Derivatives with respect to the order of the Bessel function of the first kind
J. Sesma
给出了贝塞尔函数$J_ν(z)$关于其阶数$ν$的k阶导数的显式表达式。考虑了$ν$阳性或阴性病例的特殊情况。
An explicit expression of the k-th derivative of the Bessel function $J_ν(z)$, with respect to its order $ν$, is given. Particularizations for the cases of positive or negative $ν$ are considered.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
BesselK Derivatives with respect to Order at one half
第二类修正Bessel函数在s = .5时的阶导数作为积分的有限表达式得到，该积分推广了出现在一阶导数中的指数积分（定理1）。导数是在研究贝塞耳K与黎曼ζ函数的关系时产生的。任何使用的术语，导数，相对于贝塞尔函数，在这里意味着导数相对于其阶。
Boundedness of Gaussian Bessel Potentials and Bessel Fractional Derivatives on variable Gaussian Besov-Lipschitz spaces
本文研究了变Gaussian Besov-Lipschitz空间$B_{p(\cdot),q(\cdot)}^α(γ_{d}),$上的Gaussian Bessel势和Gaussian Bessel分数阶导数的正则性，其中变Gaussian Besov-Lipschitz空间是在\cite{Pinrodurb}上定义的，在一定条件下是在$p(\cdot)$和$q(\cdot)$上定义的.
Redheffer type bounds for Bessel and modified Bessel functions of the first kind
本文的目的是证明第一类Bessel函数和修正Bessel函数的Redheffer型不等式。证明中的关键工具是关于可微函数的导数单调性以及两个幂级数的导数单调性的一些经典结果。利用第一类Bessel函数和修正Bessel函数的导数的一些已知结果，并利用Dirichlet函数的单调性证明了关于正切函数的一个尖锐不等式.在文章的最后提出了一个猜想，这可能是进一步研究的兴趣。
The radius of convexity of normalized Bessel functions of the first kind
本文确定了三种第一类正规Bessel函数的凸性半径。在上述情况下，归一化贝塞尔函数是星形单叶和凸单叶，分别在确定的磁盘。主要结果证明的关键工具是第一类贝塞尔函数商的一些新的Mittag-Leffler展开式、第一类贝塞尔函数及其导数零点的特殊性质以及某些Dini函数的最小正零点小于第一类贝塞尔函数的第一个正零点这一事实。此外，我们找到的最佳参数，这些规范化的贝塞尔函数是凸的开放单位磁盘。此外，我们还证明了Baricz和Ponnusamy关于第一类Bessel函数凸性的一个猜想是不成立的.
Turán determinants of Bessel functions
本文首先综述了第一类Bessel函数的Turán型不等式及其相关问题。然后将已知的第一类Bessel函数的高阶Turán型不等式推广到实参数，并导出了第一类Bessel函数的第二类Neumann型级数的新的封闭整表示公式.最后证明了第二类Bessel函数的一个Turán型不等式。
Derivative formulas for Bessel, Struve and Anger-Weber functions
本文导出了函数$z^{-ν}h_ν(z)$和$z^νh_ν(z)$的一般阶导数公式，其中$h_ν(z)$是Bessel，Struve或Anger-Weber函数.
Closed form expressions for derivatives of Bessel functions with respect to the order
我们已经使用最近的整表示的导数的贝塞尔函数的顺序，以获得封闭形式的表达式广义超几何函数和Meijer- $G$功能。此外，我们已经进行了类似的计算的修改贝塞尔函数的导数的顺序，获得封闭形式的表达式以及。为此，我们得到了修正Bessel函数的导数关于阶的整表示。作为副产品，我们已经计算了两个非列表积分。
Starlikeness of Bessel functions and their derivatives
本文利用Shah和Trimble关于带单叶导数的超越整函数的一个结果和第一类Bessel函数导数的Mittag-Leffler展开式，以及关于第一类Bessel函数零点的一些结果，导出了第一类Bessel函数及其二阶、三阶导数为星形的充要条件.
Solution to the fractional equation with left-sided fractional Bessel derivatives of Gerasimov-Caputo type
本文提出并研究了Gerasimov-Caputo型半轴上含分数阶Bessel导数的常微分方程的一种解法。利用Meijer积分变换，得到了Bessel算子分数次幂方程的显式解.
