Euclidean algorithm in Galois Quartic Fields
证明了类数为$1$的虚四次域和循环四次域都是欧氏域。
2021-08-18 math.NT
An infinite family of pure quartic fields with class number $\equiv 2\pmod{4}$
让我们考虑形式为$\K=\Q(\sqrt[4]{p})$的纯四次域，其中$0<p\equiv 7\pmod{16}$是素数。证明了$\K$的$2$ -类群具有$2$阶.因此，如果$\K$的类数是$2$，则$\K$的希尔伯特类域是$\H_\K=\K(\sqrt{2})$。最后，我们找到了一个判定整数环或$\K$的理想是主理想还是非主理想的准则。
2013-11-15 math.NT
Computing the Hilbert Class Fields of Quartic CM Fields Using Complex Multiplication
设$K$是一个四次CM域，即实二次数域的全虚二次扩张。在1962年的一篇题为“论阿贝尔簇的复乘所得到的类域”的文章中，志村考虑了$K$的阿贝尔扩张的一个特殊家族$\{F_K(m) : m \in \mathbb{Z} >0 \}$，并证明了对于某些正整数m，$K$的希尔伯特类域$H_K$包含在$F_K(m)$中。我们把这个m显式化。然后，我们给出了一个算法，计算一组定义多项式的希尔伯特类字段使用字段$F_K(m)$。我们的概念验证实现该算法计算一组定义多项式的速度远远超过目前的通用库默尔算法的某些例子四次CM字段的实现。
2021-04-28 math.NT
On Class Numbers of Pure Quartic fields
设$p$为素数。Parry和Lemmermeyer在$p \not\equiv \pm 1\bmod 16$时确定了纯四次域$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{p})$的类群的$2$ -准素部分。本文在$p\equiv \pm 1\bmod 16$情形下改进了已有的结果.特别地，我们确定所有素数$p$，使得$4$不整除$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{p})$的类数。我们还推测了$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{p})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$的类数之间的关系。我们证明了这个猜想蕴含了$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{p})$的$2$ -类数的分布结果.
2019-12-11 math.NT
The quartic Fermat equation in Hilbert class fields of imaginary quadratic fields
证明了四次Fermat方程$x^4 +y^4=1$在判别式满足$-d \equiv 1$（mod 8）的任意二次域$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$的Hilbert类域$Σ$中存在非平凡整数解.一个推论是四次费马方程在$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$中没有非平凡解，因为$p$ $( > 7)$是$7$（mod 8）的素同余，但在$K$的奇数次扩张$Σ$中有非平凡解。这些解决方案产生的显式公式为4阶椭圆曲线上的泰特标准形。的解决方案进行了详细的研究，并将结果应用于证明的几个性质的韦伯奇异模由Yui和Zagier介绍。
2014-10-11 math.NT
On the 2-rank and 4-rank of the class group of some real pure quartic number fields
设$K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{pd^{2}})$是实纯四次数域，$k=\mathbb{Q}(\sqrt{p})$是实二次子域，其中$p\equiv 5\pmod 8$是素数，$d$是与$p$互质的无奇平方整数.本文根据$d$的素因子在$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$中分解或保持惰性的个数，计算$K$的子群的$2$秩$r_2(K)$，从而导出满足$r_2(K)=2$的$d$的形式.在最后一种情况下，也给出了$K$类群的$4$秩.
2020-05-03 math.NT
$6$-torsion and integral points on quartic threefolds
该研究证明了二次域类群6-挠点平均值的匹配上下界，并完成了仿射四次三维簇上整数解的数量计数，为数论相关领域提供了新的结论。
2024-10-04 math.NT
A Classification of Multiply Monogenic Quartic Orders
Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）；Tillamook Bay Community College（蒂拉穆克湾社区学院）
本文针对所有四次数域，证明了不属于Bérczes等人定义的两类特定类型的二重单生$\u2124$-序仅有有限多个，完善了此前需附加伽罗瓦群条件的相关结论。
2026-08-05 math.NT
When is a polarised abelian variety determined by its $\boldsymbol{p}$-divisible group?
