How many weights can a cyclic code have ?
给出了给定长度、维数和字母表的循环码的最大权数的上界和下界。不可约循环码的应用被认为是。对于特殊的循环码（这里称为强循环码），{其非零码字的周期等于码的长度}，给出了更清晰的上界。渐近导出的功能$Γ(k,q),$ {这是定义为}的最大数量的非零重量的循环码的尺寸$k$在$\F_q$可以有，和一个算法来计算它的草图。本文给出了二进制或$q$ -进制Reed-Muller码以及$q$ -进制Hamming码的非零权系数，这是两个独立的困难结果。
2018-11-15 cs.IT math.IT
A Note on Weight Distributions of Irreducible Cyclic Codes
通常，确定不可约循环码的重量分布是困难的。本文讨论了一个不可约循环码具有最大数目的不同非零权的情形，并给出了一个充分必要条件。在这种情况下，我们还获得了码字的权重的可除性。进一步，我们给出了只有一个非零权的不可约循环码的一个充要条件。最后，我们确定了某些情况下不可约循环码的重量分布。
2012-05-06 cs.IT math.IT
Asymptotically Good Additive Cyclic Codes Exist
任意固定指数$>1$的长准循环码已被证明是渐近好的，这取决于（A.阿拉赫马迪角Güneri，H. Shoaib，P. Solé，2017）。我们利用这个结果在基域的任意固定度扩张上构造了好的长可加循环码。类似地，自对偶双循环码和自对偶四循环码也被证明是好的，这也取决于（A. Alahmadi，F.Özdemir，P. Solé，2017）and（M. Shi，H. Zhu，P. Solé，2017）。基于这些最近的结果，我们可以证明，长循环码是好的$\F_q,$的许多类的$q$的。这是对一个50年前的开放问题的部分解决方案。
2018-09-09 cs.IT math.IT
The Weight Hierarchy of Some Reducible Cyclic Codes
线性码的广义汉明重量是码的基本参数，它的知识在许多应用中具有重要意义。然而，确定线性码的GHW通常是困难的。本文研究了一类可约循环码的GHW，在几种情况下得到了完备的权族。这是通过将\cite{YLFL}的思想扩展到更高的维度和通过采用一些有趣的组合参数来实现的。应当注意，这些循环码可以具有任意数量的非零。
2015-04-06 cs.IT math.CO math.IT
The weight distributions of two classes of p ary cyclic codes with few weights
循环码由于具有高效的编码和译码算法，几十年来吸引了大量的研究兴趣。本文对奇素数$p$，完全确定了两类$p$ -元循环码的重量分布。我们表明，这两个代码有最多五个非零的重量。
2015-04-13 cs.IT math.IT
A Family of Five-Weight Cyclic Codes and Their Weight Enumerators
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文提出了一类具有三个零点的$p$元循环码。确定了这类循环码的重量分布。事实证明，所提出的循环码有五个非零的权重。
2013-02-05 cs.IT math.IT
A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions
基于Hollmann和Xiang提出的构造三重纠错码的一个充分条件，研究了长度为$2^m-1$的二进制循环码$\mathcal{C}_{1,3,13}$的最小距离及其对偶码的重量可除性，其中$m\geq 5$是奇数，$α$是有限域$\mathbb{F}_{2^m}$的本原元.证明了该码$\mathcal{C}_{1,3,13}$与相同长度的二进制三重纠错基元BCH码$\mathcal{C}_{1,3,5}$具有相同的权值分布。
2010-03-31 cs.DM cs.IT math.IT
The Dimension and Minimum Distance of Two Classes of Primitive BCH Codes
Reed-Solomon码是BCH码的一种，广泛应用于通信系统、存储设备和消费电子产品中。这一事实证明了BCH码-循环码族-在实践中的重要性。理论上，BCH码是纠错能力最好的循环码之一。BCH码的一个子类是狭义本原BCH码。然而，这些代码的尺寸和最小距离通常是未知的。本文的目的是确定设计距离分别为$δ=(q-1)q^{m-1}-1-q^{\lfloor (m-1)/2\rfloor}$和$δ=(q-1)q^{m-1}-1-q^{\lfloor (m+1)/2\rfloor}$的两类狭义本原BCH码的维数和最小距离。一些这些BCH码的重量分布也报告。如将看到的，这两类BCH码有时是最佳的，有时是已知的最佳线性码之一。
2016-03-22 cs.IT math.IT
The weight distribution of a family of p-ary cyclic codes
设m，k是正整数，p是奇素数，$π$是$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元.本文确定了$\mathbb{F}_p$上的循环码族$\mathcal{C}_t$的重量分布，其中$\mathbb{F}_p$上有两个零点$π^{-t}$和$-π^{-t}$，且$t$对某些$τ\in \{0,1,\cdots, m-1\}$满足$t\equiv \frac{p^k+1}{2}p^τ\ ({\rm mod}\ \frac{p^m-1}{2}) $.
