Ramsey problems for monotone paths in graphs and hypergraphs
本文研究图与超图中单调路径的有序Ramsey数，证明了Mubayi和Suk的两个猜想，改进了Balko等人的界，并给出Erdős-Rado典型Ramsey定理的颜色单调版本。
2023-08-08 math.CO
Color avoidance for monotone paths
本文研究紧单调路径超图Ramsey数的颜色避免版本，证明其塔高较通常情形少一层指数，并揭示一致性为三时由指数级转为多项式级的临界变化。
2025-10-05 math.CO
Degree Monotone Paths
我们将研究图中的度单调路径，这个问题的灵感来自于著名的Erd{Igns}-Szekeres定理，该定理涉及给定数列的最长单调子序列。图G中的路P称为度单调路，如果P中顶点的度序列按它们在P中出现的顺序是单调的。在本文中，我们将考虑这三个问题有关的参数：1。根据$G$的其他参数，找出$mp(G)$的界限。2.研究$f(n,k)$定义为一个图中$n$顶点上的最大边数，并给出了$mp(G) < k$。3.估计所有图$G$在$mp(G)+mp(\overline{G})$的$n$顶点上的最小值和最大值。对于第一个问题，我们的主要工具将是有向路和色数的Gallai-Roy定理。我们还将考虑一些详细的最大平面和最大外平面图，以研究所获得的边界的清晰度。对于第二个问题，我们建立了一个密切的联系之间的$f(n,k)$和经典的图兰数。对于第三个问题，我们建立了一些Nordhaus-Gaddum型不等式。最后，我们指出一些开放的问题，我们的结果点。
2014-05-08 math.CO
Degree Monotone Paths and Graph Operations
图$G$中的路$P$称为度单调路，如果$P$的顶点的度序列按它们在$P$上出现的顺序是单调的。$G$中最长度单调路径的长度用$mp(G)$表示。这个参数首先研究了在较早的文件中的作者在其他参数的$G$的界限。本文主要研究在$G$上进行各种操作时，$mp(G)$的变化。我们首先考虑当边被删除、添加、收缩或细分时，$mp(G)$如何变化。我们同样考虑添加或删除顶点的效果。我们有时把注意力限制在特定的图类上。最后我们用$mp(G)$和$mp(H)$研究了$mp(G \times H)$，其中$\times$是两个图的笛卡儿积或并。在所有这些情况下，我们给出的修改后的图的参数$mp$的原始图或图的界限，我们表明，所有的界限是尖锐的。
2014-08-14 math.CO
Non-crossing Monotone Paths and Binary Trees in Edge-ordered Complete Geometric Graphs
一个边序图是一个边全序的图。边序图中的一条路$P=v_1v_2\ldots v_k$，如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) > (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为增路;如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) < (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为减路。我们说$P$是单调的，如果它是增加或减少。边序图中的根树$T$称为单调树，如果从根到叶子的每条路都是递增的，或者从根到叶子的每条路都是递减的。让$G$是一个图。在$G$的直线绘图$D$中，其顶点被绘制为平面中的不同点，其边缘是直线段。设$\overlineα(G)$是最大整数，使得在任何边标号下$G$ %的每个边序直线图包含长度为$\overlineα(G)$的单调非交叉路径。设$\overlineτ(G)$是最大整数，使得$G$ %的每个边序直线图在任何边标号下都包含大小为$\overlineτ(G)$的单调非交叉完全二叉树。在本文中，我们表明，$\overline α(K_n) = Ω(\log\log n)$，$\overline α(K_n) = O(\log n)$，$\overline τ(K_n) = Ω(\log\log \log n)$和$\overline τ(K_n) = O(\sqrt{n \log n})$。
2020-01-21 math.CO
Monotone Paths in Dense Edge-Ordered Graphs
图$G$的高度，记为$f(G)$，是最大整数$k$，使得在$E(G)$的每个排序下，存在长度为$k$的路径，该路径以递增的顺序遍历边。1971年，Chvátal和Komlós提出了$f(K_n)$，其中$K_n$是$n$顶点上的完全图。1973年，Graham和Kleitman证明了$f(K_n) \ge \sqrt{n - 3/4} - 1/2$，1984年，Calderbank、Chung和Sturtevant证明了$f(K_n) \le (\frac{1}{2} + o(1))n$。我们证明了$f(K_n) \ge (\frac{1}{20} - o(1))(n/\lg n)^{2/3}$ .
