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涉及调和数的新同余

New congruences involving harmonic numbers

Zhi-Wei Sun

备注：
32 pages, final published version
发表信息：
Nanjing Univ. J. Math. Biquarterly 40 (2023), 1--33
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AI总结：

本文确定了涉及调和数与二项式系数的几类和式模 $p^2$ 的同余关系，揭示了其与 Bernoulli 多项式和 Euler 多项式的联系，并提出了相关新猜想。

摘要：

设 $p>3$ 为素数。对任意 $p$-进整数 $a$，我们确定了 $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k,\\ \\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k^{(2)},\\ \\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}k\frac{H_k^{(2)}}{2k+1}$$ 模 $p^2$ 的值，其中 $H_k=\sum_{0<j\le k}1/j$ 且 $H_k^{(2)}=\sum_{0<j\le k}1/j^2$。特别地，我们证明了 \begin{gather*}\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k\equiv(-1)^{\langle a\rangle_p}\\,2\left(B_{p-1}(a)-B_{p-1}\right)\pmod p, \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k^{(2)}\equiv -E_{p-3}(a)\pmod p, \\\\(2a-1)\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}k\frac{H_k^{(2)}}{2k+1}\equiv B_{p-2}(a)\pmod p, \end{gather*} 其中 $\langle a\rangle_p$ 表示满足 $a\equiv r\pmod{p}$ 的最小非负整数 $r$，$B_n(x)$ 和 $E_n(x)$ 分别表示 $n$ 次 Bernoulli 多项式和 $n$ 次 Euler 多项式。我们还提出了一些关于同余的新猜想。

英文摘要：

Let $p>3$ be a prime. For any $p$-adic integer $a$, we determine $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k,\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k^{(2)},\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}k\frac{H_k^{(2)}}{2k+1}$$ modulo $p^2$, where $H_k=\sum_{0<j\le k}1/j$ and $H_k^{(2)}=\sum_{0<j\le k}1/j^2$. In particular, we show that \begin{gather*}\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k\equiv(-1)^{\langle a\rangle_p}\,2\left(B_{p-1}(a)-B_{p-1}\right)\pmod p, \\\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}kH_k^{(2)}\equiv -E_{p-3}(a)\pmod p, \\(2a-1)\sum_{k=0}^{p-1}\binom{-a}k\binom{a-1}k\frac{H_k^{(2)}}{2k+1}\equiv B_{p-2}(a)\pmod p, \end{gather*} where $\langle a\rangle_p$ stands for the least nonnegative integer $r$ with $a\equiv r\pmod{p}$, and $B_n(x)$ and $E_n(x)$ denote the Bernoulli polynomial of degree $n$ and the Euler polynomial of degree $n$ respectively. We also pose some new conjectures on congruences.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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