2014-05-21 cs.IT math.IT
Complete b-symbol weight distribution of some irreducible cyclic codes
最近，提出了$b$符号码以防止$b$符号读取信道中的$b$符号错误。由于$b$ -符号度量是Hamming度量的推广，因此研究循环码的完全$b$ -符号重量分布是一个有趣的课题。不可约码的完全$b$ -符号汉明重量分布仅在少数情况下是已知的。本文给出了一类具有两个非零$b$-符号Hamming重量的不可约码的完全$b$-符号Hamming重量分布。
2021-10-02 cs.IT math.IT
Relative Generalized Hamming Weights of Cyclic Codes
线性码相对于线性子码的相对广义汉明重量决定了基于线性码的线性斜坡秘密共享方案的安全性。它们可以用来表示当某些份额持有者被破坏时秘密的信息泄漏。循环码是一类有趣的线性码，在通信和存储系统中有着广泛的应用。本文研究了具有两个非零的循环码关于它的任意不可约循环子码的广义高斯环。应用文献[arxiv.org/abs/1410.2702]中的方法，我们给出了循环码的RGHW的两个计算公式。作为公式的应用，给出了显式算例.
2015-05-27 cs.IT math.IT
Weight Distribution of A p-ary Cyclic Code
对于一个奇素数$p$和两个正整数$n\geq 3$和$k$，其中$\frac{n}{{\rm gcd}(n,k)}$为奇，本文确定了$p$元循环码$\mathcal{C}$在$\mathbb{F}_{p}$上的重量分布，其中$α$为$\mathbb{F}_{p^n}$的本原元，$α^{-1}$、$α^{-(p^k+1)}$和$α^{-(p^{3k}+1)}$均为非零
2009-01-16 cs.DM cs.IT math.IT
Asymptotic performance of metacyclic codes
具有循环正规子群N使得G/N是循环的有限群称为亚循环群。有限域F上的码是亚循环码，如果它是群代数FG中的左理想，其中G是亚循环群。亚循环码是二面体码的推广，并且可以构造成具有额外自同构的准循环码。本文证明了亚循环码是一类渐近好码。我们的证明依赖于一个版本的Artin猜想的原根在算术级数是真实的广义黎曼假设（GRH）。
2019-06-18 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Codes Correcting a Single Burst of Limited-Magnitude Errors
受DNA存储、闪存和磁记录应用的启发，我们研究了有限幅度错误信道的完美突发校正码。这些代码是用适当的错误球平铺整数网格的网格。我们构造两类这样的完美的代码纠正一个单一的突发长度$2$为$(1,0)$ -有限的幅度错误，无论是循环和非循环突发。我们还提出了一个通用的建设，需要一个原始元素在有限域中的特定属性。然后，我们表明，在各种参数制度，这样的原始元素存在，因此，存在无限多的完美的突发校正码。
2022-01-05 cs.IT math.IT
On Z2Z4[ξ]-Skew Cyclic Codes
Z2 Z4-可加码在文献[5]中定义为Z2^{r} × Z4^{s}的子群，其中Z2，Z4分别是模2和模4的整数环，r和s是正整数。在本研究中，我们定义了集合Z 2 ^{r}[ \bar n] x Z 4 ^{s}[n]上的一个新的码族，其中n是Z 4 [x]中的一个单一基本本原多项式的根。给出了环Z 2 ^{r}[ \bar n] x Z 4 ^{s}[n]上码的生成矩阵和校验矩阵的标准形式，并引入了环Z 4 ^{s}[n]上的斜循环码及其生成集.
