On transversal and $2$-packing numbers in straight line systems on $\mathbb{R}^{2}$
线性系统是一对$(X,\mathcal{F})$，其中$\mathcal{F}$是基集$X$上的子集的有限族，并且对于每对不同的子集$A,B \in \mathcal{F}$，它满足$|A\cap B|\leq 1$。线性系统的一个例子是直线系统，其子集族是$\mathbb{R}^{2}$上的直线段。用$τ$和$ν_2$分别表示线性系统的最小断面的大小和2-堆积数。一个自然的问题是询问这两个参数的关系;不难证明存在一个二次函数$f$保持$τ\leq f(ν_2)$。然而，对于直线系统，我们认为$τ\leqν_2-1$。本文证明了对于任何具有$2$ -堆积数$ν_2$等于$2, 3$和$4$的线性系统，我们有$τ\leqν_2$ .进一步证明了满足等式的线性系统的横截数和$2$ -堆积数都等于$4$，并且它们是一类特殊的$3$阶射影平面上的线性子系统.利用这个结果，我们确认所有具有$ν_2\in\{2,3,4\}$的直线系统满足$τ\leqν_2-1$。
2015-09-12 math.CO
On Packing Colorings of Distance Graphs
图$G$的{ \em填充色数} $χ_ρ(G)$是存在从$V(G)$到$\{1,2,\ldots ,k\}$的映射$f$使得颜色$i$的任意两个顶点的距离至少为$i+1$的最小整数$k$。研究了无限距离图$G(\mathbb{Z},D)$的填充色数，即以整数集合$\mathbb{Z}$为顶点集的图，两个不同顶点$i,j\in \mathbb{Z}$相邻当且仅当$|i-j|\in D$ .我们目前的上下界$χ_ρ(G(\mathbb{Z},D))$，显示有限的$D$，包装色数是有限的。我们的主要结果涉及距离图与$D=\{1,t\}$，我们证明了一些上界的包装色数，较小的是$t\geq 447$：$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 40$，如果$t$是奇数和$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 81$，如果$t$是偶数。
2014-02-20 cs.DM math.CO
Equality in the linear algebra bound
本文研究了线性代数界中等式成立的条件，指出当向量张成全空间时，可为极值配置提供额外信息，并将其应用于成对相交或 Hamming 距离的集合族及欧氏空间 2-距离集。
2025-08-13 math.CO
Packing Chromatic Number of Distance Graphs
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得$G$的顶点可以被划分为不相交的类$X_1, ..., X_k$，其中$X_i$中的顶点的两两距离大于$i$。本文研究了无限距离图$G(Z, D)$的填充色数，即以整数集合$Z$为顶点集，且两个不同顶点$i, j \in Z$相邻的图当且仅当$|i - j| \in D$ .本文主要研究具有$D = \{1, t\}$的距离图。我们改进了Togni等人的一些结果。证明了对于足够大的奇数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 35$;对于足够大的偶数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 56$.我们还给出了$t \geq 9$的一个下界12，并用小$t$收紧了$χ_ρ(G(Z, D))$的几个间隙。
2011-05-27 cs.DM math.CO
An efficient algorithm for packing cuts and (2,3)-metrics in a planar graph with three holes
考虑一个可平面图$G$，其中边的长度为非负整数，使得$G$的每个圈的长度为偶数，并且有三个面，称为$G$中的洞.已知在$G$中存在具有非负整数权重的切割和（2，3）-度量的包装，其实现了每个孔内的距离。我们开发了一个强多项式纯组合算法来找到这样的包装。
2018-03-19 math.CO
On the Packing Coloring Gap of Graphs
Gebze Technical University（盖布泽理工大学）
本文研究了图的打包着色间隙，定义为删除单个顶点导致打包着色数最大减少的值，重点分析了树结构，特别是毛毛虫图，并扩展到毛毛虫图与K1的冠操作，同时给出了具有不同间隙值的图示例。
2026-05-19 math.CO
The Laplacian lattice of a graph under a simplicial distance function
给出了正则单形诱导的距离函数下多重图的Laplacian格的重要几何不变量的完整描述，即Voronoi图、Delaunay三角剖分、Delaunay多面体及其组合结构、最短向量、覆盖和填充半径.我们使用此信息获得以下结果：i.每个重图都定义了它的Laplacian格的Delaunay三角剖分，这个Delaunay三角剖分包含了重图直到同构的全部信息。二.具有给定拉普拉斯格的多重图的数量由不同Delaunay三角剖分的数量控制，特别是上界。三.得到了Laplacian格的覆盖密度和填充密度的计算公式，并证明了在无向连通重图的Laplacian格空间中，高连通重图如Ramanujan重图的Laplacian格具有良好的覆盖和填充性质.
