On Diophantine exponents in dimension 4
Dmitry Gayfulin, Nikolay Moshchevitin
得到了四个实数同时丢番图逼近的普通丢番图指数与一致丢番图指数之间的一些新的不等式.
We obtain some new inequalities between the ordinary and the uniform Diophantine exponents for simultaneous Diophantine approximation to four real numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multiplicative Diophantine Exponents of Hyperplanes
研究了向量的乘性丢番图逼近性质，并利用动力学方法计算了超平面的丢番图指数。
Exponents of Diophantine approximation
本文主要综述了丢番图逼近的最新结果，着重讨论了各种丢番图逼近概念的指数度量的性质。
Geometry of Diophantine exponents
本综述探讨了丢番图指数及其满足的关系，介绍了经典丢番图指数、带权与乘性类似物及格的指数，并重点关注转换原理。
An Exponential Diophantine Equation - One Order Higher than Fermat's Equation
我们建立了一个指数型的丢番图方程，它在某种意义上比费马大定理高一阶。我们还给出了这个指数型丢番图方程的三个解的例子，并提出了一个猜想。
Problems concerning Diophantine exponents of lattices
本文综述了格的丢番图指数的研究现状，并提出了几个问题。
Exponents of Diophantine approximation
我们综述了关于丢番图逼近指数的经典和最近的结果。我们只给出了一些证明，并强调了几个开放的问题。
On the spectrum of Diophantine exponents of lattices
本文研究了任意维数格点的弱均匀丢番图指数的谱特性。
Diophantine Exponents of Affine Subspaces: The Simultaneous Approximation Case
我们应用齐性空间上流的非发散估计来计算$\R^n$的仿射子空间及其非退化子流形的丢番图指数。
Diophantine exponents of lattices
本文定义了格的丢番图指数，并研究了它的一些性质。利用Schmidt子空间定理证明了迁移不等式，并构造了一些例子.
Multiplicative Diophantine exponents of hyperplanes and their nondegenerate submanifolds
我们考虑单分子格空间上的多参数动力学。随着定量的非发散，我们证明了乘法丢番图指数的超平面是继承其非退化子流形。
On uniform Diophantine exponents of lattices
本文研究格的弱均匀丢番图指数谱，并在二维情形下给出了该谱的完整刻画。
Linear forms of a given Diophantine type and lattice exponents
本文证明了一个关于给定丢番图型的线性型的存在性定理，并应用它研究了格指数谱的结构。
On Diophantine exponents of lattices
本文研究了d维格点的丢番图指数，通过归约到二维情况并应用度量理论方法，揭示了其指数谱特性。
On the weak uniform Diophantine exponent of a real number
本文提出实数的弱一致丢番图指数新概念，并完整刻画了该指数的所有可能取值谱。
Exponents of inhomogeneous Diophantine Approximation
在丢番图逼近中，非齐次问题通过所谓的迁移定理与齐次问题联系起来。我们通过引入新的丢番图逼近指数来重新审视这个经典话题。证明了n个线性型系统对R^n中一个泛点的逼近指数等于对偶型系统的一致齐次指数的倒数。
On triviality of uniform Diophantine exponents of lattices
本文研究格的一致丢番图指数，证明其仅能取得平凡值。
Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers
这是对论文arXiv：1105.1554和arXiv：1105.5823的修订汇编。我们发展了一些属于W.Schmidt和L.Summerer的想法来定义中间丢番图指数，并将几个迁移不等式分解成一个中间指数的不等式链。
Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents
在本文中，我们证明了丢番图指数的乘法类似物的不等式，类似于经典情况中已知的不等式。特别地，我们证明了一个矩阵是坏逼近的当且仅当它的转置是坏逼近的，并建立了一些不等式连接乘法指数与普通的。
On Diophantine exponents and Khintchine's transference principle
本文改进了Jarnik和Apfelbeck对线性型转置系统的一致丢番图指数的估计，并将Laurent和Bugeaud对个别指数的估计推广到任意系统的情形.该方法还给出了Mahler迁移定理中一个较好的常数。
An inequality for Diophantine exponents in the case of simultaneous approximation
本文在同时逼近的情形下证明了一个关于个别丢番图指数和一致丢番图指数的不等式。这个不等式比Jarnik的更好的一致指数的小值。
An optimal bound for the ratio between ordinary and uniform exponents of Diophantine approximation
本文给出了任意维上同时丢番图逼近和线性型的丢番图逼近的平凡指数和一致指数之比的一个下界.这个下界由Schmidt和Summerer证明，并且已经在维度$2$和$3$中示出。这个下界是在参数数的几何的背景下提出的规则系统中达到的，因此是最优的。
Note on the spectrum of classical and uniform exponents of Diophantine approximation
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们建立了在$n\geq3$维上的丢番图逼近的$2n$指数的谱是$\mathbb{R}^{2n}$的一个具有非空内部的子集.
