Small solutions of quadratic forms with congruence conditions
考虑一类以$n\geq 3$为变量的具有同余条件的齐次二次型方程组，证明了两个高度有界的线性无关积分解的存在性.我们还证明了该系统的小高度积分零点的存在性，避免了一组给定的超平面。
2020-08-26 math.NT
Results on some partition functions arising from certain relations involving the Rogers-Ramanujan continued fractions
关系涉及罗杰斯Ramanujan连分数$R(q),$ $R(q^3 ),$和$R(q^4)$被用来寻找新的生成函数和同余模5和25的3-核心，4-核心，4-正规，和彩色分拆函数。
2020-05-14 math.NT
On Small Solutions to Quadratic Congruences
我们估计了在$c=1, ..., q$上同余式$$ m^2-n^2 \equiv c \pmod q, \qquad 1 \le m \le M, \ 1\le n \le N, $$的解的个数与其期望值的平均偏差。这一估计是由D. R.本文讨论了二次函数$αk^2$，$k=1,2,...$与实$α$的分数部分的对相关问题与该同余解的分布之间的Heath-Brown联系。
2010-04-05 math.NT
Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions
本文主要研究整三元二次型与类数之间的关系。这部分是由彼得森的问题引起的。
2020-02-05 math.NT
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
2014-03-18 math.NT
Small Solutions of Quadratic Congruences, and Character Sums with Binary Quadratic Forms
设$Q(x,y,z)$是整二次型，其行列式与某个模$q$互质.我们证明了对于长度为$O(q^{5/8+\varepsilon})$的非零整数向量$(x,y,z)$，对于任何固定的$\varepsilon>0$，$q\mid Q$。没有行列式的互质条件，就不能得到低于$2/3$的指数。证明中使用了二元二次型的短特征和的界，推广了Chang的一个结果。
2014-11-18 math.NT
On the Mixed Littlewood Conjecture and continued fractions in quadratic fields
我们证明了Aka和Shapira关于固定二次域中连分数的演化的一个最近结果如何蕴涵了de Mathan和Teullié关于混合Littlewood的经典结果
2014-09-11 math.NT
Finiteness and periodicity of continued fractions over quadratic number fields
考虑二次数域$K$的整数环上的部分分式的连分数，证明了经典的Lagrange定理对这种连分数的推广.这些连分数的一个具体例子是Bernat引入的$β$ -连分数。作为我们定理的推论，我们证明了对任何二次Perron数$β$，元素在$\mathbb Q(β)$中的$β$ -连分数展开是有限的或最终周期的.对于作为整数的平方根的$β$也是如此。我们还证明了对于某些4阶二次Perron数$β$，$β$ -连分数表示二次域$\mathbb Q(β)$的所有元素，从而回答了Rosen和Bernat的问题.基于Mercat猜想的有效性，这些都是具有此特征的二次Perron数。
2020-05-13 math.NT
Density of solutions to quadratic congruences
数论中的一个经典结果是关于等差数列中素数密度的狄利克雷定理。我们证明了一个类似的结果，正好有k个素因子的数，k>1。根据E.M.的证明。Wright在1954年提出的方法，我们计算这样的数的自然密度，其中每个素数满足一个同余条件。作为应用，我们得到了无平方数n不大于x且有k个素因子使得一个固定的二次方程模n恰好有2^k个解的密度.
