arXiv 1306.66742013-06-27math.AP

周期穿孔区域上Laplace算子的奇摄动狄利克雷问题。功能分析法

A singularly perturbed Dirichlet problem for the Laplace operator in a periodically perforated domain. A functional analytic approach

Paolo Musolino

发表信息：: Math. Methods Appl. Sci., 35(3):334-349, 2012
DOI：: 10.1002/mma.1575

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摘要：

设$Ω$是$\mathbb{R}^n$的一个充分正则有界开连通子集，使得$0 \in Ω$与$\mathbb{R}^n \setminus \mathrm{cl}Ω$连通.然后我们使用$q_{11},..., q_{nn}\in ]0,+\infty[$和$p \in Q\equiv \prod_{j=1}^{n}]0,q_{jj}[$。如果$ε$是一个小正数，那么我们定义周期穿孔域$\mathbb{S}[Ω_ε]^{-} \equiv \mathbb{R}^n\setminus \cup_{z \in \mathbb{Z}^n}\mathrm{cl}\bigl(p+εΩ+\sum_{j=1}^n (q_{jj}z_j)e_j\bigr)$，其中$\{e_1,...,e_n\}$是$\mathbb{R}^n$的规范基。对于$ε$小且正的情形，我们引入了拉普拉斯算子在集合$\mathbb{S}[Ω_ε]^{-}$中的一个特殊的狄利克雷问题.也就是说，我们认为一个Dirichlet条件的边界上的集合$p+εΩ$，连同周期性条件。然后，我们显示真正的解析连续性的解决方案和相应的能量积分作为泛函的对$ε$和狄利克雷数据的$p+ε\partial Ω$，周围的退化对$ε=0$。

英文摘要：

Let $Ω$ be a sufficiently regular bounded open connected subset of $\mathbb{R}^n$ such that $0 \in Ω$ and that $\mathbb{R}^n \setminus \mathrm{cl}Ω$ is connected. Then we take $q_{11},..., q_{nn}\in ]0,+\infty[$ and $p \in Q\equiv \prod_{j=1}^{n}]0,q_{jj}[$. If $ε$ is a small positive number, then we define the periodically perforated domain $\mathbb{S}[Ω_ε]^{-} \equiv \mathbb{R}^n\setminus \cup_{z \in \mathbb{Z}^n}\mathrm{cl}\bigl(p+εΩ+\sum_{j=1}^n (q_{jj}z_j)e_j\bigr)$, where $\{e_1,...,e_n\}$ is the canonical basis of $\mathbb{R}^n$. For $ε$ small and positive, we introduce a particular Dirichlet problem for the Laplace operator in the set $\mathbb{S}[Ω_ε]^{-}$. Namely, we consider a Dirichlet condition on the boundary of the set $p+εΩ$, together with a periodicity condition. Then we show real analytic continuation properties of the solution and of the corresponding energy integral as functionals of the pair of $ε$ and of the Dirichlet datum on $p+ε\partial Ω$, around a degenerate pair with $ε=0$.

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摘要：

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