On an Erdős-Szekeres Game
Valparaiso University（瓦拉帕西斯大学）
本文研究了一个受 Erdős-Szekeres 定理启发的两人排列游戏，确定了当 $a \geq b$ 且 $b$ 为 2 至 5 时的赢家和获胜策略。
2026-03-05 math.CO
Erdős-Szekeres theorem for $k$-flats
我们将著名的Erdens-Szekeres定理推广到${\mathbb{R}^d}$中的$k$ -平坦
2022-09-16 math.CA math.CO
Erdos-Szekeres-type statements: Ramsey function and decidability in dimension 1
一个经典且广泛使用的Erdos和Szekeres引理断言，对于每个n，存在N使得每个实数的N项序列a包含一个n项递增子序列或一个n项非递减子序列;定量地说，具有此性质的最小N等于（n-1）^2+1。在本文的背景下，我们把这个引理表示为谓词集Phi={x_1<x_2，x_1 \ge x_2}$是Erdos-Szekeres，其中Ramsey函数ES_Phi（n）=（n-1）^2+1.一般来说，我们考虑任意有限集Phi={Phi_1，.，Phi_m}，意味着每个Phi_j=Phi_j（x_1，.，x_k）是多项式方程和不等式的布尔组合，其中有k个实变量。我们将Phi定义为Erdos-Szekeres，如果对于每个n存在N，使得每个实数的N项序列a具有n项子序列b，使得Phi_j中的至少一个在b上处处成立，这意味着Phi_j（b_{i_1}，.，b_{i_k}）对于索引i_1，i_2，.，i_k，1<=i_1<i_2<. <i_k<= n.对于具有上述性质的最小N，我们将ES_Phi（n）写成。我们证明了两个主要结果。首先，在这种情况下，拉姆齐函数至多是双指数的（有时它们确实是双指数的）：对于每个Erdens-Szekeres的Φ，存在一个常数C，使得ES_Phi（n）< exp（exp（Cn））。第二，有一个算法，给定φ，决定它是否是埃尔多斯-塞凯雷斯;因此，一维埃尔多斯-塞凯雷斯式定…
2013-11-21 math.CO
An improved upper bound for the Erdős-Szekeres conjecture
令$ES(n)$表示最小自然数，使得平面中一般位置的每个$ES(n)$点集包含凸位置的$n$点。1935年，Erdés和Szekeres证明了$ES(n) \le {2n-4 \choose n-2}+1$。在1961年，他们得到了下界$2^{n-2}+1 \le ES(n)$，他们证明这是最优的。本文证明了$$ES(n) \le {2n-5 \choose n-2}-{2n-8 \choose n-3}+2 \approx \frac{7}{16} {2n-4 \choose n-2}.$$
2016-05-04 math.CO
Erdős-Szekeres On-Line
在1935年，Erdés和Szekeres证明了$(m-1)(k-1)+1$是平面上的最小数量的点，这些点肯定包含$m$点的递增子集或$k$点的递减子集（按它们的$x$ -坐标排序）。我们考虑他们的结果从一个在线游戏的角度来看：让点被确定一个接一个的玩家A首先确定的$x$ -坐标，然后玩家B确定的$y$ -坐标。玩家A可以强制增加$m$点数子集或减少$k$点数子集的最小点数是多少？我们将其作为Erdens-Szekeres在线数引入，并将其表示为$\text{ESO}(m,k)$。我们观察到，$\text{ESO}(m,k) < (m-1)(k-1)+1$的$m,k \ge 3$，提供了一个一般的下界为$\text{ESO}(m,k)$，并确定$\text{ESO}(m,3)$的一个附加常数。
2018-04-18 math.CO
On a conjecture of Erdős and Szekeres
设f（n）是使欧氏平面上一般位置的每一组$f(n)$点都包含凸n边形的最小正整数。在1935年发表的一篇开创性论文中，Erdés和Szekeres证明了f（n）的存在性，并给出了一个上界。在1961年，他们还证明了一个下界，并证明了它是最优的。它们的边界是：$2^{n-2}+1 \leq f(n) \leq {2n - 4 \choose n-2}+1$。从那时起，上界已被改进了大约2倍，为$f(n) \leq {2n - 5 \choose n-2}+1$。在本文中，我们通过证明：$$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{f(n)}{2n-5 \choose n-2} \leq \frac{29}{32}$$进一步改进了上界
2015-05-28 math.CO
A Strengthening of the Erdős-Szekeres Theorem
用图的形式表述的Erdens-Szekeres定理说，有序完全图$K_{rs+1}$的边的任何红-蓝着色包含一个带有$r$边的单调递增路径的红色副本或一个带有$s$边的单调递增路径的蓝色副本。尽管$rs + 1$是此结果所需的最小顶点数，但并非$K_{rs+1}$的所有边都是必需的。我们用这个着色性质刻画了$K_{rs+1}$的子图：它们是包含我们称之为圆帐篷图$CT(r,s)$的所有边的子图.此外，我们使用类似的证明技术，以改善一些界限上的在线订购的大小拉姆齐数的路径由佩雷斯-Giménez，Pralat，和西方。