2016-04-30 math.NT
Near-miss Identities and Spinor Genus Classification of Ternary Quadratic Forms with Congruence Conditions
本文发现并证明了一类具有同余条件的整数三元二次型的表示数的近似恒等式。然后对相应格陪集的亏格和旋量亏格进行了分类。最后，给出了2-根幺模格的所有导体2格陪集的亏格和旋量亏格的完全分类。
2021-04-18 math.NT
Non-periodic continued fractions for quadratic irrationalities
拉格朗日定理指出实数$α$的简单连分数是周期的当且仅当$α$是二次无理数。我们研究了由两个交错的等比级数构成的非周期非简单连分数，并证明了在某些情况下它们收敛于二次无理数。这种现象与某些序列的多项式的性质，我们进一步研究。
2018-11-30 math.NT
Quadratic irrational integers with partly prescribed continued fraction expansion
我们概括的言论欧拉和佩龙解释如何详细说明所有二次无理整数的对称部分期间，其连分数扩大开始与规定的部分不合理。函数字段的情况尤其引人注目。
2004-10-31 math.NT
On a quadratic Waring's problem with congruence conditions
对于每个正整数$n$，令$g_Δ(n)$是最小正整数$g$，使得可以由奇平方和表示的$n$变量中的每个完全二次多项式由至多$g$奇平方和表示。本文通过研究整二次型的平方和在一定的同余条件下的表示来分析$g_Δ(n)$。我们证明了$g_Δ(n)$的增长最多是$\sqrt{n}$的指数，这是最好的已知上界的$g$ -不变量的原始二次华林问题。我们还确定每个小于或等于$4$的正整数的$g_Δ(n)$的精确值。
2019-10-17 math.NT
On quadratic approximation for hyperquadratic continued fractions
研究了有限域上的两类超二次连分数在洛朗级数域上的二次逼近.作为第一个应用，我们回答了第二作者关于代数洛朗级数的丢番图指数的一个问题。作为第二个应用，我们在特殊情况下确定了这些族的度。
2020-02-06 math.NT
Congruences between Heegner points and quadratic twists of elliptic curves
建立了两条具有相同模$p$伽罗瓦表示的椭圆曲线的Heegner点的$p$ -adic矩阵之间的同余关系.作为第一个应用，我们使用的同余公式时，$p=2$显式构造许多二次扭曲的解析秩为零（分别。一个）对于广泛的一类椭圆曲线$E$。我们证明了$E$到解析秩为零的扭转判别式$X$的扭转数（分别为.一个）是$\gg X/\log^{5/6}X$，改进了Ono-Skinner（resp. Perelli-Pomykala）。我们还证明了2-部分的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的许多秩零和秩一扭曲的$E$，这是最近才建立的特定CM椭圆曲线$E$。
2017-11-27 math.NT
Congruences for the Number of Cubic Partitions Derived from Modular Forms
利用模形式得到了三次分拆数a（n）的同余式.三次分割的概念是由Chan介绍的，并由Kim与Ramanujan的三次连分数有关。Chan已经证明了a（n）有几个类似于划分数p（n）的性质，包括生成函数、连分数和同余关系。更具体地说，我们表明，$a(25n+22)\equiv 0 ({\rm mod} 5)$，$a(49n+15) \equiv a(49n+29) \equiv a(49n+36) \equiv a(49n+43) \equiv 0 ({\rm mod} 7)$。进一步证明了a（n）取无穷多个偶数值和无穷多个奇数值。
2009-10-07 math.CO math.NT
Counting solutions of quadratic congruences in several variables revisited
令$N_k(n,r,\boldsymbol{a})$表示二次同余方程式$a_1x_1^2+\ldots+a_kx_k^2\equiv n$（mod $r$）的非全等解的个数，其中$\boldsymbol{a}=(a_1,\ldots,a_k)\in {\Bbb Z}^k$，$n\in {\Bbb Z}$，$r\in {\Bbb N}$ .我们给简短的直接证明某些鲜为人知的紧公式$N_k(n,r,\boldsymbol{a})$，有效的$r$奇，这可以追溯到闵可夫斯基，巴赫曼和科恩的工作。我们还推导了一些文献中没有的相关恒等式和渐近公式。
2014-11-20 math.NT
Generalized continued fraction expansions of complex numbers, and applications to quadratic and badly approximable numbers
本文在[3]和[1]的一般框架下，研究了复数的广义连分数展开式关于欧氏子环的元素，特别是高斯或Eisenstein整数的广义连分数展开式.通过考虑一般线性群的作用，介绍了研究二元形式零点的连分数展开式的一般方法，并将其应用于讨论二次根式的展开式和差逼近数的展开式.同时，我们将简单连分数展开式的收敛性是“最佳逼近”的性质推广到一大类复数的连分数展开式。
2022-04-29 math.NT
Continued fractions in 2-stage euclidean quadratic fields
讨论了类数为1的实二次数域上的连分数.如果域具有2阶欧几里德的性质，则可以使用欧几里德算法的推广来计算这些连分数。虽然已经证明了所有类数为1的实二次域都是2-阶欧氏域，但这一性质只在少数几个实二次域上得到了证明。本文的主要结果是一个算法，给定类数为1的实二次域，验证了这一猜想，并产生足够的数据作为副产品，以有效地计算连分数展开。如果域不是2阶欧几里德，则算法不会终止。作为应用，我们扩大了已知的二级欧氏域的列表，证明了所有小于8000且判别式类数为1的实二次域都是二级欧氏域.
