From the Ising and Potts models to the general graph homomorphism polynomial
本文研究了图到完全赋权图在$q$顶点上的同态的生成多项式的一些性质。我们讨论了这个多项式如何涉及到一长串的其他著名的图多项式和分拆函数不同的自旋模型，其中许多是专业化的同态多项式。我们还识别出不是由$q=2$和$q=3$的同态多项式确定的最小图，并将其与$U$ -多项式的相应最小示例进行比较，$U$ -多项式推广了众所周知的Tutte-多项式。
2015-11-19 cond-mat.stat-mech cs.DM math.CO
Bounding the partition function of spin-systems
与图$G=(V,E)$，我们相关联的非负实权重$\cup_{v\in V}{λ_{i,v}:1\leq i \leq m} \cup \cup_{uv \in E} {λ_{ij,uv}:1\leq i \leq j \leq m}$的集合。我们考虑${f:V\rightarrow{1,...,m}}$上的概率分布，其中每个$f$以与$\prod_{v \in V}λ_{f(v),v}\prod_{uv \in E}λ_{f(u)f(v),uv}$成比例的概率出现。许多著名的统计物理模型，包括具有外场的伊辛模型和具有非均匀活动的硬核模型，都可以框架为这样的分布。我们得到了一个上界，独立于$G$，为分拆函数（归一化常数，把分配的权重$\{f:V\rightarrow{1,...,m\}}$的概率分布）的情况下，$G$是一个定期的二分图。这推广了Galvin和Tetali得到的一个界，他们考虑了更简单的权重集合$\{λ_i:1 \leq i \leq m\} \cup \{λ_{ij}:1 \leq i \leq j \leq m\}$，每个$λ_{ij}$为0或1，每个$f$的选择概率与$\prod_{v \in V}λ_{f(v)}\prod_{uv \in E}λ_{f(u)f(v)}$成比例。我们的主要工具是一个推广到列表同态的结果Galvin和Tetali图同态和一个简单的二…
2012-06-14 math-ph math.CO math.MP
Minimum Cost Homomorphisms with Constrained Costs
最小费用同态问题可以看作是列表同态问题的推广。他们还扩展了两个著名的图着色问题：最小色和问题和最佳成本色划分问题。在这两个问题中，成本函数都满足一个额外的约束：对于输入图的每个顶点，使用特定颜色的成本都是相同的。我们研究最小费用同态问题的成本函数约束有这个属性。显然，当标准的最小费用同态问题是多项式时，那么具有约束费用的问题也是多项式。我们期望当标准的最小代价同态问题是NP-完全的时候，这同样适用。我们证明，这是树$H$的情况下：我们得到一个二分法的最小约束成本同态问题，符合标准的最小成本同态问题的二分法。对于一般图$H$，我们证明了一个部分二分法：当$H$是真区间图时，问题是多项式的;当$H$不是弦二部图时，问题是NP-完全的.
2016-08-22 cs.CC math.CO
Beyond Log-Supermodularity: Lower Bounds and the Bethe Partition Function
最近的一个结果表明，Bethe配分函数总是下界的二进制，对数超模图模型的真正的配分函数。我们证明，这些结果可以扩展到其他有趣的类的图形模型，不一定是二进制或对数超模：铁磁Potts模型与均匀的外部场及其推广和特殊类的加权图同态问题。
2013-09-26 cs.DM math.CO
The Homomorphism Domination Exponent
本文首先研究了一对图F和G的同态控制指数，定义为最大实数c，使得|Hom（女，男）|\geq| Hom（G，T）|^c对于每个图T判定HDE（F，G）\geq 1是否为同态控制问题及其可判定性是关系数据库理论中一个重要的开放问题。我们研究了图F和G的同态控制指数的组合和计算性质，证明了HDE（F，G）可计算的上界和下界以及图F和G的隔离类。特别地，我们提出了一个线性规划计算HDE（F，G）的特殊情况下，F是弦和G是串并联。
2010-04-14 math.CO
Set families and Foulkes modules
我们构造了一类新的对称群的从Specht模到Foulkes模的同态.这些同态是用来给一个组合的描述最小的分区（在优势顺序）标签不可约字符出现的字符的和的福克斯模块。同态是用自然数的子集的某些族来定义的。这些家庭是独立的利益，我们证明了一些关于他们的组合结果。
2014-10-07 math.CO math.RT
