Erdos-Szekeres-type statements: Ramsey function and decidability in dimension 1
一个经典且广泛使用的Erdos和Szekeres引理断言，对于每个n，存在N使得每个实数的N项序列a包含一个n项递增子序列或一个n项非递减子序列;定量地说，具有此性质的最小N等于（n-1）^2+1。在本文的背景下，我们把这个引理表示为谓词集Phi={x_1<x_2，x_1 \ge x_2}$是Erdos-Szekeres，其中Ramsey函数ES_Phi（n）=（n-1）^2+1.一般来说，我们考虑任意有限集Phi={Phi_1，.，Phi_m}，意味着每个Phi_j=Phi_j（x_1，.，x_k）是多项式方程和不等式的布尔组合，其中有k个实变量。我们将Phi定义为Erdos-Szekeres，如果对于每个n存在N，使得每个实数的N项序列a具有n项子序列b，使得Phi_j中的至少一个在b上处处成立，这意味着Phi_j（b_{i_1}，.，b_{i_k}）对于索引i_1，i_2，.，i_k，1<=i_1<i_2<. <i_k<= n.对于具有上述性质的最小N，我们将ES_Phi（n）写成。我们证明了两个主要结果。首先，在这种情况下，拉姆齐函数至多是双指数的（有时它们确实是双指数的）：对于每个Erdens-Szekeres的Φ，存在一个常数C，使得ES_Phi（n）< exp（exp（Cn））。第二，有一个算法，给定φ，决定它是否是埃尔多斯-塞凯雷斯;因此，一维埃尔多斯-塞凯雷斯式定…
2013-11-21 math.CO
A Strengthening of the Erdős-Szekeres Theorem
用图的形式表述的Erdens-Szekeres定理说，有序完全图$K_{rs+1}$的边的任何红-蓝着色包含一个带有$r$边的单调递增路径的红色副本或一个带有$s$边的单调递增路径的蓝色副本。尽管$rs + 1$是此结果所需的最小顶点数，但并非$K_{rs+1}$的所有边都是必需的。我们用这个着色性质刻画了$K_{rs+1}$的子图：它们是包含我们称之为圆帐篷图$CT(r,s)$的所有边的子图.此外，我们使用类似的证明技术，以改善一些界限上的在线订购的大小拉姆齐数的路径由佩雷斯-Giménez，Pralat，和西方。
2021-09-21 math.CO
Saturation results around the Erdős--Szekeres problem
ELTE Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极端组合与概率组（ECOPRO））；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了与Erdős--Szekeres凸多边形问题相关的饱和问题，构造了大小为(7/8)·2^{n-2}的平面点集，该集合不含n个凸位置的点，但添加任意新点都会形成这样的配置，证明了饱和数小于该问题的Ramsey数。
2025-10-06 math.CO
Erdős-Szekeres theorem for multidimensional arrays
经典的Erdens-Szekeres定理可以追溯到近一百年前，它指出任何$(n-1)^2+1$不同实数的序列都包含一个长度为$n$的单调子序列。这个定理已经推广到更高的维度在各种方式，但也许是最自然的一个提出了菲什伯恩和格雷厄姆超过25年前。他们定义了单调和lex-monotone数组的概念，并询问需要多大的数组才能找到大小为$n \times \ldots \times n$的单调或lex-monotone子数组。Fishburn和Graham在这两种情况下都得到了Ackerman型界。我们大大改善了这些结果。无论维数，我们得到至多三重指数界在$n$在单调的情况下和四重指数在lex单调的情况下。
2022-04-12 math.CO
On the Erdos-Szekeres convex polygon problem
设$ES(n)$是最小整数，使得平面中处于一般位置的任何一组$ES(n)$点都包含处于凸位置的$n$点。在他们1935年的开创性论文中，Erdos和Szekeres证明了$ES(n) \leq {2n - 4\choose n-2} + 1 = 4^{n -o(n)}$。1960年，他们证明了$ES(n) \geq 2^{n-2} + 1$，并证明这是最佳的。本文通过证明$ES(n) =2^{n +o(n)}$ .