2021-09-21 math.CO
Saturation results around the Erdős--Szekeres problem
ELTE Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极端组合与概率组（ECOPRO））；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了与Erdős--Szekeres凸多边形问题相关的饱和问题，构造了大小为(7/8)·2^{n-2}的平面点集，该集合不含n个凸位置的点，但添加任意新点都会形成这样的配置，证明了饱和数小于该问题的Ramsey数。
2025-10-06 math.CO
Erdős-Szekeres theorem for multidimensional arrays
经典的Erdens-Szekeres定理可以追溯到近一百年前，它指出任何$(n-1)^2+1$不同实数的序列都包含一个长度为$n$的单调子序列。这个定理已经推广到更高的维度在各种方式，但也许是最自然的一个提出了菲什伯恩和格雷厄姆超过25年前。他们定义了单调和lex-monotone数组的概念，并询问需要多大的数组才能找到大小为$n \times \ldots \times n$的单调或lex-monotone子数组。Fishburn和Graham在这两种情况下都得到了Ackerman型界。我们大大改善了这些结果。无论维数，我们得到至多三重指数界在$n$在单调的情况下和四重指数在lex单调的情况下。
2022-04-12 math.CO
Ramsey Theory, Integer Partitions and a New Proof of the Erdos-Szekeres Theorem
设H是一个k-一致超图，其顶点为整数1，…，N.我们说H包含一条长度为n的单调路，如果存在x_1 < x_2 <. < x_{n+k-1}，使得H包含形式{x_i，x_{i+1}，.，x_{i+k-1} }。设N_k（q，n）是最小整数N，使得完全k-一致超图的N个顶点上的边的每一个q-染色都含有一条长度为n的单色单调路。虽然对于k和q的特定值的N_k（q，n）的研究可以追溯到（隐含地）1935年Erdos和Szekeres的开创性论文，但对于任意k和q的N_k（q，n）的边界问题由Fox，Pach，Sudakov和Suk研究。我们的主要贡献是在Ramsey型数N_k（q，n）与高维整数划分计数问题之间建立了一种惊人的紧密联系，并提出了一种新的Ramsey型数N_k（q，n）的定界方法。我们使用这种方法得到的一些具体结果如下：1。我们证明了对于每一个固定的q，我们有N_3（q，n）=2^{Θ（n^{q-1}）}，从而解决了Fox等人提出的一个公开问题。我们证明了对于任意k ≥ 3，N_k（2，n）=2^{ \cdot^{\cdot^{2^{(2-o(1))n}}} }，其中塔的高度为k-2，从而解决了Elias和Matousek提出的一个公开问题. 3.我们给出了一个新的鸽子洞证明的Erdens-Szekeres定理的cups-vs-caps，类似于Seidenberg的证明的Er…
2012-06-18 math.CO
Combinatorial Geometry of Erdős--Szekeres Type Problems: SAT/ASP Modeling and Linear Subreduction
本文研究了埃罗什-塞克尔斯问题的经典和新型变体，提出结合SAT/ASP范式与几何实现的计算框架，通过线性子约简方法确定点坐标，从而加速SMT求解过程，并获得若干函数的新精确值。
2026-04-22 math.CO
Variants of the Erdos-Szekeres and Erdos-Hajnal Ramsey problems
给定整数$\ell,n$，路径$P_n$的$\ell$次幂是具有顶点集$v_1<v_2<\cdots < v_n$和形式$v_iv_j$的所有边的有序图$P_n^{\ell}$，其中$|i-j|\le \ell$。Ramsey数$r(P_n^{\ell}, P_n^{\ell})$是最小$N$，使得${[N] \choose 2}$的每个2-着色导致$P_n^{\ell}$的单色拷贝。众所周知，$r(P_n^1, P_n^1)=(n-1)^2+1$ .对于$\ell>1$，Cibulka-Král-Kynčl证明了$r(P_n^{\ell}, P_n^{\ell})< c_{\ell}n^{128 \ell}$，并要求固定$\ell$的增长率。当$\ell=2$时，我们通过证明$r(P_n^{2}, P_n^{2})< cn^{19.5}$改进了这个上界.利用这一结果，我们确定了$(k+1)$ -团的$k$ -一致超图Ramsey数与有序紧路的正确塔增长率.最后，我们考虑了经典Erd Hos-Hajnal超图Ramsey问题的一个有序版本，改进了由平凡上界给出的塔高，并猜想这个塔高是最优的.