Certain unified integral formulas involving the generalized modified k-bessel function of first kind
将包含第一类广义修正k-Bessel函数$J_{k,ν}^{c,γ,λ}\left( z\right) $的广义积分公式表示为广义$k-$ Wright函数.文中还讨论了主要结果的一些有趣的特例
On the order derivatives of Bessel functions
研究了自变量为x（实或复）的Bessel函数关于ν阶的导数.代表性的积分，涉及的产品对贝塞尔函数，并反过来获得这些积分系列的扩展。从新的整表示出发，构造了包含Airy函数的阶导数的渐近逼近，其中ν是大的，且对无界正实x一致有效.
On derivatives, Riesz transforms and Sobolev spaces for Fourier-Bessel expansions
我们研究的问题，一个适当的选择与离散傅里叶-贝塞尔展开的衍生物。我们引入了一个新的所谓的基本措施傅里叶-贝塞尔设置，相关的衍生物只是普通的衍生物。然后在此背景下研究了里斯变换和索伯列夫空间。我们的主要结果是$L^p$ -有界的里斯变换（即使在多维的情况下）和同构之间的Sobolev和Fourier-Bessel潜在的空间。此外，在整个文件中，我们收集了各种意见，其他两个密切相关的傅里叶-贝塞尔的情况下，被认为是在文献中较早。我们相信，我们的观察揭示了一些新的光的分析傅里叶-贝塞尔展开。
Van der Corput inequalities for Bessel functions
本文通过部分地解决最近关于第一类修正Bessel函数及其导数的对数凸性/对数凸性的一个猜想，给出了与第一类Bessel函数以及第一类和第二类修正Bessel函数有关的某些函数的对数凸性/对数凸性.此外，我们将vanderCorput的两个不等式推广到第一类Bessel函数和修正Bessel函数，从而给出了上述结果的一个应用.类似的不等式也证明了修改的第二类贝塞尔函数，以及对数凹密度函数。
The radius of $α$-convexity of normalized Bessel functions of the first kind
本文对三种不同类型的第一类正规化贝塞尔函数导出了$α$凸性半径，并证明了当$α\in[0,1],$时，这些半径介于星形半径和凸性半径之间，且它们随参数$α.$的变化而减小.本文的结果统一了最近关于第一类正规化贝塞尔函数的星形半径和凸性半径的一些结果.证明中的关键工具是一些Dini函数的零点和第一类Bessel函数的零点的交错性质。
High-order derivatives of the Bessel functions with an application
我们确定了贝塞尔函数$J_ν(a)$和$K_ν(a)$的$n$阶导数的渐近行为，其中$a$是一个固定的正量，作为$n\to\infty$。这些结果被施加到两个不完全拉普拉斯变换的这些贝塞尔函数的区间$[0,a]$作为变换变量$x\to+\infty$的渐近评价。类似的评价积分涉及贝塞尔函数$Y_ν(t)$和$I_ν(t)$简要提及。
Riesz Potentials, Bessel Potentials and Fractional Derivatives on Besov-Lipschtz spaces for the Gaussian Measure
本文研究了Gaussian Besov-Lipschitz空间$B_{p,q}^α(γ_d)$上的里斯位势、Bessel位置和分数阶导数的有界性.这些结果也可以推广到Laguerre或Jacobi展开的情形，甚至进一步推广到扩散半群的一般框架。
On the $n$-th derivative and the fractional integration of Bessel functions with respect to the order
得到了贝塞尔函数的$n$阶导数关于阶数的整表示。这些表达式的数值计算是非常有效的使用双指数积分策略。另外，从Macdonald函数对应的整表示中，我们计算了一个新的积分。最后，我们计算了Bessel函数的分数阶导数关于阶数的整式。对文献中给出的某些特殊情况也给出了简单的证明。
Inequalities for the modified Bessel function of the second kind and the kernel of the Krätzel integral transformation
得到了第二类修正Bessel函数$K_ν$关于Γ函数的新的不等式.这些界限遵循的特殊情况下，我们得出的核心Krätzel积分变换的不等式。
On the complex zeros of Airy and Bessel functions and those of their derivatives
研究了Airy和Bessel方程在复平面上通解的零点分布。我们的研究结果特征的模式，其次是零的任何解决方案，在这样一种方式，如果一个零是已知的，它是可能的，以确定其余零的位置。
A note on a generalisation of a definite integral involving the Bessel function of the first kind
我们考虑一个广义的定积分涉及的第一类贝塞尔函数。结果表明，该积分可以用一元Fox-Wright函数${}_pΨ_q(z)$表示。通过适当选择参数来探索这种表示的一些结果。此外，还导出了Fox-Wright函数的无穷级数的两个封闭形式的计算式.
