On solutions of the modified Helmholtz equation in a planar domain
PDMI RAS（圣彼得堡数学研究所）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文通过修正亥姆霍兹方程边值问题的解，给出了二维域凸性的判定准则。
2026-09-09 math.AP
Sharp high-frequency estimates for the Helmholtz equation and applications to boundary integral equations
本文研究Helmholtz方程在内域和外域中的三个问题，推导出精确的估计，用于边界积分算子的逆算子估计。
2015-10-06 cs.NA math.AP math.NA
On relations between harmonic functions and solutions of the modified Helmholtz equation
研究$m$维修正Helmholtz方程，建立了它在有界区域上的解与调和函数之间的两个关系。这两种关系本质上都依赖于牛顿位势的性质。还得到了这些解的其它一些性质。
2022-07-24 math.AP
Mean value properties of solutions to the modified Helmholtz equation and related topics (a survey)
综述了修正Helmholtz方程解的最新结果，即各种均值性质及其推论，这些性质的逆解和逆解，以及这些解与调和函数之间的关系。
2022-08-26 math.AP
Inverse mean value property of solutions to the modified Helmholtz equation
证明了欧几里得空间$\RR^m$中解析球的一个定理。为此，本文用修正的Helmholtz方程的正解代替了以往结果中的调和函数。所得到的Kuran型定理是基于该方程解的体积平均值性质。
2022-05-04 math.AP
Eigenvalues of the truncated Helmholtz solution operator under strong trapping
对于Dirichlet障碍物外的Helmholtz方程，我们证明了如果存在一族拟模（如障碍物的外部具有稳定的捕获光线的情况），则存在外狄利克雷问题的标准变分形式的近零特征值（回想一下，这个公式涉及截断外部域并在截断边界上应用外部狄利克雷-诺依曼映射）。我们证明这一结果的动机是：a）计算Helmholtz方程近似解的有限元法是基于标准变分公式的，b）特征值的位置，特别是接近零的特征值的位置，在理解迭代求解器（如广义最小残差法（GMRES））在用于求解线性系时的行为方面起着关键作用，特别是由有限元法产生的那些。因此，本文证明的结果是严格理解GMRES在强捕获下应用于高频亥姆霍兹问题的离散化时如何表现的第一步（同伴论文的主题[Marchand，Galkowski，Spence，Spence，2021]）。
2021-07-26 cs.NA math.AP math.NA
High-frequency estimates on boundary integral operators for the Helmholtz exterior Neumann problem
本文研究了一种求解高频Helmholtz外Neumann问题的常用的第二类边界积分方程，其中，将障碍物的边界写成$Γ$，相应的积分算子将$L^2(Γ)$映射到其自身.我们证明了新的频率显式的积分算子和它的逆的范数的界限。范数上的界限对于分段光滑的$Γ$是有效的，并且直到$\log k$的因子是尖锐的（其中$k$是波数），并且逆的范数上的界限对于光滑的$Γ$是有效的，并且至少当$Γ$是具有严格正曲率的光滑的时被观察到是尖锐的。总之，这些结果给出的经营者的条件数上的界限$L^2(Γ)$，这是第一次$L^2(Γ)$条件数界限已被证明为该运营商的障碍，而不是球。
2022-09-19 cs.NA math.AP math.NA
The convexity of a planar domain via properties of solutions to the modified Helmholtz equation
本文通过结合Varadhan公式与距离函数为上调和的性质，获得了平面区域凸性的一个新刻画。
2024-03-26 math.AP
Stability for the inverse source problem of the stochastic fractional Helmholtz equation
Zhejiang University（浙江大学）；Central China Normal University（华中师范大学）
本文研究白噪声驱动的随机分数阶亥姆霍兹方程反源问题，证明单频数据唯一确定源方差，并利用多频数据建立递增稳定性估计，稳定性随频率带宽上界增加而改善。
2026-09-24 math.AP
A uniqueness theorem for nonvariational solutions of the Helmholtz equation
针对亥姆霍兹方程外部非变分框架下的$α$-赫尔德连续解，定义分布外向单位法向导数，证明肖德尔边界正则性结果及外部狄利克雷和阻抗边值问题解的唯一性定理。
2025-04-14 math.AP
A limiting absorption principle for the Helmholtz equation with variable coefficients
在无穷远处Sommerfeld辐射条件下，证明了具有Dirichlet边界条件\begin{equation*} (L+λ)v=f, \qquad λ\in \mathbb{R} \end{equation*}的外区域上广义Helmholtz方程的极限吸收原理.算子$L$是一个变系数的二阶椭圆算子，主部是$-Δ$的小的、长程扰动，而低阶项可以是奇异的和大的。主要工具是一个尖锐的统一预解估计，它有独立的应用程序的问题，嵌入的特征值和光滑估计色散方程。
2018-01-18 math.AP
Dirichlet-to-Neumann operator for the Helmholtz problem with general wavenumbers on the $n$-sphere
Institut für Mathematik, Universität Zürich（苏黎世大学数学研究所）
研究外部球域上带Dirichlet边界条件和辐射条件的亥姆霍兹问题，证明DtN算子的波数显式连续性估计，并导出波数无关的迹和Friedrichs型不等式。
2026-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Mean value properties of solutions to the Helmholtz and modified Helmholtz equations
考虑了$m$维Helmholtz方程和修正Helmholtz方程解的平均值性质。这些属性的初等推导给出，它涉及到欧拉-泊松-达布方程。尽管这两个方程的这些性质形式相似，但它们的结果本质上是不同的。对调和函数的限制均值性质进行了修正，使得在一类特殊的有界区域内满足该性质的函数，可以在该区域内求解修正的Helmholtz方程.