该研究聚焦亏格$g$的Siegel模簇及其超奇轨迹，通过转化为类数为一问题，明确了超奇轨迹不可约的条件与极化阿贝尔簇由其极化$p$-可除群唯一确定的情形，求解用到质量公式、自同构群及$g=4$时Ekedahl-Oort层分析。
2025-02-21 math.AG math.NT
An infinite family of pairs of distinct quartic Galois CM-fields with the same discriminant and regulator
Gakushuin University（学习院大学）；Meijo University（名城大学）
本文构造了无限多个具有相同判别式和调节数的虚二元四次域和虚循环四次域的配对，并给出了具有相同判别式、调节数和类数的示例。
2026-01-12 math.NT
Class invariants for quartic CM fields
可以将四次本原CM域K的类不变量定义为某些Siegel（或Hilbert）模函数在对应于K的CM点处的特殊值。我们提供了明确的界限上出现在这些代数数的分解器的素数。这特别允许我们在K的某些阿贝尔扩张中构造S-单位，其中S有效地由K确定。它还产生类多项式的本原四次CM域的系数是S-整数。
2004-05-14 math.AG math.NT
Torsion of rational elliptic curves over quartic Galois number fields
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$K$是作为$\mathbb{Q}$上的伽罗瓦的四次数域。本文的目的是对$E(K)_{\text{tors}}$的不同同构类型进行分类。
2015-11-03 math.NT
On the number of monogenizations of a quartic order
我们证明了一个四次域中的一个序作为一个$\mathbb Z$ -代数具有比$3000$少的本质上不同的生成元（如果该序的判别式足够大，则具有比$200$少的生成元）。这显著提高了以前最好的已知的$2^{72}$的结合。类似地，我们表明，在一个四次域的顺序是同构的不变的顺序，最多$10$类的整数二元四次形式（和最多$7$，如果判别式是足够大的）。这显著改善了以前最好的已知$2^{80}$的结合。
2022-10-03 math.NT
Plane quartic twists of X(5,3)
给定Q的绝对伽罗瓦群在PGL（2，3）上的一个奇表示和一个正整数N，存在定义在Q上的一条扭模曲线，它的有理点将实现该表示的N次二次Q-曲线分类.本文给出了在亏格三N=5的情况下，该曲线的显式平面四次模型的方法。
2005-01-28 math.NT
The Eichler--Selberg trace formula for Hilbert cusp forms, the class numbers of quartic CM fields, and their distributions
Sophia University（上智大学）；Chonnam National University（全南国立大学）；Kanazawa University（金泽大学）
利用广义Hurwitz类数（由四次CM域类数定义），建立了窄类数为一的实二次域上Hilbert尖形式的Eichler-Selberg迹公式，并研究了类数分布与关系，进行了Hecke算子迹的数值计算。
2026-07-03 math.NT
5-Class towers of cyclic quartic fields arising from quintic reflection
设zeta 5是一个本原五次单位单位根，d<>1是一个不能被5整除的二次基本判别式。对于5-对偶循环四次域M=Q（（zeta 5-zeta 5 ^-1）*d^1/2），研究了M的第二个Hilbert 5类域M（5，2）的伽罗瓦群G（5，2）M=Gal（M（5，2）/M）同构型的可能性，当5-类群Cl_5（M）是秩为2的初等双环时。通常，M的最大非分歧pro-5-扩张M（5，无穷大）已经与M（5，2）重合.当G（5，2）M的阶数小于或等于5^5时，确定了M的5级塔的精确长度ell 5（M）.理论结果得到了所有83个，分别为93个，在0<d<10^4，分别为-2 10 ^5 <d<0的情况下的实际计算的支持。
2019-09-08 math.NT
Equalities among simplest quartic fields: a complete classification
该研究完整分类了最简四次域Kₙ的重合情况，确定仅存在三对不同正整数对应的Kₘ与Kₙ相等，通过结合Thue方程对应关系与有理逼近估计完成证明，扩展了相关分类结果。
2026-08-18 math.NT
On a quartic equation and two families of hyperquadratic continued fractions in power series fields
30年前，我们曾偶然地介绍过一个系数为Fp[T]的简单的四次代数方程，它在有限域Fp上的1/T的幂级数域中有解。对于每一个素数p > 3，这个解的连分数展开是显著的，并且根据p除以3的余数1或2，它具有不同的一般模式。我们描述了两个非常大的家庭的代数连分数，每个包含这些解决方案，根据类的p模3。我们可以计算这些代数连分数的无理性测度，因此，我们得到四次方程解的两个不同值，仅取决于p模3的类。