2011-11-30 math.CO
Multipackings in Graphs
一个图G的顶点子集M是多重包装的，如果对每个顶点v，且每个小于或等于G的直径的正整数s，v至多在M的s个顶点的距离s之内.图的多重包装数是图G的多重包装的最大基数。作为2-填充的推广，多重填充为最小成本广播支配问题提供了有趣的见解。本文综述了近年来关于多重包装的研究结果，包括树的多重包装数与广播数相等，Farber算法在强弦图的控制集和2-包装问题上的推广，以及分数多重包装的一些早期结果。本文最后提出了一系列深入的各种算法的例子。
2014-09-29 math.CO
On packing total coloring
Faculty of Education, University of Maribor（马里博尔大学教育学院）；Faculty of Computer and Information Science, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学计算机与信息科学学院）
本文引入了图着色的新概念——总打包着色，扩展了打包着色到图的顶点和边。研究了总打包着色数及其上下界，并从最大度数角度分析了不同图的总打包着色数。
2026-05-07 math.CO
Density regions, integer certificates and packing colorings of distance graphs
University of Toronto Scarborough（多伦多大学士嘉堡校区）
本文研究整数距离图的堆积着色密度区域，确定D(1,6)的最大组合密度，给出稳定索引和色数界，结合整数证书与构造证明。
2026-09-09 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
Equality Cases in the Tu-Deng Conjecture Bound
University at Buffalo（布法罗大学）
该研究针对Tu-Deng猜想的等号情形，证明了等号成立的充要条件，还给出了其他等价条件并计数了指定0个数的等号字，完善了该猜想的相关理论。
2026-10-12 math.CO
A note on the packing chromatic number of lexicographic products
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的填充色数的上、下界.这两个界限在许多情况下是一致的。特别地，如果$|V(H)|-α(H)\geq {\rm diam}(G)-1$，则会发生这种情况，其中$α(G)$表示$G$的独立数。
2019-09-25 math.CO
On the packing coloring of base-3 Sierpiński and $H$ graphs
对于非减整数序列$S=(s_1, s_2, \ldots)$，图$G$的$S$ -填充$k$ -染色是从$V(G)$到$\{1, 2,\ldots,k\}$的映射，使得具有颜色$i$的顶点的成对距离大于$s_i$ .通过设置$s_i = d + \lfloor \frac{i-1}{n} \rfloor$，我们得到了图$G$的一个$(d,n)$ -填充染色. $G$的$(d,n)$ -填充染色存在的最小整数$k$称为$G$的$(d,n)$ -填充色数。在$d$和$n$都等于1的特殊情况下，我们称之为$G$的填充色数。给出了基3 Sierpienski图$S_k$的填充色数，并给出了这类图的$(d,n)$ -填充色数$d \le 2$的新结果.利用一个动态算法，我们建立了$H$ -图$H(r)$的填充色数.
