We study in detail Hodge-Helmholtz decompositions in non-smooth exterior domains filled with inhomogeneous and anisotropic media. We show decompositions of alternating differential forms belonging to weighted Sobolev spaces into irrotational and solenoidal forms. These decompositions are essential tools, for example, in electro-magnetic theory for exterior domains. In the appendix we translate our results to the classical framework of vector analysis.
Leray weak solutions of the Incompressible Navier Stokes system on exterior domains via the artificial compressibility method
本文研究了不可压Navier斯托克斯方程在外部区域上的Leray弱解，特别是描述了J. L. Lions和Temam提出的人工压缩方法的双曲形式.由于声波的存在，这些类型的近似的收敛性通常显示出缺乏强收敛性。在本文中，我们面对这一困难，照顾这些波的色散性质的装置的Escherichartz估计或波方程满足的压力。我们实际上将压力分解在不同的声学分量中，每一个声学分量都满足一个特定的初边值问题。利用相应的Leray-Hodge分解，可得到速度场的强收敛性分析。
Hodge-Dirac, Hodge-Laplacian and Hodge-Stokes operators in L^p spaces on Lipschitz domains
研究作用在Lp（$Ω$，λ）中的Hodge-Dirac算子D = d + $δ$，其中$Ω$是Rn中满足某种利普希茨条件的有界开子集，λ是Rn的外代数，d是作用在$Ω$上微分形式的de Rham复形上的外导数，$δ$是具有切向边界条件的内导数.在L2（$Ω$，λ）中，$δ$ = d * 且D是自伴的，因此在L2（$Ω$，λ）中有界预解式（I + itD）-1 t $\in$ R以及有界谓词演算.研究了p H \textless{} p \textless{} p H关于p = 2值域，其中D在Lp（$Ω$，λ）中具有有界预解式和有界全纯谓词演算.在我们称之为非常弱Lipschitz的域上，我们证明了这是与Lp（$Ω$，λ）具有Hodge（或Helmholz）分解的值的范围相同的值的范围，是包含2的开区间。Hodge-Laplacian Δ是Hodge-Dirac算子的平方，即--Δ = D2，所以当p H \textless{} p \textless{} p H时，它在Lp（$Ω$，λ）中也有界谓词演算.但是，具有Hodge边界条件的Stokes算子，即-Δ对Lp中无散度向量场的子空间的限制，（$Ω$，λ 1）具有切向边界条件，对于p的进一步值，即对于max{1，p H S } \textless{} p \textless{} p H，p H S是p H以下的Sobolev指数…
The Helmholtz equation in random media: well-posedness and a priori bounds
证明了Helmholtz方程$\nabla\cdot(A\nabla u) + k^2 n u = -f$的解的适定性结果和先验界，该方程在$\mathbb{R}^d$中或在星形Lipschitz障碍物的外部，对于一类随机$A$和$n,$随机数据$f$，以及对于所有$k>0$ . $A$和$n$的特殊类以及障碍物上的条件确保了该问题几乎必然是非陷阱的。这些是第一个适定性的结果和先验界的随机Helmholtz方程为任意大的$k$和$A$和$n$变化独立的$k$。这些结果是通过结合最近的界限Helmholtz方程的确定性$A$和$n$和一般参数（即不是特定的Helmholtz方程）本文提出的证明先验界和适定性变分公式的线性椭圆随机偏微分方程。我们强调，这些一般性的结果不依赖于无论是拉克斯-米尔格拉姆定理或Fredholm理论，因为既不适用于随机变分制剂的亥姆霍兹方程。
The Helmholtz equation in heterogeneous media: a priori bounds, well-posedness, and resonances
本文考虑非齐次Helmholtz方程的Dirichlet外问题，即方程$\nabla\cdot(A \nabla u ) + k^2 n u =-f$，其中$A$和$n$都是位置函数.我们证明了新的先验界的解决方案的条件下，$A$，$n$，和域，确保非捕获的射线;新颖的是，这些界限是明确的$k$，$A$，$n$，和几何参数的域。当$A$和$n$是$L^\infty$且满足一定的单调性条件时，我们证明了这些先验界成立，从而得到了关于这类问题的适定性和声传输问题的共振性的新结果（即，$A$和$n$不连续），其中传输接口仅被假设为$C^0$和星形;后一结果的新颖性在于，直到最近，关于声传输问题的共振的唯一已知结果是针对具有严格正曲率的$C^\infty$凸界面的。