2016-08-27 cs.CG math.CO
Ramsey Theory, Integer Partitions and a New Proof of the Erdos-Szekeres Theorem
设H是一个k-一致超图，其顶点为整数1，…，N.我们说H包含一条长度为n的单调路，如果存在x_1 < x_2 <. < x_{n+k-1}，使得H包含形式{x_i，x_{i+1}，.，x_{i+k-1} }。设N_k（q，n）是最小整数N，使得完全k-一致超图的N个顶点上的边的每一个q-染色都含有一条长度为n的单色单调路。虽然对于k和q的特定值的N_k（q，n）的研究可以追溯到（隐含地）1935年Erdos和Szekeres的开创性论文，但对于任意k和q的N_k（q，n）的边界问题由Fox，Pach，Sudakov和Suk研究。我们的主要贡献是在Ramsey型数N_k（q，n）与高维整数划分计数问题之间建立了一种惊人的紧密联系，并提出了一种新的Ramsey型数N_k（q，n）的定界方法。我们使用这种方法得到的一些具体结果如下：1。我们证明了对于每一个固定的q，我们有N_3（q，n）=2^{Θ（n^{q-1}）}，从而解决了Fox等人提出的一个公开问题。我们证明了对于任意k ≥ 3，N_k（2，n）=2^{ \cdot^{\cdot^{2^{(2-o(1))n}}} }，其中塔的高度为k-2，从而解决了Elias和Matousek提出的一个公开问题. 3.我们给出了一个新的鸽子洞证明的Erdens-Szekeres定理的cups-vs-caps，类似于Seidenberg的证明的Er…
2012-06-18 math.CO
Combinatorial Geometry of Erdős--Szekeres Type Problems: SAT/ASP Modeling and Linear Subreduction
本文研究了埃罗什-塞克尔斯问题的经典和新型变体，提出结合SAT/ASP范式与几何实现的计算框架，通过线性子约简方法确定点坐标，从而加速SMT求解过程，并获得若干函数的新精确值。
2026-04-22 math.CO
Variants of the Erdos-Szekeres and Erdos-Hajnal Ramsey problems
给定整数$\ell,n$，路径$P_n$的$\ell$次幂是具有顶点集$v_1<v_2<\cdots < v_n$和形式$v_iv_j$的所有边的有序图$P_n^{\ell}$，其中$|i-j|\le \ell$。Ramsey数$r(P_n^{\ell}, P_n^{\ell})$是最小$N$，使得${[N] \choose 2}$的每个2-着色导致$P_n^{\ell}$的单色拷贝。众所周知，$r(P_n^1, P_n^1)=(n-1)^2+1$ .对于$\ell>1$，Cibulka-Král-Kynčl证明了$r(P_n^{\ell}, P_n^{\ell})< c_{\ell}n^{128 \ell}$，并要求固定$\ell$的增长率。当$\ell=2$时，我们通过证明$r(P_n^{2}, P_n^{2})< cn^{19.5}$改进了这个上界.利用这一结果，我们确定了$(k+1)$ -团的$k$ -一致超图Ramsey数与有序紧路的正确塔增长率.最后，我们考虑了经典Erd Hos-Hajnal超图Ramsey问题的一个有序版本，改进了由平凡上界给出的塔高，并猜想这个塔高是最优的.
2016-12-26 math.CO
An order-refined and generalized version of the Erdos-Szekeres theorem on convex polygons
Erdos-Szekeres定理指出，对于任何自然数k，存在一个自然数g（k），使得在一般位置的平面上的任何至少g（k）个点的集合包含一个k个点的集合，这些点是凸多胞体的极值点。我们推广和改进了这个定理，去掉了一般位置条件，把一个凸多边形定义为一个有序的点序列，使得多边形的边的并集与它的凸包的边界重合.