2016-12-26 math.CO
Erdős - Szekeres Theorem for Lines
根据Erdens-Szekeres定理，对于每个$n$，平面中一般位置上的足够大的点集包含凸位置上的$n$。在这篇笔记中，我们研究了这个结果的线版本，也就是说，我们要找到$n$线在凸的位置在一个足够大的线，在一般的位置。我们证明了几乎匹配的上限和下界的最小尺寸的一组线在一般的位置，总是包含$n$在凸位置。这是非常出乎意料的，因为在点的情况下，最好的已知边界彼此相距很远。我们还建立了Erd \H os-Szekeres定理的许多变体和推广的对偶版本。
2015-04-17 math.CO math.MG
An order-refined and generalized version of the Erdos-Szekeres theorem on convex polygons
Erdos-Szekeres定理指出，对于任何自然数k，存在一个自然数g（k），使得在一般位置的平面上的任何至少g（k）个点的集合包含一个k个点的集合，这些点是凸多胞体的极值点。我们推广和改进了这个定理，去掉了一般位置条件，把一个凸多边形定义为一个有序的点序列，使得多边形的边的并集与它的凸包的边界重合.
2006-11-27 math.CO math.MG
On the Erdős-Tuza-Valtr Conjecture
Erdens-Szekeres猜想指出，平面上任何一组多于$2^{n-2}$点且直线上没有三个点的集合都包含凸$n$ -边形的顶点。埃尔德什、图扎和瓦尔特尔加强了这一猜想，他们指出，平面上任何一组超过$\sum_{i = n - b}^{a - 2} \binom{n - 2}{i}$的点，要么包含凸$n$ -边形的顶点，要么包含位于凹向上的曲线上的$a$点，要么包含位于凹向下的曲线上的$b$点。他们还证明了推广实际上等价于Erdens-Szekeres猜想。我们证明了第一个新的情况下，Erdens-Tuza-Valtr猜想，因为原来的1935年文件的Erdenses和Szekeres。也就是说，我们表明，任何一组$\binom{n-1}{2} + 2$点在平面上没有三个点在一条线上，没有两个点共享相同的$x$坐标要么包含4个点躺在一个凹向上的曲线或顶点的凸$n$边形。
2022-10-09 math.CO
Notes on the 33-point Erdős--Szekeres problem
University of Bucharest（布加勒斯特大学）
本文提出了一种基于三向量变量和四集凸性准则的SAT编码，用于解决33点埃罗什-塞克雷斯问题，并探讨了计算复杂性和编码优化的挑战。
2025-12-30 cs.CG math.CO
Exponential Erdős-Szekeres theorem for matrices
本文证明了矩阵 Erdős-Szekeres 定理的最小 N 上界为 2^{n^{4+o(1)}}，改进了双指数上界，并揭示了非对称情形下的急剧转变。
2023-05-11 math.CO
Two extensions of the Erdős-Szekeres problem
根据Suk关于Erdos-Szekeres问题的突破性结果，平面上任何一般位置的点集，如果没有构成凸$n$ -边形顶点集的$n$元素，则至多有$2^{n+O\left({n^{2/3}\log n}\right)}$点.我们用两种方法来加强这个定理。首先，我们表明，结果推广到凸性结构引起的伪线安排。其次，我们改进了误差项。平面上的一族$n$凸体称为处于凸位置，如果没有$n-1$成员的并集的凸包包含剩余的一个。如果任何三个成员处于凸位置，我们就说这个家庭处于一般位置。结合我们的结果与定理的Dobbins，Holmsen，和Hubard，我们显着提高最知名的上界以下两个功能，介绍了Bisztriczky和Fejes托特和Pach和托特，分别。令$c(n)$（和$c'(n)$）表示最小正整数$N$，其性质是凸体一族在一般位置（分别，一般位置的$N$凸体，其中任何一对最多共享两个边界点）在凸位置有一个$n$ -元子族。我们表明，$c(n)\le c'(n)\leq 2^{n+O\left(\sqrt{n\log n}\right)}$。
2020-08-03 math.CO
An Erdős--Szekeres type result for words with repeats
Wake Forest University（维克森林大学）；Keele University（基尔大学）；University of Greifswald（格赖夫斯瓦尔德大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了一个关于自然数上具有重复值的有限单词的 Erdős--Szekeres 类型结果，给出了避免特定模式的最大重复次数上界，并构造了达到该上界的例子。
2026-05-19 math.CO
Three Generalizations of Erdős Szekeres: $k$-Modal Subsequences
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文证明了排列中存在长度为 $\sqrt{(2k+1)n}$ 的 $k$-模子序列，并给出了另一种证明方法，同时展示了递增的前 $k$-模子序列的长度下界。
2026-02-19 math.CO
Erdos-Szekeres-type theorems for monotone paths and convex bodies
