Doubling measures on uniform Cantor sets
Chun Wei, Shengyou Wen, Zhixiong Wen
本文给出了在任意给定的一致康托尔集上加倍的概率测度的一个完整刻画。还讨论了在这样的康托尔集上的哪些加倍测度可以推广到[0; 1]上的加倍测度的问题。
We obtain a complete description for a probability measure to be doubling on an arbitrarily given uniform Cantor set. The question of which doubling measures on such a Cantor set can be extended to a doubling measure on [0; 1] is also considered.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Deformations on symbolic Cantor sets and ultrametric spaces
通过在符号Cantor集和超度量空间上引入新的变形，证明了二重超度量空间允许bilipschitz嵌入Cantor集.如果另外的空间是一致完美的，我们证明了它们是拟对称的康托集等价。作为一个应用，我们提供了一个新的证明，最近的工作Heer（Anal.地质测量Spaces，2017）关于康托尔集的拟莫比乌斯均匀化。
Uniformization of Cantor sets with bounded geometry
本文给出了一致完美集和一致不连通集的拟对称驯服，推广了MacManus的一个结果。特别地，我们证明了$\mathbb{R}^n$的紧致子集是一致完美的和一致不连通的当且仅当它与$\mathbb{R}^{n+1}$中的标准Cantor集$\mathcal{C}$是环境拟共形的.
Approximation by uniform domains in doubling quasiconvex metric spaces
证明了在双重拟凸度量空间中的任何有界域都可以由一致域从内到外逼近。
Quasi-symmetric invariant properties of Cantor metric spaces
对于度量空间，加倍性、一致不连通性和一致完备性被称为拟对称不变性质。大卫-塞姆斯一致化定理指出，如果一个紧度量空间满足所有这三个性质，那么它是拟对称等价于中间三分之一的康托尔集。我们说康托度量空间是标准的，如果它满足所有三个性质;否则，它是奇异的。本文证明了对于每一种奇异型，Cantor度量空间的共形规范类都具有连续势。作为我们研究的一个副产品，我们声明存在一个Cantor度量空间，它具有指定的豪斯多夫维数和Assouad维数。
Doubling and Poincaré inequalities for uniformized measures on Gromov hyperbolic spaces
本文推广了Björn-Björn-Shanmugalingam \cite{BBS20}关于Gromov双曲空间在Bonk-Heinonen-Koka一致化过程下测度如何变换的最新结果，证明了这些结果在我们在\cite{Bu20}中引入的Busemann函数一致化Gromov双曲空间的情形下也成立.特别地，起始测度的一致局部加倍不等式和一致局部Poincaré不等式转化为一致化测度的整体加倍不等式和整体Poincaré不等式。然后，我们证明了在具有黎曼测度的闭负曲黎曼流形的万有覆盖的一致化的情形下，可以得到一致化测度加倍的指数的尖锐范围，并满足$1$ -Poincaré不等式.最后，我们介绍了一致度量空间的一致反演过程，并证明了对于任何$p \geq 1$，通过一致反演，双重性质和$p$-Poincaré不等式都是保持的.
The Entropy of Cantor--like measures
通过类康托测度，我们表示满足$μ=\sum_{i=0}^{m-1}p_{i}μ\circ S_{i}^{-1}$的唯一自相似概率测度$μ$，其中$% S_{i}(x)=\frac{x}{d}+\frac{i}{d}\cdot \frac{d-1}{m-1}$对于整数$2\leq d<m\le 2d-1$和概率$p_{i}>0$，$\sum p_{i}=1$。在统一的情况下（$p_{i}=1/m$的所有$i$），我们展示了如何可以计算的熵和豪斯多夫维数任意精度。在非均匀的情况下，我们发现熵的界限。
Sharp conditions for preserving uniformity, doubling measure and Poincaré inequality under sphericalization
本文研究球面化变换，给出变形密度函数保持空间均匀性、测度倍增性质和庞加莱不等式支撑的锐利条件，并用例子证明条件的不可改进性。
Systems of Dyadic Cubes of Complete, Doubling, Uniformly Perfect Metric Spaces without Detours
本文研究完全、倍增、均匀完美度量空间中的二元立方体系统，构造了满足两点间存在直径可比的立方体链的系统，并应用于势分析和度量空间几何。
Multiplication on uniform $λ$-Cantor sets
设$C$为中间三分之一康托集。定义$C*C=\{x*y:x,y\in C\}$，其中$*=+,-,\cdot,÷$（当$*=÷$时，我们假定为$y\neq0$）。Steinhaus \cite{HS}在1917年证明了\[ C-C=[-1,1], C+C=[0,2]. \]在2019年，Athreya，Reznick和Tyson \cite{Tyson}证明了\[ C÷C=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}\left[ 3^{-n}\dfrac{2}{3},3^{-n}\dfrac {3}{2}\right] . \]在本文中，我们给出了$C\cdot C$的拓扑结构和Lebesgue测度。在一致$λ$-Cantor集上，我们确实得到了相应的结果.