2021-05-20 math-ph math.AP math.MP
The Solution of the Modified Helmholtz Equation in a Wedge and an Application to Diffusion-Limited Coalescence
给出了修正的Helmholtz方程q_{xx}（x，y）+ q_{yy}（x，y）-4b^2q（x，y）=0在楔形体0 < x < y <无穷大上的通解.这个解决方案是用来找到显式的稳定状态的扩散限制合并，A+ AA<-->，在半线上，在原点处的陷阱源。
1999-06-23 cond-mat.stat-mech math.AP
Decompositions of high-frequency Helmholtz solutions via functional calculus, and application to the finite element method
在过去十年中，[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]和[Melenk-Parsania-Sauter，2013]将高频亥姆霍兹解分解为“低频”和“高频"分量的结果对亥姆霍兹方程的数值分析产生了很大影响。这些结果已被证明的常系数Helmholtz方程的外部Dirichlet障碍或内部区域与阻抗边界条件。利用Helffer-Sjöstrand谓词演算，证明了散射问题的相似分解符合Sjöstrand-Zworski的黑箱散射框架，从而同时涵盖了变系数Helmholtz问题、不可穿透障碍问题和可穿透障碍问题.这些结果使我们能够证明新的频率显式收敛结果（一）的$hp$ -有限元法应用于变系数亥姆霍兹方程在外部的狄利克雷障碍，当障碍和系数是解析的，和（ii）的$h$ -有限元法应用于亥姆霍兹穿透障碍传输问题。特别地，（i）中的结果表明，应用于该问题的$hp$ -FEM不受污染效应的影响。
2022-08-01 cs.NA math.AP math.NA
A nonvariational Neumann problem for the Helmholtz equation
针对$C^{1,\alpha}$有界开集，在$\alpha$-Hölder连续函数空间中求解Helmholtz方程内外部Neumann问题，允许边界无经典法向导数及无穷Dirichlet积分，扩展至非变分框架。
2025-06-23 math.AP
A holographic uniqueness theorem for the two-dimensional Helmholtz equation
该研究针对二维外区域的Helmholtz方程，证明外区域的辐射解可由不平行于平面波传播方向的直线区间上总解的强度唯一确定，解决了二维全息学的经典数学问题，也丰富了二维辐射解的Karp展开理论。
2024-08-09 math-ph math.AP math.MP
The Helmholtz equation in random media: well-posedness and a priori bounds
证明了Helmholtz方程$\nabla\cdot(A\nabla u) + k^2 n u = -f$的解的适定性结果和先验界，该方程在$\mathbb{R}^d$中或在星形Lipschitz障碍物的外部，对于一类随机$A$和$n,$随机数据$f$，以及对于所有$k>0$ . $A$和$n$的特殊类以及障碍物上的条件确保了该问题几乎必然是非陷阱的。这些是第一个适定性的结果和先验界的随机Helmholtz方程为任意大的$k$和$A$和$n$变化独立的$k$。这些结果是通过结合最近的界限Helmholtz方程的确定性$A$和$n$和一般参数（即不是特定的Helmholtz方程）本文提出的证明先验界和适定性变分公式的线性椭圆随机偏微分方程。我们强调，这些一般性的结果不依赖于无论是拉克斯-米尔格拉姆定理或Fredholm理论，因为既不适用于随机变分制剂的亥姆霍兹方程。
2020-05-15 math.AP
Representation theorems for nonvariational solutions of the Helmholtz equation
Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）；Dipartimento di Matematica ‘Tullio Levi-Civita’（图利奥·列维-奇维塔数学系）