An exponential Diophantine equation related to the difference between powers of two consecutive Balancing numbers
本文给出了指数型丢番图方程$B_{n+1}^x-B_n^x=B_m$在正整数变量$(m, n, x)$中的所有解，其中$B_k$是Balancing序列的第$k$项.
Construction of subspaces with known Diophantine exponents for the last angle
本文利用数的几何方法，构造了 $\R^n$ 中能够计算最后一个角度关联丢番图指数的线性子空间，推广了实数的无理性测度。
Independence of the Diophantine exponents associated with linear subspaces
本文研究Schmidt提出的丢番图逼近推广问题，证明线性子空间丢番图指数相关函数间无光滑关系，并构造可计算指数的子空间。
Weak approximations, Diophantine exponents and two-dimensional lattices
本文研究二维格点的迪奥菲安指数及其相关弱统一逼近性质，利用连分数理论分析普通与统一迪奥菲安指数间的不等式关系，揭示两个实数无理数度量函数的行为关联。
Diophantine exponents of lattices and growth of multidimensional analogues of partial quotients
本文研究了实数的无理指数与其正则连分数偏导数增长性之间关系的三维模拟。作为一个多维推广的连分数，我们认为克莱因多面体。
Exponents of Diophantine Approximation and Sturmian Continued Fractions
设x为实数，n为正整数。定义了丢番图逼近的四个指数，它们是Mahler和Koksma定义的指数w_n（x）和w_n^*（x）的补充.当n=2，x是一个实数，其连分数展开式与某些正整数的Sturmian序列一致时，我们计算了它们的六个值，直到初始项。特别地，我们得到了这样一个连分数x的二次根号逼近的精确指数。
Diophantine exponents for systems of linear forms in two variables
对两个整数变量的$ n\ge 2$实线性型组，改进了Jarn\'ık不等式中的一致丢番图指数$α$与普通丢番图指数$β$之间的不等式. Jarn 'ık（1949，1954）证明了$β\ge α(α-1)$ .在本文中，我们给出了$α>1$情形下的一个较好的上界.我们证明了β PDMATHAMR 1/2（α^2-α+1+ \sqrt{(α^2-α+1)^2 +4α^2(α-1)}）if 1 \le α \le 2 1/2（α^2-1+ \sqrt{(α^2-1)^2+4α(α-1)}）if α \ge 2
Diophantine transference inequalities: weighted, inhomogeneous, and intermediate exponents
我们推广了Khintchine转移不等式，以及一个非齐次转移不等式的格，由于Bugeaud和Laurent，到一个加权的设置。我们还提供了应用程序的非齐次丢番图逼近流形和加权严重逼近向量。最后，我们解释并证明了Beresnevich-Velani（2010）关于非齐次中间指数的一个猜想.