2006-11-27 math.CO math.MG
On the Erdős-Tuza-Valtr Conjecture
Erdens-Szekeres猜想指出，平面上任何一组多于$2^{n-2}$点且直线上没有三个点的集合都包含凸$n$ -边形的顶点。埃尔德什、图扎和瓦尔特尔加强了这一猜想，他们指出，平面上任何一组超过$\sum_{i = n - b}^{a - 2} \binom{n - 2}{i}$的点，要么包含凸$n$ -边形的顶点，要么包含位于凹向上的曲线上的$a$点，要么包含位于凹向下的曲线上的$b$点。他们还证明了推广实际上等价于Erdens-Szekeres猜想。我们证明了第一个新的情况下，Erdens-Tuza-Valtr猜想，因为原来的1935年文件的Erdenses和Szekeres。也就是说，我们表明，任何一组$\binom{n-1}{2} + 2$点在平面上没有三个点在一条线上，没有两个点共享相同的$x$坐标要么包含4个点躺在一个凹向上的曲线或顶点的凸$n$边形。
2022-10-09 math.CO
Erdős - Szekeres Theorem for Lines
根据Erdens-Szekeres定理，对于每个$n$，平面中一般位置上的足够大的点集包含凸位置上的$n$。在这篇笔记中，我们研究了这个结果的线版本，也就是说，我们要找到$n$线在凸的位置在一个足够大的线，在一般的位置。我们证明了几乎匹配的上限和下界的最小尺寸的一组线在一般的位置，总是包含$n$在凸位置。这是非常出乎意料的，因为在点的情况下，最好的已知边界彼此相距很远。我们还建立了Erd \H os-Szekeres定理的许多变体和推广的对偶版本。
2015-04-17 math.CO math.MG
Notes on the 33-point Erdős--Szekeres problem
University of Bucharest（布加勒斯特大学）
本文提出了一种基于三向量变量和四集凸性准则的SAT编码，用于解决33点埃罗什-塞克雷斯问题，并探讨了计算复杂性和编码优化的挑战。
2025-12-30 cs.CG math.CO
Exponential Erdős-Szekeres theorem for matrices
本文证明了矩阵 Erdős-Szekeres 定理的最小 N 上界为 2^{n^{4+o(1)}}，改进了双指数上界，并揭示了非对称情形下的急剧转变。
2023-05-11 math.CO
Two extensions of the Erdős-Szekeres problem
根据Suk关于Erdos-Szekeres问题的突破性结果，平面上任何一般位置的点集，如果没有构成凸$n$ -边形顶点集的$n$元素，则至多有$2^{n+O\left({n^{2/3}\log n}\right)}$点.我们用两种方法来加强这个定理。首先，我们表明，结果推广到凸性结构引起的伪线安排。其次，我们改进了误差项。平面上的一族$n$凸体称为处于凸位置，如果没有$n-1$成员的并集的凸包包含剩余的一个。如果任何三个成员处于凸位置，我们就说这个家庭处于一般位置。结合我们的结果与定理的Dobbins，Holmsen，和Hubard，我们显着提高最知名的上界以下两个功能，介绍了Bisztriczky和Fejes托特和Pach和托特，分别。令$c(n)$（和$c'(n)$）表示最小正整数$N$，其性质是凸体一族在一般位置（分别，一般位置的$N$凸体，其中任何一对最多共享两个边界点）在凸位置有一个$n$ -元子族。我们表明，$c(n)\le c'(n)\leq 2^{n+O\left(\sqrt{n\log n}\right)}$。
2020-08-03 math.CO
Erdős-Szekeres type Theorems for ordered uniform matchings
本文研究有序一致匹配中边的交织模式，证明任意有序r-一致匹配必含某可收集模式的大团，并给出随机情形下最大团大小的渐近界。
2024-09-28 math.CO
An Erdős--Szekeres type result for words with repeats
Wake Forest University（维克森林大学）；Keele University（基尔大学）；University of Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了一个关于自然数上具有重复值的有限单词的 Erdős--Szekeres 类型结果，给出了避免特定模式的最大重复次数上界，并构造了达到该上界的例子。
2026-05-19 math.CO
Three Generalizations of Erdős Szekeres: $k$-Modal Subsequences
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文证明了排列中存在长度为 $\sqrt{(2k+1)n}$ 的 $k$-模子序列，并给出了另一种证明方法，同时展示了递增的前 $k$-模子序列的长度下界。
