Invariant random subgroups of strictly diagonal limits of finite symmetric groups
Simon Thomas, Robin Tucker-Drob
对有限对称群的严格对角极限的遍历不变随机子群进行了分类。
We classify the ergodic invariant random subgroups of strictly diagonal limits of finite symmetric groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On strictly 2-maximal subgroups of finite groups
本文从孟汉光和郭秀云的结果出发，得到了群中严格2-极大子群存在性的一些推论。我们给出的例子说明严格2-极大子群的性质。
On Invariant Random Subgroups of Block-Diagonal Limits of Symmetric Groups
在群是单群且其相关维数群具有有限维状态空间的情况下，对对称群的块对角极限的遍历不变随机子群进行了分类.这些块对角极限是作为保持图中无限路径共尾性的布拉泰利图的变换群（全群）而出现的。给定一个简单的全群$G$，它只允许有限个遍历测度在相应的Bratteli双图的路径空间$X$上，我们证明了$G$的每个非Dirac遍历不变随机子群都是$G$上对角作用的稳定子分布，对于某些$n\geq 1$ .作为推论，我们建立了$G$的每个群特征标$χ$都有$χ(g) = Prob(g\in K)$的形式，其中$K$是$G$的共轭不变随机子群.
Limits Under Conjugacy of the Diagonal Subgroup in SL(n,R)
本文给出了SL（n，R）的子群的共轭类空间维数的二次下界，这些子群是对角子群共轭下的极限.给出SL（n，R）的n-1维交换子群不是这种极限的第一个显式例子，但所有这样的阿贝尔群都是对角群的极限当且仅当n < 5.
The Girth of Cayley graphs of Sylow 2-subgroups of symmetric groups $S_{2^n}$ on diagonal bases
对称群$S_{2^n}$的Sylow 2-子群$P_n(2)$的一个对角基是该子群的一个极小生成集，它由多项式表示中只有一个非零坐标的元素组成。对于不同的对角基，$P_n(2)$的Cayley图可以具有不同的围长（即最小圈长），因此是非同构的。本文计算了$P_n(2)$的Cayley图在对角基上的围长的所有可能值。给出了这类Cayley图围长为4的一个判别准则。给出了对角基上$P_n(2)$的不同非同构Cayley图个数的一个下界.
On double cosets of groups $GL(n)$ with respect to subgroups of block strictly triangular matrices
本文给出了$GL(n,\Bbbk)$群关于块严格三角形矩阵的两个子群$T_-$、$T_+$的双陪集空间的参数化。在附录中，我们考虑了$GL(n,\Bbb{C})$在$T_- \ GL(n,\Bbb{C})$上的$L^2$中的拟正则表示，观察到它允许额外的对称群，找到了联合谱，并观察到它是多重自由的。
Overgroups of elementary block-diagonal subgroups in the classical symplectic group over an arbitrary commutative ring
本文证明了任意交换环$R$上的经典辛群的子群的三明治分类定理，其中$R$包含对应于酉等价关系$ν$的基本块对角（或子）子群$\operatorname{Ep}(ν, R)$，使得$ν$的所有自共轭等价类的大小至少为4，$ν$的所有非自共轭类的大小至少为5.也就是说，给定$\operatorname{Sp}(2n, R)$的子群$H$，使得$\operatorname{Ep}(ν, R) \le H$，我们证明了存在唯一的$(σ, Γ)$上理想的正合主形网，使得$\operatorname{Ep}(σ, Γ) \le H \le N_{\operatorname{Sp}(2n,R)}(\operatorname{Sp}(σ, Γ))$ .此外，我们描述的正规化$N_{\operatorname{Sp}(2n,R)}(\operatorname{Sp}(σ, Γ))$的同余。
Ascending Chains of Free Quasiconvex Subgroups
本文证明了双曲群中不存在常秩自由拟凸子群的严格上升链，这一结果深化了对双曲群子群结构的理解。
Cartan subgroups and generosity in $SL_2(\mathbb{Q}_p)$
我们描述了$SL_2(\mathbb{Q}_p)$的所有Cartan子群。证明了由所有对角矩阵构成的Cartan子群是广义的，并且是唯一的共轭子群。
Patterson-Sullivan measures for transverse subgroups
本文研究高秩半单李群中横向子群的Patterson-Sullivan测度，证明Hopf-Tsuji-Sullivan二分法类似结论与Burger曼哈顿曲线定理变体，得到子群临界指数严格小于原群的条件，相关间隙结果对Anosov群也属新成果。
Abelian state-closed subgroups of automorphisms of m-ary trees
单根m元树的自同构群A_{m}有一个对角单态，记为x。设A是A_{m}的交换态闭（或自相似）子群。本文证明了A的对角和树拓扑闭包A* 是一个可加性表示的Z_m [[x]]-模，其中Z_m是m-adic整数环.此外，如果A* 是无挠的，则它是一个无挠生成的pro-m群。群A在它的挠子群上分裂。本文详细研究了A* 对应于循环Z_m[[x]]-模，且当m为素数时，证明了A* 通过树自同构与两种特殊类型群之一共轭.
