The BNS-invariant for the pure braid groups
Nic Koban, Jon McCammond, John Meier
1987年，Bieri、Neumann和Strebel提出了离散群的几何不变量。在本文中，我们计算并明确描述了纯辫群的BNS不变量。
In 1987 Bieri, Neumann and Strebel introduced a geometric invariant for discrete groups. In this article we compute and explicitly describe the BNS-invariant for the pure braid groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Separation in the BNSR-invariants of the pure braid groups
我们利用Morse理论考察了纯辫群$P_n$的BNSR-不变量$Σ^m(P_n)$。BNS不变量$Σ^1(P_n)$以前由Koban、McCammond和Meier计算。我们证明了对任何$3\le m\le n$，包含$Σ^{m-2}(P_n)\subseteq Σ^{m-3}(P_n)$是适当的，但包含$Σ^\infty(P_n)=Σ^{n-2}(P_n)$ .我们在每个相关的$Σ^{m-3}(P_n)\setminus Σ^{m-2}(P_n)$中写下显式字符类。特别地，我们得到了正规子群$N\le P_n$与$P_n/N\cong\mathbb{Z}$的例子，使得对于所有$3\le m\le n$，$N$的类型是$F_{m-3}$而不是$F_{m-2}$。
On an invariant of pure braids
本文利用重耦合理论构造纯辫子群的一个表示，并证明其非平凡性，从而给出纯辫子的一个不变量。
Quantum Teichmuller theory and representations of the pure braid group
我们采用量子Teichmüller理论的一些方法来构造球面的纯辫群的一系列表示。
Surface framed braids
本文引入了定向曲面的$n$链上的框架纯辫群，它是纯辫群$P_n$的拓扑推广.我们给出了不同的等价定义框架纯编织群，我们研究这些群体与其他概括的$P_n$，通常被称为表面纯辫群的确切序列。本文还引入了面框架辫群的概念。
Free groups and finite type invariants of pure braids
从群论的角度考虑了纯辫子的有限型不变量（也称为Vassiliev不变量）。新的成果包括建设一个普遍的不变量与整数系数的基础上的马格努斯展开的自由群和计算的数量的独立不变量的每种类型的所有纯辫群。
From pure braid groups to hyperbolic groups
本文证明了从纯曲面辫群到无挠双曲群的任何同态都有循环象或因子通过遗忘映射。这推广并给出了一个新的证明作者的早期结果，该结果只适用于当目标是一个自由群或表面组。我们还证明了一个类似的刚性结果的纯辫群的磁盘。
The CN matrix of a pure braid projection
本文讨论n×n矩阵成为纯辫子投影CN矩阵的模式，刻画纯6-辫子投影的CN矩阵，还刻画其OU矩阵及正纯6-辫子的交叉矩阵。
The crossing matrix and the Burau matrix of pure braids
该研究证明纯辫的Burau矩阵在t=1处的一阶导数等于其交叉矩阵的拉普拉斯算子，并探讨了两类矩阵衍生的共轭不变量。
On pure braids and bonded braids
本文通过代数类比建立键合辫幺半群与纯辫群的联系，构造满态射并扩展至奇异辫幺半群，得到参数化满态射族。
A Categorical Model for the Virtual Braid Group
本文在严格幺半范畴SC中给出了虚辫群的一个新的解释，该范畴由一个对象和三个态射自由生成，其中两个态射对应于基本纯虚辫，一个态射对应于对称群中的一个转置.这种方法的关键是将纯虚拟辫子作为主要的。纯虚辫群的生成元是代数杨-巴克斯特方程的抽象解。这一观点通过代数杨-巴克斯特方程的解阐明了虚辫群和纯虚辫群的表示。在这个范畴框架中，虚辫群是与代数辫结构相关联的自然群。然后，我们指出，SC范畴是如何相关的范畴与量子代数和霍普夫代数和量子不变量的虚拟链接。
Artin's braids, Braids for three space, and groups $Γ_{n}^{4}$ and $G_{n}^{k}$