Algorithm for computing the partition function of the Potts model for SP-graphs
本文针对带任意权重的SP-图（串并联图），提出一种基于边等效替换简化图的线性时间算法，可精确计算Potts模型的配分函数（即多元Tutte多项式）。
2025-07-30 math-ph math.CO math.MP
Dichotomy for Graph Homomorphisms with Complex Values on Bounded Degree Graphs
图同态的复杂性一直是一个深入研究的课题[11，12，4，42，21，17，6，20]。图同态的配分函数$Z_{\mathbf A}(\cdot)$由$\mathbb C$上的对称矩阵$\mathbf A$定义.证明了文[6]的复杂性二分法推广到有界度图。更准确地说，我们证明了，无论是$G \mapsto Z_{\mathbf A}(G)$是可计算的多项式时间的每一个$G$，或一些$Δ> 0$是P-硬（简单）图$G$的最大程度$Δ(G) \le Δ$。这种二分法的$\mathbf A$上的易处理性准则是明确的，并且可以在多项式时间内以$\mathbf A$的大小来确定。我们还表明，二分法是有效的，无论是P-时间算法，或减少从#SAT到，$Z_{\mathbf A}(\cdot)$可以构建从$\mathbf A$，在各自的情况下。
2020-04-14 cs.CC math.CO
Computing the partition function for cliques in a graph
给出了一个确定性算法，给定一个n阶图G，给定一个整数1<m < n，在n^{O（ln m）}时间内计算G的顶点集的所有m-子集S上的权重w（S）之和，其中w（S）=exp{gamma t m +O（1/m）}，条件是S的t{mchoose 2}对顶点恰好跨越G的一条边，其中0 << 1. Here gamma >t0是一个绝对常数：我们可以选择gamma=0.06，如果n > 4 m且m > 10，我们可以选择gamma=0.18.这使我们能够区分没有高密度的m-子集的图和有足够多的高密度的m-子集的图，即使随机命中这样一个子集的概率在m中是指数小的。
2014-10-13 math-ph math.CO math.MP
On weighted graph homomorphisms
对于给定的图$G$和$H$，令$|Hom(G,H)|$表示从$G$到$H$的图同态的集合。我们证明了，对于任何有限的，$n$ -正则的，二部图$G$和任何有限图$H$（也许有循环），当$G$是$K_{n,n}$的不交并时，$|Hom(G,H)|$是最大的.这推广了J. Kahn关于正则二部图中独立集个数的一个结果。给出了$|Hom(G,H)|$的对数关于$H$的一个简单参数的渐近性.我们还考虑这些结果的加权版本，这些结果可以被视为关于具有硬约束的物理系统的某些模型的分拆函数的陈述。
2012-06-14 math.CO
Matroid invariants and counting graph homomorphisms
从有限图$F$到完全图$K_n$的同态数是$F$在$n$上的色多项式的赋值。适当地缩放，这是Tutte多项式求值$T(F;1-n,0)$和$F$的循环拟阵的不变量。De la Harpe和Jaeger \cite{dlHJ95}提出了一个更一般的问题，即从$F$到一个固定图$G$的同态计数得到的一个图参数何时只依赖于$F$的圈拟阵。他们证明，当$G$有一个慷慨传递的自同构群时，这是正确的（例子包括交换群上的凯莱图和Kneser图）。使用工具，从多重线性代数，我们证明了相反的声明，从而表征有限图$G$计数同态$G$产生拟阵不变。我们还将这一结果扩展到有限加权图$G$（其中计算从$F$到$G$的同态包括诸如计算$F$的无零流和评估$F$上交互模型的分拆函数等问题）。
2016-02-24 math.CO
Computing DM-decomposition of a partitioned matrix with rank-1 blocks
在本文中，我们开发了一个多项式时间算法来计算一个矩阵的Dulmage-Mendelsohn型分解划分成子矩阵的秩最多$1$。
2018-02-17 math.CO
Computing the partition function for perfect matchings in a hypergraph
给定km元集V的k子集S上的非负权重w_S，我们考虑乘积w_{S_1}.的和。所有分区的w_{S_m} V = S_1杯.将S_m分成两两不相交的k-子集S_i。当权值w_S为正且在一个固定因子内时，我们给出了一个简单的多项式时间算法来近似m因子多项式内的和。在这个过程中，我们获得了高维版本的van der Waerden和Bregman-Minc界永久。我们还讨论了超图的完美匹配和几乎完美匹配的计数应用。