Zeros of Bessel function derivatives
证明了对$ν>n-1$，第一类Bessel函数$J_ν$的$n$阶导数的所有零点都是实单零点.证明了当$ν\geq n,$和$n$为自然数或为零时，第一类$J_ν$贝塞尔函数的$n$次导数和$(n+1)$次导数的正零点是交错的.我们的方法包括Weierstrassian表示的$n$ th导数，性质的Laguerre-Pólya类的整个功能，和Laguerre不等式。证明了第一类$\mathbf{H}_ν$的Struve函数的一阶和二阶导数零点的一些类似结果。本文所得结果推广和补充了关于第一类Bessel函数零点的一些经典结果。本文还提出了一些与Bessel函数零点的Hurwitz定理有关的公开问题，这些问题可能是进一步研究的兴趣所在。
Derivatives with respect to the degree and order of associated Legendre functions for $|z|>1$ using modified Bessel functions
表达式的衍生物相对于修改贝塞尔函数的顺序评估在整数阶和某些整表示的相关勒让德函数的模参数大于单位被用来计算导数的相关勒让德函数相对于它们的参数。对于第一类和第二类的相关联的勒让德函数，对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在奇数半整数阶数处被评估，并且对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在整数阶数处被评估。
On an identity for zeros of Bessel functions
在本文中，我们的目的是提出一个初等证明的身份Calogero关于零点的贝塞尔函数的第一类。此外，利用我们的初等方法，我们提出了第一类贝塞尔函数零点的一个新的恒等式，特别地，这个恒等式可归结为其他一些新的恒等式。我们还表明，我们的方法可以适用于其他特殊函数的零点，如第一类Struve函数，第二类修改贝塞尔函数。
Reflection formulas for order derivatives of Bessel functions
从贝塞尔函数的$n$阶导数关于阶的新整表示出发，导出了整数阶的$J_{ν}\left( t\right) $和$% Y_{ν}\left( t\right) $的一阶和二阶导数以及任意实数阶的$I_{ν}\left( t\right) $和$K_{ν}\left( t\right) $的$n$阶导数的反射公式.作为一阶导数反射公式的应用，我们将文献中的一些公式推广到负整数阶。此外，作为一个副产品，我们计算的积分，这似乎是没有在文献中报道。
Riesz Potentials, Bessel Potentials and Fractional Derivatives on Triebel-Lizorkin spaces for the Gaussian Measure
在前一篇文章中，我们详细研究了Gaussian Besov-Lipschitz空间$B_{p,q}^α(γ_d)$上的里斯位势、Bessel位置和分数阶导数的有界性。在本文中，我们将继续我们的研究，证明这些算子在高斯Triebel-Lizorkin空间$F_{p,q}^α(γ_d)$上的有界性。这些结果也可以推广到Laguerre或Jacobi展开的情形，甚至进一步推广到扩散半群的一般框架。
Bounds for the product of modified Bessel functions
本文主要研究第一类和第二类修正Bessel函数乘积的单调性。第一类和第二类修正Bessel函数的乘积也得到了一定的界。这些界改进和扩展了已知的第一和第二类零阶修正贝塞尔函数乘积的界。对修正Bessel函数的乘积给出了一个新的Turán型不等式，并指出了一些有待进一步研究的问题.
Riccati type recursions for some infinite series involving zeros of Bessel functions of the first kind
研究涉及第一类贝塞尔函数正零点的无穷级数，针对现有计算方法，提出一种依赖米塔格 - 莱夫勒展开、黎卡提微分方程及泰勒级数系数的递归算法，可产生级数值，有助于处理类似特殊函数零点无穷级数问题。
Extension of Huygens type inequalities for Bessel and modified Bessel Functions
本文建立了涉及第一类Bessel函数和修正Bessel函数的新的锐化Huygens型不等式
Generalized Huygens types inequalities for Bessel and modified Bessel functions
本文给出了第一类Bessel函数和修正Bessel函数的Huygens型不等式的推广。
Bounds for Turánians of modified Bessel functions
基于应用数学、生物学、化学、物理学和工程科学中的一些应用，导出了第一类和第二类修正Bessel函数的新的紧Turán型不等式.这些不等式为第一类和第二类修正贝塞尔函数的Turánian提供了尖锐的上下上界，并且在大多数情况下，当幅角趋于无穷大时，界的相对误差趋于零。我们证明的主要工具是Gronwall [19]关于常微分方程的一些思想，Ismail [28，29]关于第二类修正Bessel函数的商的整表示以及Hartman和Watson [24，26，59]的一些结果。作为主要结果的应用，对第一类和第二类修正Bessel函数的乘积给出了若干尖锐的Turán型不等式，并证明了该乘积是严格几何凹的.