Equivalent characterizations of John and uniform domains in doubling metric spaces
研究加倍度量空间中约翰域和一致域的等价刻画，证明局部拟凸域是长度约翰域等价于直径约翰域，一致域是长度一致域等价于直径一致域且局部拟凸，在加倍长度度量空间中有更精细结论。
Singular Sets of Uniformly Asymptotically Doubling Measures
在本文中，我们证明了一个Radon测度的奇异集上的维数界，假设它的倍比在紧集上一致收敛。更精确地说，我们证明了如果Radon测度是$n$ -一致渐近加倍的，则有$\dim(\mathcal{S}_μ) \leq n-3$，其中$\mathcal{S}_μ$是测度的奇异集.
Regularity dimensions: quantifying doubling and uniform perfectness
我们研究的上，下规则性尺寸的概念，加倍和一致完美。这两个规律性属性密切相关，这是量化的规律性维度。计算了布朗运动图的前推测度的正则维数，类似于关于拟对称同胚的前推测度的正则维数。最后，我们介绍了一个应用程序的丢番图逼近的设置Kleinian群。
On dense subsets in spaces of metrics
在度量空间中，我们研究了David-Semmes定理中出现的拟对称不变性质--加倍性、一致不连通性和一致完备性的拓扑分布.我们证明了在有限维和零维紧致可度量化空间上的度量空间中，所有加倍度量的集合和所有一致不连通度量的集合是稠密的.相反，集合的这种稠密性意味着有限维、零维和可度量空间的紧致性。我们还确定了康托尔集上度量空间中所有一致完美度量的集合的拓扑分布。
Quasi-doubling of self-similar measures with overlaps
度量空间的Assouad维数和拟Assouad维数提供了关于集合的极端局部几何性质的信息。一个集合的Assouad维数有一个测度论的类似物，它也被称为上正则维数。对这个概念感兴趣的一个原因是，一个测度具有有限的Assouad维数当且仅当它是加倍的。基于最近在满足强分离条件的测度的Assouad维数和度量空间的拟Assouad维数方面的研究进展，我们引入了测度的拟Assouad维数的概念.与集合一样，测度的拟Assouad维数由它的Assouad维数支配。它支配其支持的准Assouad维数和测度的上确界局部维数，在所有情况下都可能有严格的不等式。我们的主要重点是自相似措施，在$\mathbb{R}$的支持是一个区间，可能有“的”。对于满足比弱分离条件更弱的条件的措施，我们证明了有限的准Assouad维数相当于准加倍的措施，严格的限制性比加倍。此外，我们展示了一大类这样的措施，准Assouad尺寸与最大的本地尺寸在端点的支持相一致。这类测度包括所有满足弱分离条件的正则、等压缩自相似测度，例如具有整数分割比的一致康托测度的卷积。这方面的其他性质也建立了许多例子。
Sharp Besov capacity estimates for annuli in metric spaces with doubling measures
该研究在配备加倍测度、关于环中心一致完美的完备度量空间中，借助球的测度给出了环形区域与单点集Besov容量的精确估计，拓展了相关容量估计的适用条件。
Extension and trace results for doubling metric measure spaces and their hyperbolic fillings
本文研究了紧致度量空间$Z$上的Besov函数空间与一致整环$X_\varepsilon$上的Newton-Sobolev函数空间之间的联系.这个统一的域是作为一个（Gromov）双曲填充$Z$的均匀化。要做到这一点，我们构建了一个家庭的双曲填充的风格的工作邦克和克莱纳和工作的波登和Pajot。然后对每个参数$β>0$，构造了$Z$上的加倍测度$ν$到$X_\varepsilon$的提升$μ_β$，证明了$μ_β$是加倍的，并且支持$1$-Poincaré不等式.然后，我们表明，对于每个$θ$与$0<θ<1$和$p\ge 1$有一个选择的$β=p(1-θ)\logα$，使Besov空间$B^θ_{p,p}(Z)$是牛顿- Sobolev空间$N^{1,p}(X_\varepsilon,μ_β)$的迹空间时，$\varepsilon=\logα$。最后，我们利用$X_\varepsilon$上的势理论工具得到了$B^θ_{p,p}(Z)$中函数的精细性质，如它们的拟连续性和具有$q=s_νp/(s_ν-pθ)$的$L^q$-Lebesgue点的拟处处存在性，其中$s_ν$是$Z$上与测度$ν$相关联的一个加倍维数.应用这一点的紧致子集的欧几里德空间改进后的结果Netrusov在$\mathbb{R}^n$。