2015-09-07 math.CO
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
2023-03-29 math.CO
On the Length of Monotone Paths in Polyhedra
受单纯形算法迭代次数的限制问题的启发，我们研究了在多面体的定向图（由目标函数定向）中单纯形方法所遵循的单调路径的可能长度。我们考虑了最短和最长单调路径，并估计了多面体的单调直径和高度。我们的分析适用于运输多面体，拟阵多面体，匹配多面体，最短路径多面体，和TSP，等等。我们首先表明，组合立方体有单调和Bland枢轴高度的限制，其尺寸和实际上所有的单调路径zonotopes不大于zonotopes的边缘方向的数量。我们稍后使用它来证明几个多面体具有多项式大小的枢轴高度，对于所有的枢轴规则。相反，我们发现，许多著名的组合多面体有指数长单调路径。令人惊讶的是，对于一些著名的枢纽规则，例如，最大的改进和最陡的边缘，这些相同的多面体具有多项式大小的单纯形路径。
2020-01-27 math.CO math.OC
Monotone paths in random hypergraphs
我们确定的概率阈值存在的单调路径，有限和无限长，在随机定向图的顶点集$\mathbb N^{[k]}$，所有增加的$k$ -元组在$\mathbb N$。这些图表现为顶点集为$\mathbb N$的一致超图的线图。
2012-02-29 math.CO math.PR
Monotone Paths in Geometric Triangulations
(I)证明了平面上$n$点的几何三角剖分中单调路径的最大个数为$O(1.7864^n)$。这改进了早期的$O(1.8393^n)$上限;当前最佳下限是$Ω(1.7003^n)$。(II)给定一个平面几何图$G$，其顶点为$n$，证明了$G$中单调路的个数可以在$O(n^2)$时间内计算.
2016-10-03 cs.CG math.CO
Juxtaposing Catalan permutation classes with monotone ones
本文列举了“Av（$abc$）next to Av（$xy$）"形式的所有并置类，其中$abc$是长度为3的置换，$xy$是长度为2的置换.我们使用Dyck路径装饰的点序列来表示这样一个并置类的元素。上下文无关文法，然后用来枚举这些装饰戴克路径。
2017-03-28 math.CO
Saturation problems in the Ramsey theory of graphs, posets and point sets
1964年，Erdés、Hajnal和Moon在极值图论中引入了图兰经典定理的饱和版本。特别是，他们确定了一个无$K_r$ $K_r$的$n$顶点图中的最小边数，该图具有增加任何进一步的边都会产生$K_r$的副本的性质。我们认为类似的这个问题在其他设置。证明了Erdens-Szekeres单调连续性定理的一个饱和形式，以及图上的Ramsey型定理和偏序集上的Dille-type定理的一个饱和形式.我们还考虑半饱和问题，其中我们允许家庭有禁止的配置，但坚持认为，任何除了家庭产生一个新的副本的禁止配置。在这种情况下，我们证明了一个半饱和版本的凸$k$ -凸的Erdens-Szekeres定理，以及多个半饱和定理的序列和偏序集。
2020-05-04 math.CO
Long monotone paths on simple 4-polytopes
单调上界问题（Klee，1965）提出了一个问题：沿着一个有n个小平面的d维多面体的边的单调路径上的顶点数M（d，n）是否可以尽可能大：M（d，n）= M_{ubt}（d，n），根据上界定理，一个有n个小平面的d维多面体可以拥有的最大顶点数？我们表明，在维度d=4，答案是“是”，尽管事实上，它是“否”，如果我们限制自己的双循环多面体。对于每个n>=5，我们展示了一个实现的极邻4维多面体与n个方面和一个汉密尔顿路径通过其顶点是单调的线性目标函数。这限制了一个较早的结果，即没有极邻6维多面体与9方面承认单调的汉密尔顿道路。
2004-02-15 math.CO math.MG
3-uniform monotone paths and multicolor Ramsey numbers
本文研究3-均匀单调路径超图，建立三角形多色拉姆齐数与相应超图拉姆齐数之间的指数级上下界关系，从而将Erdős关于三角形多色拉姆齐数是否指数增长的经典问题等价转化为超图拉姆齐数的指数增长问题。
2024-11-23 math.CO
Tiling edge-ordered graphs with monotone paths and other structures
本文首次研究边有序图中的完美平铺问题，刻画了问题良定义的边有序图，并利用吸收方法渐近确定了迫使完美单调路径平铺的最小度阈值。
2023-10-17 math.CO
Vertex Posets, Monotone Path Polytopes, and Chow Polynomials
University of Konstanz（康斯坦茨大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