Asymptotic behavior of zeros of Bessel function derivatives
本文导出了贝塞尔函数$n$阶导数零点的两种渐近展开，分别针对$k$或$ν$趋于无穷的情况，并建立显式误差界，扩展并细化了相关经典工作。
Generalization of Special Functions and its Applications to Multiplicative and Ordinary Fractional Derivatives
本文的目的是推广经典分数阶导数和乘法分数阶导数。为此，引入了一种新的广义修正Bessel函数，并给出了这种新函数I（v，q;x）与汇合型超几何函数之间的一个重要关系.此外，利用新的广义修正Bessel函数对超几何、合流超几何和广义β函数进行了推广.得到了广义修正Bessel函数的渐近公式和母函数。利用扩展的修正Bessel函数定义了经典分数阶导数和乘性分数阶导数的扩展，并首次利用复部分分式分解给出了有理函数的分数阶导数的显式表达式.
Inequalities for some integrals involving modified Bessel functions
对涉及第一类和第二类修正Bessel函数的积分建立了简单的不等式。在大多数情况下，这些不等式在一定限度内是紧的。由此，我们导出了广义超几何函数的一个包含第一类修正Bessel函数的紧二重不等式。我们还提出了一些开放的问题，从这项研究中出现的。
The radius of starlikeness of normalized Bessel functions of the first kind
本文的目的是确定第一类贝塞尔函数在三种不同归一化条件下的星形半径。在证明我们的主要结果的关键工具是第一类贝塞尔函数的Mittag-Leffler展开和事实，即根据Ismail和Muldoon [IM 2]，一些Dini函数的最小正零点小于第一类贝塞尔函数的第一个正零点。
Functional Estimates for Derivatives of the Modified Bessel Function $K_{0}$ and related Exponential Functions
设$K_{0}$表示第二类零阶修正Bessel函数。本文研究了正宗量函数$\tildeω_{n}\left( x\right) :=\frac{\left( -x\right) ^{n}K_{0}^{\left( n\right) }\left( x\right) }{n!}$.函数$\tildeω_{n}$在二维空间波动方程作为延迟势积分方程的表述中起着重要的作用。我们将证明，增长的衍生物$\tildeω_{n}^{\left( m\right) }$相对于$n$可以有界的$O\left( \left( n+1\right) ^{m/2}\right) $，而小和大的参数$x$的增长甚至成为独立的$n$。这些估计是基于$K_{0}$的积分表示，其中涉及的功能$g_{n}\left( t\right) =\frac{t^{n}}{n!}\exp\left( -t\right) $和它们的衍生物。然后，估计依赖于一个微妙的分析$g_{n}$及其衍生物，我们也将在本文中。
Sums of products of Bessel functions and order derivatives of Bessel functions
本文研究了（3）中表示的和。这些表达式是根据第一类和第二类贝塞尔函数及其积分导出的。进一步，我们指出积分可以写成MeijerG函数.