Traces of Newton-Sobolev functions on the visible boundary of domains in doubling metric measure spaces supporting a $p$-Poincaré inequality
本文研究了在满足 p-Poincaré 不等式的双重度量空间中，域的可见边界痕迹性质，证明了边界厚度与可见边界的厚度关系，并展示了 Sobolev 函数的痕迹属于 Besov 类。
Bounded geometry and $p$-harmonic functions under uniformization and hyperbolization
Bonk，Heinonen和Kopia在\emph{"Uniformizing Gromov Hyperbolic Spaces"}，Astérisque {\bf 270}（2001）中阐述的一致化和双曲化变换处理了度量空间的几何性质。本文考虑度量测度空间，在一致化和双曲化过程下构造了测度的一个平行变换。我们证明了如果局部紧的粗星形Gromov双曲空间具有一致局部加倍的测度并支持一致局部$p$-Poincaré不等式，则变换后的测度是全局加倍的并在相应的一致化空间上支持全局$p$-Poincaré不等式.在相反的方向上，我们证明了有界局部紧一致空间上的这种全局性质对于相应的双曲化空间上的变换测度产生类似的一致局部性质。利用上述关于测度一致化的结果，刻画了当Gromov双曲空间具有支持一致局部$p$-Poincaré不等式的一致局部加倍测度时，该空间携带具有有限$p$-能量的非常数全局定义的$p$-调和函数.我们还研究了Gromov双曲空间和一致空间的一些几何性质。虽然两个Gromov双曲空间的笛卡儿积不一定是Gromov双曲的，但我们构造了这样的空间的一个间接积，它确实导致一个Gromov双曲空间。首先证明两个有界一致域的笛卡儿积是一致域。
Trace and Extension Theorems for Besov Functions in Doubling Metric Measure Spaces
该研究在非完备加倍度量测度空间中构建Besov空间的有界线性迹与延拓算子，结合双曲填充技术去除有界域情形下的一致域假设，推广了此前Ahlfors正则测度条件下的相关结果。
On the Separation Structure of Lalley-Gatzouras Fractals
得到了Lalley-Gatzouras集一致不连通的一个充要条件.这使我们能够找到所有的Lalley-Gatzouras集是准对称等价的康托三元集。作为另一个应用，我们还研究了Lalley-Gatzouras集的间隙序列的极限行为。
Asymptotic behavior of BV functions and sets of finite perimeter in metric measure spaces
本文研究了完备度量测度空间中BV函数的渐近性态，该度量空间具有支持$1$ -Poincaré不等式的加倍测度.证明了在BV函数的Cantor部分和跳跃部分之外的几乎每一点$x$处，BV函数的渐近极限都是以$x$为基础的度量空间的切空间上的具有最小梯度的Lipschitz连续函数.我们还证明了，在余维$1$ Hausdorff测度下，有限周长的集合$E$的几乎每一个测度论边界点，都存在一个与$E$的渐近展开式相对应的渐近极限集$(E)_\infty$，并且每一个这样的渐近极限$(E)_\infty$都是有限周长的拟极小集.证明了$(E)_\infty$的周长测度是Ahlfors余维$1$正则的.
