文基于浮点运算分析了在粗化前后各执行一次松弛步的两重网格方法的舍入误差，该理论可推广至一般的 $V(μ,ν)$-cycles、full multigrid (FMG) 及混合精度迭代求精 (IR)，且推导方式更简洁透明。
2023-07-01 cs.NA math.NA
Hierarchical multigrid approaches for the finite cell method on uniform and multi-level hp-refined grids
这一贡献提出了一个层次多重网格方法的解决方案，大规模的有限单元问题的均匀网格和多级HP-离散。该方案利用了有限单元法和多层hp方法中所用基函数的层次性，这是由于使用高阶积分勒让德基函数和重叠网格，产生一个简单而优雅的多重网格方案。这种简单性反映在所有的限制和延长运营商减少到二进制矩阵，不需要显式构造的事实。粗空间是在不同的多项式阶数和浸入式离散化的细化水平上构造的。元素和补丁添加剂施瓦茨平滑技术被用来减轻切割细胞的影响，导致收敛速度是独立的切割配置，网格步长，在某些情况下，甚至多项式阶。多重网格方法适用于二阶问题所产生的泊松方程和线弹性。一系列的数值例子表明，该计划的适用性，解决大型浸没系统的数百万甚至数十亿的未知数在大规模并行机。
2020-10-02 cs.NA math.NA
Fast multigrid reduction-in-time for advection via modified semi-Lagrangian coarse-grid operators
许多迭代时间并行算法在求解扩散主导型偏微分方程（PDE）时效率很高，但在求解对流主导型偏微分方程时效率低下甚至发散。我们考虑应用多重网格减少时间（MGRIT）算法的线性平流偏微分方程。这种方法有效时间积分的关键是使用粗网格算子，它提供了一个足够精确的近似所谓的理想粗网格算子。对于某些类的半拉格朗日离散，我们提出了一种新的半拉格朗日为基础的粗网格算子，导致快速和可扩展的线性平流偏微分方程的多级时间积分。粗网格算子由半拉格朗日离散化和修正项组成，修正项的设计使合成算子的前阶截断误差近似等于理想粗网格算子的前阶截断误差。并行结果表明，大量的速度超过顺序时间积分的可变波速平流问题在一个和两个空间维度，并使用高阶离散到五阶。所提出的方法建立了第一个实用的方法，提供了小的和可扩展的MGRIT迭代计数的平流问题。
2022-04-22 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multigrid with Nonstandard Coarsening
本文考虑在结构网格上用几何多重网格和非标准粗网格及粗水平算子求解泊松方程的数值解。我们的动机是开发高阶精确的数值求解椭圆边值问题复杂的几何使用重叠网格的问题。覆盖网格通常由大的笛卡尔背景网格主导，因此非常需要笛卡尔网格的快速求解器。为了网格生成的灵活性，我们想考虑粗化因子而不是两个，以及低阶精确的粗级近似。我们表明，二阶精确的粗级近似是非常有效的四阶或六阶精确的精细级有限差分离散。我们研究了不同的Galerkin和非Galerkin粗层次算子的使用。我们使用带有松弛因子$ω$的红黑平滑器。使用局部傅里叶分析我们选择$ω$和粗级运营商，以优化整体多重网格收敛速度。出于使用的红色-黑色平滑在一个维度，可以导致在一个直接求解标准的二阶精确离散泊松方程，我们表明，这种直接求解属性可以扩展到两个维度使用旋转网格，结果从红色-黑色粗化。我们评估在更一般的设置中使用红-黑粗化。我们还研究了网格粗化的一般因素，并表明，良好的收敛速度保留了一系列的粗化因素接近两个。我们问的问题，粗化因子导致最有效的算法。
2020-08-10 cs.NA math.NA
An Algebraic Multigrid Method for Eigenvalue Problems in Some Different Cases
将多层校正格式与求解线性方程的代数多重网格方法相结合，提出了求解本征值问题的代数多重网格方法。我们的方法使用代数多重网格方法的设置过程来构建层次和网格间的转移算子。在这种代数多重网格方法中，一个大规模的特征值问题是通过层次中的代数多重网格光滑步骤和非常小的维数的本征值问题来解决的。为了强调所提出的方法的效率和灵活性，在这里，我们考虑了一组测试本征值问题，离散非结构化网格，具有不同形状的域，奇异性，和不连续的参数。此外，得到了与期望特征值个数无关的整体收敛。
2020-02-28 cs.NA math.NA
Convergence analysis of inexact two-grid methods: A theoretical framework