对任意正整数序列j_1 < j_2 <. < j_n，k元组（j_i，j_{i + 1}，.，j_{i + k-1}），i=1，2，.，n-k +1，被称为形成长度为n的单调路径。给定任何整数n \ge k \ge 2和q \ge 2，具有以下性质的最小整数N是多少：无论我们如何对[N]=\{1，2，.，N\}，我们总能找到一条长度为n的单色单调路径。用N_k（q，n）表示这个最小值，从Erd \H os和Szekeres 1935年的开创性论文中可以得出N_2（q，n）=（n-1）^q+1和N_3（2，n）= {2n-4 \choose n-2} + 1。确定这些函数的其他值似乎是一项艰巨的任务。这里我们证明了2^{（n/q）^{q-1}} \leq N_3（q，n）\leq 2^{n^{q-1} \log n}，对于q \geq 2和n \geq q+2.利用Erdos和Hajnal的逐步逼近方法，我们证明了N_k（q，n）在k较大时的类似上界，即n^{q-1}中高度为k-1的塔。作为一个几何应用，我们证明了幸福结局定理的以下扩展。任意一对至少M（n）=2^{n^2 \log n}的平面凸体在一般位置上至多有两个公共边界点的凸体族，在凸位置上有n个成员，也就是说，它有n个成员使得每个成员对它们的并集的凸包的边界贡献一个点.
2011-05-11 math.CO
A positive fraction Erdos-Szekeres theorem and its applications
本文证明了Erdős–Szekeres定理的正比例版本，构造了渐近最优的块单调子序列，并给出序列划分上界，进而应用于互相回避点集与双弧图问题。
2023-04-01 math.CO
A SAT attack on higher dimensional Erdős--Szekeres numbers
Erdés和Szekeres（1935）的一个著名结果断言，对于所有的$k,d \in \mathbb{N}$，存在一个最小的整数$n = g^{(d)}(k)$，使得在一般位置上的$\mathbb{R}^d$中的至少$n$点的每一个集合包含一个$k$边形，即处于凸位置的$k$点的子集。在这篇文章中，我们提出了一个SAT模型的基础上，无圈chirotopes（定向拟阵），以研究小尺寸的Erdens-Szekeres数。为了解决SAT实例，我们使用现代SAT求解器，我们所有的不满足性结果都使用DRAT证书进行验证。我们展示了$g^{(3)}(7) = 13$、$g^{(4)}(8) \le 13$和$g^{(5)}(9) \le 13$，这是几十年来的首次改进。对于$k$孔的设置（即，$k$ -凸壳中没有其他点），其中$h^{(d)}(k)$表示$n$的最小数量，使得$\mathbb{R}^d$中的每个至少$n$点的集合在一般位置包含$k$ -孔，我们显示了$h^{(3)}(7) \le 14$，$h^{(4)}(8) \le 13$和$h^{(5)}(9) \le 13$。此外，所有得到的界限是尖锐的设置非循环chirotopes，我们猜想他们也尖锐的点集的原始设置。作为副产品，我们验证了以前已知的边界。特别地，我们提出了Gerken（2008）的上界$h^{(2)}(6)\le …
2022-02-21 cs.CG math.CO
An improved lower bound for Erdős--Szekeres products
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文改进了Erdős--Szekeres问题中多项式乘积的下界，证明了f(n)≥2√n，首次在1959年后提升了经典下界。
2025-09-21 math.CA math.CO math.NT
Property O and Erdős--Szekeres properties in linear hypergraphs
Jianghan University（江汉大学）；Universidad Pública de Navarra（纳瓦拉公立大学）；Zhejiang University（浙江大学）
本文研究线性超图中的性质 O，确定最小边数至多差多项式因子，并给出顶点数界及 Erdős–Szekeres 性质下的最小规模。
2026-10-05 math.CO
A note on the Erdős-Szekeres theorem in two dimensions
Burkill和Mirsky以及Kalmanson独立地证明，对于每个$r\ge 2, n\ge 1$，在$\mathbb R^n$中存在$r^{2^n}$向量的序列，其不包含$r+1$向量$v^1, v^2,\dots,v^{r+1}$的子序列，使得对于1和$n$之间的每个$i$，$(v^{j}_i)_{1\le j\le r+1}$形成单调序列。此外，$r^{2^n}$是具有此属性的最大整数。在这个简短的说明中，对于$\mathbb R^n$中的两个向量$u = (u_1, u_2,\dots, u_n)$和$v = (v_1, v_2, \dots, v_n)$，我们说$u\le v$，如果对于1和$n$之间的每个$i$，$u_i\le v_i$。就像Burkill和Mirsky以及Kalmanson一样，对于每个$k, \ell\ge 1, d\ge 2$，我们找到最大的$N_1, N_2$（其结果是相等的），使得存在大小为$(k+\ell-1)\times N_1$和$(k+\ell)\times N_2$的数值二维数组，其既不包含大小为$k\times d$的子数组（其列形成$\mathbb R^k$中的$d$向量的非递减序列），也不包含大小为$\ell\times d$的子数组，其列形成$\mathbb R^{\ell}$中的$d$向量的非递增序列。在随后的讨论中，我…
2021-04-18 math.CO
Localized versions of extremal problems
我们推广了极值组合学中的几个经典定理，用一个对给定类中的所有对象都成立的不等式来代替全局约束。特别地，我们得到了序列上的Turán定理、Erdens-Gallai定理、LYM-不等式、Erdens-Ko-Rado定理和Erdens-Szekeres定理的推广.