2014-12-01 math.NT
Dirichlet series associated to quartic fields with given resolvent
设$k$为三次域。本文给出了狄利克雷级数$\sum_K|\Disc(K)|^{-s}$的一个显式公式，这里的和是在所有三次预解式域同构于$k$的四次域的同构类上.我们的工作是Cohen、Diaz y Diaz和Olivier未发表预印本的续集，我们包含了他们结果的完整证明，以免依赖未发表的工作。这是一个同伴以前的文件，我们计算的狄利克雷级数相关的立方领域有一个给定的二次预解式。
2013-02-22 math.NT
Binary quartic forms with bounded invariants and small Galois groups
本文研究了伽罗瓦群同构于八阶二面体群的一个子群的整数和不可约二元四次型。我们首先表明，所有这些形式的集合是一个联盟的家庭索引的整数二进制二次型$f(x,y)$的非零判别式。然后，我们将列举与固定的$f(x,y)$相关联的所有这些形式的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$等价类。
2018-11-10 math.NT
Number of general Jacobi quartic curves over finite fields
本文给出了一般Jacobi四次曲线的$\bar{\mathbb{F}}_q$ -同构类的个数，即，本文列举了有限域$\mathbb{F}_q$上具有不同$j$ -不变量的一般Jacobi四次曲线的个数。
2010-01-17 math.AG math.NT
Quartic Rational Diophantine Quadruples and the Euler Surface
University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering（萨格勒布大学土木工程学院）；University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
本文证明存在无限多个四次有理狄菲antine四元组，通过构造欧拉曲面得到首个显式无限族四次有理狄菲antine四元组，并扩展到任意指数k>1的情况。
2026-04-21 math.NT
Class Numbers of Orders in Quartic Fields
证明了当调节子的上界趋于无穷大时，不含实二次子域的全复四次域的阶的类数和服从类似于素数的渐近规律.这里只考虑在一组给定的素数包含一个偶数的元素是最大的订单。证明是通过一个素测地线定理的对称空间形成的SL（4，R）的紧的直积。这一结果扩展了Sarnak在实二次情形和Deitmar和Hoffmann在复三次情形下的工作。
2006-05-11 math.DG math.NT
On the tame kernels of imaginary cyclic quartic fields with class number one
Tate首先提出了一种确定$F,$的驯服核$K_2\mathcal{O}_F,$的方法，并对一些特殊的小判别式二次域给出了具体的计算.在此基础上，给出了判别式较大的二次域的许多例子，并对判别式不大的三次域和一些特殊的四次域做了类似的工作。本文研究了更一般的虚循环四次域$F=\mathbb{Q}\Big(\sqrt{-(D+B\sqrt{D})}\Big)$具有类数1和大判别式的情形。其关键问题是如何将计算过程中出现的巨大理论界减小到一个可管理的范围内，而其主要难点是如何处理计算过程中出现的大规模数据。为了解决这一问题，我们建立了一个通用的计算体系结构，特别是：（1）在C++代码中调用PARI的函数;（2）在C++代码中采用并行程序设计方法;（3）在算法和代码的设计中，采用面向对象的观点，从而获得了可扩展的程序。作为程序的一个应用，我们证明了$K_2\mathcal{O}_F$在以下三种情况下是平凡的：$B=1,D=2$或$B=2, D=13$或$B=2, D=29.$在最后一种情况下，$F$的判别式是24389，因此，我们可以说，我们的架构也适用于判别式小于25000的数域的驯服核的计算。
2018-11-14 math.NT
The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor
我们考虑4度数域族，其在$\mathbb{Q}$上的正规闭包具有同构于$D_4$的伽罗瓦群，即正方形的对称性。对于任何这样的场$L$，可以将对应的2维不可约伽罗瓦表示的Artin导体与像$D_4$相关联。我们确定了这种按导体序的四次$D_4$ -场的渐近数，并计算了作为质量公式的首项，验证了Kedlaya和Wood的渐近性.此外，我们能够施加任何局部分裂条件在任何有限数量的素数（有时，在无限数量的素数），因此，我们也计算的渐近数的阶4元素的类组和窄类组的二次域有序的判别。传统上，有两种方法来计算四次域，使用算术不变理论结合几何的数字技术，并应用库默尔理论与L-函数方法。这两种策略都不符合$D_4$ -场的情况下，由导体排序，因为计数包含一个二次子域与大的判别式的四次字段是困难的。然而，当排序的导体，我们利用额外的代数结构所产生的外部自同构的$D_4$结合上述两种方法，以获得准确的渐近。
