On the Ramsey multiplicity of complete graphs
我们证明了，对于$n$大，必须存在至少\[\frac{n^t}{C^{(1+o(1))t^2}}\]单色$K_t$ s在任何两个着色的边缘的$K_n$，其中$C \approx 2.18$是一个明确定义的常数。旧下界，由于Erdos的\cite{E62}，并基于拉姆齐定理的标准界限，是\[\frac{n^t}{4^{(1+o(1))t^2}}.\]
2007-11-30 math.CO
On the star-critical Ramsey number of a forest versus complete graphs
设$G$和$G_1, G_2, \ldots , G_t$是给定的图。$G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)$是指如果$G$的边被$t$颜色任意着色，则对于某些$i$，$1\leq i\leq t$，$G$的边被第$i$颜色着色的生成子图，包含$G_i$的副本。拉姆齐数$R(G_1, G_2, \ldots, G_t)$是最小的正整数$n$，使得$K_n\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)$和大小拉姆齐数$\hat{R}(G_1, G_2, \ldots , G_t)$被定义为$\min\{|E(G)|:~G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)\}$。对于给定的具有$r=R(G_1, G_2, \ldots , G_t)$的图$G_1, G_2, \ldots , G_t$，星临界Ramsey数$R_*(G_1, G_2, \ldots , G_t)$定义为$\min\{δ(G):~G\subseteq K_r, ~G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)\}$。本文将根据完全图的拉姆齐数精确计算森林相对于任意数量的完全图的拉姆齐数和星临界拉姆齐数。结果，计算出的星临界Ramsey数被用来给出森林与完全图的Ramsey数大小的紧界。
2021-01-20 math.CO
A polynomial improvement for the odd cycle-complete Ramsey numbers
Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)（巴西国家纯粹与应用数学研究所）；King’s College London, Department of Mathematics（伦敦国王学院）
本文改进了奇环-完全Ramsey数的下界，通过多项式因子提升，揭示了对于固定奇数ℓ>7，当k趋近于无穷时，Ramsey数的渐进行为。
2026-05-01 math.CO
On multicolor Ramsey number for 3-paths of length three
我们证明了，如果我们用$n$颜色对完全$3$ -一致完全图的$2n+\sqrt{18n+1}+2$顶点上的超边进行着色，则其中一个颜色类包含长度为3的松弛路.
2016-11-24 math.CO
On tight tree-complete hypergraph Ramsey numbers
本文扩展了Chvátal的树-完全图拉姆齐数结论，证明了对于3和4-一致非平凡紧树，其超图拉姆齐数满足 $R(T,n)=Θ(n^{r-1})$，主要贡献在于提出了受Cooper-Mubayi构造启发的4-一致构造。
2024-12-27 math.CO
Star-critical Ramsey numbers for cycles versus the complete graph on 5 vertices
令$G$、$H$和$K$表示三个没有环或平行边的图，$n$表示一个整数。给定$G$边缘的任何红蓝色着色，如果$K$中存在$G$的红色副本或$K$中存在$H$的蓝色副本，则我们称之为$K \rightarrow (G,H)$。设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$C_n$表示$n$顶点上的圈，$S_n=K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星.拉姆齐数$r(G, H)$定义为$\min\{n \mid K_n\rightarrow (G,H)\}$。同样，星临界拉姆齐数$r_*(H, G)$定义为$\min\{k \mid K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (H, G) \}$。当$n >3$，在本文中，我们表明，$r_*(C_n,K_5)=3n-1$除了$r_*(C_4,K_5)=13$。我们还刻画了所有Ramsey临界$r(C_n,K_5)$图。
2019-01-29 math.CO
Triangle Ramsey numbers of complete graphs
本文针对Spiro的问题，证明了对于足够大的t，完全图K_t的三角形Ramsey数等于其Ramsey数选择3的组合数，并通过图染色中三角形计数下界的结果实现。