Bounds for an integral of the modified Bessel function of the first kind and expressions involving it
得到了积分$\int_0^x\mathrm{e}^{-γt}t^νI_ν(t)\,\mathrm{d}t$，$x>0$，$ν>-\frac{1}{2}$，$0<γ<1$的简单下界.我们对这个积分的大多数边界都是紧的，如$x\rightarrow\infty$。我们应用我们的一个不等式来约束一些涉及这个积分的表达式。这些表达式中的两个出现在斯坦的方差伽马近似的方法，我们的界限将允许技术进步的方法。
On a Neumann-type series for modified Bessel functions of the first kind
本文研究了第一类修正Bessel函数的Neumann型级数，它是在研究与二面体群有关的Dunkl算子时得到的，是Ben Said-Kobayashi-Orsted构造的Laguerre半群的一个例子.我们首先重新审视特定的情况下，对应于组的平方保持对称性，我们给两个新的和不同的证明比现有的。第一个证明使用的权力在一个诺依曼系列的贝塞尔函数的扩展，而第二个是基于一个二次变换的高斯超几何函数，并开辟了道路，以获得进一步的表达式时，潜在的二面体群的订单是2的权力。更一般地，我们给出了将该级数表示为$Φ_2$ -Horn汇合型超几何函数的De Bie al公式的另一个证明.在证明过程中，我们通过初等对称函数揭示了其公式中多重角的出现，得到了盖根堡多项式的一种新表示。
Turán type inequalities for oscillatory special functions
本文证明并推广了Baricz关于第一类贝塞尔函数的Turán型不等式猜想，通过分析归一化Turán表达式的局部最小值性质，将结果推广至一般贝塞尔函数、库仑波函数等，并给出复平面包含性质。
A note on zeros of derivatives of ultraspherical Bessel functions
本文研究超球贝塞尔函数导数正零点的渐近性质，针对任意固定参数 ν≥0、δ∈R 和 x>0，推导出当 k 趋于无穷时第 k 个正零点的渐近展开式。
Products of Bessel and modified Bessel functions
研究了第一类Bessel函数和修正Bessel函数的积和叉积的零点的实在性。从而得到了两个超几何多项式零点的实性以及Bessel函数的乘积和叉积的正规化形式的Fourier临界点的个数。此外，还得到了贝塞尔函数及其导数乘积的实零点的交错性质。作为应用，研究了第一类Bessel函数和修正Bessel函数的叉积和积的规范化形式的一些几何性质。对于叉积和乘积，研究了三种不同的归一化，并且对于六个函数中的每一个，通过使用它们的Hadamard分解，精确地确定了星形和凸性的半径。通过Euler-Rayleigh不等式给出了星形半径和凸性半径的紧下界和上界。给出了使这六个正规化函数在开单位圆盘上是星形凸函数的参数的充要条件。拉盖尔-波利亚类实整函数通过双曲多项式的性质和特征在本文中发挥了重要作用。文中还提出了一些有待进一步研究的问题。
Properties of the Turánian of modified Bessel functions
本文给出了第一类修正Bessel函数的Turán行列式的一些新的级数和整表示，从而给出了该问题中Turán行列式的新的渐近展开和紧界.结果表明，在自然和实序的情况下，Turánian可以表示为一个相对紧凑的形式，从而给出了第一类修正Bessel函数的Turán行列式的一个统一的上界.我们的结果补充和改进了文献中的一些结果。
Uniform asymptotic expansions for the zeros of Bessel functions
本研究针对含大参数和简单转向点的常微分方程，提出不含Airy函数导数的重新表述一致渐近展开，进而得到对大阶数所有零点一致有效的贝塞尔函数及其导数零点的显式初等系数渐近展开。
Integral formula for the Bessel function of the first kind
本文证明了第一类贝塞尔函数的一个新的整表示$J_μ(z)$。这个公式推广到任何$μ,z\in\mathbb{C}$的经典表示贝塞尔和泊松。
Starlikeness of a cross-product of Bessel functions
本文利用Shah和Trimble关于带单叶导数的超越整函数的一个结果、新发现的这种向量积的幂级数和无穷乘积表示，给出了第一类Bessel函数和修正Bessel函数及其导数的叉积接近凸的一个充要条件，以及一个稍微修改的版本的结果Lorch的单调性的零的向量积的顺序。
Some dual definite integrals for Bessel functions
在已知第一类Bessel函数的定积分的基础上，利用Hankel变换的积分变换方法，得到了未知定积分的精确解.