Intersection of Solvable Hall subgroups in finite groups
本文证明了：如果S是一个单典型群，群G包含在S的内对角自同构中且包含S，H是G的一个可解Hall子群，则存在H的五个共轭，它们的交是平凡的.
Remarks on a normal subgroup of GA_n
我们证明了由k^n的局部有限多项式自同构生成的子群在GA_n中是正规的。给出了GA_n的包含所有对角自同构的正规子群的一些性质。
Confined subgroups in groups with contracting elements
本文研究带收缩元的群中受限子群的增长，证明纯指数增长群中受限子群增长率大于所在群的一半，得到子群边界作用的Hopf分解相关结果，建立其与商增长的联系并给出双曲群中Schreier图商增长的二分性。
Remarks on the diagonal embedding and strong 1-boundedness
我们确定了一个大类的双曲群的冯诺依曼代数不是强1-有界的：塞拉的双曲塔$F_2$子群。证明了$L(F_2)$对角嵌入到其超幂的任何中间子代数都不具有性质（T）.
On subgroups of Coxeter groups
直角考克斯特群是一个具有给定的二阶生成元集合的群，只服从某些生成元对交换的关系。各种文件表明如何同调性质的考克斯特群是有关同调性质的单纯复形的单形是集的交换发电机。利用这些技巧，我们构造了一些环上的Poincare对偶群，而另一些环上的Poincare对偶群是无挠群，以及一个在任何域上积分上同调维数有限但严格大于其上同调维数的群.我们确定哪些Coxeter群有有限的虚上同调维数（经典的是所有的非生成Coxeter群都有有限的vcd，但也有其他的）。我们还给出了直角Coxter群的某些无挠有限指数子群的极小表示。最后，我们给出了一个“徒手”结构（使用自由积与合并和HNN扩张）的挠自由群，其积分上同调维数严格大于其有理上同调维数。
Group factorisations, uniform automorphisms, and permutation groups of simple diagonal type
本文给出了一个新的证明，证明了单对角型的拟本原置换群不能嵌入到乘积作用的圈积中，这个证明与有限单群分类无关，也适用于无限群.证明使用了几个深的结果，涉及子直子群的直积的因式分解。我们发现，这样的因式分解是由一致自同构的存在性。
Strictly systolic angled complexes and hyperbolicity of one-relator groups
我们介绍了严格收缩角复合体的概念。他们推广了Januszkiewickz和Jenuswietkowski的$7$ -收缩单纯复形以及它们的度量对应物，它们在负曲率的背景下与Huang和Osajda的度量收缩单纯复形表现为自然的类似物。我们证明，严格收缩角复合物和他们的几何作用的群体，连同他们的双曲提出的子群，是双曲的。利用这些复形研究了无挠单关系群的几何性质，并在度量小消去假设下证明了此类群的双曲性，弱于$C'(1/6)$和$C'(1/4)-T(4)$ .