2011-09-05 math-ph math.CO math.MP
The graph theoretic moment problem
我们研究了一个类似的经典时刻问题的框架，时刻索引的图形，而不是自然数。本文研究了图序列的极限对象，其中边是由拓扑空间中的元素标记的。除其他事项外，我们得到加强和推广的主要结果，以前的论文特征反射正图参数，图同态数，和限制的单图序列。本文研究了一类新的反射正分拆函数，它将节点着色模型（同态）推广到加权图。
2010-10-25 math.CO
Characterizing and computing weight-equitable partitions of graphs
图的权公平划分是著名的公平划分的自然扩张，它已被证明是削弱几个著名的特征值界的正则性假设的有力工具.在这项工作中，我们的目标是进一步我们的代数和计算的重量公平分区的理解。我们这样做，通过显示几个频谱特性和代数特征，并通过提供一种方法来找到粗糙的权重公平的分区。
2021-09-07 math.CO
A tree-decomposed transfer matrix for computing exact Potts model partition functions for arbitrary graphs, with applications to planar graph colourings
结合树分解和转移矩阵技术提供了一个非常通用的算法来计算定义在任意图上的统计模型的精确配分函数。该算法是特别有效的平面图的情况下。我们说明它通过计算Potts模型配分函数和色多项式（适当的顶点着色使用Q颜色的数量）的随机平面图的大样本高达N=100顶点。在后一种情况下，我们的算法产生一个次指数平均运行时间~ exp（1.516 sqrt（N）），一个显着的改善指数运行时间~ exp（0.245 N）提供了迄今为止最知名的算法。我们研究了随机平面图的色根的统计在一定程度上的细节，比较的结果与有限块的一个规则格。
2010-08-06 cond-mat.stat-mech cs.DS math-ph
Quantum isomorphism is equivalent to equality of homomorphism counts from planar graphs
超过50年前，Lovász证明，两个图是同构的当且仅当他们承认相同数量的同态从任何图[数学学报。18（1967），pp. 321- 328]。在这项工作中，我们证明了两个图是量子同构（在交换算子框架），当且仅当他们承认相同数量的同态从任何平面图。由于存在量子同构的非同构图对，这意味着平面图的同态计数不确定同构的图。另一个直接的结果是，确定是否存在与两个给定图具有不同数量的同态的平面图是一个不可判定的问题，因为量子同构已知是不可判定的。我们的量子同构的特征证明了通过一个图的量子自同构群的交织空间的组合特征的基础上从平面图的同态计数。这个结果启发了“图范畴”的定义，它类似于划分范畴，并且是划分范畴的推广，划分范畴是简单量子群定义的基础。因此，我们引入了一类新的“图论量子群“，其缠绕空间由与（双标记）图相关联的映射构成。最后，我们利用量子同构的结果证明了四色定理的一个有趣的重新表述：任何平面图是4-可着色的当且仅当它与对称群$S_4$上的一个特定的Cayley图有同态，该对称群包含一个在四个顶点上的完全子图，但不是4-可着色的。
2019-10-19 cs.DM math.CO math.OA
Computing a pyramid partition generating function with dimer shuffling
我们验证了最近的猜想Kenyon/Szendroi，arXiv：0705.3419，通过计算生成函数的金字塔分区。金字塔分割与阿兹特克钻石密切相关;它们的生成函数原来是唐纳森-托马斯理论的分拆函数，该理论是锥状奇点{x1 x2-x3 x4 = 0}的非交换分解。证明不需要代数几何;它使用了Elkies，Kuperberg，Larsen和Propp的多米诺洗牌算法的修改版本。
2008-07-02 math.AG math.CO
Computing vector partition functions
本文提出一种在计算机代数系统中实现的新算法，用于计算向量划分函数的闭式拟多项式公式，并提供了初等自包含的理论阐述。
2024-11-09 math.CO math.RT
Towards computing vector partition functions by iterated partial fraction decomposition