研究通过顶点关系构造格，并证明其Chow多项式与对称的单调路径多面体的h多项式一致，揭示了格不变量与多面体结构之间的关系。
2026-04-30 math.AG math.CO
S-hypersimplices, pulling triangulations, and monotone paths
$S \subseteq \{0,1, \dots,d\}$的$S$ -超单形是所有长度为$d$的$0/1$ -向量的凸包，其坐标和在$S$中。这些多面体推广了经典的超单形以及立方体、交叉多面体和半立方体。本文研究了$S$ -超单的面与剖分。此外，我们还证明了$S$ -超单形的单调路径多胞形可以产生所有类型的多重置换面。在类比立方体，我们还表明，在一个拉三角形的一个halfcube的单形的数量是独立的拉动顺序。
2019-11-28 math.CO math.MG
Markov chains, CAT(0) cube complexes, and enumeration: monotone paths in a strip mix slowly
该研究运用CAT(0)立方复形理论证明带状区域单调路径上两类马尔可夫链混合缓慢，还给出了单调路径计数公式并推广了相关指数增长常数结果。
2024-09-13 math.CO math.PR
Generalized saturation problems for cliques, paths, and stars
一个图$G$是$F$饱和的，如果它不包含任何$F$的拷贝，但是在$G$中添加任何缺失的边都会创建至少一个$F$的拷贝.受Alon和Shikhelman关于$F$ -free图的类似问题的工作的启发，Kritschgau，Methuku，Tait和Timmons引入了参数$\text{sat}_H(n,F)$来表示在$n$顶点上的$F$ -饱和图中某些子图$H$的最小拷贝数.在本文中，我们解决这个广义饱和问题，特别关注$\text{sat}_{K_r}(n,S_t)$和$\text{sat}_{S_r}(n,S_t)$。这涉及到最近的工作Chakraborti和Loh关于$\text{sat}_{K_r}(n,K_t)$和Ergemlidze，Methuku，Tait和Timmons关于$\text{sat}_{S_r}(n,K_t)$。我们还提供了一些结果，路径和任意树。
2021-08-17 math.CO
F-Saturation Games
我们研究F-饱和游戏，首先介绍了Füredi，Reimer和Seress在1991年，并命名为这样的西方。主要的问题是要确定游戏的长度，同时避免各类图，玩一个大的完全图。我们显示路径避免游戏的长度上的下界，和更精确的结果为短路径。我们显示尖锐的结果，树避免游戏和明星避免游戏。
2014-06-05 math.CO
On the proper rainbow saturation numbers of cliques, paths, and odd cycles
本文研究了图的正常彩虹饱和数，确定了路及 $K_4$ 的该数值，并对更大团、特定树和奇圈的情况给出了界。
2024-10-15 math.CO
On-line size Ramsey number for monotone k-uniform ordered paths with uniform looseness
一个有序超图是一个超图$H$，它的顶点有一个指定的线性顺序，并且一个有序超图$G$在$H$中的出现必须遵守$V(G)$上指定的顺序。在在线Ramsey理论中，Builder迭代地呈现Painter必须立即着色的边缘。有序超图$G$的$t$ -color on-line size Ramsey number $\tilde R_t (G)$是生成器（在一个大的有序顶点集上）强制Painter使用$t$颜色生成$G$的单色副本所需的最小边数。单调紧路$P_r^{(k)}$是顶点为$r$且边都是$k$连续顶点集的有序超图。我们得到了$\tilde R_t (P_r^{(k)})$上的好界.设$P_r^{(k)}$中的边数为$m=r-k+1$，证明了$m^{t-1}/(3\sqrt t)\le\tilde R_t (P_r^{(2)})\le tm^{t+1}$ .对于一般的$k$，一个平凡的上界是${R \choose k}$，其中$R$是$k$ -均匀（有序）超图中顶点数最少的一个，该超图的$t$ -着色都包含$P_r^{(k)}$（并且是高度为$k-2$的塔）.我们证明了$R/(k\lg R)\le\tilde R_t(P_r^{(k)})\le R(\lg R)^{2+ε}$，其中$ε$是任何正的常数和$t(m-1)$是足够大的。当$t$比$m/\log m$增长更快时，我们的上界…
2018-07-13 math.CO
Monotone Paths on Acyclic 3-Regular Graphs
本研究改进了3-多面体单调路径数量上界的已有结果，将适用范围拓展至更大的无环3-正则图类，证明其上界为$c \cdot 1.6779^n$（$c$为通用常数），优于此前的$(1+φ)^n$上界。
2025-08-04 math.CO math.OC
Erdos-Szekeres-type theorems for monotone paths and convex bodies