On groups whose cogrowth series is the diagonal of a rational series
我们证明了如果一个群包含$\mathbb{Z}^n \times F_m$作为有限指数子群，那么它的共生级数是每个生成集的一个有理函数的对角线。这回答了Pak和Soukup关于虚阿贝尔群的共生的一个问题，并推广了Elder、Rechnitzer、Janse van Rensburg和Wong关于Baumslag-Solitar群$\mathrm{BS}(N,N)$的共生序列的一个结果。
Fixed subgroups of generalised Baumslag-Solitar groups
本文研究广义Baumslag-Solitar群的自同构固定子群，刻画了在边稳定子严格包含于顶点稳定子条件下存在非有限生成固定子群的群，并证明有限阶自同构及树图情形下固定子群均有限生成。
Arithmetic subgroups of Chevalley group schemes over function fields II: Conjugacy classes of maximal unipotent subgroups
本文研究函数域上 $\mathcal{S}$-算术子群的极大幂单子群共轭类，利用 Picard 群与群秩加以参数化，并通过 Bruhat–Tits 建筑扇形稳定子刻画其结构。
Sofic approximations and quantitative measure couplings
通过 Brieussel-Zheng 对角积到灯夫群的构造，建立定量测度子群耦合，并用于解决灯夫群情形下给定群与给定量化的逆问题。
Kesten's theorem for Invariant Random Subgroups
可数群Γ的一个不变随机子群是Γ的一个随机子群，其分布在由Γ的所有元素共轭下不变。证明了对于非顺从不变随机子群H，Γ上每个非负支撑随机游动的谱半径严格小于Γ/H上相应随机游动的谱半径.这推广了一个结果Kesten谁证明了这一点的正规子群。作为一个副产品，我们证明了一个Cayley图G的线性群没有顺从的正规子群，G的任何序列的有限同胚G的谱逼近G收敛到G的Benjamini-Schramm收敛。特别地，这意味着有限d-正则Ramanujan Schreier图的无穷序列具有本质上大的围长。
Growth Rate Gap for Stable Subgroups
本文证明Morse局部到整体群的无限指数稳定子群具有严格小于环境群的增长率，推广了已有结果并移除了额外假设。
Multiplicative Subgroups in weakly locally finite division rings
非交换除环的子群结构的描述是特别是除环理论和一般斜线性群理论深入研究的主题。这项研究至今尚未完成。本文研究了弱局部有限除环的这一问题。这样的除环构成了一个严格包含局部有限除环类的大类。
Geometric classification of semidirect products in the maximal parabolic subgroup of $\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})$
我们分类共轭$\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$（更准确地说，块对角辛矩阵）内的所有半直积的最大抛物线的$\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})$通过一个基本的几何参数。这种分类已经建立了没有几何，根据更严格的概念等价，即共轭任意辛矩阵。本方法在更高维度中可能有用，并提供了一些见解。
Locally compact strictly convex metric groups are abelian
本文证明了局部紧严格凸度量群是交换群，通过构造实线到该群的同态嵌入并证明紧子群平凡性，结合经典结果完成证明。
On diagonal actions of branch groups and the corresponding characters
我们引入了绝对非自由和完全非自由群作用的概念，并用它们来研究相关的酉表示。我们证明了每个弱分枝群在相伴的有根树的边界上绝对非自由地作用。利用这一结果和对称化的对角行动，我们建设的每一个可数支群无穷多个不同的遍历完全非自由行动，无穷多个II $_1$ -因子表示，和无穷多个连续遍历不变的随机子群。
Motion planning invariants and families of subgroups
本文引入关于子群族的拓扑复杂度不变量，提出置换族并证明其下界性质，从而推广了经典与分布拓扑复杂度相等的结果，并证明Farber猜想在分布意义上成立。
A Note on the Arrangement of Subgroups in the Automorphism Groups of Submodule Lattices of Free Modules
Borewicz和Vavilov给出了含有对角矩阵群的半局部环上的一般线性群的子群的一个完全刻划.本文证明了一个简单的Artin环上的自由有限秩R-模的右子模格的所有自同构群的中间子群也有类似的描述，该环包含一个适当的子格的自同构群。
On subgroups of minimal topological groups
一个拓扑群是极小的，如果它不允许一个严格粗糙的豪斯多夫群拓扑。拓扑群上的Roelcke一致性（或下一致性）是左一致性和右一致性的下确界。一个群是Roelcke-预紧的，如果它关于Roelcke一致性是预紧的。许多自然产生的非阿贝尔拓扑群是Roelcke-预紧的，因此具有自然紧化。我们利用这种紧化证明了某些等距群是极小的。特别地，如果U_1是直径为1的Urysohn泛度量空间，则U_1的所有自等距的群Iso（U_1）是Roelcke-预紧的，拓扑简单的和极小的.我们还证明了每个拓扑群都是Iso（M）形式的极小拓扑单Roelcke-预紧群的子群，其中M是Urysohn空间的适当的不可分形式.