2019-09-18 math.CO
A linear upper bound on the $\mathbb{Z}_p$-Ramsey number of graphs with sufficiently large $2$-packing
California State Polytechnic University Pomona（加州州立理工大学波莫纳分校）
本文研究了具有足够大2-打包的图的Z_p-拉姆齐数，证明了对于具有特定条件的图G，其Z_p-拉姆齐数R(G,Z_p)不超过n+6p-9，并进一步得出对于最大度有界的图，R(G,Z_p)的上界形式为R(G,Z_p)≤n+C。
2026-05-20 math.CO
Packing chromatic number under local changes in a graph
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .证明了在次立方图类中，填充色数大于$13$，从而回答了[Gastineau，Togni，$S$ -packing colorings of cubic graphs，Discrete Math.]中的一个公开问题339（2016）2461- 2470]。此外，还研究了几种局部操作的填充色数。具体地，如果$S_e(G)$是通过细分图$G$的边$e$而从图$G$获得的图，则$\left\lfloor χ_ρ(G)/2 \right\rfloor +1 \le χ_ρ(S_e(G)) \le χ_ρ(G)+1$。
2016-08-19 math.CO
Every subcubic multigraph is $(1,2^7)$-packing edge-colorable
对于正整数的非减序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，图$G$的$S$ -填充边染色是将$G$的边分解成不相交的集合$E_1, \ldots, E_k$，使得对于每个$1 \le i \le k$，任何两个不同边之间的距离$e_1, e_2 \in E_i$至少为$s_i+1$。$S$ -填充边染色的概念首先由Gastineau和Togni从它的顶点对应物推广而来。他们证明了存在非$(1,2,2,2,2,2,2)$ -packing（缩写为$(1,2^6)$ -packing）边可着色的次立方图，并提出了是否每个次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的问题。最近，Hocquard，Lajou和Lužar证明了每个次立方图都是$(1,2^8)$ -packing边可着色的，并且每个$3$ -edge可着色的次立方图都是$(1,2^7)$ -packing边可着色的.此外，他们还证明了每个次立方图都是$(1,2^7)$ -填充边可着色的。本文证实了Hocquard，Lajou和Lužar的猜想，并将其推广到多重图.
2022-06-30 math.CO
The $d$-distance $p$-packing domination number: complexity, cycles, and trees
本文研究图的$d$-距离$p$-填充控制数，证明二部平面图上相关决策问题NP完全，确定环中该数的存在条件与值，给出树上的新界并改进/扩展早期结果，还证明连通图存在生成树使该数不增。
2025-08-20 math.CO
The completion of optimal $(3,4)$-packings
一个3- $(n,4,1)$包装设计由一个$n$ -元素集$X$和一个$X$的$4$ -元素子集的集合组成，称为{ \it块}，使得$X$的每个$3$ -元素子集最多包含在一个块中.四元组的包装数$d(3,4,n)$表示最大$(n,4,1)$包装设计中的块的数目，其也是长度为$n$、恒定权重$4$和最小汉明距离为4的码中码字的最大数目$A(n,4,4)$。本文证明了待定21包装数$A(n,4,4)$等于Johnson界$J(n,4,4)$ $( =\lfloor\frac{n}{4}\lfloor\frac{n-1}{3}\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\rfloor\rfloor)$，其中$n=6k+5$，$k\in \{m:\ m$是奇数，$3\leq m\leq 35,\ m\neq 17,21\}\cup \{45,47,75,77,79,159\}$ .