对任意正整数序列j_1 < j_2 <. < j_n，k元组（j_i，j_{i + 1}，.，j_{i + k-1}），i=1，2，.，n-k +1，被称为形成长度为n的单调路径。给定任何整数n \ge k \ge 2和q \ge 2，具有以下性质的最小整数N是多少：无论我们如何对[N]=\{1，2，.，N\}，我们总能找到一条长度为n的单色单调路径。用N_k（q，n）表示这个最小值，从Erd \H os和Szekeres 1935年的开创性论文中可以得出N_2（q，n）=（n-1）^q+1和N_3（2，n）= {2n-4 \choose n-2} + 1。确定这些函数的其他值似乎是一项艰巨的任务。这里我们证明了2^{（n/q）^{q-1}} \leq N_3（q，n）\leq 2^{n^{q-1} \log n}，对于q \geq 2和n \geq q+2.利用Erdos和Hajnal的逐步逼近方法，我们证明了N_k（q，n）在k较大时的类似上界，即n^{q-1}中高度为k-1的塔。作为一个几何应用，我们证明了幸福结局定理的以下扩展。任意一对至少M（n）=2^{n^2 \log n}的平面凸体在一般位置上至多有两个公共边界点的凸体族，在凸位置上有n个成员，也就是说，它有n个成员使得每个成员对它们的并集的凸包的边界贡献一个点.
2011-05-11 math.CO
Tower heights for color-avoiding Ramsey numbers of monotone paths
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究了在有序超图中单调路径的色避 Ramsey 数，证明了当允许 p 种颜色时，其塔高度为 ceil((k-1)/p)，并引入了新的阶梯提升方法和 Morse-Hedlund 定理的有限版本。
2026-06-07 math.CO
A note on rainbow saturation number of paths
对于固定图$F$和整数图$t$，$F$的\dfn{rainbow saturation number}，记为$sat_t(n,\mathfrak{R}(F))$，定义为$t$边着色图中不包含$F$的\dfn{rainbow copy}的$n$顶点上的最小边数，即，$F$的副本，其所有边都接收不同的颜色，但添加$[t]$中任何颜色的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本。Barrus，Ferrara，Vardenbussche和Wenger证明了$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\ge n-1$对于$\ell\ge 4$和$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell-1} \rceil \cdot \binom{\ell-1}{2}$对于$t\ge \binom{\ell-1}{2}$，其中$P_\ell$是一条有$\ell$边的路。在这个简短的说明中，我们提高了上界，并表明，$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell} \rceil \cdot \left({{\ell-2}\choose {2}}+4\right)$的$\ell\ge 5$和$t\ge 2\ell-5$。
2020-01-17 math.CO
Saturation results around the Erdős--Szekeres problem
ELTE Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极端组合与概率组（ECOPRO））；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了与Erdős--Szekeres凸多边形问题相关的饱和问题，构造了大小为(7/8)·2^{n-2}的平面点集，该集合不含n个凸位置的点，但添加任意新点都会形成这样的配置，证明了饱和数小于该问题的Ramsey数。
2025-10-06 math.CO
On induced saturation for paths
对于图$H$，如果$G$不包含$H$的诱导拷贝，但是从$G$移除边或向$G$添加非边创建了$H$的诱导拷贝，则图$G$是$H$诱导饱和的。根据图$H$，不一定存在$H$诱导饱和图。事实上，Martin和Smith（2012）证明了不存在$P_4$诱导饱和图，其中$P_k$表示$k$顶点上的路径。Axenovich和Csikós（2019）询问了$k \ge 5$的$P_k$诱导饱和图的存在性;当$k\in\{2, 3\}$时，很容易构造这样的图。最近，Räty构造了一个图，它是$P_6$-诱导饱和的。本文证明了对于$k$的无穷多个值，存在一个$P_{k}$-诱导饱和图.更精确地说，我们找到了一个$P_{3n}$-诱导饱和图的每一个正整数$n$。因此，对于每个正整数$n$，我们构造了无穷多个$P_{3n}$-诱导饱和图。我们还证明了Kneser图$K(n,2)$对每个$n\ge 5$都是$P_6$诱导饱和的.