2026-02-19 math.CO
A positive fraction Erdos-Szekeres theorem and its applications
本文证明了Erdős–Szekeres定理的正比例版本，构造了渐近最优的块单调子序列，并给出序列划分上界，进而应用于互相回避点集与双弧图问题。
2023-04-01 math.CO
A note on the Erdős-Szekeres theorem in two dimensions
Burkill和Mirsky以及Kalmanson独立地证明，对于每个$r\ge 2, n\ge 1$，在$\mathbb R^n$中存在$r^{2^n}$向量的序列，其不包含$r+1$向量$v^1, v^2,\dots,v^{r+1}$的子序列，使得对于1和$n$之间的每个$i$，$(v^{j}_i)_{1\le j\le r+1}$形成单调序列。此外，$r^{2^n}$是具有此属性的最大整数。在这个简短的说明中，对于$\mathbb R^n$中的两个向量$u = (u_1, u_2,\dots, u_n)$和$v = (v_1, v_2, \dots, v_n)$，我们说$u\le v$，如果对于1和$n$之间的每个$i$，$u_i\le v_i$。就像Burkill和Mirsky以及Kalmanson一样，对于每个$k, \ell\ge 1, d\ge 2$，我们找到最大的$N_1, N_2$（其结果是相等的），使得存在大小为$(k+\ell-1)\times N_1$和$(k+\ell)\times N_2$的数值二维数组，其既不包含大小为$k\times d$的子数组（其列形成$\mathbb R^k$中的$d$向量的非递减序列），也不包含大小为$\ell\times d$的子数组，其列形成$\mathbb R^{\ell}$中的$d$向量的非递增序列。在随后的讨论中，我…
2021-04-18 math.CO
A George Szekeres Formula for Restricted Partitions
我们推导出一个渐近公式$A(n,j,r)$的整数划分的$n$的数目至多$j$部分每个部分$\le r$。我们假设$j$和$r$接近它们的平均值。我们还调查了第二大部分，部分的数量$\ge 2$等，我们表明，分数的分区的一个偶数整数$n$的图形，即。其部分形成单图的度序列的图是$O(\ln^{-1/2} n)$。概率结果用于我们讨论的图形划分。乔治Szekeres圆方法是必不可少的，我们的渐近结果分区。我们确定的分布所定义的分区的连续的秩，推广的结果Erdos和Richmond的分区的秩。
2018-03-22 math.CO
Higher-order Erdos--Szekeres theorems
设P=（p_1，p_2，.，p_N）是平面中的点的序列，其中p_i=（x_i，y_i）并且x_1<x_2<. <x_N。一个著名的1935年Erdos-Szekeres定理断言，每个这样的P包含一个$\sqrt N$点的单调子序列S。另一个，同样著名的定理从同一文件意味着，每一个这样的P包含一个凸或凹的子序列的$Ω(\log N)$点。单调性是由点对确定的性质，而凸性涉及点的三元组。我们提出了一个推广，使这两个定理的成员的一个无限的家庭拉姆齐型的结果。首先，我们定义一个（k+1）-元组$K\subseteq P$是积极的，如果它位于一个函数的图，其k阶导数是处处非负的，类似的负（k+1）-元组。然后我们说$S\subseteq P$是k阶单调的，如果它的（k+1）-元组都是正的或都是负的。我们研究了相应的Ramsey型结果的定量界（即，在每个N点P中可以保证多大k阶单调子序列）。我们得到了一个$Ω(\log^{(k-1)}N)$下界（（k-1）次重对数）.这是基于一个定量的拉姆齐型定理，我们称之为传递着色的完全（k+1）-一致超图，它也提供了一个统一的看法，两个经典的Erdos-Szekeres上述结果。对于k=3，我们构造了一个几何例子，提供了一个$O(\log\log N)$上界，紧到一个乘法常数。因此，我们得到了R^3中序型齐次子集的拉姆齐型定理的类似上界，以及杜伊莫维奇和朗…
2012-03-22 cs.CG math.CO
Erdős--Szekeres-type problems in the real projective plane