2014-01-09 math.CO
Packing chromatic number of unitary Cayley graphs of $\Bbb Z_n$ and algorithmic approaches to it
本文研究 $\mathbb{Z}_n$ 酉 Cayley 图的填充色数，给出其计算结果，并提出两种元启发式算法用于求解该色数。
2025-05-09 math.CO
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
2011-04-20 math.CO
Packing $(1,1,2,4)$-coloring of subcubic outerplanar graphs
对于$1\leq s_1 \le s_2 \le \ldots \le s_k$和图$G$，$G$的包装$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, V_2, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i + 1$。图$G$的填充色数$χ_p(G)$是最小的$k$，使得$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -染色。已知存在最大度为4的树和具有任意大$χ_p(G)$的次三次图$G$。近年来，有一系列关于次三次图的填充$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -染色的论文.证明了每个$2$ -连通的次三次外平面图都有一个packing $(1,1,2)$ -染色，并且每个次三次外平面图都是packing $(1,1,2,4)$ -可染色的.我们的结果是尖锐的意义上说，有$2$ -连通的次三次外平面图是不包装$(1,1,3)$ -可着色，有次三次外平面图是不包装$(1,1,2,5)$ -可着色。我们还表明，次三次外平面图，不包装$(1,2,2,4)$ -可着色和不包装$(1,1,3,4)$ -可着色。
2021-05-25 math.CO
On $d$-distance $p$-packing domination number in strong products
本文研究强乘积图的$d$-距离$p$-填充控制数，证明了其上界公式，通过路径、环的强乘积实例验证上界紧性，构造出严格小于上界的无穷族强环面图，并提出相关猜想且给出部分证明结果。
2025-10-03 math.CO
Packing coloring of graphs with long paths
本文研究含长路径的图的填充着色问题，引入路径对齐图积证明其多类子族填充色数有常数上界，刻画了填充色数不超过3的毛虫图结构并提出公开问题。
2025-11-16 math.CO
A characterization of $4$-$χ_ρ$-(vertex-)critical graphs
给定一个图$G$，一个函数$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$具有性质：$c(u)=c(v)=i$蕴涵$u$和$v$之间的距离大于$i$，称为$G$的$k$ -填充染色.存在$G$的$k$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ$ .填充色顶点-临界图是指$G$的每个顶点$x$都有$χ_ρ(G-x) < χ_ρ(G)$成立的图.一个图$G$称为填充色临界图，如果对$G$的每个真子图$H$，都有$χ_ρ(H) < χ_ρ(G)$ .这两个关于填充色数的临界图的变化已经被研究过了。所有的填充色（顶点）临界图$G$与$χ_ρ(G)=3$的特征，而只有部分结果已知的图$G$与$χ_ρ(G)=4$。本文给出了所有填充色顶点-临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$以及所有填充色临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$的刻画.
2021-03-19 math.CO
Packing coloring of generalized Sierpinski graphs
本文研究广义Sierpiński图的堆积色数，确定了当基图为路径、圈或四阶连通图时的精确值，并证明Sierpiński三角图族$ST_4^n$的堆积色数不超过20。
2019-02-07 math.CO
Subdivision into i-packings and S-packing chromatic number of some lattices
图$G$中的一个$i$ -填充是一组成对距离大于$i$的顶点。对于非减整数序列$S=(s\_{1},s\_{2},\ldots)$，图$G$的$S$ -填充色数是最小整数$k$，使得存在$G$到$k$颜色的着色，其中每个着色$i$的顶点集，$i=1,\ldots, k$，是一个$s\_i$ -填充.本文描述了六角格、正方格和三角格的$i$ -填充到$j$ -填充（$j\textgreater{}i$）的各种细分.这些结果使我们能够对这些图的$S$ -填充色数进行限定，对序列$S=(s\_{i}, i\in\mathbb{N}^{*})$，$s\_{i}=d+ \lfloor (i-1)/n \rfloor$具有更精确的限定和精确值.
2015-05-28 cs.DM math.CO