2022-05-27 math.CO
Erdős-Szekeres Maker-Breaker Games
Charles University, Czech Republic（捷克查理大学）；University of Novi Sad, Serbia（塞尔维亚诺维萨德大学）；ELTE Eötvös Loránd University（匈牙利罗兰大学）；University College London, UK（英国伦敦大学学院）；Czech Technical University in Prague, Czech Republic（捷克布拉格工业大学）；University of Auckland, New Zealand（新西兰奥克兰大学）
本文研究了源于平面几何埃尔德什-塞克雷斯问题的制胜者-失败者游戏，探讨了在不同规则下制胜者如何保证获得空凸多边形，解决了开放性问题。
2026-03-16 math.CO
Higher-order Erdos--Szekeres theorems
设P=（p_1，p_2，.，p_N）是平面中的点的序列，其中p_i=（x_i，y_i）并且x_1<x_2<. <x_N。一个著名的1935年Erdos-Szekeres定理断言，每个这样的P包含一个$\sqrt N$点的单调子序列S。另一个，同样著名的定理从同一文件意味着，每一个这样的P包含一个凸或凹的子序列的$Ω(\log N)$点。单调性是由点对确定的性质，而凸性涉及点的三元组。我们提出了一个推广，使这两个定理的成员的一个无限的家庭拉姆齐型的结果。首先，我们定义一个（k+1）-元组$K\subseteq P$是积极的，如果它位于一个函数的图，其k阶导数是处处非负的，类似的负（k+1）-元组。然后我们说$S\subseteq P$是k阶单调的，如果它的（k+1）-元组都是正的或都是负的。我们研究了相应的Ramsey型结果的定量界（即，在每个N点P中可以保证多大k阶单调子序列）。我们得到了一个$Ω(\log^{(k-1)}N)$下界（（k-1）次重对数）.这是基于一个定量的拉姆齐型定理，我们称之为传递着色的完全（k+1）-一致超图，它也提供了一个统一的看法，两个经典的Erdos-Szekeres上述结果。对于k=3，我们构造了一个几何例子，提供了一个$O(\log\log N)$上界，紧到一个乘法常数。因此，我们得到了R^3中序型齐次子集的拉姆齐型定理的类似上界，以及杜伊莫维奇和朗…
2012-03-22 cs.CG math.CO
Erdős--Szekeres-type problems in the real projective plane
我们考虑点集在真正的射影平面$\mathbb{R}P^2$和探讨经典极值问题的变种在此设置的平面点集，主要集中在Erdens-Szekeres型问题。我们提供了一个变种的Erdens-Szekeres定理关于点集在凸位置的$\mathbb{R}P^2$，这是由Harborth和Möller在1994年发起的。$\mathbb{R}P^2$中的凸位置概念与Steinitz在1913年引入的凸集定义一致。对于$k \geq 3$，有限集合$S \subseteq \mathbb{R}^2$中的（\affine）$k$ -洞是来自$S$的处于凸位置的$k$点的集合，并且在它们的凸包内部没有$S$的点。在介绍了一个新的概念$k$ -洞的点集从$\mathbb{R}P^2$，称为投影$k$ -洞，我们发现任意大的有限点集从$\mathbb{R}P^2$没有\projective 8-洞，提供了一个类似的经典平面结构霍顿从1983年。我们还证明了它们只包含二次方多个\projective $k$ -洞的$k \leq 7$。另一方面，我们表明，$k$ -孔的数量可以大大大于在$\mathbb{R}P^2$比在$\mathbb{R}^2$通过构建，为每个$k \in \{3,\dots,6\}$，集$n$点从$\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}P^2$与$Ω(n^{3…
2022-09-03 cs.CG math.CO
Saturation problems in the Ramsey theory of graphs, posets and point sets
1964年，Erdés、Hajnal和Moon在极值图论中引入了图兰经典定理的饱和版本。特别是，他们确定了一个无$K_r$ $K_r$的$n$顶点图中的最小边数，该图具有增加任何进一步的边都会产生$K_r$的副本的性质。我们认为类似的这个问题在其他设置。证明了Erdens-Szekeres单调连续性定理的一个饱和形式，以及图上的Ramsey型定理和偏序集上的Dille-type定理的一个饱和形式.我们还考虑半饱和问题，其中我们允许家庭有禁止的配置，但坚持认为，任何除了家庭产生一个新的副本的禁止配置。在这种情况下，我们证明了一个半饱和版本的凸$k$ -凸的Erdens-Szekeres定理，以及多个半饱和定理的序列和偏序集。
2020-05-04 math.CO
A graph with the partial order competition dimension greater than five
本文利用Erdös-Szekeres引理证明了存在偏序竞争维数大于5的图.