On the Complexity of some Geometrical Objects
我们回顾定义的$ε$ -失真复杂性的一组定义在\cite{bcc}和本文所得到的结果为Cantor集的区间定义的迭代函数系统。我们陈述了一个类似的定义措施，这可能是更有用的处理时，与动力系统。在区间Cantor集由解析迭代函数系定义的情况下，证明了一个新的下界。我们还给出了一致双曲动力系统不变集的$ε$ -畸变复杂度的一个上界.
Semi-uniform domains and the $A_{\infty}$ property for harmonic measure
研究了半一致区域上的调和测度的性质。Aikawa和Hirata在\cite{AH08}中证明了，对于满足容量密度条件（CDC）的John域，调和测度的加倍性等价于该域是半一致的.我们的第一个结果表明，任何满足CDC的调和测度是加倍的域是半一致的，从而消除了约翰条件。其次，我们提出了一个非切可达域上的调和测度的经典估计的替代估计，它适用于半一致域。我们还证明了具有一致可求长边界的半一致区域具有大片的弦弧子域。由于我们在附录中回顾的一个Hrycak的例子，我们不能指望出现大片的Lipschitz子域（如David和Jerison \cite{DJ90}对弦弧域所示）。最后，我们结合这些工具研究了调和测度的$A_{\infty}$性质。对于具有Ahlfors-David正则边界的域，Hofmann和Martell证明了调和测度的$A_{\infty}$性质意味着边界\cite{HM15,HLMN17}的一致可求直性。由于$A_{\infty}$ -权重加倍，这也意味着域是半均匀的。我们的最终结果表明，这两个属性，半均匀性和一致可求长边界，也意味着$A_{\infty}$性质的调和测度，从而几何分类所有域，这一点成立。
Doubling, Poincaré and Gromov-Hausdorff precompactness for tamed spaces
该研究针对满足特定条件的驯服度量测度空间，通过双李普希茨时间变换建立局部体积加倍与L²-庞加莱不等式，进而得到其有向度量测格罗莫夫-豪斯多夫预紧性。
Characterization of quasispheres via smooth approximation
本文证明二维拟球面可由光滑的一致拟球面逼近，并针对有限面积度量球面给出含加倍、LLC、Loewner、共形容量模与互反性的几何刻画。
Regularity of sets of finite fractional perimeter and nonlocal minimal surfaces in metric measure spaces
本文在倍增度量测度空间中研究有限s-周长集合的正则性，给出周长有限性的充分条件并证明测度论边界的Hausdorff测度为零，同时推广非局部周长泛函并证明极小化子的存在性、一致密度性与多孔性。
Liouville type theorems for minimal graphs over manifolds
设$Σ$是一个具有体积加倍性质和一致Neumann-Poincar $\mathrm{\acute{e}}$不等式的完备黎曼流形.证明了$Σ$上的任意正极小图函数都是常数.
Almost uniform domains and Poincaré inequalities
在这里，我们表明存在的许多子集的欧几里得和度量空间，尽管有空的内部，仍然支持庞加莱不等式。最重要的是，我们的方法不依赖于底层空间的任何直线或自相似结构。我们采用Martio和Sarvas的统一域的概念。我们的条件依赖于这些子集的测量密度，以及它们的边界分量的规则性和相对分离。这样做，我们的结果适用于度量空间配备加倍措施和庞加莱不等式一般，特别是海森堡群。据我们所知，这些是第一个例子，这样的子集上的任何步骤-2卡诺集团。这样的子集也给，在一般情况下，新的例子Sobolev扩张域加倍度量测度空间。当特殊化到平面上时，我们给出了可能具有空内部的平面子集是Ahlfors 2-正则的且满足（1，2）-Poincaré不等式的一般充分条件.在欧几里德的情况下，我们的建设也涵盖了非自相似的Sierpienski地毯的麦凯，泰森，和Wildrick，以及更高的维类似物中没有处理的文献。对指数p=1的Poincaré不等式的分析，对于这些地毯和它们的高维类似物，包括一种新的证明空间上的等周不等式的方法，而不需要构造Semmes曲线族.
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