2017-11-06 cs.IT math.IT
A tight upper bound on the number of non-zero weights of a quasi-cyclic code
本文研究准循环码非零权重个数的上界问题，通过分析自同构子群的轨道得到显式上界及达界充要条件，对一生成元准循环码给出更紧上界，并用实例验证其紧性，改进推广了已有结果。
2023-11-07 cs.IT math.IT
Optimal three-weight cyclic codes whose duals are also optimal
Vega [Finite Fields Appl.，42（2016）23-38]。此后不久，Heng和Yue [IEEE Trans. Inf. Theory，62（8）（2016）4501-4513]通过提出几类具有最佳三个权重或几个权重的循环码来推广这一结果。本文提出了一类新的有限域$F_q$上长度为$q+1$，维数为3的最优三重循环码，并证明了其非零权码为$q-1$，$q$和$q+1$ .然后，我们研究的对偶码在这个新的类，并表明，他们也是最佳的循环码的长度$q+1$，尺寸$q-2$，和最小汉明距离$4$。最后，作为Krawtchouck多项式的应用，我们得到了对偶码的重量分布。
2021-07-09 cs.IT math.IT
On an open problem about a class of optimal ternary cyclic codes
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文解决了Ding和Helleseth提出的一类最优三元循环码的一个公开问题。设$C_{(1,e)}$是GF（3）上长度为$3^m-1$的循环码，具有两个非零值$α$和$α^e$，其中$α$是$GF(3^m)^*$的生成元，e是给定的整数.它表明，$C_{(1,e)}$是最佳的参数$[3^m-1,3^m-1-2m,4]$，如果满足以下条件之一。1)$m\equiv0(\mathrm{mod}~ 4)$、$m\geq 4$和$e=3^\frac{m}{2}+5$。2)$m\equiv2(\mathrm{mod}~ 4)$、$m\geq 6$和$e=3^\frac{m+2}{2}+5$。
2019-01-24 cs.IT math.CO math.IT
On the burst-covering radius of binary cyclic codes
McMaster University（麦克马斯特大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本古里安大学）
本文研究了突发覆盖码的定义与性质，推导了循环码突发覆盖半径的更紧界限，并提出了高效的突发覆盖算法及基于突发覆盖半径的循环码临界指数界。
2026-10-30 cs.IT math.IT
The weight Enumerator of some irreducible cyclic codes
不可约循环码是已知的最大的分组码类之一，已经研究了很长时间。然而，它们的权重分布仅在少数情况下已知。本文研究了一类不可约循环码，确定了它们的重量分布。此外，还通过编程得到了一些不可约循环码的全部码字，以解释其分布。本文所讨论的码中不同的非零权数在1，2，3，6，8之间变化。
2013-09-05 cs.CR cs.IT math.IT
Cyclic Codes and Sequences from a Class of Dembowski-Ostrom Functions
设$q=p^n$和$p$是奇素数。设$0\leq k\leq n-1$和$k\neq n/2$。本文确定了如下指数（特征）和\[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^n(αx^{p^{3k}+1}+βx^{p^k+1})}\quad(α\in \bF_{p^m},β\in \bF_{q})\]与\[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^n(αx^{p^{3k}+1}+βx^{p^k+1}+\ga x)}\quad(α\in \bF_{p^m},β,\ga\in \bF_{q})\]的值分布，其中$\Tra_1^n: \bF_q\ra \bF_p$与$\Tra_1^m: \bF_{p^m}\ra\bF_p$是典型迹映射，$ζ_p=e^{\frac{2πi}{p}}$是本原$p$ -次单位根。作为应用：（1）。我们分别用奇偶校验多项式$h_2(x)h_3(x)$和$h_1(x)h_2(x)h_3(x)$确定了$\bF_{p^t}$上循环码$\cC_1$和$\cC_2$的重量分布，其中$t$是$d=\gcd(n,k)$的除数，$h_1(x)$，$h_2(x)$和$h_3(x)$分别是$π^{-1}$，$π^{-(p^k+1)}$和$π^{-(p^{3k}+1)}$在$\bF_{p^t}$上的极小多项式，对于$\bF_q$…