On Bounded Packing in Polycyclic Groups
本文证明了Z^n与Z的半直积的任何子群都有界填充，只要Z在Z^n上的作用是可对角化的自同构，且其特征值都是实的.我们用这个结果来证明长度为3或更小的多环群中的任何子群都有界填充。我们还引入陪集增长的概念，得到了子群H=在<t>Z ^2与Z的半直积中陪集增长的一个界.
Global transfer systems and endopurity of subgroups
本文研究全局等变同伦论中的全局转移系统格，将研究范围扩展至阿贝尔群之外，证明其不可约元素受内纯子群严格控制，可从不可约元素重构整个格，相关研究发现了大量新现象并完成了计算。
On the order of Borel subgroups of group amalgams and an application to locally-transitive graphs
一个置换群称为半本原群，如果它的每个正规子群是可迁的或半正则的。给定非平凡有限可迁置换群$L_1$和$L_2$（其中$L_1$不是半本原的），构造了一类秩为2的置换型$[L_1,L_2]$和博雷尔子群的严格递增秩的混杂群.作为一个应用，我们证明了局部$[L_1,L_2]$图的边稳定子的阶没有界。我们还考虑了相应的问题，汞合金等级$k\geq 3$。我们完全解决了这一问题，证明了Borel子群的顺序是有界的置换类型$[L_1,...,L_k]$只有在平凡的情况下，每个$L_1,...,L_k$是正规的。
Cube complexes and abelian subgroups of automorphism groups of RAAGs
我们构造了直角Artin群的无扭外自同构群$U(A_Γ)$的自由阿贝尔子群，从而给出了虚上同调维度的下界。群$U(A_Γ)$以前曾被Charney、Stambaugh和第二作者研究过，他们构造了一个可收缩的立方体复形，它在这个复形上适当地作用，并且是余紧的，给出了虚上同调维数的上界。我们的自由交换子群的秩等于这个复形中主立方体的维数。这些通常是最大维数，因此上界和下界一致。在许多情况下，当主立方体不是最大维数，我们证明了有一个不变的严格低维的可收缩子复形。
Classifying uniformly generated groups
一个有限群$G$称为 * 一致生成的 *，如果只要有子群$1<\langle x_1\rangle<\langle x_1,x_2\rangle <\cdots<\langle x_1,x_2,\dots,x_d\rangle=G$的（严格上升的）链，则$d$是$G$的生成元的最小个数。我们的主要结果是在不使用单群分类的情况下对均匀生成群进行分类。这些团体有关有限射影几何的结果岩泽子群格。
Cogrowth and essentiality in groups and algebras
子群的共增长定义为一组具有最小长度的陪集代表的增长。一个子群是本质的，如果它与每个非平凡的平凡子群非平凡相交。本文的主要结果是：每一个严格递增但至多为指数函数的函数$f:{\Bbb N}\cup \{0\}\rightarrow {\Bbb N}$等价于秩为2的自由群的无穷指数本质子群的共生函数.这类函数适当地包含群的增长函数类。引入了代数中右理想的增长性和共增长性的概念。我们证明了当代数没有零因子时，每一个共增长小于代数的共增长的右理想都是本质的。
Steep uncountable groups
本研究构造了首个不依赖连续统假设的基数为$\beth_1$的不可数单群，它兼具Artinian、Burnside律、Jónsson性和强有界性，还可实现子群皆单且非平凡子群均malnormal的性质。
Complexity among the finitely generated subgroups of Thompson's group