2025-10-01 math.CO
On Star critical Ramsey numbers related to large cycles versus complete graphs
设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$G, H$表示有限图.考虑$K_n$的边的双着色。当第一种颜色（红色）的$G$副本或第二种颜色（蓝色）的$H$副本在$K_n$中时，我们写为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。星临界Ramsey $r_*(G, H)$定义为$k$的最大值，使得$K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (G, H)$。在本文中，我们发现$r_*(C_n, K_m)$为$m \geq 7$和$n \geq (m-3)(m-1)$。
2020-09-15 math.CO
Multicolor Ramsey Numbers for Complete Bipartite Versus Complete Graphs
令H_1，...，H_k是图。本文讨论了Ramsey数r（H_1，...，H_k）是最小整数r，使得在K_r的每一个k色边染色中，对于某个1 <= i <= k，存在H_i在颜色i中的单色副本。在本文中，我们研究了Ramsey数$r(K_{2,t},...,K_{2,t},K_m)$，确定了几乎所有范围内的t和m的渐近行为的多对数因子。几种不同的结构被用于下界，包括随机图和显式图建立从有限域。阿隆和Rödl使用的概率方法和频谱参数的技术，以提供紧密的下界。对于任何t和m，示例结果是$c_1 m^2t/\log^4(mt) \leq r(K_{2,t},K_{2,t},K_m) \leq c_2 m^2t/\log^2 m$，其中c_1和c_2是绝对常数。
2013-09-12 math.CO
An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs
考虑正整数的四元组$(a,b,m,n)$与$a\leq b$和$m\leq n$使得完全二部图$K_{m,n}$的任意正常边染色包含彩虹$K_{a,b}$子图.我们证明，任何这样的四元与$a\leq m$和$n>(a^2-a+1)(b-1)$满足这一性质。我们还证明了四重$(2,3,3,6)$满足这一性质。我们以一个猜想结束。
2015-06-25 math.CO
The anti-Ramsey number of $C_{3}$ and $C_{4}$ in the complete $r$-partite graphs
边着色图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色.对于图$G$和图族$\mathcal{H}$，反Ramsey数$ar(G, \mathcal{H})$是使$G$的边着色与$\mathcal{H}$中任何图的彩虹拷贝完全一致的最大数.本文研究了完全$r$ -部图中$C_{3}$和$C_{4}$的反Ramsey数.对于$r\ge 3$和$n_{1}\ge n_{2}\ge \cdots\ge n_{r}\ge 1$，我们确定了$ ar(K_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r}},\{C_{3}, C_{4}\}), ar(K_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r}}, C_{3})$和$ar(K_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r}}, C_{4})$。
2020-07-12 math.CO
Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs
本文证明了关于分块着色完全图的一个新结果，并利用它精确地确定了某些Ramsey数。我们证明的划分定理是：当k至少为1时，在一个完全图的边着色为红色和蓝色的图中，有可能用k条不相交的红色路覆盖所有的顶点，并且有可能用一个不相交的蓝色平衡完全（k+1）-部图覆盖所有的顶点。当着色为红色连通时，我们证明了一个更强的结果--有可能用k条红色路覆盖所有顶点，并且有可能得到一个蓝色平衡的完全（k+2）-部图。利用这些结果，我们确定的Ramsey数的一条路上的n个顶点，与平衡的完全k-部图，在每一个部分有m个顶点，当m-1是可除的n-1。这推广了Erdos的一个结果，他证明了m=1的情况。我们还确定了Ramsey数的路径上的n个顶点与权力的路径上的n个顶点。这解决了Allen、Brightwell和Skokan的一个猜想。
2013-09-16 math.CO
The Ramsey numbers of paths versus wheels: a complete solution