Diophantine approximation exponents on homogeneous varieties
近年来，在丢番图逼近和齐次动力学的界面上取得了非常重要的进展。在本文的第一部分中，我们给出了一个简短的阐述字典开发的Dani和Kleinbock-Margulis的关系丢番图性质的向量分布的轨道流的空间上的幺模格。在本文的第二部分中，我们简要地描述了作者最近开发的这本字典的扩展，它建立了一个类似的动力学对应一般格轨道上的齐性空间。我们专注于具体的问题估计指数的丢番图逼近算术格作用于代数簇。在第三部分中，我们通过在一些基本情况下建立稠格轨道的丢番图指数的显式界，来证明我们的结果。其中包括对仿射空间的线性作用和仿射作用，以及对固定行列式矩阵簇的作用。在某些情况下，这些指数被证明是最好的可能。
Hausdorff and packing dimension of Diophantine sets
利用数的几何中的变分原理，计算了与丢番图逼近的指数及其交相关的丢番图集的Hausdorff维数和packing维数.特别地，我们将Jarník和Besicovitch的一个结果推广到中间指数。
Exponents of Diophantine approximation in dimension two for a general class of numbers
我们研究了一类新的超越实数的丢番图性质，其中包括Roy极值数，Bugeaud-Laurent Sturmian连分数，以及更一般的Sturmian型数。我们计算，为每个实数$ξ$的这个集合，几个指数的丢番图逼近对$(ξ,ξ^2)$，连同$ω_2^*(ξ)$和$\widehatω_2^*(ξ)$，所谓的普通和均匀指数的近似$ξ$的代数次数$\leq 2$。作为应用，我们得到了关于$\widehatω_2^*$在超越数上取值的新信息，并部分回答了Fischler关于其指数$β_0$的一个问题.
Exponents for three-dimensional simultaneous Diophantine approximations
令$Θ= (θ_1,θ_2,θ_3)\in \mathbb{R}^3$。假设$1,θ_1,θ_2,θ_3$在$\mathbb{Z}$上线性无关。对于丢番图指数$$ α(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \limsup_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty \} ,$$ $$β(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \liminf_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty\} $$，我们证明了$$ β(Θ) \ge {1/2} ({α(Θ)}/{1-α(Θ)} +\sqrt{{α(Θ)}/{1-α(Θ)})^2 +{4α(Θ)}/{1-α(Θ)}}) α(Θ) $$
Upper bounds for the uniform simultaneous Diophantine exponents
给出了超越数$ξ\in\mathbb{R}$的一致同时丢番图指数$\widehatλ_n(ξ)$的几个上界.最重要的一个关系是当$k$基本上小于$n$时，$\widehatλ_n(ξ)$和普通的同时指数$ω_k(ξ)$。特别地，在具有适当选择的$ω_k(ξ)=k$的一般情况下，$\widehatλ_n(ξ)$的上限变得与$\frac{3}{2n} + O(n^{-2})$一样小，这基本上优于$\frac{2}{n} + O(n^{-2})$的当前已知的最佳无条件界限。对于$n$的偶数值，我们还改进了$\widehatλ_n(ξ)$的一个无条件上界.
Diophantine approximation with smooth numbers
证明了一个关于分母n不含大于log n次幂的素数的有理数逼近无理数的定理。我们加强了版本1中的结果，通过使用一个指数和在光滑的数字定制的应用。当log n的指数变大时，新的指数接近1/3。
Diophantine exponents for standard linear actions of $\mathrm{SL}_2$ over discrete rings in $\mathbb{C}$
我们给出了各种丢番图指数的上限和下限与标准的线性行动$\mathrm{SL}_2 ( \mathcal{O}_K )$上打孔复平面$\mathbb{C}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$，其中$K$是一个数域的整数环$\mathcal{O}_K$是离散的，在任何复数的单位距离内。结果与Laurent和Nogueira关于$\mathrm{SL}_2 ( \mathbb{Z} )$作用于$\mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$的结果相似，尽管对我们来说，只有在一组零测度之外才能得到一致的好界。