On the packing chromatic number of Moore graphs
图$G$的\emph{packing chromatic number $χ_ρ(G)$}是最小整数$k$，对于该最小整数，存在顶点着色$Γ: V(G)\rightarrow \{1,2,\dots , k\}$，使得颜色$i$的任何两个顶点的距离至少为$i + 1$。对于$g\in \{6,8,12\}$，$(q+1,g)$ -Moore图是围长为$g$的$(q+1)$ -正则图，它是阶为$q$的对称广义$g/2$ -图的关联图.本文研究了$(q+1,g)$ -Moore图$G$的填充色数.对于$g=6$，我们给出了$χ_ρ(G)$的精确值。对于$g=8$，我们确定$χ_ρ(G)$在广义四边形的某些结构的交叉方面。对于$g=12$，当$q\ge 9$是奇素数幂时，我们给出了这个不变量的上下界。
2019-09-25 math.CO
Graphs that are critical for the packing chromatic number
给定一个图$G$，一个着色$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$使得$c(u)=c(v)=i$暗示顶点$u$和$v$的距离大于$i$，称为$G$的填充着色。$G$的填充着色中的最小颜色数称为$G$的填充色数，并且用$χ_ρ(G)$表示。本文研究了$χ_ρ$ -临界图，即对$G$的任意真子图$H$，$χ_ρ(H)<χ_ρ(G)$ .我们刻画了直径为2的$χ_ρ$ -临界图和直径为3的$χ_ρ$ -临界块图.此外，我们还刻画了具有小填充色数的$χ_ρ$ -临界图，并考虑了$χ_ρ$ -临界树。此外，我们证明了对于任何具有$e\in E(G)$的图$G$，我们都有$(χ_ρ(G)+1)/2\le χ_ρ(G-e)\le χ_ρ(G)$，并给出了相应的实现结果，表明$χ_ρ(G-e)$可以实现界之间的任何整数。
2019-04-23 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
Packing Disks by Flipping and Flowing
我们提供了一种新的类型的证明Koebe-Andreev-Thurston（KAT）平面圆包装定理的基础上组合边翻转。特别是，我们表明，从一个最大的平面接触图$G$的磁盘包装，可以删除任何翻转边缘$e^-$这个图，然后不断流动的磁盘在平面上，这样，在年底的流动，获得一个新的磁盘包装，其接触图是从翻转边缘$e^-$在$G$的图。该流动由单个反演距离参数化。
2020-05-27 math.CO math.MG
Packing Coloring of Undirected and Oriented Generalized Theta Graphs
本文研究了无向（或无向）图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）.定向）图G是最小整数k，使得它的顶点集V（G）可以被划分为k个不相交子集V1，...，V k，以这样的方式，即V i中的每两个不同的顶点都在距离（分别为）处。有向距离）大于i，对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k。广义θ图$Θ$ {\ell} 1，.，{\ell} p包括由p个$\ge$ 2内部顶点不相交路径连接的两个端顶点，所述路径具有各自的长度1 $\le$ {\ell} 1 $\le$。. . $\le$ {\ell} p.证明了任意无向广义theta图的填充色数介于3和max {5，n3 + 2}之间，其中n3 =|{i/1 $\le$ i $\le$ p，{\ell} i = 3}|这两个界限都很紧。然后，我们刻画了无向广义theta图的包装色数k为每个k $\ge$ 3。我们还证明了任何定向广义theta图的填充色数介于2和5之间，并且这两个界都是紧的。
2016-09-19 cs.DM math.CO
Grundy Packing Coloring of Graphs
本文提出图的 Grundy 填充色数 Γ_ρ(G)，用贪心多项式算法的最大着色值定义它，并研究其性质、复杂性、界与精确值。
2025-03-19 math.CO
Induced matching vs edge open packing: trees and product graphs
本文研究了图的边开 packing 数与导出匹配数的关系，刻画了等式成立的树结构，并推导了多种积图（字典积、直积、笛卡尔积、强积、根积）上这两个不变量的精确值或紧下界。
2024-06-07 math.CO
Packing chromatic number of subdivisions of cubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数，$χ_p(G)$，是使$G$有填充$k$ -染色的最小$k$.对于图$G$，设$D(G)$表示由$G$通过细分每条边而获得的图。关于次三次图类$G$上的$χ_p(G)$和$χ_p(D(G))$的最大值的问题出现在几篇论文中。Gastineau和Togni问是否$χ_p(D(G))\leq 5$对任何亚立方$G$，后来Bresar，Klavzar，Rall和Wash澄清了这一点，但没有上限被证明。最近作者证明了$χ_p(G)$在次三次图类$G$中是无界的.相反，在本文中，我们证明了$χ_p(D(G))$在这个类中是有界的，并且不超过$8$。