从Delaunay三角剖分的观点出发，构造了一个对应于$\mathbb{R}^{3}$中点的运动的群$Γ_{n}^{4}$.我们研究了从$n$链上的纯辫子到$Γ_{n}^{4}$拷贝的乘积的同态。我们还将研究$\mathbb{R}^{3}$中的纯辫群，它由$\mathbb{R}^{3}$的受限位形空间的基本群描述，并定义从$\mathbb{R}^{3}$中的纯辫群到$Γ_{n}^{4}$的群同态。本文最后对$\mathbb{R}^{3}$的限制位形空间与三维球和Pachner移动的三角剖分之间的关系给出了一些评论。
Artin Presentations of the Trivial Group and Hyperbolic Closed Pure $3$-Braids
本文研究源自六缠结的特殊带标架链环，分析六缠结对称性并给出平凡群的Artin n-表示列表，同时借助已有结果确定了双曲闭纯3-辫的范围。
Goussarov-Polyak-Viro's $n$-equivalence and the pure virtual braid group
在有限型不变量的背景下，Stanford在纯辫群的下中心序列所定义的纽结上引入了一族等价关系，并根据辫群的结构刻画了有限型不变量。我们知道，这个等价和Ohyama的等价定义的一个局部移动是等价的。另一方面，在虚纽结理论中，Ohyama等价的概念被Goussarov-Polyak-Viro扩展，称为$n$ -等价。本文利用纯虚辫群的下中心序列将Stanford等价推广到虚纽结和虚弦链，称之为$L_n$ -等价.然后，我们证明了$L_n$ -等价等于$n$ -等价的虚拟字符串链接。此外，我们直接证明了两个虚拟字符串链接是不区分的任何有限型不变量的程度$n-1$，如果他们是$L_n$ -等价的，任何正整数$n$。
A Geometric Interpretation of the Normal Closure of the Braid Group $B_n$ in the braid group of the torus $B_n(T)$
结合Birman和Goldberg的结果，证明了圆盘$P_n(D)$的纯辫群在环面$P_n(T)$的纯辫群中的正规闭包是换位子群$[P_n(T),P_n(T)]$ .在本文中，我们将研究的情况下，全辫子群：即正规封闭的$B_n(D)$在$B_n(T)$，它原来有一个有趣的几何描述。
On presentation of Surface Braid Groups
给出了曲面上的辫群和纯辫群的表示。
Pure braids, a new subgroup of the mapping class group and finite type invariants
在研究曲面的映射类群M与同调三维球面的有限型不变量理论之间的关系时，映射类群的三个子群起着重要的作用。它们是Torelli群，Johnson子群K和一个新的子群L，其中包含K，定义为选择的拉格朗日子群的同源性的表面。在这项工作中，我们确定商L/K，在约翰逊和森田给出的M/K的精确描述。利用纯辫群在L中的一些自然嵌入和有限型不变量理论，我们还研究了L和K的下中心序列。
Pure Virtual Braids Homotopic to the Identity Braid
两个虚拟链接图是同伦的，如果一个可以转化为另一个由一系列的虚拟Reidemeister移动，经典Reidemeister移动，和自我交叉的变化。我们回想一下纯虚辫群。然后，我们描述了一组纯虚拟辫子是同伦的身份辫子。
Characterization of the OU matrix of a braid diagram
本文研究了辫子图的OU矩阵，对最多5条线束的纯辫子图、正纯辫子及一般辫子的OU矩阵和交叉矩阵给出了表征与标准形式。
Automorphism groups of some pure braid groups
我们找到了Artin纯辫群的自同构群和纯辫群的自同构群的有限表示。
Bi-orderings on pure braided Thompson's groups
本文证明了纯辫子Thompson群BF有一个双序，类似于纯辫群的双序。
Ordering pure braid groups on closed surfaces
证明了闭可定向曲面上的纯辫群是双序的，而闭非可定向曲面上的纯辫群具有广义挠，因而它们不是双序的.
On virtual cabling and structure of 4-strand virtual pure braid group
本文专门讨论虚拟编织层上的布线。这种构造给出了虚纯辫群$VP_n$的一个新的生成集.因此，我们将$VP_4$描述为HNN-扩展。作为对经典辫群的一个应用，我们得到了Artin纯辫群$P_4$的一个新的表示.