2019-07-12 math.CO
Covering Complete Geometric Graphs by Monotone Paths
Algoresearch L.L.C.（Algoresearch有限责任公司）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；IST Austria (Institute of Science and Technology Austria)（奥地利科学技术研究院）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
研究在随机点集下，用O(nlogn)的单调路径覆盖完整几何图的边集，并构造需二次路径的点集。
2026-01-10 cs.DM math.CO
Any Proof of Polynomial Hirsch Must be Completely Incoherent
Bowdoin College（博多因学院）；Colby College（科尔比学院）
研究多项式赫希猜想类似问题，即多面体上由线性函数诱导定向时是否总有多项式长度连贯单调路径。通过展示特定多面体和线性函数，证明并非如此，且加强了相关领域长期结果。
2026-07-14 cs.DS math.CO math.OC
On saturation games
如果对于每个$e \in \binom{V}{2} \setminus E$都有$G \notin {\mathcal P}$但有$G \cup \{e\} \in {\mathcal P}$，则称图$G = (V,E)$关于单调递增图性质${\mathcal P}$是饱和的。饱和度游戏$(n, {\mathcal P})$如下进行。两个玩家（分别称为Mini和Max）逐步构建一个不满足${\mathcal P}$的图$G \subseteq K_n$。从$n$顶点上的空图开始，两个玩家轮流添加边$e \in \binom{V(K_n)}{2} \setminus E(G)$，为此添加边$G \cup \{e\} \notin {\mathcal P}$，直到没有这样的边存在（即直到$G$变为${\mathcal P}$饱和），此时游戏结束。Max的目标是最大化博弈的长度，而Mini的目标是最小化博弈的长度。博弈的得分，用$s(n, {\mathcal P})$表示，是在博弈结束时$G$中的边数，假设双方都遵循他们的最优策略。我们证明了下限和上限的游戏中，玩家需要避免的属性是$k$连接，色数至少$k$，并承认一个给定的大小匹配的分数。在这样做的时候，我们证明了某些游戏的分数可以是大的图兰数或低的饱和数的相应的图形属性。我们还证明了分数可能强烈依赖于第一个移动的玩家的身份。
2015-05-28 math.CO
Saturation of Berge Hypergraphs
给定一个图$F$，如果它是一个Berge- $F$，则它是一个通过将$F$中的每条边扩展到包含它的一个超边而得到的超图.一个超图$H$是Berge-$F$ -饱和的，如果$H$不包含一个是Berge- $F$的子图，但对于任何边$e\in E(\overline{H})$，$H+e$包含. Berge- $F$的$k$ -一致饱和数是指$k$ -一致Berge- $F$ -饱和超图在$n$顶点上的最小边数.对于$k=2$，该定义与图的饱和度的经典定义一致。本文研究了$k$ -一致超图中Berge三角形、路、圈、星和匹配的饱和数。
2017-10-10 math.CO
On the Holt-Klee Property for Oriented Matroid Programming
Holt-Klee定理说，一个$d$ -多面体的图，其边由$P$上的线性函数定向，并且在任何边上都不是常数，允许$d$从源到宿的独立单调路径。证明了由秩$d+1$在$n+2$元素上的定向拟阵程序得到的有向图，包括由$d$ -多面体得到的有向图，如果$d \le 4$，则允许$d$从源到汇的独立单调路径.以前仅知道这适用于$d\le 3$和$n\le 6$。
2021-09-30 math.CO
Small Shadows of Lattice Polytopes
由于Kleinschlaun和Onn的工作，已知$d$维晶格多面体$P \subseteq [0,k]^{n}$的图的直径至多为$dk$。然而，在$d$和$k$中，$d$维格多面体$P = \{\mathbf{x}: A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}\} \subseteq [0,k]^{n}$的单调直径（单调路径的最短保证长度）是否受多项式约束是一个悬而未决的问题.这个问题在线性最优化中特别有趣，因为单纯形方法跟踪的路径必须是单调的。在这个方向上，我们介绍了部分结果，包括一个单调的$3d$的$k = 2$，$(d-1)m+1$的$d$ -维$(m+1)$ -水平多面体的单调直径界，枢轴规则，这样的单纯形方法是保证采取最多$dnk||A||_{\infty}$非退化的步骤，以解决LP $P$，和一个界的$dk$的路径长度从某些固定的起点。最后，我们提出了一个建设性的方法，直径界的$(3/2)dk$，并描述了如何将这个最终的界限转化为一个算法，解决了线性规划跟踪这样的路径。