Diophantine approximation in small degree
我们讨论的问题，找到最佳指数的丢番图估计涉及一个实数，并在某些情况下，这样的指数是已知的，提出了一些相应的极值数的性质。
Exponents of Diophantine Approximation in dimension two
设$Θ=(α,β)$是$\bR^2$中的一个点，其中$1,α,β$在$\bQ$上线性无关。我们附加到$Θ$的四倍$Ω(Θ)$的指数来衡量质量的逼近$Θ$由合理的点和合理的线。$Ω(Θ)$的两个"均匀“分量由一个方程联系起来，这是由于Jarn{\'k}，四个指数满足两个不等式，这两个不等式完善了欣钦的迁移原理。相反，我们表明，任何四重$Ω$满足这些必要条件，存在一个点$Θ\in \bR^2$，其中$Ω(Θ) =Ω$。
Optimality of two inequalities for exponents of Diophantine approximation
研究了Bugeaud和Laurent的两个不等式，每个不等式都涉及与$\ux\in\mathbb{R}^n$相关的丢番图逼近的经典指数的三重数.我们提供了一个完整的描述，承认适合$\ux$，这是相当令人惊讶的平等的参数三元组。对于$n=2$，我们的结果与Laurent的结果一致.此外，我们还建立了所涉及的$\ux$的Hausdorff维数和packing维数的下界，在特殊情况下，我们可以证明它们是尖锐的。证明是基于参数数的几何中的变分原理，我们附上了相关的组合图（模板）的草图，其中等式是可行的。我们的结构的扭曲提供了各自的指数三元组的联合频谱上的细化信息。
Multiplicative $p$-adic metric Diophantine approximation on manifolds and dichotomy of exponents
本文研究了流形上的$p$ -adic丢番图逼近，特别是仿射子空间上的乘法丢番图逼近和解析$p$ -adic流形上的丢番图二分法.
On exponential diophantine equations over $\mathbb Q$ with few unknowns
本文得到了有理数域$\mathbb Q$上指数型丢番图方程的三个不可判定结果。例如，我们证明了没有算法来决定一般指数不定方程$F(x_1,\ldots,x_{8})=0$在$\mathbb Q$与八个未知数的可解性。
On Diophantine exponents for Laurent series over a finite field
本文研究了有限域上洛朗级数的丢番图指数$w_n$和$w_n^{*}$的性质。证明了对整数$n\geq 1$和有理数$w>2n-1$，存在严格递增的正整数序列$(k_j)_{j\geq 1}$和代数洛朗级数$(ξ_j)_{j\geq 1}$序列，使得对任意$j\geq 1$都有deg $ξ_j=p^{k_j}+1$和\begin{equation} w_1(ξ_j)=w_1 ^{*}(ξ_j)=\ldots =w_n(ξ_j)=w_n ^{*}(ξ_j)=w \end{equation}.对于每个$n\geq 2$，我们给出了明确的例子，洛朗级数$ξ$的$w_n(ξ)$和$w_n^{*}(ξ)$是不同的。
An extension of quantitative nondivergence and applications to Diophantine exponents
我们提出了一个锐化的非发散估计的单幂（或更一般的多项式样）流在齐性空间。应用于度量丢番图逼近，给出了$\Bbb R^n$的仿射子空间及其非退化子流形的丢番图指数的精确公式。
The Diophantine problem for systems of algebraic equations with exponents
考虑方程$q_1α^{x_1}+\dots+q_kα^{x_k} = q$，具有常数$α\in \overline{\mathbb{Q}} \setminus \{0,1\}$、$q_1,\ldots,q_k,q\in\overline{\mathbb{Q}}$和未知数$x_1,\ldots,x_k$，在本文中称为\emph{algebraic equation with exponents}。我们证明了问题，以决定一个给定的方程是否有一个整数解是$\textbf{NP}$ -完全的，这同样适用于方程组（无论$α$是固定的或给定的输入的一部分）。此外，我们描述了一个给定的代数方程组的所有解的指数，并证明它是半线性的。