2018-10-11 math.CO
A conjecture of Erdős on graph Ramsey numbers
图$G$的Ramsey数$r(G)$是最小$N$，使得完全图的边在$N$顶点上的每个红-蓝着色包含$G$的单色副本。确定或估计这些数字是组合学的核心问题之一。拉姆齐理论中最古老的结果之一是Erdenses和Szekeres在1935年证明的，即具有$m$边的完全图的Ramsey数至多为$2^{O(\sqrt{m})}$。出于这一估计的动机，Erd在四分之一个多世纪以前提出，存在一个绝对常数$c$，使得对于任何具有$m$边且没有孤立顶点的图$G$，$r(G) \leq 2^{c\sqrt{m}}$。在这篇短文中，我们证明了这个猜想。
2010-01-30 math.CO
Ramsey problems for monotone paths in graphs and hypergraphs
本文研究图与超图中单调路径的有序Ramsey数，证明了Mubayi和Suk的两个猜想，改进了Balko等人的界，并给出Erdős-Rado典型Ramsey定理的颜色单调版本。
2023-08-08 math.CO
Order Types of convex bodies
本文给出了Bisztriczky和Fejes Toth以及Pach和Toth的凸体的Erdos-Szekeres定理的新的界.我们从一族平面凸体的凸位置的组合刻划中导出它们。这一刻画证实了点的序型概念可以推广到不相交的凸体族中，并具有几何意义。
2010-10-22 math.CO
Erdős-Hajnal-type results for ordered paths
一个有序图是一个在其顶点集上具有线性序的图。证明了对任意正整数$k$，存在一个常数$c_k>0$，使得$n$顶点上的任意有序图$G$，如果$G$及其补图都不包含大小为$k$的诱导单调路，则存在一个大小至少为$n^{c_k}$的团或独立集.这加强了Bousquet、Lagoutte和Lassé的一个结果，他们证明了无序图的类似结果。上述文件的一个关键思想是表明，任何无序图的$n$顶点，不包含一个诱导路径的大小$k$，其最大程度是最多$c(k)n$的一些小$c(k)>0$，包含两个不相交的线性大小的子集之间没有边缘。这种方法对于有序图是失败的，因为对于$k\geq 3$，通过Fox的构造，类似的陈述是假的。我们提供了进一步的例子，说明这种说法如何失败的有序图，避免其他有序树。
2020-04-09 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
De Bruijn-Erdős type theorems for graphs and posets
德布鲁因和埃尔德什的一个经典定理断言，平面上任何由n个点组成的非共线集合至少确定n条不同的直线。我们证明了这一定理的一个类似物持有图。限制我们的注意力可比图，我们得到了一个版本的De Bruijn-Erdés定理的偏序集（偏序集）。此外，在这种情况下，我们有一个改进的界限的行数取决于高度的偏序集。还确定了极端构型。
2015-01-28 math.CO
An Erdős--Fuchs Theorem for Ordered Representation Functions
令$k\geq 2$为正整数。研究了有序表示函数$r^{\leq}_k(A,n) = \# \big\{ (a_1 \leq \dots \leq a_k) \in A^k : a_1+\dots+a_k = n \big\}$和$r^{<}_k(A,n) = \# \big\{ (a_1 < \dots < a_k) \in A^k : a_1+\dots+a_k = n \big\}$对任意非负整数无穷集$A$的集中结果.我们的主要定理是一个Erdens-Fuchs型结果的功能：对于任何$c > 0$和$\star \in \{\leq,<\}$，我们表明，$$\sum_{j = 0}^{n} \Big( r^{\star}_k(A,j) - c \Big) = o\big(n^{1/4} \log^{-1/2}n \big)$$是不可能的。我们还证明了均方误差$$E^\star_{k,c}(A,n)=\frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n} \Big( r^{\star}_k(A,j) - c \Big)^2$$满足$\limsup_{n \to \infty} E^\star_{k,c}(A,n)>0$。这些结果推广了Erdens和Fuchs在$k=2$（J. of the London Math. Society 1956）的情况下证明的无序表示函数的两个…
2019-11-27 math.CO math.NT
Recent Progress in Ramsey Theory
本文提出基于伪随机图的新方法，证明了 $r(4,t)$ 的下界 $Ω(t^3/(\log t)^4)$，解决了 Erdős 的猜想，并展示了该方法在多种拉姆齐问题中的广泛应用。