2022-04-19 math.CO math.OC
The Polyhedral Geometry of Pivot Rules and Monotone Paths
受单纯形法性能分析的启发，我们研究了线性规划主元规则族的行为。我们引入规范化权重枢轴规则，这是基本的原因如下：首先，它们是无记忆的，在这个意义上，枢轴是由本地信息编码的树形图。其次，许多最常用的透视规则属于该类，我们表明这个子类对于理解所有透视规则的复杂性至关重要。最后，归一化权重枢轴规则可以以自然连续的方式参数化。我们证明了两个多面体的存在，枢纽规则多面体和cubotopes，捕获的行为规范化的重量枢纽规则多面体和线性规划。我们解释他们的脸结构的多树状。我们计算相干树形图的数量的上界，也就是我们的多面体的顶点。除了优化，我们的结构提供了新的视角，经典的几何组合。我们引入了一个归一化权重主元规则，我们称之为最大斜率主元规则，它推广了阴影顶点主元规则。相应的主元规则多面体和主元规则多面体改进了Billera-Sturmfels的单调路径多面体。此外，我们的多面体的特殊情况下产生置换面体，associahedra，和multiplihedra。为了最大程度地改进主元规则，我们绘制了扫描多面体和多拟阵的连接。
2022-01-13 math.CO math.OC
Saturation Number of Trees in the Hypercube
一个图$H^{\prime}$是$(H, G)$饱和的，如果它不含$G$，并且添加不在$H^{\prime}$中的$H$的任何边都会创建$G$的副本.饱和数$sat(H, G)$是$(H, G)$ -饱和图中的最小边数。研究了$n$维超立方体$Q_n$中树$T$的饱和数的界.我们首先提出了一个一般的下界的饱和数的基础上的最小程度的非叶。从那里，我们提出了两个一般的方法来构建$T$饱和子图的$Q_n$，并证明了非平凡的上界的特定类型的树，包括道路，广义星，和某些毛毛虫的限制下，最小程度的直径。
2014-11-10 math.CO
Graph cover-saturation
如果图$G$不包含图$F$的副本，但添加到$G$的任何边至少产生$F$的一个副本，则图$G$是$F$饱和的。饱和的一个常见变体是去除前一限制：如果添加到$G$的任何边产生至少一个新的$F$拷贝，则$G$是$F$ -半饱和的。在本文中，我们把这个想法更进一步。我们不是只允许$G$的边在$F$的副本中，而是要求：如果$G$的每条边都在$F$的副本中，则$G$是$F$覆盖的。事实证明，覆盖度和半饱和度之间存在平滑的相互作用，这为研究饱和数的自然模拟打开了大门。因此，我们提出了初步的覆盖饱和理论和覆盖饱和数的结构界。我们还建立了集团和路径的渐近覆盖饱和密度，以及周期和恒星的上界和下界（有小间隙）。
2019-05-21 math.CO
Induced Saturation Number
在本文中，我们讨论了图的饱和度的概念，以处理诱导结构的推广。特别地，我们定义了${\rm indsat}(n,H)$，它是三元图中灰色边的最少数量，使得该三元图的任何实现都没有$H$的诱导副本，但是将任何白色或黑色边更改为灰色会导致某些实现确实具有$H$的诱导副本。我们给出了一些一般的基本结果，然后证明了${\rm indsat}(n,P_4)=\lceil (n+1)/3\rceil$对$n\geq 4$，其中$P_4$是4点上的路.我们还展示了如何诱导饱和度在此设置中扩展到一个自然的概念饱和度的一般布尔公式的上下文中。
2012-06-14 math.CO
Weak rainbow saturation numbers of paths, stars and cycles
Nankai University（南开大学）
本文精确确定了路径与星型图的弱彩虹饱和数，证明其分别随阶数线性和二次增长，并通过显式构造否定了环的弱彩虹饱和数首项为3n/2的猜想，给出更优的上界。
2026-09-04 math.CO
A Strengthening of the Erdős-Szekeres Theorem
用图的形式表述的Erdens-Szekeres定理说，有序完全图$K_{rs+1}$的边的任何红-蓝着色包含一个带有$r$边的单调递增路径的红色副本或一个带有$s$边的单调递增路径的蓝色副本。尽管$rs + 1$是此结果所需的最小顶点数，但并非$K_{rs+1}$的所有边都是必需的。我们用这个着色性质刻画了$K_{rs+1}$的子图：它们是包含我们称之为圆帐篷图$CT(r,s)$的所有边的子图.此外，我们使用类似的证明技术，以改善一些界限上的在线订购的大小拉姆齐数的路径由佩雷斯-Giménez，Pralat，和西方。