设$G_1$和$G_2$是两个给定的图。Ramsey数$R(G_1,G_2)$是最小整数$r$，使得对于$r$顶点上的每个图$G$，$G$包含$G_1$或$\overline{G}$包含$G_2$。我们用$P_n$表示$n$顶点上的路径，用$W_m$表示$m+1$顶点上的轮。Chen等人和Zhang分别测定了$m\leq n+1$和$n+2\leq m\leq 2n$时的$R(P_n,W_m)$值。在本文中，我们确定所有的值$R(P_n,W_m)$的左情况$m\geq 2n+1$。结合Chen等人和Zhang等人的结果，我们给出了确定路径与轮的Ramsey数问题的完整解。
2013-12-07 math.CO
Odd-Ramsey numbers of complete bipartite graphs
本文研究完全二部图的奇拉姆齐数，完整解决生成完全二部图族的对应问题，证明其与线性二元码最大维数问题等价，借助编码理论结果得到渐近紧界，并给出非生成完全二部子图的奇拉姆齐数界。
2024-10-08 math.CO
Ordered Ramsey numbers
给定一个顶点集为$\{1, 2,\ldots,n\}$的标号图$H$，序Ramsey数$r_<(H)$是使$\{1, 2, \ldots,N\}$上的完全图的边的每一个双染色都包含一个顶点出现顺序与$H$相同的$H$的副本的最小$N$.一个标号图$H$的有序Ramsey数至少是Ramsey数$r(H)$，并且对于完全图这两个数是一致的.然而，我们证明，即使是匹配有标号的顺序拉姆齐数是超多项式的顶点数。在其他结果中，我们还证明了一个一般的上界有序Ramsey数，这意味着存在一个常数$c$，使得$r_<(H) \leq r(H)^{c \log^2 n}$的任何标记图PDMATHAMM的顶点集$\{1,2, \dots, n\}$。
2016-04-25 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
Ramsey numbers for complete graphs versus generalized fans
对于两个图$G$和$H$，令$r(G,H)$和$r_*(G,H)$分别表示$G$与$H$的Ramsey数和星临界Ramsey数。1996年，Li和Rousseau证明了$m\geq 3$和充分大$n$的$r(K_{m},F_{t,n})=tn(m-1)+1$，其中$F_{t,n}=K_{1}+nK_{t}$ .最近，Hao和Lin证明了$r(K_{3},F_{3,n})=6n+1$对于$n\geq 3$和$r_{\ast}(K_{3},F_{3,n})=3n+3$对于$n\geq 4$。在本文中，我们表明，$r(K_{m}, sF_{t,n})=tn(m+s-2)+s$足够大的$n$，特别是，$r(K_{3}, sF_{t,n})=tn(s+1)+s$的$t\in\{3,4\},n\geq t$和$s\geq1$。我们还表明，$r_{\ast}(K_{3}, F_{4,n})=4n+4$的$n\geq 4$和建立上界$r(F_{2,m},F_{t,n})$。
2021-11-11 math.CO
A conjecture of Erdős on graph Ramsey numbers
图$G$的Ramsey数$r(G)$是最小$N$，使得完全图的边在$N$顶点上的每个红-蓝着色包含$G$的单色副本。确定或估计这些数字是组合学的核心问题之一。拉姆齐理论中最古老的结果之一是Erdenses和Szekeres在1935年证明的，即具有$m$边的完全图的Ramsey数至多为$2^{O(\sqrt{m})}$。出于这一估计的动机，Erd在四分之一个多世纪以前提出，存在一个绝对常数$c$，使得对于任何具有$m$边且没有孤立顶点的图$G$，$r(G) \leq 2^{c\sqrt{m}}$。在这篇短文中，我们证明了这个猜想。
2010-01-30 math.CO
The Ramsey Number for a Forest versus Disjoint Union of Complete Graphs
给定两个图$G$和$H$，拉姆齐数$R(G,H)$是最小整数$N$，使得$K_N$的边的任何着色为红色或蓝色都会产生红色$G$或蓝色$H$。设$v(G)$为$G$的顶点数，$χ(G)$为$G$的色数。令$s(G)$表示$G$的色剩余，即在所有具有$χ(G)$颜色的$G$的真着色上所取的最小色类的基数。Burr证明，对于连通图$G$和具有$v(G)\geq s(H)$的图$H$，$R(G,H) \geq (v(G)-1)(χ(H)-1)+s(H)$。一个连通图$G$称为$H$ -好的，如果$R(G,H)=(v(G)-1)(χ(H)-1)+s(H)$。本文主要确定了任意树$T_n$与$K_m\cup K_l$的Ramsey数。我们的结果得出$T_n$是$K_m\cup K_l$ -良好的。
2022-01-13 math.CO
A Ramsey theorem for biased graphs
$biased\ graph$是一对$(G,\mathcal{B})$，其中$G$是一个图，而$\mathcal{B}$是$G$的“平衡”电路的集合，使得$G$的$Θ$ -子图不包含恰好两个平衡电路。证明了一个Ramsey型定理，证明了如果$(G,\mathcal{B})$是一个有偏图，而$G$是一个非常大的完全图，则$G$包含一个大的完全子图$H$，使得$H$中的平衡圈集具有三种特定的、高度对称的结构之一，所有这些结构都可以通过群标号自然地描述.