2011-09-17 math.NT
Expanding maps and continued fractions
我们得到了与连分数有关的半群同余格点计数的误差项的能量节省。这是通过调整Oh和Winter（2014）最近工作中的参数来完成的，这些参数在同余方面为某些转移算子提供了统一的界限。我们的论点也建立在Naud（2005）和Bourgain，Gamburd和Sarnak（2011）的工作基础上。我们得到的结果，以及我们在续集中强调的关于$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$的乘法组合数学的某些猜想，可以用来改进Bourgain和Kontorovich（2014）关于Zaremba猜想的工作中的例外集的大小。
2015-02-08 math.DS math.NT
Cubic congruences and binary quadratic forms
本文研究素数模下三次同余的解数问题，通过二元二次型给出了该同余式恰有三个解的显式判据。
2025-04-01 math.NT
Distribution of class numbers in continued fraction families of real quadratic fields
我们构造了一个随机模型来研究由连分数产生的特殊实二次域$\mathbb Q(\sqrt d)$族中类数的分布。这些家庭是通过考虑周期连分数的形式$\sqrt {D(n)}=[f(n), [u_1, u_2, \dots, u_{s-1}, 2f(n)]]$与固定系数$u_1, \dots, u_{s-1}$和推广众所周知的家庭，如Chowla的$4n^2+1$，其中类似的结果最近证明了达尔和Lamzouri。
2016-11-08 math.NT
Automatic continued fractions are transcendental or quadratic
建立了连分数展开式的新的组合超越准则。设$α= [0; a_1, a_2,...]$是次数至少为3的代数数。我们的标准之一意味着，序列的部分子$(a_{\ell})_{\ell \ge 1}$的$α$不能产生的有限自动机，和复杂性函数的$(a_{\ell})_{\ell \ge 1}$不能增加得太慢。
2012-11-23 math.NT
On Periodicity of Continued fractions with Partial Quotients in Quadratic Number Fields
针对部分商取自实二次域整数环的连分数，本文研究其最终周期性与收敛性，给出实四次无理数对应周期展开的充要条件及构造算法。
2023-04-24 math.NT
Multiple exponential sums and their applications to quadratic congruences
本文提出一种评估多变量一般指数和的方法，并应用于二次同余式，得到其解数的渐近公式及均匀分布结果。
2025-10-15 math.NT
Quadratic congruences on average and rational points on cubic surfaces
研究了一类二次同余方程的平均解数。作为应用，我们建立了奇性类型为A_5+A_1的三次曲面的Manin猜想。
2015-07-22 math.AG math.NT
Continued Fractions of Arithmetic Sequences of Quadratics
设x是二次无理数，P是素数的集合.我们证明了P的一个无限子集S的存在性，使得沿序列{px：p \in S}的连分数展开的周期统计量接近Gauss-Kuzmin测度给出的正态统计量.在推广的黎曼假设下，证明了存在满足相同断言的P的全密度子集S和N的全密度子集T.我们给出了所有情况下的收敛速度收敛速率。
2019-05-20 math.NT
Nonarchimedean quadratic Lagrange spectra and continued fractions in power series fields
设${\bf F}_q$是一个有限域，其阶为一个素数的正幂$q$.本文研究了Parkkonen和Paulin定义的非阿基米德二次Lagrange谱，考虑了${\rm PGL}_2({\bf F}_q[Y])$的单应性和反单应性对${\bf F}_q((Y^{-1})) \cup \{\infty\}$的作用，给出了${\bf F}_q((Y^{-1}))$中二次幂级数轨道的元素逼近.虽然他们的方法使用几何方法的群作用的Bruhat-山雀树，我们的是基于理论的连分数在幂级数领域。