我们研究了Beck（2004）提出的迭代部分分式分解计算向量分拆函数的可能性。特别地，对于一类重要的有理函数族，我们描述了一种算法来计算其部分分式分解中的分子“形式上”，即，作为参数中的形式表达式。我们还分析了基于迭代部分分式分解的算法执行过程中出现的广义有理函数的类型，并解释了如何处理这些对象。
2009-12-06 math.CO
Random homomorphisms into the orthogonality graph
子图密度已经被定义，并作为基本工具，在图子（稠密图序列的极限）和图（有界度图序列的极限）的情况下。虽然极限对象已被描述为“中间范围”，在这些极限对象的子图密度的概念仍然难以捉摸。在$d$维单位球面上的正交图中，在适当的稀疏条件下，定义了子图的密度。这些正交图表现出的主要困难，定义子图的“中间”范围，所以我们希望他们的研究作为一个关键的例子，定义子图密度在更一般的马尔可夫空间。这个问题也可以被公式化为定义和计算图的随机正交表示。正交表示在信息论、最优化、刚性理论和量子物理学中发挥了重要作用，因此从这些应用的角度来看，研究随机表示也是有意义的。
2021-05-08 math.CO
On the complexity of Sandwich Problems for $M$-partitions
Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学与物理学院）；Institut für Algebra, TU Dresden（德累斯顿工业大学代数研究所）
本文研究了$M$-划分问题的复杂性，通过结构分类和高效算法，对矩阵划分和沙丁鱼问题进行了P与NP完全的分类。
2026-02-10 cs.CC cs.DM math.CO
On Homomorphism Graphs
该研究引入有界度无环Borel图新示例，用推广的确定性方法研究其组合性质，统一了领域既有成果并得出新结论，证明Δ>2时相关无环正则Borel图无法简单刻画，体现Brooks型定理在Borel语境下的强失效性。
2024-04-29 cs.DC math.CO math.LO
Computing homomorphisms in hereditary graph classes: the peculiar case of the 5-wheel and graphs with no long claws
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。在$H$ -着色问题中，图$H$是固定的，我们问一个实例图$G$是否允许$H$ -着色。这个问题的推广是$H$ -ColoringExt，其中$G$的一些顶点已经映射到$H$的顶点，我们问这个部分映射是否可以扩展到$H$ -着色。我们研究了$F$ -free图中$H$ -着色的变体的复杂性，即，不包括固定图$F$作为导出子图的图。对于整数$a,b,c \geq 1$，我们用$S_{a,b,c}$表示通过分别在$a+1$、$b+1$和$c+1$顶点上标识三条路径的一个端顶点而获得的图。对于奇数的$k \geq 5$，我们用$W_k$表示由$k$ -圈加上一个泛顶点而得到的图.作为我们的主要算法结果，我们证明了$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -free图中是多项式时间可解的。这一结果显示了一个有趣的非单调性$H$ -ColoringExt关于采取诱导子图的$H$。实际上，$W_5$包含三角形，并且$K_3$ -着色，即，经典的3-着色，是NP-难的，已经是无爪的了（即，$S_{1,1,1}$ -free）图形。我们的算法是基于两个主要的意见：1。$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -自由图可以在多项式时间减少到一个变种的问题，找到一个独立的集合…
2022-05-26 cs.DS math.CO
Parameterized Algorithms for Min-Max Multiway Cut and List Digraph Homomorphism