2018-03-27 math.CO
The Ramsey number of a long cycle and complete graphs
本文证明了对于任意连通图$G_1,\dots,G_n$和$n_1,\dots,n_r\in\mathbb{N}$，多色Ramsey数$R(G_1,\dots,G_n,K_{n_1},\dots,K_{n_r})$至少是$(γ-1)(κ-1)+1$，其中$γ=R(G_1,\dots,G_n)$和$κ=R(K_{n_1},\dots,K_{n_r})$ . Erd \H os at al.证实，除$n=l=3$外，每个$n\geq l\geq 3$均使用$R(C_n,K_l)=(n-1)(l-1)+1$。Nikiforov为$n\geq 4l+2$证明了这个猜想。利用上述界，我们得到这个结果的如下推广。$R(C_n,K_{n_1},\dots,K_{n_r})=(n-1)(κ-1)+1$，其中$κ=R(K_{n_1},\dots,K_{n_r})$和$n\geq 4κ+2$。
2020-09-25 math.CO
Anti-Ramsey numbers for trees in complete multi-partite graphs
设$G$是阶为$n$的完全多部图.本文研究了关于$G$的反Ramsey数$ar(G,\mathcal{T}_{q})$和具有$q$边的树的集合$\mathcal{T}_{q}$，其中$2\le q\le n-1$ .对于$q=n-1$，Lu，Meier和Wang已经得到了结果。我们将把它扩展到$q<n-1$。我们首先证明了$ar(G,\mathcal{T}_{q})=\ell_{q}(G)+1$，其中$\ell_{q}(G)$是$G$的不连通生成子图$H$的最大尺寸，且$H$的任意两个分支最多有$q$顶点.利用这个等式，我们得到了$n-3\le q\le n-1$的$ar(G,\mathcal{T}_{q})$的精确值。在计算$(4n-2)/5\le q\le n-1$时，我们也用一个简单的算法计算了$ar(G,\mathcal{T}_{q})$.
2021-07-28 math.CO
An additive version of Ramsey's theorem
我们证明了，对于每一个$r, k$，有一个$n = n(r,k)$，使任何$r$染色的$[n]$上的完全图的边缘将产生一个单色的顶点${a + \sum_{i \in I} d_i \mid I \subseteq [k]}$上的完全子图的$a, d_1,..., d_k$的一些选择。特别地，总是存在$x_1 + ... + x_\ell = y_1 + ... + y_\ell$的解，其诱导子图是单色的。
2012-02-28 math.CO
A note on Gallai-Ramsey number of even wheels
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$ -着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个图$H$和一个整数$k\geq 1$，$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每一个Gallai $k$ -染色包含$H$的单色拷贝。令$W_{2n} $表示$2n+1\ge5$顶点上的偶数轮。本文研究了$W_{2n}$的Gallai-Ramsey数，并完全确定了所有$k\ge2$的$GR_k(W_4)$的精确值.
2019-10-28 math.CO
Three early problems on size Ramsey numbers
图$H$的大小Ramsey数定义为图$H$中使得在$E(G)$的每一个二色图中都有一个$H$的单色副本的最小边数.拉姆齐数的大小是由Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp在1978年提出的，他们在结束他们的基础论文时询问是否可以确定三个图族的拉姆齐数的大小，直到一个常数因子：完全二部图，书图（通过将许多公共邻居添加到团的顶点来获得），和星爆图（通过向团的每个顶点添加许多悬垂边获得）。在本文中，我们完全解决了后两个问题，并取得了实质性的进展，第一个确定的大小拉姆齐数的$K_{s,t}$到一个常数因子的所有$t = Ω(s\log s)$。
2023-02-08 math.CO
Ramsey numbers of trails and circuits
我们证明了完全图$K_n$的边的每一个双染色都包含一个长度至少为$2n^2/9 +o(n^2)$的单色迹或圈，这是渐近最佳可能的。
2022-04-05 math.CO
A note on zero-sum Ramsey numbers of complete graphs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
研究完全图情形下模3的零和拉姆齐数，通过证明对于满足特定条件的n，R(Kn, Z₃)=n + 3，解决了Caro和Mifsud的相关问题。
2026-07-28 math.CO
On the size multipartite Ramsey numbers involving complete graphs
该研究聚焦大小多部拉姆齐数m_j(H,G)，推导了基于H色数和G阶数的通用下界，给出大最大度图G对应的m_j(K_m,G)紧下界，还确定了m_j(K_m,K_{1,n})的数量级及多类特殊情形下的精确值。