2018-04-10 math.NT
Palindromes and periodic continued fractions
本文对连分数几何作了较详细的论述。我们特别感兴趣的情况下，二次无理数，并使用所描述的技术来证明一个标准的连分数的二次surd有一个对称的周期。
2016-05-30 math.NT
Continued fractions for complex numbers and values of binary quadratic forms
本文描述了复数的连分数展开式在高斯整数下的各种性质。对于一个复数，可以有许多不同的这种展开式。它们可以通过各种算法来实现，也可以通过我们称之为“迭代序列”的更一般的方式来实现。我们认为，在这个更广泛的背景下，类似物的拉格朗日定理的特点二次surds，增长的性质的收敛，并满足一定条件的序列之间的整体关系，在不出现某些有限块，和序列参与连分数扩展。结果也被应用到描述一类二元二次型的复系数，其值的集合上的高斯整数对形成一个密集的复数集。
2011-02-18 math.NT
Continued Fractions, Quadratic Fields, and Factoring: Some Computational Aspects
勒让德发现，具有奇数周期的$\sqrt N$的连分数展开直接导致了$N$作为两个平方和的显式表示。在这方面，最近观察到具有偶数周期的$\sqrt N$的连分数膨胀直接产生复合$N$的因子。在这里证明，这些显然是偶然发生的，使我们能够提出并应用一个变化的Shanks的基础设施的方法，显着减少了渐近计算负担，目前使用的因子分解技术。
2021-03-27 math.NT
Periodic continued fractions and elliptic curves over quadratic fields
设$f(x)$是定义在二次域$K$上的无平方的四次多项式，使得它的前导系数是平方。如果$\displaystyle \sqrt{f(x)}$的连分式展开是周期性的，那么它的周期$n$位于集合\[\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,22,26,30,34\}.\]中。我们明确地写出所有这样的多项式，其周期$n$出现在$K$上，但不出现在$\Q$和$\displaystyle n\not\in\{ 13,15,17\}$上。并给出了在$K$上存在周期为$13, 15$或$17$的连分式展开式的充要条件.
2014-11-25 math.NT
Congruences for odd class numbers of quadratic fields with odd discriminant
对于任何不同的两个素数$p_1\equiv p_2\equiv 3$ $(\text{mod }4)$，令$h(-p_1)$、$h(-p_2)$和$h(p_1p_2)$分别是二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p_1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-p_2})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{p_1p_2})$的类数。设$ω_{p_1p_2}:=(1+\sqrt{p_1p_2})/2$和$Ψ(ω_{p_1p_2})$是$ω_{p_1p_2}$的Hirzebruch和。我们表明，$h(-p_1)h(-p_2)\equiv h(p_1p_2)Ψ(ω_{p_1p_2})/n$ $(\text{mod }8)$，其中$n=6$（分别，$n=2$），如果$\min\{p_1,p_2\}>3$（分别，否则）。在$\mathbb{Q}(\sqrt{p_1p_2})$中我们还考虑了导体$2$的实二次阶。
2022-01-28 math.NT
From continued fractions and quadratic functions to modular forms
在本文中，我们研究某些实函数定义在一个非常简单的方式由Zagier作为总和的无限权力的二次整系数多项式。这些函数给出了模形式的周期多项式的偶数部分，这些部分是志村-新谷对应的核函数的傅立叶展开中的系数。我们证明了Zagier的两个代数式，证明了其和是指数收敛的。我们还证明了意想不到的结果表示这些功能的总和简单或减少二次型和积极或消极的连分数的变量。这些产生于更一般的结果多项式的甚至程度。特别地，我们利用PSL（2，Z）的周期多项式的偶数部分和x的连分数给出了PSL（2，Z）的任意尖点形式的实数x上的Eichler积分的偶数部分.