本文设计了求解两个参数化问题的{ \sf FPT}-算法。第一个是\textsc{List Digraph Homomorphism}：给定两个有向图$G$和$H$以及对于$G$的每个顶点的$H$的允许顶点列表，问题是是否存在关于列表约束的从$G$到$H$的同态。第二个问题是\textsc{Multiway Cut}的一个变体，即\textsc{Min-Max Multiway Cut}：给定一个图$G$，一个非负整数$\ell$，和一个$r$终端的集合$T$，问题是我们是否可以将$G$的顶点划分成$r$部分，使得（a）每个部分包含一个终端，并且（b）在该部分中最多有只有一个端点的$\ell$边。我们用$G$中映射到$H$的非循环边的边的个数$w$来表示\textsc{List Digraph Homomorphism}，并给出了一个时间$2^{O(\ell\cdot\log h+\ell^2\cdot \log \ell)}\cdot n^{4}\cdot \log n$算法，其中$h$是宿主图$H$的阶数.我们还证明了\textsc{Min-Max Multiway Cut}可以在时间$2^{O((\ell r)^2\log \ell r)}\cdot n^{4}\cdot \log n$中求解。我们的方法引入了一个一般问题，称为{ \sc列表分配}，其表达能力允许设计上述两个…
2015-09-24 cs.DS math.CO
Estimating and computing Kronecker Coefficients: a vector partition function approach
我们研究了克罗内克系数$g_{λ, μ, ν}$通过一个公式，这是由米什纳，罗萨斯，和Sundaram，其中的系数表示为一个有符号的矢量分拆函数的评估之和。特别地，我们使用该公式来确定根据分区$λ, μ$和$ν$的长度来评估、绑定和估计$g_{λ, μ, ν}$的公式。我们描述了一个计算工具来计算克罗内克系数$g_{λ, μ, ν}$与$\ell(μ) \leq 2,\ \ell(ν) \leq 4,\ \ell(λ) \leq 8$。我们提出了一组新的消失条件的Kronecker系数有关的原子Kronecker系数的消失，本身由一个单一的矢量分拆函数评估。对任意正整数$m,n$，给出了Kronecker多面体的一个稳定面.最后，我们给出了原子Kronecker系数和Kronecker系数的上界。
2022-10-21 math.CO math.RT
On the complexity of computing Kronecker coefficients
我们研究了计算克罗内克系数的复杂性$g(λ,μ,ν)$。我们给出明确的界限的部分$\ell$在分区的数量，其最大的部分大小$N$和最小的第二部分$M$的三个分区。当$M = O(1)$，即其中一个分区是钩状时，边界在$\log N$中是线性的，但指数地依赖于$\ell$。此外，即使当$M=e^{O(\ell)}$。通过一个单独的参数，我们表明，积极的克罗内克系数可以决定在$O(\log N)$时间有限的$\ell$的部分和没有限制的$M$。本文还讨论了当一个划分为钩子时计算Kronecker系数的相关问题，以及计算$S_n$的性质。
2015-02-24 cs.CC math.CO math.RT
The Gelfand map and symmetric products
若A是X上的函数代数，则在许多情况下，X可被视为包含在Hom（A，C）中作为环同态的集合.本文给出了X的对称积的相应结果。证明了对称积Sym^n（X）作为满足推广方程f（xy）=f（x）f（y）的那些函数的集合包含在Hom（A，C）中。这些方程与Frobenius引入的公式有关，对于相关的A，它们表示A上的线性映射是环同态的和。主要定理证明使用有限集的分区满足的身份。
2001-09-18 math.AG math.CO math.FA
Quantum isomorphism of graphs from association schemes
我们证明了任意两个顶点数相同的Hadamard图是量子同构的。这是从一个更一般的配方显示量子同构的图形所产生的某些协会计划。主要结果是由三个工具构建的。Mančinska和Roberson最近的一个显著结果表明，图$G$和$H$是量子同构的当且仅当对任何可平面图$F$，从$F$到$G$的图同态的个数等于从$F$到$H$的图同态的个数.一种被称为“支架”的分拆函数的推广提供了一些基本的归约规则，如串并行归约，并可应用于计算同态。最后的工具是经典的Epifanov定理，表明任何平面图可以减少到一个单一的顶点，没有边的扩展系列平行减少和Delta-Wye变换。最后一种变换在恰好三重正则结合概型的情况下是可用的。本文包括开放的问题和未来的研究方向。
2022-10-26 math.CO quant-ph
Almost all friendly matrices have many obstructions