2018-10-08 math.CO
Incidence dimension and 2-packing number in graphs
设$G=(V,E)$是一个图。如果对于任何两个不同的边$e,f\in E(G)$，存在来自$A$的顶点，该顶点是$e$或$f$的端点，则顶点集合$A$是$G$的关联生成器。$G$的关联生成器的最小基数称为关联维数，用$dim_I(G)$表示。一个顶点集$P$是一个2-packing，如果$P$的任何一对不同顶点之间的距离大于2。$G$的2-包装的最大基数是$G$的堆积数，并表示为$ρ(G)$。本文引入并研究了图的关联维数，着重讨论了$dim_I(G)$与$ρ(G)$之间的密切关系。首先指出图$G$中任意2-packing的补总是$G$的关联生成元，并进一步证明了对于任意图$G$，$dim_I(G)=ρ(G)$或$dim_I(G)=ρ(G)-1$都是关联生成元.此外，我们还证明了图的关联维数的确定问题是NP-完全的，并给出了它的一些界。
2018-11-07 math.CO
S-Packing Colorings of Cubic Graphs
给定一个正整数的非减序列$S=(s\_1,s\_2, \ldots, s\_k)$，图$G$的{ \em $S$ -packing着色}是从$V(G)$到$\{s\_1,s\_2, \ldots, s\_k\}$的映射$c$，使得具有颜色$s\_i$的任何两个顶点的相互距离大于$s\_i$，$1\le i\le k$ .本文研究了（次）三次图的$S$填充染色.证明了次立方图是$(1,2,2,2,2,2,2)$ -填充可着色图和$(1,1,2,2,3)$ -填充可着色图.对于子三次图的细分，我们得到更清晰的界限，我们提供了一个例子，一个三次图的顺序$38$这不是$(1,2,\ldots,12)$包装着色。
2016-04-29 cs.DM math.CO
The $S$-packing coloring of the infinite diagonal grid with $S = (1,6,6,\ldots)$
本文证明了无限对角网格在序列 $S=(1,6,6,\ldots)$ 下的 $S$-packing 色数为 40，从而证实了第一作者与 Tiyajamorn 提出的猜想。
2025-09-20 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
Permutations that separate close elements, and rectangle packings in the torus
本文研究将圆上相近元素映射到相距足够远元素的 $(s,k)$-无冲突排列，并将其等价于环面矩形装填，最终确定所有参数下最大阈值 $σ(n,k)$。
2023-06-06 math.CO
Claw-free cubic graphs are (1, 1, 1, 3)-packing edge-colorable
本文针对Gastineau和Togni关于三次图(1, 1, 1, 3)-packing边着色的猜想，证明了每个无爪三次图均存在此类着色。
2025-09-15 math.CO
Unified almost linear kernels for generalized covering and packing problems on nowhere dense classes
设$\mathcal{F}$是图族，$p,r$是非负整数. \textsc{$(p,r,\mathcal{F})$-Covering}问题是问对于图$G$和整数$k$，是否存在$G$中至多有$k$个顶点的集合$D$，使得$G^p\setminus N_G^r[D]$没有与$\mathcal{F}$中的图同构的导出子图，其中$G^p$是$G$的$p$次幂. \textsc{$(p,r,\mathcal{F})$-Packing}问题问的是，对于图$G$和整数$k$，$G^p$是否具有$k$诱导的子图$H_1,\ldots,H_k$，使得每个$H_i$与$\mathcal{F}$中的图同构，并且对于不同的$i,j\in \{1, \ldots, k\}$，$G$中的$V(H_i)$和$V(H_j)$之间的距离大于$r$。我们证明了，对于每个固定的非负整数$p,r$和每个固定的非空有限族连通图$\mathcal{F}$，\textsc{$(p,r,\mathcal{F})$-Covering}问题与$p\leq2r+1$和\textsc{$(p,r,\mathcal{F})$-Packing}问题与$p\leq2\lfloor r/2\rfloor+1$承认几乎线性核的每一个无处密集类的图，并承认线性核的每一类图的有界扩展，参数化的解决方案的大小$k$。我们获得相同的内核，其注释的变体。…
2022-07-14 cs.DS math.CO
On S-packing edge-colorings of cubic graphs
给定非减序列S =（s1，s2，. ..，sk）的正整数，图G的S-填充边染色是将图G的边集划分为k个子集{X1，X2，. ..，Xk}，使得对于每个1 $\le$ i $\le$ k，两个不同的边e、e ' $\in$ Xi之间的距离至少为si + 1。本文研究了三次图的S-填充边染色。证明了具有2-因子的三次图是（1，1，1，3，3）-packing边可着色的，（1，1，1，4，4，4，4）-packing边可着色的和（1，1，2，2，2，2）-packing边可着色的.我们确定了有界奇性的三次图和3-边可着色的三次图的更清晰的结果，我们提出了许多开放的问题。