2024-07-10 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Ramsey Numbers of Connected Clique Matchings
我们确定了连通团匹配的Ramsey数。也就是说，我们表明，如果$G$是一个$2$ -边着色完全图上的$(r^2 - r - 1)n - r + 1$顶点，那么有一个单色连通子图包含$n$不相交副本的$K_r$，这个数量的顶点不能减少。
2016-05-24 math.CO
Generalized Ramsey numbers: forbidding paths with few colors
令$f(K_n, H, q)$为对$K_n$进行边缘着色所需的最小颜色数，以使$H$的每个副本至少用$q$颜色着色。当$H$是完全图时，Erdens和Shelah首先提出了这个极值函数，当$H$是完全图或完全平衡二部图时，这个极值函数的渐近性得到了广泛的研究.在这里，我们研究这个功能的一些其他$H$，特别是我们确定的渐近行为$f(K_n, P_v, q)$的几乎所有值的$v$和$q$，其中$P_v$是一个路径上的$v$顶点。
2020-01-27 math.CO
Constructive Methods in Gallai-Ramsey Theory for Hypergraphs
超图拉姆齐理论的最新进展主要集中在构造相应的拉姆齐数的下界。在本文中，我们考虑应用这些结果的Gallai着色。也就是说，我们专注于Ramsey数只考虑$t$ -着色的完全$r$ -一致超图，其中没有彩虹$K_{r+1}^{(r)}$ -子超图存在的超边。我们还提供了新的结构，这意味着许多$3$和$4$ -一致的拉姆齐数和$3$和$4$ -一致的Gallai-Ramsey数的改进的下界。
2019-02-04 math.CO
A sunflower anti-Ramsey theorem and its applications
超图中的$h$ -向日葵是具有公共$h$顶点的边族。我们表明，如果我们的颜色的边缘完全超图在这样一种方式，任何单色$h$ -向日葵有最多$λ$花瓣，那么它包含一个大的彩虹完全子超图。这扩展了Lefmann，Rödl和Wysocka的一个定理，但这个版本可以应用于几何和代数问题。我们也给出了一个无限版本的定理。
2015-05-19 math.CO
Three colour bipartite Ramsey number of cycles and paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{n,n}$包含$H$的单色副本的最小整数$n$.对二部Ramsey数的研究始于40多年前，由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立地提出，他们确定了路的$2$ -色Ramsey数。本文渐近地确定了路和（偶）圈的$3$ -色二部Ramsey数.
2019-08-06 math.CO
On anti-Ramsey numbers for complete bipartite graphs and the Turan function
给定两个图$G$和$H$与$H\subseteq G$，我们考虑反拉姆齐函数$AR(G,H)$，这是最大数量的颜色在任何边着色的$G$，使每个副本的$H$接收相同的颜色至少一对边缘。图$G$和图族$\mathcal{F}$的经典Turán函数，写作$ex(G,\mathcal{F})$，定义为不包含$\mathcal{F}$任何成员的$G$的子图的最大边数。我们表明，存在一个常数$c>0$，使$AR(K_n,K_{s,t})-ex(K_n,K_{s,t})<cn$和$c$只依赖于$s$和$t$，这意味着$AR(K_n,K_{s,t})\leq cn^{2-\frac{1}{s}}$，为$s\leq t$的结果K \H ovari，Sós和Turán。
2015-11-18 math.CO
An improved lower bound for multicolor Ramsey numbers and the half-multiplicity Ramsey number problem
对于每对自然数$\ell$和$t$，Ramsey数问题要求一个没有大小为$t$的单色团的完全图的最大$\ell$ -染色。Conlon-Ferber和Wigderson最近的工作改进了这个问题长期存在的下界。我们做了进一步的改进，取代显式图出现在他们的建设由一个随机图。对于这种构造有用的图正是那些与没有大集团和几个大独立集的图上的Erdos问题相关的图。我们也对这个问题做了一些基本的观察。
2021-11-22 math.CO
Note on a generalization of Gallai-Ramsey numbers
一个着色的完全图如果不含彩虹三角形，则称为是伽莱着色的。这个性质已经被证明等价于存在一个顶点的划分（每个诱导子图），其中至多两种颜色出现在部分之间的边上，并且至多一种颜色出现在每对部分之间的边上。我们通过定义一个完全图的着色为$k$ -Gallai来扩展这个概念，如果每个诱导子图都有一个非平凡的顶点划分，使得在划分的部分之间最多存在$k$颜色。图$H$的广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数被定义为最小顶点数$N$，使得完全图$K_{n}$的每个$k$染色都包含$H$的单色副本。基于$H$的结构，我们证明了这些广义$(k, \ell)$ Gallai-Ramsey数的界，推广了Gallai着色的最近结果.