从$\{0,1,\ast\}$中提取元素的对称$m\times m$矩阵$M$引起图划分问题，询问图是否可以被划分为与行匹配的$m$顶点集（和对应的列），使得如果$M$，则对应顶点集之间的任何两个顶点通过边连接，如果是$M_{ij}=0$，则对应顶点集之间的任何两个顶点都没有边连接。条目$\ast$对相应集合之间的边没有限制。这个问题推广了图的着色和图的同态问题。没有$M$ -划分但每个真子图都有$M$ -划分的图称为最小障碍图。Feder、Hell和Xie定义了友好矩阵，并证明了非友好矩阵有无穷多个极小障碍。他们通过例子证明了友好矩阵可以有无穷多个或无穷多个最小障碍，并给出了一个友好矩阵的NP-难划分问题的例子。在这里，我们表明，几乎所有的友好矩阵有无穷多个最小障碍和NP-难划分问题。
2014-12-15 math.CO
Equality on all #CSP Instances Yields Constraint Function Isomorphism via Interpolation and Intertwiners
图同态研究中的一个基本结果是Lovász定理，即两个图是同构的当且仅当它们从每个图中允许相同数量的同态。最近，蔡和戈沃罗夫（英语：Cai and Govorov）将洛瓦兹的结果扩展到更一般类型的图，他们证明了它适用于顶点和边权来自特征为0的任意域的图。在这项工作中，我们推广从图同态-一个特殊的情况下，#CSP与一个单一的二元函数-一般#CSP通过显示两个集合$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$是同构的当且仅当任何#CSP实例的分区函数是不变的，当我们取代$\mathcal{F}$中的功能与那些在$\mathcal{G}$。我们给出了这个结果的两个非常不同的证明。首先，我们通过将其扩展到一般的CSP来展示Cai和Govorov的简单Vandermonde插值技术的强大功能。其次，我们给出了一个证明使用的自同构群的约束函数集，一个概念，从紧群的表示理论的交织。这个证明是最近Mančinska和Roberson关于平面图的量子同构和同态的Lovász型结果的经典证明的推广。
2022-11-24 cs.DM math.CO
A combinatorial algorithm for computing the entire sequence of the maximum degree of minors of a generic partitioned polynomial matrix with $2 \times 2$ submatrices
本文考虑块结构符号矩阵（一般分块多项式矩阵）$A = (A_{αβ} x_{αβ} t^{d_{αβ}})$的最大次子式的整列计算问题，其中$A_{αβ}$是域$\mathbf{F}$上的$2 \times 2$矩阵，$x_{αβ}$是不定式，$d_{αβ}$是$α= 1,2,\dots, μ$和$β= 1,2,\dots,ν$的整数，$t$是附加不定式.这个问题可以看作是最大权二部匹配问题的代数推广。本文的主要结果是一个组合的$O(μν\min\{μ, ν\}^2)$时间算法计算整个序列的最大程度的未成年人的$(2 \times 2)$型一般分块多项式矩阵的大小$2μ\times 2ν$。我们还提出了一个极大极小定理，它可以被用来作为一个很好的表征（NP $\cap$ co-NP表征）的顺序$k$的未成年人的最大程度的计算。我们的结果推广了经典的原始-对偶算法（匈牙利方法）和极大极小公式（Egerváry定理）的最大重量二部匹配问题。
2021-11-03 cs.DM math.CO
Computing the partition function of a polynomial on the Boolean cube
对于多项式f：{-1，1}^n --> C，我们将配分函数定义为e^{lambda f（x）}在{-1，1}^n中所有点x上的平均值，其中C中的lambda是一个参数。我们提出了一个拟多项式算法，在给定f，lambda和λ>0的情况下，只要|lambda| < 1/（2 L sqrt{deg f}），该算法在N^{O（ln n -ln n）}时间内以相对误差λ逼近配分函数，其中L=L（f）是从上面限定f的Lipschitz常数的参数，N是f中单项式的个数.作为推论，我们获得了一个准多项式算法，给定系数为+1和-1的f，并且每个变量输入不超过4个单式，该算法在O（sqrt{deg f}/delta）的因子内逼近{-1，1}^n上f的最大值，如果对于某些0< delta 4，最大值为N delta<1. If every variable enters not more than k monomials for some fixed k >，则当delta >（k-1）/k时，我们能够建立类似的结果。
2016-11-29 cs.DS math.CO math.OC