本文证明了RichardThompson群$F$的一个由$ε_0 +1$型中的可嵌入关系严格良序的可嵌入生成子群族的存在性.除了这个族的最大元素（它是$F$本身）之外，所有的都是初等顺从群。事实上，我们还得到，对于每个$α< ε_0$，一个EA-class为$α+ 2$的$F$的可信赖生成的初等子群。这些组都有简单、明确的描述，可以看作是$\mathbf{Z} + \mathbf{Z}$、$\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$和Brin-Navas组$B$的自然延续。我们还给出了一个例子，一对的生成的基本顺从子群的$F$的属性，既不是嵌入到其他。
Stabilizers and maximal subgroups of topological full groups
该研究将Grigorchuk等人的极大稳定子定理推广到含换位子群的子群，证明了极小作用稳定子的空间刚性，实现了AF群胚的限制，得到连续多个不同构极大稳定子及C*-代数的AF子商。
On the genericity of Whitehead minimality
我们证明了一个自由群的随机生成子群是严格的Whitehead极小的，具有压倒性的概率。Whitehead极小性是求解自由群轨道问题的关键要素之一。证明强烈依赖于组合工具，特别是那些分析组合。我们证明的结果实际上隐含地依赖于选择的一个分布的随机生成的子群，我们建立它的两个分布出现在文献中的随机子群。
Innately transitive subgroups of wreath products in product action
一个置换群是先天传递的，如果它有一个传递的极小正规子群，它被称为一个基座。本文研究了有限的内在传递置换群，它们可以嵌入到积作用的圈积中。通过观察这样的圈积保持了基础集合的自然笛卡尔分解来进行这项调查。以前，我们分类的情况下，基座是简单的可能嵌入。在这里，我们扩展了分类，并确定了几种不同类型的笛卡尔分解，可以保留一个天生的传递群与非阿贝尔基座。这些不同类型的分解导致作用群在乘积作用中嵌入圈积的不同类型。我们还得到了对角型固有传递群嵌入到这类圈积中的充分刻画。
Dense free subgroups of automorphism groups of homogeneous partially ordered sets
一个可数偏序集是超齐性的，如果它的有限子集之间的每一个同构都可以扩张为一个自同构。这种偏序集$A$的群$\operatorname{Aut}(A)$有一个自然拓扑，其中$\operatorname{Aut}(A)$是波兰拓扑群。考虑了$\operatorname{Aut}(A)$是否包含两个生成元的稠密自由子群的问题。我们证明了如果$A$是超齐次的，那么$\operatorname{Aut}(A)$包含这样的子群.此外，我们还刻画了其可数超齐次偏序集$A$，使得对于每个自然$m$，对角作用的所有循环稠密元的集合$\bar{g}\in\operatorname{Aut}(A)^m$都在$\operatorname{Aut}(A)^m$中。在我们的考虑，我们强烈使用的结果Schmerl说，基本上有四种类型的可数无限超齐次偏序集。
Real adjoint orbits of the unipotent subgroup
设$G$是一个线性李群，它通过伴随作用作用于它的李代数$\mathfrak{g}$：$\mathrm{Ad}(g)X=gXg^{-1}$。元素$X\in \mathfrak {g}$被称为$\mathrm{Ad}_G$ -如果对于某些$g\in G$为$-X = \mathrm{Ad}(g)X $，则为实数。一个$\mathrm{Ad}_G$ -实元$X$称为强$\mathrm{Ad}_G $ -实元，如果对于某个对合$τ\in G$有$-X = \mathrm{Ad}(τ) X $.设为$K=\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$或$\mathbb{H}$。设$\mathrm{U}_n(K)$是$K$上的幂单上三角矩阵群。设$\mathfrak{u}_n (K)$是$\mathrm{U}_n(K)$的李代数，它由$n \times n$上三角矩阵组成，所有对角元素都是$0$。本文考虑李代数$ \mathfrak{u}_n(K) $的$\mathrm{Ad}$ -实性，它来自李群$\mathrm{U}_n(K)$在$ \mathfrak{u}_n(K)$上的伴随作用.证明了在$\mathfrak{u}_n (K)$中不存在非平凡的$\mathrm{Ad}_{\mathrm{ U}_n(K)}$ -实元.我们还考虑了由$K$上所有对角元素为$1$或$-1$的上三角矩阵组成的…