2013-01-29 math.NT
Quadratic Congruences for half-integral weight cusp forms with the eta multiplier
Clemson University（克莱姆森大学）
本文研究半整数权重cuspidal形式的二次同余性质，通过模ular Galois表示理论，证明任意字符下的同余成立并提出关键新结果。
2026-03-07 math.NT
Primes represented by shifted quadratic forms: on primitivity and congruence classes
本文扩展了Iwaniec的筛法，证明了移位正定整二元二次型在附加本原性与同余类条件下表示素数的下界，并提供了经计算机验证的局部条件列表以纠正先前错误，旨在为研究Apollonian circle packings中的素数分量提供工具。
2025-04-28 math.NT
Symmetry and specializability in continued fractions
研究了某些级数的显式连分数展开。其中一些展开式具有对称性，这推广了Kmosek和Shallit独立发现的一些显著例子。进一步证明了如下定理：设f（x）是一个整系数多项式，当n从0到无穷大时，考虑1/f^n（x）的和，其中f^n表示f的第n阶数。这个级数在多项式上有一个连分数展开式。当部分分数具有整数系数时的情况特别有趣，因为当用整数值代替x时，可以得到简单连分数。在这种情况下，连分数展开称为可特化。我们确定所有多项式f（x），使得1/f^n（x）的和有一个可特殊化的连分数：这成立当且仅当f（x）满足14个同余之一。
2000-08-30 math.NT
Congruence counting in Schottky and continued fractions semigroups of $\operatorname{SO}(n, 1)$
本文研究了SO(n, 1)中Schottky和连分数半群的同余计数问题，推广了Magee-Oh-Winter在SL₂(R)中的工作，利用扩展机理和Dolgopyat方法解决高维中的挑战。
2025-11-20 math.DS math.NT math.SP
Relating elliptic curve point-counting and solutions of quadratic forms with congruence conditions
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过研究二次型与椭圆曲线点计数之间的关系，建立了一种利用theta级数和同余条件来分析整数解与椭圆曲线有理点数量的联系。
2025-10-27 math.NT
Congruence relations of Ankeny$\unicode{x2013}$Artin$\unicode{x2013}$Chowla type for real quadratic fields
本文推广Ankeny–Artin–Chowla同余关系至更一般的Kubota–Leopoldt $p$-adic $L$-函数框架，推导出涉及二次剩余的新同余，并讨论复合猜想的反例与二面体扩张的联系。
2024-11-08 math.NT
Cohomology of congruence subgroups of SL_3(Z), Steinberg modules, and real quadratic fields
本文研究了SL 3（Z）的同余子群Gamma的同调性，其中系数为Steinberg模St（Q^3）和St（E^3），其中E是实二次域，系数为Q.根据Borel-Serre对偶，H_0（Gamma，St（Q^3））同构于H^3（Gamma，Q）.取连接同态H_1（Gamma，St（E^3）/St（Q^3））\to H_0（Gamma，St（Q^3））的象，再取Borel-Serre同构，得到H^3（Gamma，Q）的一个自然定义的Heck稳定子空间H（Gamma，E）.我们猜想H（Gamma，E）独立于E，由尖点上同调H_cusp^3（Gamma，Q）加上H^3（Gamma，Q）$的某个子空间组成，该子空间同构于Borel-Serre边界的极大面的尖点上同调之和.我们报告的计算机计算的H（伽玛，E）的各种伽玛，E提供证据的猜想。我们给出了一个部分启发式的猜想。
2021-07-22 math.NT
Concentration of points on Modular Quadratic Forms
设$Q(x,y)$是具有判别式$D\neq 0$的二次型。在假定$Q(x,y)-λ$是模$p$的绝对不可约多项式的条件下，得到了同余式$Q(x,y)\equivλ\pmod{p}$解的个数的非平凡上界估计，其中$p$是素数，$x,y$位于$M$的一定长度区间内.特别地，我们证明了当$M\ll p^{1/4}$时，这个同余式的解的个数是$M^{o(1)}$.这些估计推广了Cilleruelo和Garaev关于特殊同余$xy\equiv λ\pmod{p}$的一个结果。
2011-02-07 math.NT
Integral period relations and congruences
在比较温和和自然的条件下，建立了椭圆尖点形式的（实或虚）二次基变的积分周期关系。这回答了一个猜想飞关于{ \it同余数}控制这个基础变化和其他本征形之间的同余关系是不是基础变化。作为推论，我们建立了偶二次特征标扭曲的伴随模伽罗瓦表示的Bloch-Kato猜想。在奇的情况下，我们提出了一个猜想，将基变Bianchi模形式的二次拓扑周期，相应的Hecke代数的余切复形和Beilinson-Flach元的阿基米德调节器联系起来.