本文研究亥姆霍兹方程在区域及其外部的狄利克雷与诺伊曼问题，通过声学层势求解，并证明非变分解的积分表示定理，关注α-霍尔德连续解的特性。
2026-04-28 math.AP
On characterization of balls via solutions to the Helmholtz equation
得到了欧几里得空间$\RR^m$中球的一个新的解析刻画.不同于以往的结果，无论是使用调和函数或修改的Helmholtz方程的解决方案，目前是基于Helmholtz方程的解决方案。这是以限制域的大小为代价实现的--这是以前已知的反平均值特性中不存在的特征。
2022-05-04 math.AP
The Helmholtz equation in heterogeneous media: a priori bounds, well-posedness, and resonances
本文考虑非齐次Helmholtz方程的Dirichlet外问题，即方程$\nabla\cdot(A \nabla u ) + k^2 n u =-f$，其中$A$和$n$都是位置函数.我们证明了新的先验界的解决方案的条件下，$A$，$n$，和域，确保非捕获的射线;新颖的是，这些界限是明确的$k$，$A$，$n$，和几何参数的域。当$A$和$n$是$L^\infty$且满足一定的单调性条件时，我们证明了这些先验界成立，从而得到了关于这类问题的适定性和声传输问题的共振性的新结果（即，$A$和$n$不连续），其中传输接口仅被假设为$C^0$和星形;后一结果的新颖性在于，直到最近，关于声传输问题的共振的唯一已知结果是针对具有严格正曲率的$C^\infty$凸界面的。
2018-08-08 math.AP
Sensitivity analysis for active control of the Helmholtz equation
\cite{O2}中的结果（参见准静态区域的\cite{O1}）考虑具有固定频率$k$的亥姆霍兹方程，并且特别地暗示，对于在一组离散谐振频率之外并且给定源区域$D_a\subset \mathbb{R}^{d}$的$k$，（$d=\overline{2,3}$）和$u_0$，齐次标量亥姆霍兹方程在包含控制区域$D_c\subset \mathbb{R}^{d}$的集合中的解，在$\partial D_a$上存在无限类的边界数据，使得在$\mathbb{R}^{d} \setminus D_a$中对应的外部标量Helmholtz问题的辐射解将紧密地近似在$D_c$中的$u_0$。此外，在某个足够大的“远场”半径$R$之外，它将具有消失的小值。在本文中，我们研究了上述问题的最小能量解（例如，通过使用Tikhonov正则化与Morozov差异原理获得的解），并进行了详细的灵敏度分析。在这方面，我们讨论的最小能量的解决方案相对于测量误差的稳定性，以及取决于：天线，控制区域和远场半径$R$，正则化参数值，频率，源的位置之间的相互距离的可行性的主动计划（功率预算和精度）。
2015-04-19 math.AP
Simultaneously recover two constant coefficients and a polygon with a single pair of Cauchy data for the Helmholtz equation
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）
本文提出了一种基于一波因子分解方法，利用单对Cauchy数据同时恢复亥姆霍兹方程中两个常数系数和多边形障碍物的位置与形状。
2025-11-26 math.AP
"Potato kugel" for nuclear forces and a small one for acoustic waves
本文将Aharonov，Schiffer和Zalcman的“马铃薯Kugel”定理推广到分别描述核力和声波的修正Helmholtz方程和Helmholtz方程的情形，该定理涉及调和函数的逆性质.
2022-05-17 math.AP
Applying GMRES to the Helmholtz equation with strong trapping: how does the number of iterations depend on the frequency?