Intersection-saturated groups without free subgroups
本研究提出交饱和群的新判据，据此找到包括Thompson群、Grigorchuk群在内的新实例，证明了无交换自由子群的有限表现交饱和群存在，解决了Delgado等人的问题。
Minimality of the Semidirect Product
一个拓扑群是极小的，如果它不允许一个严格粗糙的豪斯多夫群拓扑。给出了半直积$G\leftthreetimes P,$极小的一个充分必要条件，其中$G$是紧拓扑群，$P$是$Aut(G)$的拓扑子群.证明了对于$Aut(G)$的每个闭子群$P$，$G\leftthreetimes P$是极小的.在$G$是阿贝尔的情况下，对于每个子组$P \subseteq Aut(G)$也是如此。相反，我们证明了存在一个紧的两步幂零群$G$和$Aut(G)$的子群$P$，使得$G\leftthreetimes P$不是极小的。这回答了Dikranjan的一个问题。我们的一些结果受到了Gamarnik工作的启发。
Nilpotent covers of symmetric and alternating groups
证明了对称群$S_n$有唯一的极大幂零子群的最小覆盖$\mathcal{M}$，并给出了$\mathcal{M}$的阶的一个显式且易于计算的公式.此外，我们还证明了$\mathcal{M}$的阶等于$S_n$的极大非幂零子集的阶.这个复盖$\mathcal{M}$具有吸引人的性质;例如，它是一个正规复盖，复盖中子群的共轭类的数目等于将$n$划分为不同的正整数的数目。我们发现这些结果与交替群$A_n$的结果相反。特别地，我们证明了：对于$n$的所有非幂零值，极大幂零子群对$A_n$的最小覆盖都不是正规覆盖，极大幂零子群对$A_n$的最小覆盖的阶严格大于$A_n$的极大非幂零子集的阶.
Directional growth of coamenable normal subgroups: counterexamples and rigidity
研究高秩李群中余可安正规子群的增长刚性，发现方向性增长不守恒，但黎曼临界指数保持刚性，且对合不动点处增长指标一致。
Smooth and weak synthesis of the anti-diagonal in Fourier algebras of Lie groups
设$G$是维数为$n$的李群，$A(G)$是$G$的Fourier代数.我们证明了反对角$\checkΔ_G=\{(g,g^{-1})\in G\times G \mid g\in G\}$既是一个局部光滑合成集，又是一个局部弱合成集，其度至多为$[\frac{n}{2}]+1$（对于$A(G\times G)$）.我们通过使用\cite{ludwig-turowska}中的锥属性的概念来实现这一点。对于紧凑的$G$，我们给出了另一种方法来证明前面的结果，通过应用\cite{forrest-samei-spronk}中开发的思想。我们也提出了类似的结果，为集的形式$HK$，其中$H$和$K$是子群的$G\times G\times G\times G$的对角线形式。我们的结果非常依赖于这些集的几何和代数结构。
Bad irreducible subgroups and singular locus for character varieties in $PSL(p,\mathbb{C})$
本文描述了从有限生成群$Γ$到$PSL(p,\mathbb{C})$的不可约表示的中心化子，其中$p$是素数.这导致描述的奇异轨迹（一套共轭类的代表，其中心化严格包含中心的环境组）的不可约部分的字符品种$χ^i(Γ,PSL(p,\mathbb{C}))$。当$Γ$是秩为$l\geq 2$的自由群或亏格为$g\geq 2$的闭Riemann曲面的基本群时，给出了该轨迹的完整描述，并证明了该轨迹恰是特征标簇不可约部分的代数奇点集.