2017-11-29 cs.DM math.CO
On S-Packing Coloring of Subcubic Graphs
KALMA, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；LIB, Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文改进了亚立方图的S-打包着色结果，通过新工具证明了3-不规则亚立方图和1-饱和亚立方图的着色性质。
2026-03-20 math.CO
On uniquely packable trees
本文研究仅有一种最优填充着色的树，并在填充色数为3时完整刻画这类树，同时得到单调与非单调着色的两类唯一可填充树。
2024-03-12 math.CO
On the Relationships between Domination, Isolation, and Packing
College of Charleston（查尔斯顿学院）；Clemson University（克莱姆森大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
研究图的支配数γ、距离-2支配数γ₂与打包数ρ、下打包数ρ_L、隔离数ι之间的比值关系，证明在树中γ/ρ_L无界但ι/γ₂<2，并在区间图、置换图和无爪图等类中给出上界。
2026-06-17 math.CO
On the Generalized Packing and Covering Radii of Codes
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；Department of Electrical and Computer Engineering, McMaster University（麦克马斯特大学电气与计算机工程系）
本文证明了码的广义填充半径不超过同阶广义覆盖半径的猜想，对二阶半径、码率至多3/5的所有阶以及任意码率下足够长的码均成立。
2026-09-15 cs.IT math.CO math.IT
On the Hausdorff dimension of pinned distance sets
我们证明了，如果$A$是一个博雷尔集在平面上的相等Hausdorff和包装尺寸$s>1$，那么一组固定的距离$\{ |x-y|:y\in A\}$有充分的豪斯多夫维数的所有$x$以外的一组豪斯多夫维数$1$（特别是，对于许多$x\in A$）。这验证了一个强大的变体法尔科纳的距离集猜想套相等的豪斯多夫和包装尺寸，端点$s=1$之外。
2018-01-26 math.CA math.CO math.MG
An inequality involving the second largest and smallest eigenvalue of a distance-regular graph
对于具有第二大特征值的距离正则图（分别为最小特征值）\mu 1（分别\muD）我们证明了（\mu 1+1）（\muD +1）<= -b1成立，其中等式仅在直径等于2时成立。利用这个不等式，我们研究了具有固定第二大特征值的距离正则图。
2010-04-07 math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
Packing Density of Sets With Only Two Nonmixed Gaps
研究具有两种非混合间隙的整数集合平移的稠密堆积，给出最优密度下界并证明其紧性，等价于整数距离图的 Motzkin 问题。
2025-06-06 math.CO math.NT
$S$-Packing Coloring of Cubic Halin Graphs
本文研究三次Halin图的$S$-打包染色问题，证明了所有三次Halin图均可进行$(1,1,2,3)$-打包染色，并进一步证明了其$(1,2,2,2,2,2)$-可染色性。
2024-02-06 cs.DM math.CO
Notes on complexity of packing coloring
图$G=(V,E)$的某个整数$k$的填充$k$ -染色是一个映射$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$，使得颜色为$φ(u)=φ(v)$的任何两个顶点$u, v$的距离至少为$φ(u)+1$。这个概念是由频率分配问题激发的。$G$的\emph{packing chromatic number}是最小的$k$，使得存在$G$的填充$k$ -着色. Fiala和Golovach表明，确定弦图的填充色数是\NP -完全的直径正好为5。虽然这个问题很容易解决直径2，我们显示\NP -完整的任何直径至少3。我们的约化还表明，对于任何$\varepsilon > 0$，填充色数都很难在$n^{{1/2}-\varepsilon}$内近似。此外，我们设计了一个有界直径区间图的\FPT算法。这导致我们探索的问题，找到一个部分着色，最大限度地增加着色顶点的数量。
2017-12-22 cs.CC cs.DM math.CO
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