2021-07-27 math.NT
An effective criterion for periodicity of l-adic continued fractions
针对Ruban的l进连分数，本文给出有理数与二次无理数展开周期性的显式判据，补充有理数情形的定性结果。
2018-11-12 math.NT
Sun-type determinant and permanent congruences
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文统一处理Sun提出的关于模素数剩余类上行列式和永久式的猜想，通过行列式论证、Cauchy核和Cayley核的永久式恒等式等工具，证明了多个猜想并给出了p^2和p^3模的同余式。
2026-05-27 math.NT
On the cohomology of congruence subgroups of GL3 over the Eisenstein integers
设F是判别式-3及其整数环的虚二次域。设Gamma是算术群GL_3（OF），对于任意理想n子集OF，Gamma_0（n）是由底行为（0，0，*）bmod n的矩阵组成的n阶同余子群.本文将上同调空间H^{nu - 1}（Gamma_0（n）; C）作为Hecke模计算，其中nu是Gamma的虚上同调维数.这是第一次尝试在这样的计算GL_3的虚二次域，并补充工作的Grunewald-Helling-Mennicke和克雷莫纳，谁计算的上同调GL_2的虚二次域。在我们的结果中，我们观察到各种现象，包括上同调类，显然对应于GL_3/F上的非自对偶尖形。
2018-05-23 math.NT
Integer Factorization via Continued Fractions and Quadratic Forms
本研究提出一种基于SQUFOF方法相关理论的新型整数分解算法，分析表明其复杂度优于经典SQUFOF和CFRAC算法，且在特定条件下可达到多项式时间复杂度。
2025-01-20 math.NT
On the $Γ$-equivalence of binary quadratic forms
对于同余子群$Γ$，我们定义了二元二次型上的$Γ$ -等价的概念，当$Γ= \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ .我们发展了一个关于$Γ$ -等价的理论，如$Γ$ -约化形式的有限性，$Γ_0(N)$ -形式类群与理想类群的同构，整数的$N$ -表示，二元二次型的$N$ -亏格.作为应用，我们讨论了在一定的变量同余条件下整数的二元二次型表示。
2017-11-01 math.NT
Asymptotic behavior of small solutions of quadratic congruences in three variables modulo prime powers
设$p>5$是一个固定素数，并假定$α_1,α_2,α_3$与$p$互质。研究了$α_1x_1^2+α_2x_2^2+α_3x_3^2\equiv 0\bmod{q}$与$q=p^n$形式的同余的小解的渐近性态，其中$\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le N$和$(x_1x_2x_3,p)=1$ . (In事实上，我们考虑这个问题的平滑版本。）如果$α_1,α_2,α_3$是固定的，并且$n\rightarrow \infty$是固定的，我们在条件$N\gg q^{1/2+\varepsilon}$下建立了一个渐近公式（从而证明了这种解的存在性）.如果这些系数被允许与$n$变化，我们表明，这个公式成立，如果$N\gg q^{11/18+\varepsilon}$。后者应比较结果希思布朗谁建立了存在的非零解决方案的条件下$N \gg q^{5/8+\varepsilon}$的奇数平方模$q$。
2022-09-07 math.NT
Using Continued Fractions to Compute Iwasawa Lambda Invariants of Imaginary Quadratic Number Fields