2025-03-31 math.CO
Twins in ordered hyper-matchings
本文研究有序 r-匹配中必含的两个不交同构子匹配的最大规模，给出幂函数下界与概率上界，并证明几乎所有有序 r-匹配的最大孪生结构达到该上界。
2023-12-05 math.CO
Erdős-Gyárfás problem for partially ordered sets
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Academy of Plateau Science and Sustainability, and School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学高原科学与可持续发展学院、数学与统计学院）
本文研究了布尔晶格的强着色问题，证明了有限偏序集可嵌入布尔晶格，并利用对称洛vasz局部引理给出了着色数的上界，同时通过极值估计和计数方法给出了下界。
2026-05-13 math.CO
On five types of crucial permutations with respect to monotone patterns
一个关键的排列是一个排列，避免了一组给定的禁令，但它的任何扩展，在一个允许的方式，导致一个禁令被引入。在本文中，我们介绍了五种自然类型的关键排列单调模式，特别是quadrocritical排列，最密切的联系到Erdens-Szekeres极值排列。我们定义右关键排列和双十字排列的方式与文献中研究的其他禁止的上下文中的相应排列的定义是一致的。对于每一个五种类型，我们提供了它的表征通过RSK对应的杨tableaux。此外，我们使用的特征证明，这种排列的长度$n$增长时，$n\to\infty$，并列举最小的关键排列，但在所有的情况下。我们还提供了其他的枚举结果。
2022-06-24 math.CO
On Erdős-Ginzburg-Ziv inverse theorems for Dihedral and Dicyclic groups
设$G$是一个有限群，且$(G)$ = 1cmPDMATHABMO $(g)$ $\mid$. $G$中允许重复的项的有限无序序列是积一序列，如果它的项可以被排序，使得它们的乘积等于$G$的单位元素。我们用$\mathsf s (G)$（或分别为$\mathsf E (G)$）表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的每个序列具有长度为$\exp (G)$（或分别为$|G|$）的乘积1子序列。本文给出了二面体群和双循环群的$\mathsf s (G)$和$\mathsf E (G)$的精确值，并给出了所有长度为$\mathsf s (G) - 1$（或分别为$\mathsf E (G) - 1$）的序列不具有长度为$\exp (G)$（或分别为$|G|$）的积1子序列的显式刻画.
2019-08-12 math.CO
Partitioning ordered hypergraphs
{ \em序$r$ -图}是顶点集是线性序的$r$ -一致超图.给定$2\leq k\leq r$，一个有序$r$ -图$H$是{ \em interval} $k$ -{ \em partite}，如果在序中至少存在$k$不交区间，使得$H$的每条边与每个区间都有非空交集，并且包含在它们的并集中.我们的主要结果是：对每个$α> k - 1$和$d>0$，每个$n$ -顶点序的$r$ -图有$d \,n^α$-边，对于某些$m\leq n$，有一个$m$ -顶点区间的$k$ -部的子图有$Ω(d\, m^α)$-边.这是Erd \H os和Kleitman关于每个$r$ -图都包含一个边的比例为常数的$r$ -部子图的观察的有序$r$ -图的推广.限制$α> k-1$是尖锐的。我们还提出了应用程序的主要结果的几个极值问题的有序超图。
2020-04-09 math.CO
Ordered unavoidable sub-structures in matchings and random matchings
本文研究了有序匹配中的不可避免子结构，证明了 Erdős-Szekeres 型结果保证存在线、栈或波子结构之一，并探讨了孪生子结构的最大尺寸界限及其在多重孪生上的推广。
2024-04-24 math.CO
Turán problems for Edge-ordered graphs
本文系统地研究了边序图的图兰问题。一个单图称为$\textit{edge-ordered}$，如果它的边是线性有序的。边序图之间的同构必须尊重边序。一个边序图的子图本身就是一个具有导出边序的边序图。如果$G$的任何子图都不同构于$H$，则称一个边序图$G$ $\textit{avoids}$是另一个边序图$H$ .边序图$H$的$\textit{Turán number}$是边序图中$n$顶点上避免$H$的最大边数。我们研究了这个问题的一般性，并建立了边序图的Erdens-Stone-Simonovitz型定理--我们发现边序图的Turán数的相关参数是它的$\textit{order chromatic number}$。我们建立了这个参数的几个重要性质。我们还研究了边序路的Turán数，星森林和长度为4的圈。我们做强有力的连接达文波特-辛泽尔理论，禁止子矩阵的理论，并显示在离散几何中的应用。