2017-04-06 math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
Sato-Tate distributions of twists of the Fermat and the Klein quartics
当A与定义在数域k上的CM椭圆曲线的立方几何等距时，我们确定了定义在数域k上的阿贝尔三重A的归一化Euler因子的极限分布.作为一个应用，我们分类的Sato-Tate分布的Jacobian的扭曲的费马和克莱因四次曲线，分别获得54和23，和60个。我们遇到了一个在1维或2维中看不到的新现象：归一化欧拉因子的极限分布不是由其系数的极限分布决定的。
2018-09-17 math.NT
On parameters of orders of quartic fields and essential pairs -- extended version
三元二次型对类通过Bhargava的一个结果参数化了四次环.我们给出了一个算法，找到一对三元二次型参数化一个给定的四次域的阶。我们研究了一种新的技术，本质对，从数域数据库中获得四次域的阶数参数。四次域的极大序模的本质对是非常常见的，并且提供了一种获得整数环的整基的简单方法。
2020-02-18 math.NT math.RA
Diagonal quartic surfaces and transcendental elements of the Brauer group
我们展示了中心单代数的功能领域的对角四次曲面上的复数，表示其Brauer群的2-挠部分。本文研究了数域上对角四次曲面的Brauer群的2-准素部分是否是代数的，并给出了这是代数的充分条件。在最后一节中，我们给出了一个障碍，弱近似由于一个transendental类在一个特定的对角四次曲面，一个障碍，不能解释的代数Brauer群，在这种情况下，只是常数代数。
2009-11-06 math.AG math.NT
A class of geometrically elliptic fibrations by plane projective quartic curves
本文研究特征2下算术亏格3、几何亏格1的非超椭圆曲线纤维化，在特定奇点假设下给出双有理等价的完整分类，证明其可被椭圆纤维化覆盖且覆盖映射具特定双有理与纯不可分性质。
2025-10-28 math.AG math.NT
Igusa class polynomials, embeddings of quartic CM fields, and arithmetic intersection theory
Bruinier和Yang给出了算术Hilbert模曲面CM（K）.T_m上的相交数的计算公式，其中CM（K）是CM的交换曲面对应于一个本原四次CM域K的点的零圈，T_m是m等距的椭圆曲线的乘积的Hirzebruch-Zagier因子.在本文中，我们研究领域没有涵盖杨的证明猜想。我们给出数值证据来支持猜想，并指出一些有趣的异常。我们比较了这两个猜想的Igusa类多项式和嵌入问题的解决方案的数量Goren和Lauter。
2010-06-01 math.AG math.NT
Automorphisms of quartic del Pezzo surfaces in characteristic zero
本文对特征零域上四次 del Pezzo 曲面的自同构群进行完整分类，并区分有理、稳定有理与单有理情形，还为每个可实现群给出显式曲面方程。
2023-08-15 math.AG math.NT
Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant over quartic number fields
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文分类了定义在四次数域上且具有有理 $j$-不变量的椭圆曲线的挠子群的可能群结构。
2026-06-07 math.AG math.NT
Twists of the Burkhardt Quartic Threefold
研究了特征不同于2，3，5的非代数闭基域上的三重Burkhardt四次曲线的扭曲.我们证明了它们都允许四次模型在射影四维空间中存在。我们确定了一个伽罗瓦上同调的障碍，措施，如果一个给定的扭曲是双有理的模空间的阿贝尔簇。这种障碍对这些品种的有理点有影响。结果，我们看到所有可能的3-水平结构都可以通过阿贝尔曲面实现，而库默尔3-水平结构在群理论上可能是可容许的，但在某些基域上可能是不可实现的。我们给出了一个二元函数域上的Burkhardt四次曲线的例子，其去奇异化完全没有有理点。我们的方法是基于表示论的Sp（4，3），伽罗瓦上同调，和经典的代数几何的Burkhardt四次。
2022-08-23 math.AG math.NT
Classification of torsion of elliptic curves over quartic fields
本文确定了四次域上椭圆曲线挠群的所有可能情况，证明不存在零散挠群，并利用秩0方法、Hecke筛法和全局方法等证明了相关模曲线无非尖点四次点。
2025-02-18 math.AG math.NT