2009-02-26 cs.DM cs.IT math.CO
Spectral properties of generalized Paley graphs and their associated irreducible cyclic codes
对于具有$p$素数和$k\mid q-1$的$q=p^m$，我们考虑了具有$R_k=\{ x^k : x \in \mathbb{F}_q^* \}$的广义Paley图$Γ(k,q) = Cay(\mathbb{F}_q, R_k)$，以及具有$R_k=\{ x^k : x \in \mathbb{F}_q^* \}$的不可约$p$元循环码$\mathcal{C}(k,q) = \{(\textrm{Tr}_{q/p}(γω^{ik})_{i=0}^{n-1})\}_{γ\in \mathbb{F}_q}$，其中$ω$是$\mathbb{F}_q$和$n=\tfrac{q-1}{k}$的本原元.我们首先用高斯周期来表示$Γ(k,q)$的谱。然后，我们表明，$Γ(k,q)$和$\mathcal{C}(k,q)$的光谱是相互确定的，如果进一步$k\mid \tfrac{q-1}{p-1}$。对于不可约2-权循环码的图，我们给出了半本原和例外情形下的$Spec(Γ(k,q))$。我们还计算了$Spec(Γ(3,q))$和$Spec(Γ(4,q))$。
2020-07-09 cs.IT math.CO math.IT
A class of optimal ternary cyclic codes and their duals
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。设$m=2\ell+1$为整数$\ell\geq 1$，$π$为$\gf(3^m)^*$的生成元。本文研究了$\gf(3)$上的一类循环码$\C_{(u,v)}$，其中$π^{u}$和$v=2\cdot 3^{\ell}+1$是三进制Welch型指数.基于$\gf(3^m)$上某类方程解的不存在性，证明了循环码$\C_{(u,v)}$具有最小距离4，这是$\gf(3)$上长度为$3^m-1$，维数为$3^m-1-2m$的线性码在Packing球界下的最佳最小距离.研究了这类循环码的可积性。
2015-10-16 cs.IT math.IT
Exponential Sums, Cyclic Codes and Sequences: the Odd Characteristic Kasami Case
设$q=p^n$与$n=2m$和$p$是奇素数。设$0\leq k\leq n-1$和$k\neq m$ .本文确定了如下指数（特征）和\[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1})}\quad(α\in \bF_{p^m},β\in \bF_{q})\]与\[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1}+\ga x)}\quad(α\in \bF_{p^m},β,\ga\in \bF_{q})\]的值分布，其中$\Tra_1^n: \bF_q\ra \bF_p$与$\Tra_1^m: \bF_{p^m}\ra\bF_p$是典型迹映射，$ζ_p=e^{\frac{2πi}{p}}$是本原$p$次单位根。作为应用：（1）。本文分别用奇偶校验多项式$h_2(x)h_3(x)$和$h_1(x)h_2(x)h_3(x)$确定了$\bF_{p^t}$上循环码$\cC_1$和$\cC_2$的重量分布，其中$t$是$d=\gcd(m,k)$的约数，$h_1(x)$、$h_2(x)$和$h_3(x)$分别是$π^{-1}$、$π^{-(p^k+1)}$和$π^{-(p^m+1)}$在$\bF_{p…
2009-02-26 cs.DM cs.IT math.CO
Parameters of two classes of LCD BCH codes
历史上，LCD循环码被称为可逆循环码，其在数据存储中有应用。由于在密码学中的一个新发现的应用，人们对LCD码重新产生了兴趣。本文研究了两类特殊的LCD循环码，它们都是BCH码。这些LCD BCH码的尺寸和最小距离进行了研究。作为副产品，一些原始BCH码的参数也得到了。
2017-02-21 cs.IT math.IT
Several classes of optimal $p$-ary cyclic codes with minimal distance four