多重网格是求解离散偏微分方程的大规模线性系的最有效的方法之一。双重网格理论作为多重网格分析的基础，在多重网格算法的产生和分析中起着重要的作用。对于对称正定问题，具有Galerkin粗网格系统精确解的两重网格方法的收敛理论已经比较成熟，精确两重网格方法的收敛因子可以用一个恒等式来刻画。与精确情形相比，非精确两网格方法（即，粗网格系统近似求解）更具有实际意义，但在文献中还较少涉及（原因之一是不精确粗网格改正的误差传播矩阵不是投影）。在本文中，我们开发了一个理论框架的收敛性分析的不精确两个网格方法。更具体地说，我们提出了双边的不精确两个网格方法的误差传播矩阵的能量范数的界限，从中可以很容易地获得的身份，精确两个网格收敛。作为应用，我们建立了多重网格方法的统一收敛理论，它允许近似求解最粗网格系统。
2021-08-14 cs.NA math.NA
Non-invasive multigrid for semi-structured grids
该研究提出半结构化多重网格求解器的数学框架，将HHG理念推广至更复杂半结构化网格，支持现有应用非侵入式适配，验证了其通用性与性能提升潜力。
2021-03-22 cs.MS cs.NA math.NA
Quasi-matrix-free hybrid multigrid on dynamically adaptive Cartesian grids
Durham University（杜伦大学）
本文提出基于空间树的多网格方法，通过多尺度特性生成粗网格，结合BoxMG和Galerkin/Petrov-Galerkin算子，实现非平凡椭圆问题的鲁棒求解，支持动态自适应网格并优化内存访问。
2017-07-17 cs.MS cs.NA math.NA
A note on grid transfer operators for multigrid methods
Università dell’Insubria（因斯布鲁克大学）
本文证明了椭圆偏微分方程中基于局部傅里叶分析的最优性条件与Toeplitz矩阵多重网格方法中基于符号零点阶数的条件等价，并提出了与B样条细化方程相关的网格转移算子类。
2008-07-16 cs.NA math.NA
Coarse-Grid Selection Using Simulated Annealing
多层技术是求解离散偏微分方程等大型线性系的有效方法。虽然几何多重网格需要详细的知识的基础问题和它的离散化，代数多重网格的目的是少侵入，需要较少的知识的起源的线性系。代数多重网格算法的一个关键步骤是粗/细划分的选择，目的是平衡迭代的收敛性和代价。在MacLachlan和Saad的工作中，一个约束组合最优化问题被用来定义“最佳”粗网格内设置的两个级别的减少为基础的代数多重网格方法，并被证明是NP完全的。在这里，我们开发了一个新的粗化算法的基础上模拟退火近似解这个问题，从而产生改进的结果比以前开发的贪婪算法。我们提出了结构化和非结构化网格上的测试问题的数值结果，证明了利用知识的基础网格结构，如果它是可用的能力。
2023-01-20 cs.NA math.NA
A nestable, multigrid-friendly grid on a sphere for global spectral models based on Clenshaw-Curtis quadrature
提出了一种新的网格系统上的球，允许直接实现球谐波为基础的频谱方法和网格点为基础的多重网格方法。新网格中的纬度网格点是等距的，并且使用Clenshaw-Curtis求积进行纬度方向上的谱变换。这种新的网格和正交的频谱变换被证明是准确的机器精度内提供的网格截断是这样的，有至少2N + 1纬度网格点的总截断波数N。新的网格和正交实施和测试的浅水方程模式和全球数值预报模式JMA-GSM的静水干动力核心。在高斯网格上，用新的积分方法得到的积分结果与用传统的高斯积分方法得到的积分结果几乎相同。只需对任何基于高斯的频谱模型进行微小的代码更改，即可采用建议的正交。
2019-10-16 cs.NA math.NA physics.ao-ph
A two-scale approach for efficient on-the-fly operator assembly in massively parallel high performance multigrid codes
大规模并行几何多重网格的无矩阵有限元实现节省内存，并且通常比使用经典稀疏矩阵技术的实现快得多。它们特别适合于多面体域上的分层混合网格。在常系数的情况下，粗宏单元内部的所有细网格节点间距相等。然而，对于非多面体域，情况发生了变化。然后，即使对于拉普拉斯算子，非线性元映射也会导致精细网格扩展，其可以从网格点到网格点变化。这种观察激发了一种新的双尺度方法，该方法利用细网格算子相对于粗网格步长的分段多项式近似。这些替代多项式的低成本评估导致非多面体域的有效模板组装，其可以比基于逐元素组装的无矩阵技术显著更有效。性能分析和额外的硬件感知代码优化是基于执行-缓存-内存模型。提出了双尺度先验误差界和双离散化技术。弱和强缩放结果说明了新技术的好处，当用于大规模PDE求解器。
2016-08-23 cs.NA math.NA
Stand-alone Multigrid for Helmholtz Revisited: Towards Convergence Using Standard Components