我们认为GMRES适用于离散化的高频率亥姆霍兹方程与强陷波，记得，在这种情况下，问题是指数病态的，通过一系列的频率增加。在一定的假设下的特征值的分布，我们证明了上界的GMRES迭代次数如何增长的频率。我们的主要重点是边界积分方程配方的外部狄利克雷和诺依曼障碍问题在2-和3-D的，对于这些问题，我们调查数值的清晰度（依赖于频率），我们的界限和各种数量进入我们的界限。因此，本文是第一次全面的研究的GMRES迭代次数的频率依赖性的Helmholtz边界积分方程下的陷阱。
2021-11-12 cs.NA math.AP math.NA
Characterizations of discs via weighted means
证明了欧氏平面$\RR^2$中解析圆的特征定理.修正的Helmholtz方程和调和函数的解的加权平均值性质用于此目的。对数权重的存在减小了平均值恒等式中的系数。加权平均也适用于亥姆霍兹方程的解。
2022-09-21 math.AP
A Rellich-type theorem for the Helmholtz equation in a junction of stratified media
该论文证明在分层介质连接的无界非均匀区域中，二维亥姆霍兹方程无非零平方可积解，无需边界条件，并推论出分支夹角大于π/2时无俘获模式。
2025-04-24 math.AP math.SP
The incompressible $α$--Euler equations in the exterior of a vanishing disk
本文考虑半径为$ε$的小圆盘外的$α$-Euler方程。我们假定初始位涡是紧支集的，且与$ε$无关，圆盘边界上未过滤速度的环流与$ε$无关。我们证明了这个问题的解收敛，作为$ε\to 0$，一个修改后的$α$ -欧拉方程的解决方案，在全平面内，一个额外的狄拉克位于中心的磁盘是强加在位涡。
2022-03-28 math.AP
Model BVP problem for the Helmhotz equation in a nonconvex angle with periodic boundary data
在本文中，我们求解了具有周期边界数据的Helmholtz方程在外角中的Dirichlet边值问题。我们证明了在适当的泛函类中解的存在唯一性，并给出了一个以Sommerfeld积分形式表示的显式公式。使用复特征线法[17]。
2022-08-28 math.AP
On Blow-up solutions to the nonlinear Schrödinger equation in the exterior of a convex obstacle
本文研究了具有质量-超临界聚焦非线性项的薛定谔方程在光滑、紧致、凸障碍物$\R^{d}$外的Dirichlet边界条件.我们证明了具有负能量的解在有限时间内爆破。假设进一步的非线性是能量亚临界的，我们也证明（在额外的对称性条件下）爆破与相同的最佳基态标准比在工作的Holmer和Roudenko $\R^{d}$。经典的证明，基于方差的平方根，失败的障碍物的外部，因为外观的边界条件与不利的迹象，在二阶导数的方差。我们证明的主要思想是引入一个新的修改方差，它是有界的，严格凹的解决方案，我们考虑。
2020-12-24 math.AP
Time-Harmonic Electro-Magnetic Scattering in Exterior Weak Lipschitz Domains with Mixed Boundary Conditions
本文讨论了在被分成两个不相交的弱Lipschitz区域的外部弱Lipschitz区域中由Maxwell方程控制的时谐电磁散射或辐射问题。我们将给出一个利用旋转和发散的多项式加权索伯列夫空间的求解理论。我们将展示一个Fredholm替代型的结果，使用Eidus在20世纪60年代引入的限制吸收原理。麦克斯韦方程组的本征函数的必要的先验估计和多项式衰减将通过使用电磁场的适当分解来转移亥姆霍兹方程的众所周知的结果而获得。存在的关键点是Weck选择定理的局部版本，也称为Maxwell紧性。
2019-04-29 math-ph math.AP math.MP
Dispersive Estimates for Maxwell's Equations in the Exterior of a Sphere
本文研究了完全导电球外部麦克斯韦方程的高频色散估计，构造了新的广义本征函数，证明了电场传播子的全局衰减率，并指出部分极化以与波动算子相同的速率散射。
2024-09-25 math.AP math.FA math.SP
Wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz $h$-BEM: error estimates and iteration counts for the Dirichlet problem
Stanford University（斯坦福大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文研究了使用标准二阶混合场积分方程求解Helmholtz方程外部Dirichlet问题的h-BEM方法，推导了在障碍物边界解析且曲率严格正时，GMRES迭代次数与波数k增长的关系的新的精确界，并证明了当障碍物非捕获时，h必须随k减小的新的界，以保持k无关的拟最优性。
2019-02-22 cs.NA math.AP math.NA
Spurious Quasi-Resonances in Boundary Integral Equations for the Helmholtz Transmission Problem
考虑了材料系数为分段常数的Helmholtz透射问题，以及标准的相关直接边界积分方程。对于某些系数和几何形状，边界积分算子的逆的范数通过频率的增加序列快速增长，即使这不是传输问题的解算子的情况;我们称这种现象为伪准共振。我们给出了一个严格的解释，为什么以及当寄生准共振发生，并提出修改后的边界积分方程，不受它们的影响。