我们考虑点集在真正的射影平面$\mathbb{R}P^2$和探讨经典极值问题的变种在此设置的平面点集，主要集中在Erdens-Szekeres型问题。我们提供了一个变种的Erdens-Szekeres定理关于点集在凸位置的$\mathbb{R}P^2$，这是由Harborth和Möller在1994年发起的。$\mathbb{R}P^2$中的凸位置概念与Steinitz在1913年引入的凸集定义一致。对于$k \geq 3$，有限集合$S \subseteq \mathbb{R}^2$中的（\affine）$k$ -洞是来自$S$的处于凸位置的$k$点的集合，并且在它们的凸包内部没有$S$的点。在介绍了一个新的概念$k$ -洞的点集从$\mathbb{R}P^2$，称为投影$k$ -洞，我们发现任意大的有限点集从$\mathbb{R}P^2$没有\projective 8-洞，提供了一个类似的经典平面结构霍顿从1983年。我们还证明了它们只包含二次方多个\projective $k$ -洞的$k \leq 7$。另一方面，我们表明，$k$ -孔的数量可以大大大于在$\mathbb{R}P^2$比在$\mathbb{R}^2$通过构建，为每个$k \in \{3,\dots,6\}$，集$n$点从$\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}P^2$与$Ω(n^{3…
2022-09-03 cs.CG math.CO
On the number of monotone sequences
拉姆齐理论中最经典的结果之一是1935年的Erdés和Szekeres定理，该定理说，每个超过$k^2$数的序列都包含一个长度为$k+1$的单调子序列。我们解决以下自然问题的动机，这一结果：给定整数$k$和$n$与$n \geq k^2+1$，有多少单调连续的长度$k+1$必须包含每个序列的$n$号码？对于所有足够大的$k$和$n \leq k^2 + c k^{3/2} / \log k$，我们精确地回答了这个问题，其中$c$是某个绝对正常数。
2014-05-27 math.CO
Ramsey problems for monotone paths in graphs and hypergraphs
本文研究图与超图中单调路径的有序Ramsey数，证明了Mubayi和Suk的两个猜想，改进了Balko等人的界，并给出Erdős-Rado典型Ramsey定理的颜色单调版本。
2023-08-08 math.CO
Order Types of convex bodies
本文给出了Bisztriczky和Fejes Toth以及Pach和Toth的凸体的Erdos-Szekeres定理的新的界.我们从一族平面凸体的凸位置的组合刻划中导出它们。这一刻画证实了点的序型概念可以推广到不相交的凸体族中，并具有几何意义。
2010-10-22 math.CO
On five types of crucial permutations with respect to monotone patterns
一个关键的排列是一个排列，避免了一组给定的禁令，但它的任何扩展，在一个允许的方式，导致一个禁令被引入。在本文中，我们介绍了五种自然类型的关键排列单调模式，特别是quadrocritical排列，最密切的联系到Erdens-Szekeres极值排列。我们定义右关键排列和双十字排列的方式与文献中研究的其他禁止的上下文中的相应排列的定义是一致的。对于每一个五种类型，我们提供了它的表征通过RSK对应的杨tableaux。此外，我们使用的特征证明，这种排列的长度$n$增长时，$n\to\infty$，并列举最小的关键排列，但在所有的情况下。我们还提供了其他的枚举结果。
2022-06-24 math.CO
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
2023-03-29 math.CO
The Saturation Number for the length of Degree Monotone Paths
图$G$中的度单调路径是这样的路径$P$，使得顶点的度的序列按照它们在$P$上出现的顺序是单调的。$G$中最长度单调路径的长度用$mp(G)$表示。这个参数，启发了著名的埃尔多斯-Szekeres定理，已经研究了作者在两个较早的文件。这里我们考虑参数$mp(G)$的饱和问题。我们称$G$饱和，如果，对于每个边$e$添加到$G$，$mp(G+e) >mp(G)$，我们定义$h(n,k)$是饱和图$G$中具有$mp(G) < k$的$n$顶点上的最小可能边数，而$mp(G+e) \geq k$对于每个新边$e$。我们得到了线性上下界的$h(n,k)$，我们确定了$k=3$和$4$的$h(n,k)$的值，我们提出了饱和图的结构。
2014-09-18 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
Degree Monotone Paths
我们将研究图中的度单调路径，这个问题的灵感来自于著名的Erd{Igns}-Szekeres定理，该定理涉及给定数列的最长单调子序列。图G中的路P称为度单调路，如果P中顶点的度序列按它们在P中出现的顺序是单调的。在本文中，我们将考虑这三个问题有关的参数：1。根据$G$的其他参数，找出$mp(G)$的界限。2.研究$f(n,k)$定义为一个图中$n$顶点上的最大边数，并给出了$mp(G) < k$。3.估计所有图$G$在$mp(G)+mp(\overline{G})$的$n$顶点上的最小值和最大值。对于第一个问题，我们的主要工具将是有向路和色数的Gallai-Roy定理。我们还将考虑一些详细的最大平面和最大外平面图，以研究所获得的边界的清晰度。对于第二个问题，我们建立了一个密切的联系之间的$f(n,k)$和经典的图兰数。对于第三个问题，我们建立了一些Nordhaus-Gaddum型不等式。最后，我们指出一些开放的问题，我们的结果点。