针对高频亥姆霍兹方程标准多重网格高效求解的开放问题，提出采用标准组件、结合高阶网格转移算子与复常数的独立多重网格求解器，实现接近k和h无关的收敛，推动波传播问题可扩展求解器研究。
2023-08-25 cs.NA math.NA
Stabilised Asynchronous Fast Adaptive Composite Multigrid using Additive Damping
多重网格求解器在并行计算机上面临着多重挑战。两个基本的阅读如下：乘法求解器问题粗网格解决表现出低并发性和许多多重网格实现遭受昂贵的粗网格识别阶段加上自适应网格细化开销。我们提出了一种新的空间树的加性多重网格变体，即网格，因为它们是从八叉树和四叉树构建的：这是一个加性方案，即所有多重网格分辨率水平同时更新。这确保了高并发级别，而网格级别之间的传输操作符仍然可以代数构造。加法方案的新颖之处在于通过每个顶点的每个网格级别的加法辅助阻尼参数来增强求解器，该参数又通过下一个较粗的级别来构建-这是一个利用平滑聚合原理或AFACx背后的动机的想法：每层，我们解决一个额外的方程，其目的是阻尼过于积极的解决方案更新每顶点，否则，与所有其他水平相结合，产生过度校正，最终产生振荡。这个附加方程也是加性地构造的，即再次与所有其他方程同时求解。这产生了更好的稳定性，更接近乘法方案，而流水线技术帮助我们写下动态自适应网格的单触语义的加法求解器。
2020-07-01 cs.NA math.NA
Multigrid methods for block-Toeplitz linear systems: convergence analysis and applications
在过去的几十年中，多重网格方法的线性系具有多层Toeplitz系数矩阵的标量元素已被大量研究。另一方面，只有少数论文研究了块元素的情况，其中元素是小的通用矩阵而不是标量。在这种情况下，研究人员的努力主要致力于具体的应用，专注于算法建议，但理论结果非常有限。在本文中，我们提出了一个一般的两个网格的收敛性分析证明了最佳的收敛速度的矩阵大小无关的情况下，正定块Toeplitz矩阵的一般块。特别是，近似性质的证明没有一个简单的推广标量的情况下，事实上，我们必须要求一个特定的交换条件的块符号的网格传输操作。此外，我们定义了一类网格转移算子满足以前的理论条件，我们提出了一种策略，以确保快速多重网格收敛，甚至超过两个网格。在导致块Toeplitz结构的众多应用中，高阶拉格朗日有限元法和交错间断Galerkin方法在数值结果中被考虑，证实了我们建议的有效性和所提出的理论分析的正确性。
2019-10-30 cs.NA math.NA
Optimizing multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal coarse-grid operators for linear advection
在现代高性能计算环境中模拟时间依赖的PDE时，时间并行方法，如多重网格时间缩减（MGRIT）和Parareal，提供了一个有吸引力的选择，以增加并发性。虽然这些技术已经非常成功的抛物型方程，它经常被观察到，他们的性能受到显着时，应用于对流主导的问题或纯双曲偏微分方程使用标准的重新离散方法在粗网格。在本文中，我们应用MGRIT或Parareal的常系数线性平流方程，呼吁现有的收敛理论，提供洞察这些解决这个问题的典型的不可扩展的，甚至发散的行为。为了克服这些缺点，我们用改进的粗网格算子来代替粗网格上的重新离散化，这些算子是通过应用优化技术来计算的，以近似地最小化收敛理论中的误差估计。我们的主要发现之一是，为了获得快速收敛的抛物型问题，粗网格运营商应考虑到双曲问题的行为，通过跟踪的特征曲线。我们的方法进行了测试，各种订单使用显式或隐式龙格-库塔法与迎风有限差分空间离散相结合的计划。在所有情况下，我们只需几次迭代即可获得可扩展的收敛，并行测试也显示出顺序时间步长的显着加速。我们的洞察粗网格上的跟踪特性提供了一个关键的想法，解决了长期存在的问题，高效的并行时间积分双曲偏微分方程。
2021-03-03 cs.NA math.NA
Matrix-free implementation of the non-nested multigrid method
针对极精细非结构化网格的嵌套多重网格层级构建难题，提出面向连续Lagrange有限元的并行无矩阵非嵌套多重网格实现，已集成至deal.II库，经多维度多问题实验验证了不同配置下的鲁棒性与性能。
2024-12-14 cs.NA math.NA
An efficient multigrid solver for 3D biharmonic equation with a discretization by 25-point difference scheme