2021-09-21 math.CO
Induced Saturation of $P_{6}$
如果$G$不包含$H$的诱导拷贝，则图$G$被称为$H$ -诱导-饱和，但是从$G$移除任何边创建$H$的诱导拷贝，并且将$G^{c}$的任何边添加到$G$创建$H$的诱导拷贝。Martin和Smith证明了不存在$P_{4}$诱导饱和图，其中$P_{4}$是4个顶点上的路. Axenovich和Csikós研究了相关问题，并提出了是否存在任何$n\geq5$的$P_{n}$诱导饱和图。本文的目的是证明存在一个$P_{6}$诱导饱和图。
2019-01-28 math.CO
Long monotone trails in random edge-labelings of random graphs
给定一个图$G$和一个双射$f : E(G)\rightarrow \{1, 2, \ldots,e(G)\}$，我们说$G$中的一条轨迹/路径是$f$ - \emph{increasing}，如果这个轨迹/路径的连续边的标号形成一个递增序列. 40多年前，Chvátal和Komlós提出了一个问题，即在$K_n$的所有边排序上，提供最长递增路径/路径长度的最坏情况估计。Graham和Kleitman解决了线索的问题，他们证明了答案是$n-1$，而路径的问题仍然悬而未决。最近Lavrov和Loh提出了研究这个问题的平均情况下，边的顺序是随机一致选择的。他们证明了（Martinsson也证明了）这样的高概率序（whp）包含一条递增Hamilton路.本文考虑随机图$G=G(n,p)$及其随机一致选取的边序.在此设置中，我们确定whp的最长的增加的线索中的边缘的数量的渐近。特别地，我们证明了Graham和Kleitman结果的一个平均情形，证明了$K_n$的随机边序有一条长度递增的轨迹$(1-o(1))en$，这是紧的.对于具有$p=o(1)$的随机ErdIgn-Renyi图，我们还得到了最长增路长度的渐近紧结果.
2019-05-22 math.CO math.PR
Hamiltonicity in Convex Bipartite Graphs
对于一个连通图，哈密尔顿圈（路）是一个简单的圈（路），它跨越图中的所有顶点。由\cite{muller,garey}可知，在一般图和弦二部图中，Hamilton圈（PATH）是NP-完全的.一个凸二部图$G$具有二分图$(X,Y)$和一个序$X=(x_1,\ldots,x_n)$，是一个二部图使得对于每个$y \in Y$，$X$中的$y$的邻域连续出现. $G$被认为相对于$X$具有凸性。此外，凸二部图是弦二部图的一个子类。本文给出了凸二部图中存在Hamilton圈的一个充要条件，并在此基础上得到了这类图的线性时间算法。我们还证明了Chvatal的必要条件是凸二部图的充分条件。密切相关的问题是哈密顿路径的复杂性是开放的凸二部图。我们将凸二部图类分为{ \em单调}图和{ \em非单调}图。对于单调凸二部图，我们给出了一个线性时间算法来输出一条Hamilton路，我们相信这些结果可以用来得到非单调凸二部图中Hamilton路问题的算法.重要的是要强调（a）在\cite{keil,esha}中，通过参考实际讨论Hamilton圈的\cite{muller}，错误地声称凸二部图中的Hamilton路径问题是多项式时间可解的（b）在\cite{esha}中出现的用于双凸和凸二部图中的最长路径问题（Hamilton路径问题）的算法有一个错误，并且它并不总是计算最优解。我们提出了一组无限的反…
2018-09-17 cs.DM math.CO
The graph theory general position problem on some interconnection networks
给定一个图$G$，（图论）一般的位置问题是找到顶点的最大数目，使得没有三个顶点位于公共测地线上。这个图不变量称为$G$的广义位置数（简称gp数），记为${\rm gp}(G)$。本文确定了无限格图的一大类子图和无限对角格图的gp-数。为了得到这些结果，我们引入单调测地线标签，并证明了单调测地线引理，这反过来又开发使用单调序列的Erdös-Szekeres定理。三维无限网格的gp数是有界的。使用等距路径覆盖，也确定了贝内什网络的gp数。
2017-09-30 math.CO
On the Monotone Upper Bound Problem