2014-05-08 math.CO
Point Sets with Small Integer Coordinates and with Small Convex Polygons
1935年，Erdés和Szekeres证明了平面上一般位置上的每一组$n$点都包含一个由$\frac{1}{2}\log_2(n)$顶点组成的凸多边形的顶点。1961年，他们对每个正整数$t$构造了一个在平面上一般位置的$n:=2^{t-2}$点集，使得顶点在这个点集中的凸多边形至多有$\log_2(n)+1$顶点。在本文中，我们将展示如何实现他们的建设在一个整数网格大小$O(n^2 \log_2(n)^3)$。
2017-07-12 math.CO
Erdős-Hajnal-type results for ordered paths
一个有序图是一个在其顶点集上具有线性序的图。证明了对任意正整数$k$，存在一个常数$c_k>0$，使得$n$顶点上的任意有序图$G$，如果$G$及其补图都不包含大小为$k$的诱导单调路，则存在一个大小至少为$n^{c_k}$的团或独立集.这加强了Bousquet、Lagoutte和Lassé的一个结果，他们证明了无序图的类似结果。上述文件的一个关键思想是表明，任何无序图的$n$顶点，不包含一个诱导路径的大小$k$，其最大程度是最多$c(k)n$的一些小$c(k)>0$，包含两个不相交的线性大小的子集之间没有边缘。这种方法对于有序图是失败的，因为对于$k\geq 3$，通过Fox的构造，类似的陈述是假的。我们提供了进一步的例子，说明这种说法如何失败的有序图，避免其他有序树。
2020-04-09 math.CO
3-uniform monotone paths and multicolor Ramsey numbers
本文研究3-均匀单调路径超图，建立三角形多色拉姆齐数与相应超图拉姆齐数之间的指数级上下界关系，从而将Erdős关于三角形多色拉姆齐数是否指数增长的经典问题等价转化为超图拉姆齐数的指数增长问题。
2024-11-23 math.CO
Tower heights for color-avoiding Ramsey numbers of monotone paths
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究了在有序超图中单调路径的色避 Ramsey 数，证明了当允许 p 种颜色时，其塔高度为 ceil((k-1)/p)，并引入了新的阶梯提升方法和 Morse-Hedlund 定理的有限版本。
2026-06-07 math.CO
A phase transition in Erdős-Barak random graphs
本文研究 Erdős-Barak 随机图中单调路径的相变问题，通过细化临界值并确定临界窗口的顺序，揭示了随机图结构的临界行为。
2026-01-16 math.CO math.PR math.ST
Upper bounds on diagonal Ramsey numbers [after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe]
本文综述了对角 Ramsey 数上界问题的历史，并介绍了 Campos 等人将上界改进至 $N=3.993^k$ 的突破性证明及后续的替代性概念证明。
2024-12-20 math.CO
1-color-avoiding paths, special tournaments, and incidence geometry
我们讨论了两种方法来解决Loh最近的一个问题：$N$顶点上的3色传递竞赛图是否有一条顶点长度至少为$N^{2/3}$的1色\emph{avoiding}路径？这个问题推广了Erdens-Szekeres关于单调连续性的定理.首先，我们在这些比赛上定义三个典型的转换，称为Color，Record和Dual。我们使用这些建立一个减少特殊的比赛与自然的几何和组合属性。在许多情况下（包括所有已知的紧例子），这些比赛有递归的Gallai分解。并非所有相关的竞赛都有Gallai分解，但那些确实满足Wagner最近工作所要求的$N^{2/3}$约束的竞赛，大致类似于Fox，Grinshpun和Pach在类似的\emph{undirected}问题上的早期工作。其次，我们考虑相关的几何问题的边界\emph{slice-increasing}集$S\subseteq [n]^3$，其中-在一个额外的订购假设$S$ --被证明是由Loh等价于原来的问题。特别是，我们建立了一个严格的连接，从一个问题的Szabó和Tardos，提出了一个更强的$L^2$ -问题切片计数，并提到一个令人惊讶的重叠与关节的问题。
2016-09-22 math.CO
Off-diagonal Ramsey numbers
Institute of Mathematics, EPFL（洛桑联邦理工学院数学研究所）