On Infinite Series of Bessel functions of the First Kind: $\sum_νJ_{Nν+p}(x), \sum_ν(-1)^νJ_{Nν+p}(x)$
第一类贝塞尔函数的无穷级数$\sum_ν^{\pm\infty} J_{Nν+p}(x)$、$\sum_ν^{\pm\infty} (-1)^νJ_{Nν+p}(x)$以封闭形式求和。这些表达式的评价工程狄拉克梳，选择特定序列内的贝塞尔系列。
Functional inequalities for modified Bessel functions
本文的目的是证明第一类和第二类修正Bessel函数的一些中值不等式。我们的证明是基于这些函数的对数导数的某些界，这些界实际上等价于这些函数的相应的Turán型不等式.作为第二类修正Bessel函数结果的应用，我们证明了伽玛-Γ分布的累积分布函数是对数凹的。在本文的最后，提出了几个开放的问题，这可能是感兴趣的进一步研究。
Discrete index transformations with squares of Bessel functions
介绍并研究了第一类和第二类贝塞尔函数平方指数变换的离散模拟$J_ν(z),\ Y_ν(z)$。对适当的函数类和序列类建立了相应的反演定理。
Monotonicity properties of some Dini functions
本文的目的是利用最近发展起来的第一类正规Bessel函数导数的Mittag-Leffler展开式，推导出第一类Bessel函数的特殊组合的一些新的单调性性质.利用这些单调性得到了第一类Bessel函数的一些新的不等式。
Integral representations and asymptotic expansions for the second type Neumann series of Bessel functions of the first kind
本文针对一类含参数的第一类贝塞尔函数第二类诺伊曼级数，推导出完全显式的积分表示，并给出带显式项的渐近展开，从而揭示贝塞尔函数导数级数的渐近行为。
Asymptotic formulae for the Lommel and Bessel functions and their derivatives
我们得到新的近似表示的Lommel函数的评分函数和近似表示的一阶导数的Lommel函数的评分函数的导数。使用相同的方法，我们获得了先前已知的近似表示的尼科尔森型贝塞尔函数及其一阶导数。我们还研究了我们的表示具有合理的精度的参数值。
Turán type inequalities for general Bessel functions
本文给出了一般Bessel函数的若干Turán型不等式及其对数导数的单调性和界.此外，我们还找到了一般Bessel函数的Turánian级数表示和相对极值。证明的关键工具是贝塞尔函数的递推关系和一些渐近关系。
Infinite series representations for Bessel functions of the first kind of integer order
我们发现了第一类整数阶实宗量贝塞尔函数的三个非幂无穷级数表示。这些级数只包含初等函数，非常简单。每个级数都是由包含贝塞尔函数的某个函数的傅里叶级数导出的。该系列包含参数$b$，通过将其设置为特定值，可以更改系列的特定形式。截断系列保留定性行为的贝塞尔函数在大$x$：他们有正弦样的形状与幅度下降。导出级数允许获得三角函数的新级数展开式。
Properties of modified Bessel functions and completely monotonic degrees of differences between exponential and trigamma functions
本文建立了关于第一类修正Bessel函数的不等式、单调性、凸性和单峰性，并计算了指数函数与三Γ函数的差的完全单调度.
On the interlacing property for zeros of Bessel functions
本研究提出一种仅依赖贝塞尔函数递推关系与曲线交点特征的简单方法，用于证明第一类贝塞尔函数正零点的交错性质，使相关性质更易被理解。
Integral representation for Bessel's functions of the first kind and Neumann series
利用Bessel函数Poisson整表示的Gegenbuaer延拓和Gegenbauer多项式的三角整表示，得到了第一类复阶Bessel函数的Fourier型整表示.这种表示法使我们可以用贝塞尔函数系列来表示与不完全Γ函数有关的各种函数。本文还研究了Bessel函数的Neumann级数，并给出了这类级数的一个新的封闭形式的整表示。该表示的密度函数简单地是与诺依曼级数的系数序列相关联的单位圆上的解析函数。文中还给出了特殊函数的新的封闭形式整表示的例子。
Zeros of Bessel cross-products coming from oblique derivative boundary value problems
本文致力于（组合）贝塞尔向量积所产生的斜导数边值问题的拉普拉斯算子在一个圆环。我们表明，像他们的Neumann-Laplacian对应（而不像Dirichlet-Laplacian），他们拥有两种零点：那些可以由McMahon级数导出，并发散到无限的极限，和例外的，仍然有限。对于这两种情况下，我们找到一个固定的倾斜角和消失的厚度的环的渐近表达式。我们进一步提出了数字计算的零图，并讨论了它们的行为时，倾斜角的变化和厚度保持不变。
The $q$-Lidstone series involving $q$-Bernoulli and $q$-Euler polynomials generated by the third Jackson $q$-Bessel function
本文给出了由第三类Jackson $q$ -Bessel函数生成的$q$ -Bernoulli和$q$ -欧拉多项式，构造了新的$q$ -Lidstone展开定理。证明了整个函数可以用$q$-Lidstone多项式展开，该多项式是伯努利多项式，系数是$q$ -导数$\frac{δ_q f(z)}{δ_q z}$在$0$和$1$的偶次幂.另一种形式是在$q$ -欧拉多项式的基础上，将函数展开为$q$ -Lidstone多项式，其系数包含$q$ -导数$\frac{δ_q f(z)}{δ_q z}$的奇次幂和偶次幂.
Marichev-Saigo-Maeda fractional integration operators of generalized Bessel functions
考虑了核中含有Appell函数或Horn函数的两个积分算子.用广义Wright函数和广义超几何级数表示了这类函数与第一类广义Bessel函数的复合。还讨论了许多特殊情况，包括余弦函数和正弦函数。
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