Pure braid groups are not residually free
我们证明了至少四条链上的Artin纯辫群不是剩余自由群.我们的结果还表明，纯辫群在至少三股上有余秩2。
On a Map From Pure Braids to Knots
我们研究了一种特定类型的辫子闭包，它类似于plat闭包，但具有某些优点;例如，它将纯辫子映射到结。本文的主要结果是一个马尔可夫型定理和一个描述Vassiliev不变量如何在这个辫子闭包下表现。
Vassiliev invariants and knots modulo pure braid subgroups
我们证明了两个结有匹配的Vassiliev不变量的顺序小于n当且仅当它们是等价模的第n组的下中心序列的一些纯辫子群，从而表征Vassiliev的结不变量的结构方面的辫群。我们还证明了纯辫群的纽结模第n个导子群以及一般的纽结模辫子群的一些结果。
On the $\mathfrak{S}_{q} \overleftrightarrow{\times} \mathfrak{S}_q$-invariant rational cohomology of the pure braid group $P_{2q}$
研究计算纯辫群\(P_{n}\)的有理上同调的\(\mathfrak{G}\)不变部分，核心方法未提及，主要贡献是包含了亏格\(g\)的自旋超椭圆映射类群的有理上同调，其中\(2g + 2 = n = 2q\)。
The pure braid groups and their relatives
在这篇综述性的论文中，我们研究了几类辫子群的共振簇、下中心序列秩和Chen秩，以及剩余和形式性质：纯辫群$P_n$、焊接纯辫群$wP_n$、虚拟纯辫群$vP_n$，以及它们的“上”变体，$wP_n^+$和$vP_n^+$。我们还讨论了这些群之间的几种自然同态，以及区分纯辫群和它们的亲戚群的各种方法。
Two-generator subgroups of the pure braid group
我们证明了纯辫群的任意两个元素要么交换要么生成一个自由群，解决了Luis Paris的一个问题。我们的证明涉及到三维流形理论和树上的群作用理论。
Dense and empty BNSR-invariants of the McCool groups
本文研究了麦库尔群的BNSR不变量，证明其在特征球上要么密实要么空，并给出了具体条件。
Constructing real rational knots by gluing
我们表明，构建一个合理的低程度的真正的理性结的问题可以减少到一个代数问题，涉及纯辫子群：表示纯辫群的标准生成元的纯辫群的相伴元。我们还预测存在一个真正的理性结的程度，表示在其多边形表示的边数。
Geometric presentations for the pure braid group
给出了纯辫群的几个新的正有限表示，这些表示形式简单，便于记忆。我们所有的演示文稿都涉及穿刺盘上的度量，以便穿刺被安排为“凸”，这就是为什么我们将它们描述为几何presentaitons。出于我们称之为“旋转演示”的完整辫群的演示，我们介绍了我们称之为“扭曲演示”和“摆动演示”的纯辫群的演示。从映射类群的角度来看，摆动表示可以解释为：纯辫群由有限个德恩扭曲生成，唯一需要的关系是不相交关系和灯笼关系。
Generalized Long-Moody representations of braid groups
Long和Moody给出了构造辫群B_n的表示的一种方法。我们讨论了推广它们的构造的一些方法。其中之一给出了B_n的子群的表示，包括纯辫群的Gassner表示作为特例.另一个给出了Hecke代数的表示。
Congruence Subgroups of the Virtual Braid Group
通过扩展整系数Burau表示，将辫群的同余子群概念推广到虚拟辫群，证明其二级同余子群为纯虚拟辫群，恢复Arnol'd结果的虚拟类比。
On the pure virtual braid group $PV_3$
本文研究了纯虚辫群PV_3的各种性质。从PV_3的正则表示出发，我们得到了PV_3的一个自由积分解。因此，我们证明了PV_3是剩余无挠的幂零的，这意味着对于三股虚拟纯辫，Goussarov-Polyak-Viro意义下的有限型不变量集是完备的.此外，我们还证明了PV_3是非球面的。最后确定了PV_3的上同调环和相应的分次李代数。