本文提出结合25点差分近似的EXCMG方法求解三维双调和方程，利用Richardson外推与二次插值获得高阶初始猜测，采用Bi-CG求解线性系统，并在最细网格上实现更高阶精度，数值实验证明其高效性。
2019-01-16 cs.NA math.NA
MGCNN: a learnable multigrid solver for sparse linear systems from PDEs on structured grids
提出 MGCNN 可学习多重网格求解器，利用类 CNN 的多层级、线性和权重共享结构离线求解结构化网格上的异质系数 PDE 稀疏系统，并在对流–扩散方程上显著优于 GMG。
2024-05-09 cs.NA math.NA
Robust multigrid for high-order discontinuous Galerkin methods: A fast Poisson solver suitable for high-aspect ratio Cartesian grids
Technische Universität Dresden, Institute of Fluid Mechanics and Center for Advancing Electronics Dresden（德累斯顿工业大学，流体力学研究所与先进电子学德累斯顿中心）
本文提出一种多项式多网格方法，用于求解笛卡尔网格上的泊松方程的节点内部惩罚和局部不连续Galerkin格式。通过两种重叠Schwarz方法进行平滑，证明了方法在网格步长和多项式阶数上的鲁棒性，并展示了面中心方法适用于高长宽比网格。
2016-12-21 cs.CE cs.NA math.NA
Using hierarchical matrices in the solution of the time-fractional heat equation by multigrid waveform relaxation
本文研究非均匀时间网格上时间分数阶热传导方程的有效数值解。非均匀网格对于捕捉时间分数阶问题的“典型”解的奇异性是必不可少的。我们提出了一种基于波形松弛技术的时空多重网格方法，该方法考虑了分数阶微分算子的非局部特性。为了保持一个最佳的复杂性，这可以得到的情况下，均匀的网格，我们近似的系数矩阵对应的时间离散化的分层矩阵（${\cal H}$ -矩阵）表示。特别地，所提出的方法具有${\cal O}(k N M \log(M))$的计算成本，其中$M$是时间步长的数量，$N$是空间网格点的数量，并且$k$是控制${\cal H}$ -矩阵近似的精度的参数。该算法的效率和良好的收敛性，这可以从理论上证明了半代数模式分析，通过数值实验在一维和二维空间。
2020-05-07 cs.NA math.NA
Multigrid reduction-in-time convergence for advection problems: A Fourier analysis perspective
针对MGRIT求解平流主导型PDE收敛性差的问题，推导了局部傅里叶分析收敛理论，揭示了其源于对特征分量粗网格校正不足，并证明改进空间多网格的技术可用于构建更稳健的并行时间求解器。
2024-11-17 cs.NA math.NA
Efficient multigrid reduction-in-time for method-of-lines discretizations of linear advection
偏微分方程（PDE）的时间离散方法在近几十年来得到了迅速的发展，特别是对于扩散问题。它已被广泛报道，在文献中，然而，许多这些方法执行相当差的对流为主的问题。在这里，我们分析了特定的迭代并行时间算法的多重网格减少时间（MGRIT）的离散化的恒定波速线性平流问题。我们专注于共同的直线法离散，采用迎风有限差分空间和龙格-库塔法的时间。使用收敛框架，我们在以前的工作中开发的，我们证明了这些离散化的子类，如果使用的标准方法重新离散的细网格问题的粗网格，强大的MGRIT收敛CFL数和粗化因子是不可能的。这种差的收敛性和非鲁棒性是造成的，至少在一定程度上，由一个不充分的粗网格校正平滑傅立叶模式称为特征components.We提出了一个替代粗网格，提供了更好的校正这些模式。这个粗网格运营商是与以前的工作，并使用半拉格朗日离散相结合的隐式处理的截断误差校正。理论和数值实验表明，粗网格算子产生快速MGRIT收敛的直线法离散考虑，包括隐式和显式离散的高阶。并行结果表明，大量的速度比顺序时间步进。
2023-03-20 cs.NA math.NA
A geometrically informed algebraic multigrid preconditioned iterative approach for solving high-order finite element systems