Transference theorems for Diophantine approximation with weights
本文证明了加权集上正则和一致丢番图指数的迁移不等式。我们的结果推广了相应的不等式中存在的“非加权”的情况下。
Simultaneous two-dimensional best Diophantine approximations in the Euclidean norm
证明了二维最佳丢番图逼近关于欧氏范数的增长指数的一个新的下界。
The diophantine exponent of the $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ points of $S^{d-2}\subset S^d$
假设整数分解的多项式时间算法，猜想~ \ref{conj}，$d\geq 3,$和$q$和$p$是素数，其中$p\leq q^A$对于某些$A>0$。我们在$\log(q)$中开发了一个多项式时间算法，该算法将$S^{d-2}\subset S^{d}$中的每个$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$点提升到$S^d$中具有最小高度的$\mathbb{Z}[1/p]$点。我们为$d=3 \text{ and }4$实现了我们的算法。基于我们的数值结果，我们提出了一个可以在多项式时间内检验的猜想，并给出了$S^{d-2}\subset S^d$的$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$点的丢番图指数的最优界。
On transfer inequalities in Diophantine approximation
设$Θ$是${\bf R}^n$中的一个点。我们分裂成$n-1$中间估计连接指数$ω_d(Θ)$测量的逼近$Θ$的线性有理簇的尺寸$d$，为$0\le d \le n-1$的经典欣钦的转移原理。我们还回顾了与这些$n$指数相关的旧的和最近的结果。
Diophantine exponents of measures: a dynamical approach
我们把流形上的度量丢番图逼近理论放在一个更广泛的背景下，研究关于$\Bbb R^n$上某些度量的点的丢番图性质。初步讨论了多维丢番图逼近与欧几里得空间中格动力学之间的对应关系，并综述了利用这种对应关系获得的几个最新结果。
Transcendence and measures via the refined Diophantine exponent
引入精细丢番图指数，检测被噪声部分掩盖的重复模式，统一并扩展了Adamczewski-Bugeaud及Corvaja-Zannier等人的超越性结果，并发展了超越测度的定量细化。
Diophantine exponents for mildly restricted approximation
本文研究了丢番图指数μ_{n，l}$对整数1 \leq l <n和向量α \in \mathbb{R}^n的定义，令μ_{n，l}= \sup{μ\geq 0: 0 < ||x \cdot α|| < H(x)^{-μ} for infinitely many x \in C_{n,l} \cap \mathbb{Z}^n}，其中\cdot是标量积，||. || 表示到最近整数的距离，C_{n,l}是由具有在第一个l坐标中获得的高度的所有矢量组成的广义圆锥。我们证明了指数取区间[l +1，\infty）中的所有值，并且几乎对所有α都取n值.我们计算了μ \geq n中向量集α的Hausdorff维数，其中μ_{n，l}（α）= μ.最后，设w_n表示去掉x的限制后的指数，我们证明了存在向量α使得递增序列μ_{n，1}（α）\leq. \leq μ_{n，n-1}（α）\leq w_n（α）可以任意选取。
A Note On the Exponential Diophantine Equation (a^n-1)(b^n-1)=x^2
2002年，F. Luca和G.沃尔什解决了丢番图方程的标题为所有对（a，b），使1<a<b<101有一些例外。有69个例外。本文给出了关于标题中方程的一些新结果。证明了当a，b具有相反的宇称且n>4且2时，方程（a^n-1）（b^n-1）=x^2无解|n.此外，我们还解出了（a^n-1）（b^n-1）=x^2，对应于（a，b）=（2，50）、（4，49）、（12，45）、（13，76）、（20，77）、（28，49）和（45，100）对。最后，我们证明了当b是偶数时，方程（a^n-1）（b^（2n）a^n-1）=x^2没有解n，x。
Exponents of diophantine approximation in dimension $2$ for numbers of Sturmian type