A four-term exact sequence of surface orbifold pure braid groups
本文证明了亏格大于等于1且带锥点的二维可定向曲面轨形纯辫群存在四项正合序列，并纠正了此前arXiv.2106.08110中的结果。
On injective homomorphisms for pure braid groups, and associated Lie algebras
Artin的纯辫群的表示是否忠实的问题被转化为由纯辫群的降中心列产生的李代数的某些性质，从而通过T. Kohno \cite{kohno1,kohno2}。主要结果是一个李代数条件，它保证了一个同态的经典纯辫群是忠实的。然而，目前还不清楚这里的方法是否可以应用于任何开放的情况下，如Gassner表示。
On groups $G_{n}^{k}$, braids and Brunnian braids
在\cite{Manturov}中，第二作者用$n$链$G_{n}^{k}$定义了无$k$编织群。这些群自然地表现为描述处于某种“一般位置”的$n$粒子的动力学系统的群。此外，在\cite{ManturovNikonov}中，第二作者和I.M.Nikonov表明，$G_{n}^{k}$与经典编织物密切相关。作者证明了从$n$链上的纯辫群到$G_{n}^{3}$和$G_{n}^{4}$存在同态，并定义了从$G_{n}^{k}$到$\mathbb{Z}_{2}$的自由积的同态.也就是说，对于$G_{n}^{3}$和$G_{n}^{4}$的纯自由编织物，存在不变量。另一方面，在\cite{FedoseevManturov} D. A. Fedoseev和第二作者研究了经典的辫子，此外结构：奇偶校验和点上的每一股。作者证明了奇偶性，这是一个抽象的结构，具有几何意义-点链。在\cite{Kim}中，第一作者用奇偶和点研究了$G_{n}^{2}$。构造了一个从$G_{n+1}^{2}$到群$G_{n}^{2}$的具有奇偶性的同态.本文研究了群$G_{n}^{3}$，并从$G_{n}^{3}$中提取了经典辫子的新的强不变量。特别地，这些不变量允许人们区分布伦辫子的非平凡性。
Characteristics of graph braid groups
利用图论不变量给出了有限图上的$n$ -辫群和纯2-辫群的第一同调的计算公式.作为直接结果，一个图是平面的当且仅当图上的$n$ -辫群的第一同调是无挠的，并且关于图上的纯2-辫群的第一同调的定理在\cite{FH}中是可验证的.我们发现了图辫群的更多的特征：可平面图上的$n$ -辫群和任意图上的纯2-辫群都有一个关系子是交换子的字的表示，可平面图上的2-辫群和纯2-辫群都有一个关系子是交换子的表示.后者是一个猜想在\cite{FS2}，所以我们提出了一个类似的猜想更高的辫子指数。
Affine configurations and pure braids
证明了实平面上至少有5个点的有序仿射等价构形空间的基本群同构于纯辫群模其中心.在四个点的情况下，这个基本群是自由的，有十一个生成元。
Higher generation for pure braid groups
我们展示了纯辫群的一些子群族，它们在Abels和Holz的意义下是高度生成的。在一类示例中，相关几何对象是被称为曲面的受限弧复合体的复合体。另一个问题是由布克斯、弗卢奇、施万特、维策尔和作者提出的“悬挂的布雷格斯”引起的。
Non-realizability of the pure braid group as area-preserving homeomorphisms
设$\text{Homeo}_+(D^2_n)$是$D^2$的保持方向的同胚群，它将边界逐点固定为一个集合，并将$n$标记点固定为一个集合。辫群的Nielsen实现问题询问自然投影$p_n:\text{Homeo}_+(D^2_n)\to B_n:=π_0(\text{Homeo}_+(D^2_n))$是否在$B_n$的子群上具有截面。所有前面的方法都使用扭转或Thurston稳定性，这不适用于纯辫群$PB_n$，即逐点固定$n$标记点的$B_n$的子群。本文利用旋转数证明了纯辫群在保面积同胚内没有实现。
Symmetric automorphisms of free groups, BNSR-invariants, and finiteness properties