Scientific Computing and Imaging Institute, University of Utah（科学计算与成像研究所，犹他大学）；School of Computing, University of Utah（计算机科学系，犹他大学）；College of Engineering, Mathematical and Physical Sciences, University of Exeter（工程、数学与物理科学学院，埃克塞特大学）；State Key Laboratory of Advanced Special Steels, School of Materials Science and Engineering, Shanghai University（先进特种钢省部共建国家重点实验室，材料科学与工程学院，上海大学）
本文提出一种结合几何信息的代数多重网格方法，用于高效求解高阶有限元系统，展示了其在网格无关收敛和并行可扩展性上的优势。
2025-12-17 cs.NA math.NA
A scalable high-order multigrid-FFT Poisson solver for unbounded domains on adaptive multiresolution grids
本文提出了一种可扩展的高阶多网格-FFT泊松求解器，用于处理无界域上的自适应多分辨率网格，通过灵活的多网格方法和高阶紧凑Stencil提高求解效率和精度。
2025-12-09 cs.DC cs.NA math.NA
Convergence in Norm of Nonsymmetric Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解大型稀疏线性系最快的数值方法之一。对于SPD矩阵，AMG的收敛性在$A$ -范数下得到了很好的证明，并且AMG已被证明是许多应用的有效求解器。近年来，已有几种AMG算法被提出，它们对非对称线性系都很有效。虽然在每种情况下提供的动机，非对称线性系的AMG的收敛性仍然没有得到很好的理解，算法主要是基于几何学或不完整的理论。对于多重网格约束和插值算子$R$和$P$，分别让$Π:= P(RAP)^{-1}RA$表示AMG中粗网格校正对应的投影。在非对称设置中，$\|Π\| > 1$在任何已知范数下都是不变的情况。这导致了一个有趣的二分法：粗网格校正是AMG实现快速收敛的基础，但在这种情况下，实际上会增加误差。在这里，我们提出了一个详细的分析非对称AMG，讨论为什么SPD理论在非对称设置，并制定了一个一般的框架NS-AMG的收敛。将经典多重网格的弱逼近和强逼近性质推广到\textit{fractional approximation property}上。然后在$R$和$P$上开发条件，以确保$\|Π\|_{\sqrt{A^*A}}$是有界的，与问题大小无关。其次是两个网格和多级W-循环收敛的$\sqrt{A^*A}$规范的条件的发展。
2019-09-09 cs.NA math.NA
FFT, FMM, or Multigrid? A comparative Study of State-Of-the-Art Poisson Solvers for Uniform and Nonuniform Grids in the Unit Cube
在这项工作中，我们基准测试和讨论的泊松问题，在实践中广泛使用的可扩展方法的性能：快速傅里叶变换（FFT），快速多极方法（FMM），几何多重网格（GMG），代数多重网格（AMG）。我们总共比较了五种不同的代码，其中三种是在我们组中开发的。我们的FFT，GMG和FMM是并行求解器，使用高阶近似方案的泊松问题与连续强制功能（源或右手边）。我们检查和报告结果弱缩放，强缩放，解决方案的时间均匀和高度精细的网格。我们目前的结果踩踏系统在得克萨斯州高级计算中心和泰坦系统在橡树岭国家实验室。在我们最大的测试案例中，我们解决了泰坦229，379个核心上的6000亿个未知数。总的来说，所有的方法都能很好地适应这些问题的大小。我们已经用不同的源函数测试了所有的方法（泊松问题的右边）。我们的研究结果表明，FFT是平滑源函数，需要统一的分辨率的选择方法。然而，当源函数具有高度局部化的特征（如内部尖锐层）时，FFT失去了其性能优势。对于这些情况，FMM和GMG的性能大大优于FFT。FMM和GMG之间的区别不太明显，并且对底层实现的质量（从性能的角度来看）很敏感。高阶精度版本的GMG和FMM显着优于其低阶精度的同行。
2016-07-11 cs.NA math.NA
Convergence analysis of two-grid methods for nonsymmetric positive definite systems
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）
本文针对非对称正定系统，分析两网格方法的收敛性，推导了精确求解粗网格系统时的收敛因子表达式，并在一般条件下建立了不精确两网格方法的收敛理论。
2026-06-28 cs.NA math.NA