2021-10-30 math.CO
Ordered Ramsey numbers of graphs with $m$ edges
本文研究了具有 $m$ 条边且无孤立顶点的有序图的有序 Ramsey 数上界问题，证明了 $r_<(G) \leq e^{10^9 \sqrt{m} (\log \log m)^{3/2}}$，并以此推导出有向图的有向 Ramsey 数相应界。
2024-12-23 math.CO
Lagrangians are attained as uniform Turán densities
该研究针对3-图的一致Turán密度展开，证明了所有3-图族的一致Turán密度构成的集合非良序，且任意3-图拉格朗日量的t/6倍（1≤t≤6）都属于该集合，拓展了Turán密度领域的相关结论。
2024-12-10 math.CO
Canonizing structural Ramsey theorems
在1950年初，Erd \H os和Rado建议研究Ramsey型结果，其中颜色的数量不是有限的。这标志着所谓的推崇拉姆齐理论的诞生。1985年，Prömel和Voigt向结构规范化的拉姆齐理论迈出了第一步，他们证明了有限线性有序超图类的规范拉姆齐性质，以及由禁止子结构定义的子类。在本文中，我们提供了几个新的结构典型的Ramsey结果。证明了有限线性序竞赛图类、有限线性扩张偏序集类和有限线性序度量空间类的标准Ramsey定理。最后，我们总结了著名的Nešetzil-Rödl定理的规范版本的文件。与“经典的”拉姆齐理论的方法，在本文中，我们主张使用范畴论来管理的复杂性，否则技术上压倒性的证明典型的拉姆齐理论。
2017-12-07 math.CO
Generalization of a theorem of Erdos and Renyi on Sidon Sequences
Erd \H OS和Rényi声称和Vu证明，对于所有$h \ge 2$和所有$ε> 0$，存在$g = g_h(ε)$和一个序列的整数$A$，使数量的有序表示的任何数字作为一个总和$h$元素的$A$是有界的$g$，并使$|A \cap [1,x]| \gg x^{1/h - ε}$。我们给出了这个结果的两个新的证明。第一个由这样一个序列的显式构造组成。第二个是概率性的，表明满足$g_h(ε) \ll ε^{-1}$的$g$的存在，改进了Vu获得的界$g_h(ε) \ll ε^{-h+1}$。最后我们利用“改变法”得到了$g_3(ε)$的一个更好的界，从而得到了对$B_3[g]$序列增长的一个更精确的估计.
2009-11-15 math.CO math.NT
Two extensions of Ramsey's theorem
Ramsey定理，在Erdenses和Szekeres的版本中，指出完全图在{1，2，.，n}包含1/2阶\log n的单色团。在本文中，我们考虑两个研究良好的扩展拉姆齐定理。改进了Rödl的结果，证明了存在一个常数$c>0$，使得\{2，3，.，}上完全图的边的每一个2-着色n\}包含单色团S，对于该单色团S，在所有顶点i \in S上的1/ \log i之和至少为c \log \log \log n。这是紧到常数因子c和回答一个问题的Erdens从1981年。出于模型理论中的一个问题，Väänänen问是否为每一个k有一个n这样，以下举行。对于每一个1，.，k-1，{1，2，.，}上的完全图的边的每一个2-染色n}包含一个单色团a_1<... <a_k with a_{π(1)+1} - a_{π(1)} > a_{π(2)+1} - a_{π(2)} >.> a_{π(k-1)+1} - a_{π(k-1)}。也就是说，我们不仅想要一个单色团，而且连续顶点之间的差必须满足规定的顺序。阿隆和独立的埃尔德什、哈伊纳尔和帕奇肯定地回答了这个问题。Alon进一步证明，真实的增长率应该是k的指数。我们朝着这个猜想取得进展，得到一个上界n是指数的幂k。这改进了Shelah的一个结果，他证明了n在k中至多是双指数。
2013-10-16 cs.DM math.CO
On the off-diagonal unordered Erdős-Rado numbers
本文研究无序非对角规范 Ramsey 数，证明 CR(s,r) 的新界并匹配已知下界，同时给出 ER(m,ℓ,r) 的界。
2024-09-17 math.CO
Upper bounds on diagonal Ramsey numbers [after Campos, Griffiths, Morris, and Sahasrabudhe]
本文综述了对角 Ramsey 数上界问题的历史，并介绍了 Campos 等人将上界改进至 $N=3.993^k$ 的突破性证明及后续的替代性概念证明。
2024-12-20 math.CO