群$G$的BNSR-不变量是一个几何不变量序列$Σ^1(G)\supseteq Σ^2(G) \supseteq \cdots$，它揭示了$G$的某些子群的有限性的重要信息。考虑自由群$F_n$的对称自同构群$ΣAut_n$和纯对称自同构群$PΣAut_n$，考察它们的BNSR-不变量.我们证明了对于$n\ge 2$，$PΣAut_n$的所有"正“和”负“字符类都位于$Σ^{n-2}(PΣAut_n)\setminus Σ^{n-1}(PΣAut_n)$中.我们用它来证明对于$n\ge 2$，$Σ^{n-2}(ΣAut_n)$等于$ΣAut_n$的全特征球$S^0$，但$Σ^{n-1}(ΣAut_n)$是空的，所以特别是换位子群$ΣAut_n'$是$F_{n-2}$类型，但不是$F_{n-1}$。我们的技术涉及应用莫尔斯理论的复杂的对称标记仙人掌图。
An elementary proof that classical braids embed into virtual braids
本文的目的是证明从经典辫子到虚拟辫子的自然映射是一个包含;这个证明不使用任何经典辫子的完全不变量;它是基于从虚拟辫子到经典辫子的投影（类似于\cite{Projection}中给出的投影）;这个投影是虚拟辫子集合上的随机映射。通过所谓的虚拟化移动，不仅对于虚拟辫子群而且对于虚拟（纯）辫群的商群，投影被很好地定义。这种投射的思想与奇偶性的概念和作者介绍的$G_{n}^{k}$群密切相关。
On braids and groups $G_n^k$
[口头] Manturov，Non-reidemeister纽结理论and its applications in动力系统，geometry，and topology，arxiv：1501.05208]第一命名作者给出了$k$ -free辫群$G_n^k$的定义。在这里，我们建立自由辫群，经典辫群和自由群之间的联系：我们明确地描述了从（纯）辫群到$k$ -自由辫群的同态的重要情况$k=3,4$。另一方面，我们构造了自由辫群（的子群）到自由群的同态。建立的关系将允许一个新的不变量的辫子和定义新的强大的和容易计算的复杂性为经典的辫群。
Determinant of the crossing matrix of a braid
本文通过纯化行列式定义辫子不变量，并证明该不变量在任意两个 n-辫子的乘积中满足交换性。
On p-almost direct products and residual properties of pure braid groups of nonorientable surfaces
证明了不可定向曲面（闭曲面或有边曲面，但不同于RP 2）的n阶纯辫群是剩余2-有限的。因此，这个群是剩余幂零的。封闭情形的关键成分是p-几乎直积的概念，它是几乎直积概念的推广。因此，我们还证明了关于p-几乎直积的下中心序列和增广理想的一些结果。
Pentagon equations, Delaunay triangulations and pure braid group invariant
本文通过Delaunay三角剖分构造$(2n+1)$阶矩阵，并由此定义了从$(n+3)$线纯辫群到$\text{GL}_{2n+1}(\mathbb{Q})$的同态，揭示了平面点运动与线性群表示之间的联系。
The topological complexity of pure graph braid groups is stably maximal
证明了Farber关于图的构型空间的稳定拓扑复杂性的猜想。该猜想来自于最近对非球面空间拓扑复杂性的认识所得出的一般下界。我们的论点同样适用于更高的拓扑复杂性。
Pure virtual braids, resonance, and formality
研究了纯虚辫群及其上三角子群的共振簇、下中心序列秩和Chen秩.作为应用，我们给出了这类群的1-形式问题的完整答案。在这个过程中，我们探讨了亚历山大型不变量的有限生成群和几个与之相关的分次李代数之间的各种连接，并讨论了可能的扩展共振陈秩公式在这种情况下。
Representation stability for pure braid group Milnor fibers
我们证明了与纯辫群相关联的Milnor纤维的表示稳定性结果。我们的结果连接以前的工作Simona Settepenella代表稳定的意义上的教会-Ellenberg-Farb，回答一个问题的格雷厄姆Denham。我们还利用我们的结果计算了Milnor纤维的稳定积分同调。