Multigrid methods for Toeplitz linear systems with different size reduction
Università dell’Insubria（因苏布里亚大学）；Università degli Studi del Piemonte Orientale - Amedeo Avogadro（皮埃蒙特东方大学-阿梅代奥·阿伏伽德罗）
针对具有给定生成函数的循环和Toeplitz矩阵，提出一种基于g-循环矩阵投影子的多重网格方法，通过两网格收敛性分析证明最优性，并解决标准方法在生成函数零点位于“镜像点”时的病态问题。
2010-10-27 cs.NA math.NA
A multigrid method for the Helmholtz equation with optimized coarse grid corrections
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Jagannath University（贾格纳特大学）；University of Dhaka（达卡大学）；Al Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University（伊玛目穆罕默德·本·沙特伊斯兰大学）
本文研究多网格方案在亥姆霍兹方程中的收敛性，重点探讨粗网格算子的选择。通过构造新的粗网格算子匹配细网格相速，将所需粗网格点数从约10降至约3.5，同时减少阻尼，使波在新方案中传播超过100个波长。
2014-04-08 cs.NA math.NA
A novel and scalable Multigrid algorithm for many-core architectures
UNAM（墨西哥国立自治大学）
提出一种专为GPU等众核架构设计的高占用率多重网格算法（HOMG），通过融合插值和松弛操作实现线性扩展和完美可扩展性。
2011-08-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A robust multigrid method for the time-dependent Stokes problem
TU Chemnitz（德累斯顿工业大学化学系）；Faculty of Mathematics, TU Chemnitz（德累斯顿工业大学数学学院）
本文提出一种耦合多重网格方法，用于求解广义斯托克斯流问题，该方法在空间离散化网格大小和时间步长长度上表现出鲁棒收敛性。
2016-01-07 cs.NA math.NA
Multigrid Reduction in Time for Chaotic Dynamical Systems
由于CPU时钟速度停滞不前，高性能计算机继续拥有更高的核心数量，因此需要增加并行性以利用这些新架构。传统的串行时间推进方案可能是一个显著的瓶颈，因为许多类型的模拟需要大量的时间步长，必须顺序计算。并行时间计划，如多重网格减少时间（MGRIT）的方法，纠正这一问题的并行跨时间步长，并已显示出可喜的成果抛物问题。然而，混沌问题已被证明是更困难的，因为混沌初值问题（IVP）是固有的病态。MGRIT依赖于一个层次结构的连续粗时间网格迭代校正的最好的时间网格上的解决方案，但由于混沌系统的性质，小的不准确的粗水平可以大大放大，并导致穷人粗网格校正。在这里，我们介绍了一个修改的MGRIT算法的基础上现有的二次收敛的非线性扩展的多重网格全近似方案（FAS），以及一个新的时间粗化计划。总之，这些方法可以更好地捕获粗网格上的长期混沌行为，并大大提高混沌IVP的MGRIT收敛性。此外，我们引入了一种新的低记忆变体的算法求解混沌偏微分方程与MGRIT不仅解决了IVP，但也提供了系统的不稳定的李雅普诺夫向量的估计。我们提供了支持数值结果的洛伦兹系统，并展示了并行加速的混沌仓本- Sivashinsky偏微分方程在一个显着更长的时域比以前的作品。
2022-08-26 cs.NA math.NA
Robust Multigrid for Cartesian Interior Penalty DG Formulations of the Poisson Equation in 3D
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出了一种多项式多网格方法，用于三维笛卡尔网格上泊松方程的节点内惩罚DG格式，采用加权重叠Schwarz平滑器，实现高收敛率和鲁棒性，适用于大网格和高阶近似。
2016-12-14 cs.NA math.NA
Deep Multigrid: learning prolongation and restriction matrices
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）；Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院计算数学研究所）