2019-05-28 math.CO
Poset Ramsey number $R(P,Q_n)$. I. Complete multipartite posets
偏序集$(P',\le_{P'})$包含其他偏序集$(P,\le_P)$的副本，如果存在注入$f\colon P'\to P$，其中对于每个$X,Y\in P$，$X\le_P Y$当且仅当$f(X)\le_{P'} f(Y)$。对于任何偏序集$P$和$Q$，偏序集拉姆齐数$R(P,Q)$是最小整数$N$，使得维度为$N$的布尔格的任何蓝色/红色着色包含所有元素为蓝色的$P$的副本或所有元素为红色的$Q$的副本。我们用$K_{t_1,\dots,t_\ell}$表示一个完全$\ell$-部偏序集，即由大小为$t_i$，$1\le i\le \ell$的$\ell$成对不相交集合$A^i$组成的偏序集，使得对于任何$i,j\in\{1,\dots,\ell\}$和任何两个$X\in A^{i}$和$Y\in A^{j}$，$X<Y$当且仅当$i<j$。在本文中，我们表明，$R(K_{t_1,\dots,t_\ell},Q_n)\le n+\frac{(2+o_n(1))\ell n}{\log n}$。
2022-04-06 math.CO
On multicolor Ramsey numbers for loose $k$-paths of length three
证明了存在一个绝对常数$A$，使得对于完全$k$ -均匀超图的每个$k\ge2$和每个边的着色，在具有$r$颜色的$ Ar$顶点上，有一个颜色类包含长度为3的松弛路.
2017-03-28 math.CO
Some Ordered Ramsey Numbers of Graphs on Four Vertices
$n$上的有序图$H$是其顶点被双射标记为$\{1,...,n\}$的图。有序Ramsey数$r_<(H)$是最小$n$，使得完全图$K_n$的边的每一个双着色都包含$H$的单色副本，使得副本中的顶点以与$H$相同的顺序出现。虽然某些无限图族的有序Ramsey数的一些界限是已知的，但与我们对这些图的通常Ramsey数的了解相比，对特定小图的有序Ramsey数知之甚少。本文研究了四顶点图的序的非平凡上界的证明问题。我们还扩展了我们的结果之一，$n+1$顶点图，包括一个完全图上的$n$顶点的悬垂边顶点1。最后，我们使用SAT求解器来精确计算一些数字。
2019-10-29 math.CO
On Star-critical (K1,n,K1,m + e) Ramsey numbers
设$G, H$是不含环或重边的有限图，$K_n$表示$n$顶点上的完全图.如果对于完全图$K_n$的每一条边的红色/蓝色着色，都存在$G$的红色副本或$H$的蓝色副本，则我们称之为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。星临界拉姆齐数$r_*(G, H)$定义为$k$的最大值，使得$K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (G, H)$。在本文中，我们将找到所有$n,m \geq 3$的$r_*(K_{1,n}, K_{1,m}+e)$。
2020-09-10 math.CO
Gallai-Ramsey number for $K_{5}$
给定一个图$H$，定义$k$ -着色Gallai Ramsey数$gr_{k}(K_{3} : H)$为最小整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每一个$k$ -着色包含一个彩虹三角形或一个$H$的单色副本. Fox等人[J. Fox，A. Grinshpun和J. Pach。彩虹三角形的Erd{ \H o}s-Hajnal猜想J. Combin。理论系列B，111：75-125，2015.]证明了完全图的Gallai Ramsey数的值。最近，这一猜想已被验证的第一个开放的情况下，当$H = K_{4}$。在本文中，我们攻击下一种情况，当$H = K_5$。令人惊讶的是，该猜想的有效性取决于拉姆齐数$R(5,5)$的（尚未未知的）值。已知$43 \leq R(5,5) \leq 48$和证实$R(5,5)=43$ [B.D.麦凯和S. P. Radziszowski。子图计数恒等式和Ramsey数。J. Combin。Theory Ser. B，69：193-209，1997]。如果是$44 \leq R(5,5) \leq 48$，则Fox et al.的猜想是正确的，我们提出了一个完整的证明。然而，如果是$R(5,5)=43$，那么Fox et al.的猜想是假的，这意味着这两个猜想中至少有一个是假的。对于$R(5, 5) = 43$的情况下，我们显示的Gallai拉姆齐…
2019-01-11 math.CO
A canonical Ramsey theorem for exactly $m$-coloured complete subgraphs