Automorphisms of pure braid Groups
本文研究了纯辫群的自同构群的结构。证明了对于$n>3$，$\Aut(P_n)$是由$P_n$的中心自同构的子群$\Aut_c(P_n)$、$B_n$在$P_n$上的自同构的限制的子群$\Aut(B_n)$和一个额外的自同构$w_n$生成的.我们还研究了由辫群产生的正合序列的自同构的提升和扩张问题，并证明了在大多数情况下答案是否定的。具体地说，我们证明了没有非平凡的中心自同构的$P_n$可以扩展到自同构的$B_n$。
BNSR-Invariants of Surface Houghton Groups
本文研究了表面霍顿群与纯映射类群交集的BNSR不变量，通过证明相关复形为CAT(0)并采用Zaremsky方法，给出了有限指数子群的判据及co-Hopfian性失败的讨论。
Brunnian braids and some of their generalizations
我们使用的换向器收集过程的变化，以表征那些纯辫子变得平凡时，任何一个股被删除，或更一般地说，那些纯辫子变得平凡时，在任何一个列表中的一组股被删除。
Least dilatation of pure surface braids
我们研究了伪Anosov纯表面辫子的最小扩张，并提供了上界和下界作为亏格和穿刺数的函数。对于固定数目的穿刺，这些边界趋于无穷大的亏格。我们还约束pseudo-Anosov纯表面辫子的膨胀远离零，并给出了一个常数的上界的情况下，足够数量的穿刺。
Representation asymptotics in the homology of pure graph braid groups
该研究针对图的有序构型空间同调问题，给出了任意域上渐近Betti数的显式公式，并在特征零情形下得到对称群不可约表示同调渐近重数的显式公式，推进了表示稳定性相关研究。
The planar pure braid group is a diagram group
平面纯辫由$n$下降的平滑弧组成，每条弧将一条水平线$\ell_{1}$上的一点连接到水平线$\ell_{2}$上的一点，该水平线要求在第一点的正下方。允许两个弧相交，但不允许三重相交。$n$股线上的所有平面纯编织物的集合$Γ_{n}$是关于自然堆叠操作的组。我们表明，$Γ_{n}$总是一个图组，在意义上的Guba和萨皮尔。由此产生了许多结果，包括$Γ_{n}$基团的双自动性和双有序性。此外，每个群$Γ_{n}$都适当地作用于CAT（0）立方复形上，并且是协紧的. (The当前版本纠正了一个印刷错误，并承认与Genevois的早期工作重叠。
The virtual and universal braids
研究了虚辫群的结构。证明了虚辫群是虚纯辫群与对称群的半直积。证明了虚纯辫群是自由群的半直积。从这些结果中，我们得到了一个正常形式的字在虚拟辫群。我们引入了泛辫群的概念。这个群包含经典辫群，并且具有作为其商群的奇异辫群、虚拟辫群、焊接辫群和经典辫群。
Artin braid groups and spin structures
研究了Artin辫群B_{2g+2}对亏格为g的超椭圆曲线上自旋结构集的作用，它约化为对称群的作用.它已经描述的经典理论的黎曼曲面。本文用纯组合的方法计算亏格$g$的自旋结构的S_{2g+2} -轨道和每个轨道的各向同性群G_i。
The level four braid group
通过计算t=-1时的Burau表示，得到了辫群的一个辛表示.定义辫群的同余子群为辛群的主同余子群的原像。我们的主要结果是：辫群的第四级同余子群等于Dehn扭的平方生成群，也等于纯辫的平方生成群.我们还计算了点推子群在辛表示下的象。
Classification of the virtually cyclic subgroups of the pure braid groups of the projective plane
对射影平面上纯辫群$P_{n}(RP^2)$的（有限和无限）虚循环子群进行了分类。$P_{n}(RP^2)$的极大有限子群同构于8阶四元数群，若$n=3$，且同构于$\Z_{4}$，若$n\geq 4$。此外，对于所有的$n\geq 3$，直到同构，以下群是$P_{n}(RP^2)$的无限虚循环子群：$\Z$，$\Z_{2} \times \Z$和合并积$\Z_{4} \ast_{\Z_{2}} \Z_{4}$。
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