我们推广罗伊的Fibonacci型数的建设的情况下，Sturmian复发，我们确定的经典指数的近似$ω_2(ξ)$，$\widehatω_2(ξ)$，$λ_2(ξ)$，$\widehatλ_2(ξ)$与这些实数。这也推广了Bugeaud和Laurent在Sturmian连分数情形下建立的类似结果。更一般地说，我们提供了一个几乎完整的描述的组合图的参数连续极小函数定义的施密特和Summerer在二维等Sturmian型号码。作为一个侧面的结果，我们获得新的信息，联合频谱的上述指数，以及一个新的家庭的号码，它是可能的，以构建序列的最佳有理逼近。
Diophantine approximation and deformation
我们将函数域上的某些曲线与给定的代数幂级数相关联，并表明这些曲线的Kodaira-Spencer映射的秩上的界意味着幂级数的指数上的界，更一般的曲线给出较低的指数。如果我们把Vojta关于高度不等式的猜想通过适当的变形理论条件加以修正，转移到有限特征线上，那么我们看到，产生一般曲线的数目接近Roth界。我们还证明了一个层次的指数界逼近的代数量的有界度。
On the Diophantine Equation $p^x+ (2p+1)^y =z^2$ with Consecutive Exponents
该研究针对所有奇素数 $p$ 的丢番图方程 $p^x+ (2p+1)^y =z^2$，证明其唯一解为 $(2,1,p+1)$（$2p+1$ 非合数时），并对 $2p+1$ 为合数的情况归约为有限多情形。
On some conjectures of exponential Diophantine equations
本文考虑指数丢番图方程$a^{x}+b^{y}=c^{z},$，其中$a, b, c$是使得$a^{2}+b^{2}=c^{r}, r\in Z^{+}, 2\mid r$与$b$为偶数的互质正整数.即$$a=\mid Re(m+n\sqrt{-1})^{r}\mid, b=\mid Im(m+n\sqrt{-1})^{r}\mid, c=m^{2}+n^{2},$$其中$m, n$是正整数，且$m>n, m-n\equiv1(mod 2),$ gcd $(m, n)=1.$ $(x, y, z)= (2, 2, r)$称为方程的平凡解.本文证明了当$$r\equiv 2(mod 4), m\equiv 3(mod 4), m>\max\{n^{10.4\times10^{11}\log(5.2\times10^{11}\log n)}, 3e^{r}, 70.2nr\}.$$满足时，方程在正整数$x, y, z$中没有非平凡解，特别是当$$r=2, m\equiv 3(mod 4), m>n^{10.4\times10^{11}\log(5.2\times10^{11}\log n)}.$$满足时，方程在正整数$x, y, z$中没有非平凡解
Diophantine Inequalities as a Problem of Difference between Consecutive Primes
在本文中，我们已经开发了一种方法来解决\textit{diophantine inequalities}使用它们与\textit{difference between consecutive primes}的关系。使用这种方法，我们已经能够证明一些定理，包括英厄姆的指数定理以及一些新的结果。丢番图不等式及其与Cramer和Andrica不等式的关系也被讨论。
On the topology of Diophantine approximation Spectra
固定一个整数$n\ge 2$。对于$\mathbb{R}^n$中的每个非零点$\mathbf{u}$，人们附加了几个称为丢番图逼近指数的数字。然而，正如欣钦首先观察到的那样，这些数字并不是相互独立的。这就产生了一个问题，即通过改变点$\mathbf{u}$来描述一个给定指数族所能取的所有可能值的集合。为了避免琐碎，限制为点$\mathbf{u}$，其坐标在$\mathbb{Q}$上线性无关。所得的值集称为这些指数的谱。我们证明，在适当的设置，任何这样的谱是一个紧凑的连通集。在$n=3$的情形下，我们进一步证明了它是一个半代数集，在分量最小下是闭的.对于$n=3$，我们也得到了一个家庭的六个指数最近推出的施密特和Summerer的频谱的描述。
On simultaneous diophantine approximations to $ζ(2)$ and $ζ(3)$
我们提出了一个超几何结构的有理逼近$ζ(2)$和$ζ(3)$，它允许一个同时证明每个zeta值的不合理性，以及估计从下面的某些线性型在1，$ζ(2)$和$ζ(3)$与合理的系数。引入了（同时）丢番图指数的概念，形式化了这些特定线性型的算术结构。最后，这个新的概念的性质进行了研究，并与经典的非理性指数和它的推广最近给出的S。菲施勒
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