本文提出了一种优化多重网格方法中限制和细化算子的方法，通过深度神经网络架构实现，提升了求解偏微分方程的收敛速度。
2017-11-10 cs.NA math.NA
Scaling Structured Multigrid to 500K+ Cores through Coarse-Grid Redistribution
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出通过增量聚类实现粗网格问题的重分布算法，提升结构化多网格的并行扩展性，通过二维扩散问题验证性能提升，并在大规模计算系统上展示可扩展性。
2018-03-06 cs.MS cs.NA cs.PF
Reducing operator complexity in Algebraic Multigrid with Machine Learning Approaches
Emory University（埃默里大学）；Harvard University（哈佛大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出基于机器学习的非Galerkin粗网格算子计算方法，利用神经网络和多重网格特征向量降低AMG算子复杂度，并在参数化PDE数值实验中保持收敛性能。
2023-07-15 cs.LG cs.NA math.AP
A robust all-at-once multigrid method for the Stokes control problem
University of Oxford（牛津大学）
本文提出了一种用于分布式斯托克斯控制问题的全一次多网格方法，通过优化系统特性，展示了一种稳健收敛的多网格方法，其收敛率与网格大小和正则化参数无关。
2015-02-13 cs.NA math.NA
On Compatible Transfer Operators in Nonsymmetric Algebraic Multigrid
本文针对非对称代数多重网格中粗网格校正非正交导致算法可能发散的问题，提出构造相容传输算子的解析方法，使校正算子在标准矩阵诱导范数下范数为1，并分析了范数选择与收敛性关系。
2024-01-16 cs.NA math.NA
A new analytical framework for the convergence of inexact two-grid methods
多重网格界对具有Galerkin粗网格系统精确解的两重网格方法进行了深入的研究：建立了一个简洁的恒等式来刻画精确两重网格方法的收敛因子。然而，在实践中，精确求解伽辽金粗网格系统的成本往往太高，特别是当它的尺寸很大时。相反，在不损失收敛速度的情况下，可以近似地求解粗网格系统。在本文中，我们开发了一个新的框架来分析不精确两个网格方法的收敛性：双边界的不精确两个网格方法的误差传播矩阵的能量范数。在该框架中，一个受限制的光滑参与的身份，为精确的两个网格收敛被用来衡量多远，实际的粗网格矩阵偏离伽辽金之一。作为应用，我们建立了多重网格方法的统一收敛理论。
2022-01-10 cs.NA math.NA
A level-set multigrid technique for nonlinear diffusion in the numerical simulation of marble degradation under chemical pollutants
考虑到化学污染物下大理石降解的建模，例如~在硫酸盐化过程中，我们考虑了控制非线性扩散方程及其数值逼近。为了准确地离散它，同时保持有限差分离散的简单性，域描述使用水平集技术。一个统一的笛卡尔网格被放置在一个盒子包含的域，但解决方案的定义和更新，只有在网格节点，位于域内，水平集被用来选择他们，并施加准确的边界条件。我们在时间上使用Crank-Nicolson方案，而对于空间变量，通过域内网格点的标准双精度差分方案和鬼点上的鬼单元技术（通过使用边界条件）来执行离散化。采用Newton-Raphson方法求解大型非线性系统，并对内部线性求解器采用裁剪多重网格技术。数值结果，这是非常令人满意的重建质量和计算效率方面，提出并讨论在文章的最后。
2020-07-08 cs.NA math.NA
Spectral analysis and multigrid preconditioners for two-dimensional space-fractional diffusion equations
Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Max Planck Institute for Plasma Physics（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文研究二维空间分数扩散方程的离散化问题，通过谱分析设计多网格预处理子，证明其收敛性，并验证其在Krylov方法中的有效性。
2017-06-21 cs.NA math.NA