通过构造新的无 K_s 图族，改进了非对角 Ramsey 数的下界，几乎匹配已知上界，并证明了当 s, k/s → ∞ 时 r(s,k) = (k/s)^{(1+o(1))s}。
2026-06-17 math.CO
Asymptotics of the Longest Increasing Subsequence in Random Permutations
本文借助 Robinson--Schensted--Knuth 对应等经典组合工具，研究随机排列中最长递增子序列的渐近行为，证明其期望长度以 $2\sqrt{n}$ 增长，并直观统一了极限形状与波动分布的经典理论。
2025-10-15 math.CO math.HO
Pentagon Minimization without Computation
本文研究无三点共线平面点集凸五边形最小化问题，在无需计算的情况下，利用“平面点方程”并从统计视角结合，证明了$c_5$约为0.04508的新下界。
2024-09-25 cs.CG cs.DM math.CO
Long monotone trails in random edge-labelings of random graphs
给定一个图$G$和一个双射$f : E(G)\rightarrow \{1, 2, \ldots,e(G)\}$，我们说$G$中的一条轨迹/路径是$f$ - \emph{increasing}，如果这个轨迹/路径的连续边的标号形成一个递增序列. 40多年前，Chvátal和Komlós提出了一个问题，即在$K_n$的所有边排序上，提供最长递增路径/路径长度的最坏情况估计。Graham和Kleitman解决了线索的问题，他们证明了答案是$n-1$，而路径的问题仍然悬而未决。最近Lavrov和Loh提出了研究这个问题的平均情况下，边的顺序是随机一致选择的。他们证明了（Martinsson也证明了）这样的高概率序（whp）包含一条递增Hamilton路.本文考虑随机图$G=G(n,p)$及其随机一致选取的边序.在此设置中，我们确定whp的最长的增加的线索中的边缘的数量的渐近。特别地，我们证明了Graham和Kleitman结果的一个平均情形，证明了$K_n$的随机边序有一条长度递增的轨迹$(1-o(1))en$，这是紧的.对于具有$p=o(1)$的随机ErdIgn-Renyi图，我们还得到了最长增路长度的渐近紧结果.
2019-05-22 math.CO math.PR
Regular systems of paths and families of convex sets in convex position
本文证明了在平面上的每一个充分大的凸体族都有一个在凸位置的大子族，条件是每对凸体的公切线的个数有界，且每一个尺寸为5的子族都在凸位置。(If每对物体最多有两条公共切线，假设每个三元组都处于凸位置就足够了，同样，如果每对物体最多有四条公共切线，假设每个四元组都处于凸位置就足够了。这证实了Pach和Toth的一个猜想，并推广了Bisztriczky和Fejes Toth的一个定理。我们的结果的凸体家庭的后果更一般的拉姆齐型结果的交叉模式的系统的图形的连续函数$f:[0,1] \to \mathbb{R}$。在我们的道路上证明的帕奇-托特猜想，我们得到的组合特征，这样的系统的图中，所有子系统的大小相等，诱导等价的交叉模式。这些高度有组织的结构就是我们所说的规则路径系统，它们是著名的鄂尔多斯和塞凯雷斯定理中杯和帽概念的自然推广。正则系统的特征是组合的，并引入了一些可能独立感兴趣的辅助结构。
2014-04-09 math.CO math.MG
Convex Hulls of Random Order Types
我们建立了以下两个主要结果的顺序类型的点在一般的位置在平面上（可实现的简单的平面顺序类型，可实现的均匀无环定向拟阵秩$3$）：（a）在$n$ -点顺序类型的极值点的数量，均匀随机地从所有这样的顺序类型，是平均$4+o(1)$。对于带标签的订单类型，此数字的平均值为$4- \frac{8}{n^2 - n +2}$，方差最大为$3$。(b)（标记的）顺序类型读出一组$n$点采样独立于均匀测量凸平面域，光滑或多边形，或从高斯分布集中，即这样的采样通常只遇到一个消失的小部分给定大小的所有顺序类型。结果（a）推广到任意维数的$d$，对于具有平均极值点数$2d+o(1)$和常数方差的标记序类型。我们还讨论了在何种程度上我们的方法推广到统一的非循环定向拟阵的抽象设置。此外，我们的方法允许显示以下相对的Erdens-Szekeres定理：对于任何固定的$k$，作为$n \to \infty$，比例$1 - O(1/n)$的$n$ -点简单的顺序类型包含一个三角形包围一个凸$k$ -链的边缘。对于（a）中未标号的情形，我们证明了对于$2$维球面的任意对映有限子集，保向双射群是循环的、二面角的或$A_4$、$S_4$或$A_5$之一（并且每种情形都是可能的）.这些都是有限子群的$SO(3)$和我们的证明如下的路线，他们的特点菲利克斯克莱因。
2022-06-08 cs.CG math.CO