设$\ell>3$是素数，使得$\ell \equiv 3 \pmod{4}$和$\mathbb{Q}(\sqrt{\ell})$的类数为1。然后Hirzebruch和Zagier注意到$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$的类数可以表示为$h(-\ell) = (1/3)(b_1+b_2 + \cdots + b_m) - m$，其中$b_i$是“减”连分式展开式$\sqrt{\ell} = [[b_0; \overline{b_1, b_2, \ldots, b_m}]]$中的部分同数。对于奇素数$p \neq \ell$，我们证明了一个类似的公式，使用这些$b_i$计算$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$的Iwasawa lambda不变量$λ_p(-\ell)+λ_p(-4)$的和。在$p$在$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$中是惰性的情况下，该公式在一些附加的技术假设下令人愉快地简化。
2014-03-16 math.NT
Congruences of elliptic curves arising from non-surjective mod $N$ Galois representations
研究了椭圆曲线的二次扭之间的$N$ -同余.如果$N$正好有两个不同的素因子，我们表明，这些参数的双重覆盖某些模块化曲线。在许多但不是所有情况下，所讨论的模曲线对应于$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$的Cartan子群的正规化子。通过计算这些双重覆盖的显式模型，我们发现所有对$(N, r)$，使存在无穷多个$j$ -不变量的椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$这是$N$ -全等与电源$r$二次扭曲的$E$。我们还找到了一个例子的$48$ -同余在$\mathbb{Q}$。本文提出了一个猜想，分类了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的二次扭之间的非平凡$(N,r)$ -同余.最后，我们给出了一个更详细的$15$级的案例分析。我们使用椭圆Chabauty确定的有理点的模曲线的亏格$2$，其雅可比矩阵的秩$2$和出现作为一个双重覆盖的模曲线$X(\mathrm{ns} 3^+, \mathrm{ns} 5^+)$。作为结果，我们得到一个新的证明类数$1$问题。
2022-06-16 math.NT
Congruence modulo 4 for Andrews' integer partition with even parts below odd parts
本文发现并证明了具有某些三元二次型的Andrews分拆的一类模4同余。我们还讨论了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的分布，并进一步证明了几乎所有的$n$都有$\overline{\mathcal{EO}}(n)\equiv0\pmod4$.本研究的灵感来自于第二作者和Garvan的工作中的模4的类似同余。
2021-10-25 math.NT
Uniform congruence counting for Schottky semigroups in $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$
设$Γ$是$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$中的一个Schottky半群，对于$q\in \mathbf N$，设$Γ(q):=\{γ\in Γ: γ= e \text{ (mod $ q $)}\}$是它的同馀子半群.我们证明了以下关于半径为$R$的$M_2(\mathbf{R})$中的欧几里德范球族$B_R$的一致同余计数定理：对于所有不具有小素因子的$q$，对于某些独立于$q$的$c_Γ>0, C>0, ε>0$，$ (Γ(q) \cap B_R )= c_Γ\frac{R^{2δ}}{ (\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}))} +O(q^C R^{2δ-ε})$作为$R\to \infty$。我们的技巧也适用于给出$\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$的连分数半群的一个类似的计数结果，这是在研究关于连分数的Zaremba猜想中出现的。
2017-09-07 math.DS math.NT
Lagrange's Theorem for continued fractions on the Heisenberg group
我们证明了一个类似的拉格朗日定理的连分数的海森堡群：最终周期性的连分数扩展的点是那些满足特定类型的二次型，反之亦然。
2014-09-01 math.NT