给定一个图的边着色有一组$m$颜色，如果每种颜色都被使用，我们说这个图是（精确）$m$ -着色的.我们考虑$\mathbb{N}$上完全图的边着色问题，证明了对于任意自然数$m$，都可以找到一个$m$着色的完全子图，或者存在一个以两种标准方式之一着色的无限子集$X \subset \mathbb{N}$：着色在$X$上是内射的，或者在$X$中存在一个可区分的顶点$v$，使得$X \setminus \lbrace v \rbrace$是$1$ -$v$和$X \setminus \lbrace v \rbrace$之间的每个边缘都有不同的颜色（都与$X \setminus \lbrace v \rbrace$上使用的颜色不同）。这回答了Stacey和Weidl在1999年提出的一个问题。我们开发的技术，也使我们能够解决一些进一步的问题，找到$m$着色完全子图的着色与许多颜色。
2016-09-06 math.CO
Multicolor Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ and $C_{11}$
Gallai着色是指不含彩虹三角形的完全图的边的着色，而Gallai $k$ -着色是指使用$k$颜色的Gallai着色。研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图在$n$顶点上的每一个Gallai-$k$-染色都包含一个$H$的单色拷贝.结果表明，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事。本文研究奇圈的Gallai-Ramsey数。我们证明了对于$n\in\{4,5\}$和所有的$k\ge1$，$GR_k(C_{2n+1})= n\cdot 2^k+1$。这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三奇循环猜想的前两个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的Gallai着色的完全图。我们相信我们开发的方法可用于确定所有$n\ge6$的$GR_k(C_{2n+1})$的精确值。
2018-03-30 math.CO
On Ramsey-type problems for paths and cycles with few colour changes
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Technische Universität Hamburg（汉堡工业大学）
受1967年Gerencser和Gyárfás关于路径双色拉姆齐数结论启发，研究3边着色完全图中颜色变化少的路径和圈，引入新参数，给出路径和偶圈的相关拉姆齐型参数结果。
2026-07-07 math.CO
Gallai-Ramsey number of even cycles with chords
对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
2020-09-16 math.CO
Multicoloured Ramsey numbers of the path of length four
令$P_t$表示$t$顶点上的路径。$P_t$的$r$着色Ramsey数，记为$R_r(P_t)$，是最小整数$n$，使得只要对$n$顶点上的完全图赋予$r$边着色，就存在$P_t$的单色副本.在本文中，我们确定了$R_r(P_5)$，它近似于$3r$。
2021-08-14 math.CO
Threshold Ramsey multiplicity for paths and even cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。虽然这个定义只要求$H$的一个单色副本，但通常情况下，完全图的$r(H)$顶点上的每个两边着色都包含$H$的许多单色副本。在$K_{r(H)}$的所有两种着色上的这种拷贝的最小数目将被称为$H$的阈值拉姆齐多重性。解决一个问题的Harary和普林斯，谁是第一个系统地研究这个数量，我们表明，有一个积极的常数$c$，使阈值拉姆齐多重路径或甚至循环$k$顶点至少是$(ck)^k$。这个界限紧到常数$c$。我们证明了一个类似的结果奇数周期的配套文件。
2022-08-07 math.CO
The anti-Ramsey threshold of complete graphs