Key subgroups in topological groups
本文定义拓扑群的关键与余关键子群，刻画其与余极小、相对极小子群的关系，并证明 UT(n,K) 中中心及非角单参数子群的相应性质及限制映射同构。
On invariant means and pre-syndetic subgroups
本文研究非局部紧拓扑群顺从性变体，证明斜顺从性可被预共生子群继承，并探讨 Malliavin 提出的顺从性变体，建立其 Reiter 型和 Følner 型判据。
Some results related to finiteness properties of groups for families of subgroups
对于群$G$，我们考虑虚循环子群族的分类空间$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$.我们证明了Artin群容许$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$的有限模型当且仅当它是虚循环的。这解决了Juan-Pineda和Leary的一个猜想和Lück-Reich-Rognes-Varisco关于Artin群的一个问题。研究了CAT（0）群的共轭增长，证明了若CAT（0）群包含秩为2的自由阿尔贝群，则其共轭增长严格快于线性增长.这也给出了另一个证明，证明了CAT（0）立方体群允许$E_{\mathcal{VC}yc}(G)$的有限模型当且仅当它是虚循环的。我们的最后一个结果涉及商空间$B_{\mathcal{VC}yc}(G) = E_{\mathcal{VC}yc}(G)/G$的同伦型。证明了对于聚$\mathbb Z$ -群$G$，$B_{\mathcal{VC}yc}(G)$同伦等价于有限CW-复形当且仅当$G$是循环的.
Growth of quasi-convex subgroups in groups with a constricting element
研究群作用于测地度量空间中准凸子群的指数增长速率，探讨约束元素对增长速率的影响，应用于相对超几何群、CAT(0)群和包含Morse元素的分层超几何群。
Spreading primitive groups of diagonal type do not exist
本文证明了对角型的传播原始群不存在，通过展示非阿贝尔有限简单群在特定作用下的性质。
Amenability versus non-exactness of dense subgroups of a compact group
给定一个可数剩余有限群，我们构造一个紧群K和K的两个元素w和u，它们具有以下性质：由w和u的立方生成的群是顺从的，由w和u生成的群包含给定群的一个副本，并且这两个群在K中是稠密的。通过结合它与建设的非精确组是LEF的Osajda和Arzhantseva-Osajda和形成的对角产品，我们构建了一个例子，后者密集组是非精确的。我们的证明采用了LEF（“局部可嵌入有限群“）群的标记群空间中的近似。
On the Finite-Dimensional Irreducible Representations of PSL2(Z)
我们对PSL 2（Z）的所有有限维不可约表示进行等价分类，其对换位子群的限制是可对角化的.
The Hall--Paige conjecture, and synchronization for affine and diagonal groups
Hall-Paige猜想断言一个有限群有一个完全映射当且仅当它的Sylow子群不是循环的。现在证明的猜想，本文的目的之一是证明文件的最后一步（零星单群$\mathrm{J}_4$）。我们应用这个结果证明了基柱上有三个或三个以上单因子的单对角型本原置换群是非同步的。我们还给出了较简单的证明：对于仿射型群或具有两个柱脚因子的简单对角型群，同步和分离是等价的。同步和分离是置换群上的条件，它们强于非齐性但弱于$2$ -齐性，其中第二个条件强于第一个条件。从经验上看，同步但不分离的群体是相当罕见的。从我们的结果可以看出，这样的群必须是几乎单型的本原群。
Prehomogeneous spaces for Borel subgroups of general linear groups
设$k$是一个代数闭域。设$B$是$\mGL_n(k)$的Borel子群，它由非奇异上三角矩阵组成.设$\frb = \mLie B$是上三角$n \times n$矩阵的李代数，$\fru$是严格上三角矩阵组成的$\frb$的李子代数.我们分类所有的李理想$\frn$的$\frb$，满足$\fru' \subseteq \frn \subseteq \fru$，使$B$的作用（共轭）$\frn$的稠密轨道。此外，在$B$不与稠密轨道的情况下，我们给出了$B$ -轨道在$\frn$的最小余维。这可以被看作是第一步，对所有理想$\frn \subseteq \fru$的分类，使$B$作用于$\frn$与密集的轨道困难的开放问题。我们的主要结果的证明需要翻译成一定的拟遗传代数$\cA_{t,1}$的表示理论。在此设置中，我们找到了最小尺寸的$\mExt^1_{\cA_{t,1}}(M,M)$的$Δ$ -好的$\cA_{t,1}$-模块的某些固定的$Δ$ -维向量。
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