2022-04-27 cs.NA math.AP math.NA
Well-posedness for the biharmonic scattering problem for a penetrable obstacle
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Purdue University（普渡大学）；The University of Arizona（亚利桑那大学）
本文研究了可渗透障碍物在弹性板中的双调和波散射问题，通过算子分解方法分析了适定性及互易关系，并通过数值示例验证了理论结果。
2026-02-18 math.AP
On reconstruction from imaginary part for radiation solutions in two dimensions
本文研究二维外部区域 Helmholtz 方程辐射解的唯一性重构，证明直线区间上的虚部即可确定全场，并推广到其他测量曲线及反问题与被动成像应用。
2025-05-14 math-ph math.AP math.MP
Walk on Spheres Algorithm for Helmholtz and Yukawa Equations via Duffin Correspondence
Hunan First Normal University（湖南第一师范学院）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Vaasa（瓦萨大学）
本文通过Duffin对应将常势时间无关Schrödinger方程转化为拉普拉斯方程，提出球面漫步算法求解边界值问题，并与现有改进算法进行比较。
2015-12-24 cs.NA math.AP math.NA
The $hp$-FEM applied to the Helmholtz equation with PML truncation does not suffer from the pollution effect
本文证明带 PML 截断的变系数外部 Helmholtz 方程在 $hk/p$ 与多项式阶数条件满足时，$hp$-FEM 的 Galerkin 解关于波数 $k$ 拟最优且无污染效应。
2024-01-18 cs.NA math.AP math.NA
Metaharmonic functions: mean flux theorem, its converse and related properties
证明了Helmholtz方程及其修正形式解的平均通量定理。此外，他们的逆被认为是与其他一些属性概括那些保证调和。
2020-04-06 math-ph math.AP math.MP
Modified representations for the close evaluation problem
当使用边界积分方程方法时，我们将线性偏微分方程的解表示为层势。众所周知，使用求积规则的层势近似在接近边界（但不在边界上）时分辨率较差。为了应对这一挑战，我们提供了问题的解决方案的修改表示。类似于高斯定律用于修改拉普拉斯的双层位势，我们使用修改后的拉普拉斯的单层势和亥姆霍兹层势的表示，避免了封闭的评估问题。在表示公式的背景下或使用插值技术已经开发了一些技术。我们直接提供层势的替代修改表示（或当只有一个密度处于危险之中时）。几个数值例子说明了效率的技术在二维和三维。
2021-09-22 cs.NA math.AP math.NA
Local absorbing boundary conditions on fixed domains give order-one errors for high-frequency waves
针对高频波在固定人工边界上使用局部吸收边界条件（Padé近似）逼近Helmholtz外部问题，证明相对误差有界且不随频率趋于零，呈一阶误差。
2023-06-22 cs.NA math.AP math.NA
Nonradiating sources of the biharmonic wave equation
本文研究双调和波动方程的非辐射源，推导等价表征并建立与亥姆霍兹方程的联系，通过示例证明其存在，指出其削弱固定频率下逆源问题的唯一性。
2023-09-03 math-ph math.AP math.MP
The direct scattering problem of obliquely incident electromagnetic waves by a penetrable homogeneous cylinder
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文研究了电磁波斜射入无限长介电柱体的直接散射问题，通过将Maxwell方程转化为二维Helmholtz方程组，并利用积分方程方法证明了唯一性和存在性，最终提出高效的数值方案。
2016-06-07 cs.NA math.AP math.NA
Patched peakon weak solutions of the modified Camassa-Holm equation
本文研究了带有色散项$2ku_x$的修正Camassa-Holm（mCH）方程对$k\in\mathbb{R}$的行波解和峰子弱解.利用非线性变换研究了mCH方程通过Hamilton系统的行波解。该哈密顿系统给出的典型行波解是无界的或多值的。我们提出了一种称为修补技术的方法，将这些行波解截断，并修补不同的段，得到修补的有界单值峰值弱解，这些解在峰值处满足跳跃条件。然后，我们研究了由Helmholtz算子$1-\partial_{xx}$的基本解构造的一些特殊的峰子弱解，这些弱解也可以通过修补技术得到。最后，我们研究了当$k=1$时，mCH方程所能描述的一类保长度和保总符号面积的闭平面曲线流，给出了它的Hamilton结构，并利用修补周期峰子弱解研究了具有尖点的回路.
2017-03-21 math-ph math.AP math.MP