对于图$G$和$H$，令$G {\displaystyle\smash{\begin{subarray}{c} \hbox{$ \tiny \rm rb $} \\ \longrightarrow \\ \hbox{$ \tiny \rm p $} \end{subarray}}}H$表示对于$G$的每一个真边着色，$G$中存在彩虹$H$的性质。已知对于每个图$H$，随机图$G(n,p)$的该性质的阈值函数$p^{\rm rb}_H=p^{\rm rb}_H(n)$的渐近上界是$n^{-1/m^{(2)}(H)}$，其中$m^{(2)}(H)$表示$H$的所谓的最大$2$密度。推广了Nenadov，Person，Škorić和Steger [J. Combin.理论系列B 124（2017），1 -38]我们证明了$k\geq 5$的$p^{\rm rb}_{K_k}$的匹配下界。此外，我们表明，$p^{\rm rb}_{K_4} = n^{-7/15}$。
2023-01-19 math.CO
Cycle-complete Ramsey numbers
拉姆齐数$r(C_{\ell},K_n)$是最小的自然数$N$，使得$N$阶的团的每个红/蓝边着色包含长度为$\ell$的红色循环或$n$阶的蓝色团。1978年，Erdés、Faudree、Rousseau和Schelp提出，用于$\ell \geq n\geq 3$的$r(C_{\ell},K_n) = (\ell-1)(n-1)+1$提供了$(\ell,n) \neq (3,3)$。我们证明，对于一些绝对常数$C\ge 1$，我们有$r(C_{\ell},K_n) = (\ell-1)(n-1)+1$提供$\ell \geq C\frac {\log n}{\log \log n}$。直到$C$的值为止，这是紧的，因为我们还表明，对于任何$\varepsilon >0$和$n> n_0(\varepsilon )$，我们对所有$3 \leq \ell \leq (1-\varepsilon )\frac {\log n}{\log \log n}$都有$r(C_{\ell }, K_n) \gg (\ell -1)(n-1)+1$。这证明了猜想的埃尔德什，Faudree，卢梭和Schelp为大$\ell $，一个更强的形式的猜想由于尼基福罗夫，并回答（乘法常数）两个进一步的问题埃尔德什，Faudree，卢梭和Schelp。
2018-07-17 math.CO
On number of different sized induced subgraphs of Bipartite-Ramsey graphs
本文研究了二部图的诱导子图的尺寸集。引入了$C$ - $Bipartite$ -$Ramsey$图的定义，它与Ramsey图密切相关，并证明了在“大多数”情况下，这些图的乘法表的大小为$Ω(e(G))$.我们应用我们的结果给猜想提供了直接的证据，即完全二部图$K_{n,n}$是Narayanan，Sahasrabudhe和Tomon提出的关于$n^2$边的乘法表的最小化器。
2021-09-17 math.CO
Multicolour bipartite Ramsey number of paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{N,N}$包含$H$的单色副本的最小整数$N$.对二部拉姆齐数的研究是在40多年前由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立发起的，他们确定了路的$2$ -色二部拉姆齐数。最近的$3$ -颜色拉姆齐数的路径和（甚至）周期，基本上是确定的。本文改进了DeBiasio，Gyárfás，Krueger，Ruszinkó和Sárközy的结果，渐近地确定了路和圈的$4$ -色二部Ramsey数.我们还提供了新的上界的$k$ -颜色的二部Ramsey数的路径和周期是接近紧。
2019-09-17 math.CO
Ordered Ramsey numbers of loose paths and matchings
对于顶点集为$\{1,\ldots,n\}$的$k$ -一致超图$G$，有序Ramsey数$\operatorname{OR}_t(G)$是最小整数$N$，使得顶点集$\{1,\ldots,N\}$上的完全$k$ -一致超图的边的每个$t$ -染色都包含$G$的单色副本，其顶点遵循指定的顺序.由于这种增加的顺序限制，有序的拉姆齐数可以比通常的图拉姆齐数大得多。我们确定了在单调序下松散路的有序Ramsey数作为高度小于最大度小于的塔而增长。我们还推广了Conlon，Fox，Lee和Sudakov [Ordered Ramsey numbers，arXiv：1410.5292]关于2-一致匹配的有序Ramsey数的定理，给出了在一定序下$k$ -一致匹配的有序Ramsey数的上界.
2014-12-04 math.CO
Ramsey-type problem for an almost monochromatic K_4
本文证明了存在一个常数$c$，使得n > 2的完全图K_n的每一个k-边染色都包含一个边至多接收两种颜色的K_4。这改进了Kostochka和Mubayi的结果，并且是这个问题的第一个指数界。
2007-10-30 math.CO