Generalized Foulkes modules and maximal and minimal constituents of plethysms of Schur functions
本文证明了一个组合规则，它给出了所有的最大和最小剖分$λ$，使得Schur函数$s_λ$出现在任意两个Schur函数的体积中.确定这些体积的分解已经确定了斯坦利作为一个关键的开放问题，在代数组合。作为推论，我们证明了Agaoka的三个代数的分区标签字典最大和最小的舒尔函数出现在任意的体积。我们还表明，由字典序最小成分标记的舒尔函数的多重性可以是任意大的。证明是在对称群中进行的，并给出了对应于每个极大或极小划分的显式非零同态。
2018-10-06 math.CO math.RT
On the exact learnability of graph parameters: The case of partition functions
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）；Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
我们研究了实值图参数$f$的精确可学习性，这些参数可以表示为划分函数，该划分函数计算图$H$中具有顶点权重$α$和边权重$β$的加权同态的数量。M.弗里德曼湖Lovász和A. Schrijver用$f$的$k$ -连接矩阵$C(f,k)$给出了这些图参数的一个特征.我们的可学习性模型是基于D. Angluin使用成员和等价查询的精确学习模型。给定这样的图参数$f$，学习者可以针对他们选择的图询问$f$的值，并且他们可以根据$f$的连接矩阵$C(f,k)$来制定假设。教师可以接受这个假设是正确的，或者提供一个由图表组成的反例。我们的主要结果表明，在这种情况下，一个非常大的类的配分函数，刚性配分函数，可以学习的时间多项式的大小为$H$和最大的反例的大小在Blum-Shub-Smale模型的计算在实数与单位成本。
2016-06-13 cs.LG math.CO
A combinatorial algorithm for computing the rank of a generic partitioned matrix with $2 \times 2$ submatrices
本文研究了块结构符号矩阵（一般分块矩阵）$A = (A_{αβ} x_{αβ})$的秩的计算问题，其中$A_{αβ}$是域$\mathbf{F}$上的$2 \times 2$矩阵，$x_{αβ}$是$α= 1,2,\dots, μ$和$β= 1,2, \dots, ν$的不定式.这个问题可以被看作是二分匹配问题的代数推广，并由岩田和Murota（1995）考虑。最近对这个问题的兴趣在于Ivanyos，Qiao和Subrahamanyam（2018）以及Garg，Gurvits，Oliveiva和Wigderson（2019）的非交换Edmonds问题，其中Iwata和Murota的结果隐含地指出，对于这类符号矩阵，秩和非交换秩（nc-秩）是相同的。本文的主要结果是一个简单的和组合的$O((μν)^2 \min \{ μ, ν\})$时间算法计算符号秩的$(2 \times 2)$型一般分块矩阵的大小$2μ\times 2ν$。我们的算法的灵感来自于Ivanyos，Qiao和Subrahamanyam的Wong序列算法，用于一般符号矩阵的nc-秩，并且不需要爆破操作，不需要字段扩展，也不需要额外的关注位大小的边界。此外，它自然地为任意字段$\mathbf{F}$提供了$A$的最大秩完成。
2021-06-22 cs.DM math.CO
On the Parameterized Complexity of Computing Balanced Partitions in Graphs
平衡划分是将图聚类为给定数量的相等大小的部分。例如，二分问题要求删除最多k条边，以便将顶点划分为两个相等大小的部分。证明了在给定删除集的条件下，对分对于到常数宽度的距离是FPT的。这意味着FPT算法的一些充分研究的参数，如簇顶点删除数和反馈顶点集。然而，我们表明，二分法不承认这些参数的多项式大小的内核。对于顶点二分问题，需要移除顶点以获得两个大小相等的部分。我们表明，这个问题是FPT的删除顶点数k，如果解决方案将图切割成一个常数c的连通组件。后一个条件是不可避免的，因为我们还证明了顶点二分是W[1]-hard w.r.t.（k，c）。我们的算法寻找平分可以很容易地适应于寻找划分成d个相等大小的部分，这需要额外的运行时间因子n^{O（d）}。我们表明，大幅加速是不可能的，因为相应的任务是W[1]-硬w.r.t. d，即使在最大程度的森林2。然而，我们可以证明它是顶点覆盖数的FPT。
2014-05-16 cs.DM cs.DS math.CO