单调上界问题要求有n个小平面的简单d-多胞形的严格增边路上的顶点的最大数目M（d，n）。更具体地说，它询问由McMullen（1970）上界定理提供的上界M（d，n）<= M_{ubt}（d，n）是否是紧的，其中M_{ubt}（d，n）是具有n个刻面的对偶到循环d-多面体的顶点数。最近表明，上界M（d，n）<= M_{ubt}（d，n）对于小维度（d<=4：Pfeifle，2003）和小corank（n<=d+2：Gärtner等人，2001年）。在这里，我们证明，它不是紧一般：在维数d=6时，n=9的多面体可以有M_{ubt}（6，9）=30个顶点，但不超过26 <= M（6，9）<= 29个顶点位于严格增的边路上，证明涉及到相邻多面体的分类结果，Kalai（1988）的抽象目标函数的概念，Holt-Klee条件（1998），显式枚举，Welzl（2001）扩展的Gale图，实例的随机生成，以及通过Farkas引理版本的不可实现性证明。
2003-08-20 math.CO math.MG
Ordered graphs and large bi-cliques in intersection graphs of curves
有序图$G_<$是指在其顶点集上具有全序$<$的图。长度为$k$的单调路径是一个顶点序列$v_1<v_2<\ldots<v_k$，使得$v_iv_{j}$是$G_<$的边当且仅当$|j-i|=1$。$m$大小的二团是顶点类为$m$大小的完全二部图。证明了对任意正整数$k$，存在一个常数$c_k>0$，使得$n$顶点上的任意有序图，如果不包含长度为$k$的单调路作为导出子图，则其顶点的度至少为$c_kn$，或者其补图的双团的大小至少为$c_kn/\log n$ .对于不含同构于固定序匹配的诱导有序子图的有序图，也有类似的结果。因此，我们给出了Fox和Pach定理的一个简短的组合证明。存在一个常数$c>0$，使得平面中$n$ $x$ -单调曲线的任何集合的交图$G$具有大小至少为$cn/\log n$的双团，或者其补图包含大小至少为$cn$的双团。（一条曲线称为$x$ -monotone，如果每条垂直线与它相交至多一点。我们还证明，如果$G$有最多$\left(\frac14 -ε\right){n\choose 2}$边缘的一些$ε>0$，那么$\overline{G}$包含一个线性大小的双团。我们表明，这种说法并不保持真实，如果我们取代$\frac14$任何较大的常数。
2019-02-26 math.CO
Unimodality of the number of paths per length on polytopes: Examples, counterexamples, and a central limit theorem
该研究针对凸多面体路径数的单峰性猜想，证实部分多面体类符合猜想、构造反例否定其普遍性，并证明球面上均匀顶点的随机多面体相干路径长度满足中心极限定理。
2026-08-13 math.CO math.PR
Critical resonance in the non-intersecting lattice path model
本文研究了蜂窝二聚体模型（即单调不相交晶格路径模型）中的相变。在临界点处，系统具有很强的长程依赖性;特别是，周期边界条件引起"共振“现象，其中系统的分拆函数和其他性质敏感地依赖于域的形状。
2004-06-23 cond-mat math.CO math.PR
Some results on small ordered and cyclic Ramsey numbers
FAMNIT, University of Primorska（普里莫斯卡大学 FAMNIT）；IAM, University of Primorska（普里莫斯卡大学 IAM）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Faculty of Electronic Engineering, University of Niš（尼什大学电子工程学院）；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学与艺术学院数学研究所）；College of Integrative Studies, Abdullah Al Salem University（阿卜杜拉·萨勒姆大学综合研究学院）；Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš（尼什大学理学院）
本文研究了小有序和循环Ramsey数，通过Kissat求解器确定了多种图类的Ramsey数，并引入了循环Ramsey数概念，探讨了强化学习在Ramsey数下界计算中的应用。
2026-04-17 cs.DM math.CO
Underlying Flag Polymatroids
本研究通过关联贪心算法几何与单调路径多面体，建立拟阵与基础旗拟阵的几何关系，将构造推广至多拟阵，证明相关多面体为简单多面体，还探讨了其在环面簇中的应用及组合结构与单调路径的杨表计数关联。
2024-06-24 math.CO math.OC