循环码是线性码的一个子类，由于其高效的编码和解码算法，在数据存储系统、通信系统和消费电子产品中具有广泛的应用。设$p\ge 5$为奇素数，$m$为正整数.令$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$表示具有三个非零$α$、$α^e$和$α^s$的$p$进制循环码，其中$α$是${\mathbb F}_{p^m}^*$、$s=\frac{p^m-1}{2}$和$2\le e\le p^m-2$的生成元.本文通过对有限域上某些多项式的解的分析，给出了四类以$[p^m-1,p^m-2m-2,4]$为参数的最优$p$元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。以前关于参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优五元循环码的一些结果是我们构造的特殊情况。另外，通过分析${\mathbb F}_{5^m}$上某些多项式的不可约因子，我们给出了两类最优五元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。
2022-08-30 cs.IT math.IT
A Note on Cyclic Codes from APN Functions
循环码作为编码理论中的线性分组纠错码，具有重要的地位和广泛的应用。Ding在\cite{D}中利用有限域上的几乎完全非线性（APN）函数和平面函数构造了一类循环码，并提出了关于高度非线性函数循环码的十个公开问题.在本文中，我们考虑两个公开的问题，涉及反APN函数$f(x)=x^{q^m-2}$和Dobbertin APN函数$f(x)=x^{2^{4i}+2^{3i}+2^{2i}+2^{i}-1}$。通过计算这两类APN函数生成的两个序列的线性跨度和最小多项式，确定了相应循环码的维数，并给出了这些循环码最小重量的下界。实际上，我们提出了一个由$s_t=Tr((1+α^t)^e)$定义的序列$s^{\infty}$的最小多项式和线性跨度的框架，其中$α$是$GF(q)$中的本原元素。这些技术也可应用于\cite{D}中的其他开放问题。
2013-05-31 cs.IT math.IT
A class of $p$-ary cyclic codes and their weight enumerators
设$m$，$k$是正整数，使得$\frac{m}{\gcd(m,k)}\geq 3$，$p$是奇素数，$π$是$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元.令$h_1(x)$和$h_2(x)$分别是$-π^{-1}$和$π^{-\frac{p^k+1}{2}}$在$\mathbb{F}_p$上的最小多项式。在$\frac{m}{\gcd(m,k)}$为奇数、$k$为偶数、$\gcd(m,k)$为奇数或$\frac{k}{\gcd(m,k)}$为奇数的情况下，Zhou等人在\cite{zhou}中得到了一类循环码$\mathcal{C}$在$\mathbb{F}_p$上的具有奇偶校验多项式$h_1(x)h_2(x)$的重量分布.本文进一步研究了$\mathbb{F}_p$上的这类循环码$\mathcal{C}$在其余情况为奇数$\frac{m}{\gcd(m,k)}$和偶数情况为$\frac{m}{\gcd(m,k)}$的情形.此外，我们确定了循环码$\mathcal{C}$的重量分布。
2014-07-08 cs.IT math.IT
Cyclic codes and cyclically covering subspaces
Key Laboratory of Intelligent Computing Signal Processing, Ministry of Education, School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院，教育部智能计算与信号处理重点实验室）
本文研究了循环覆盖子空间的余维数，通过常循环码和不可约循环码的方法，推导了循环覆盖子空间的下界并给出了若干族n使得余维数为零。
2026-08-04 cs.IT math.CO math.IT
Construction of quasi-cyclic self-dual codes
有限域$\mathbb F_q$上的$\ell$ -拟循环码与环$R = \mathbb F_q[Y]/(Y^m-1)$上的线性码之间存在一一对应关系。利用这一对应关系，证明了有限域$\mathbb F_q$上长度为$m\ell$的所有$\ell$ -准循环自对偶码都可以通过{ \it building-up}构造得到，只要char $(\mathbb F_q)=2$或$q \equiv 1 \pmod 4$，$m$是素数$p$，$q$是$\mathbb F_p$的本原元.我们确定可能的重量枚举的二进制$\ell$ -准循环自对偶码的长度$p\ell$（与$p$素数）的$p$整除方面。我们通过构造新的二元立方（即，$\ell$ -长度为$3\ell$的准循环码长度为$30, 36, 42, 48$的最优自对偶码（类型I），54和66。我们还发现了长度为40，50和60的准循环最佳自对偶码。当$m=5$时，我们得到了$\mathbb F_3$上一个新的8-准循环自对偶$[40, 20, 12]$码和$\mathbb F_4$上一个新的6-准循环自对偶$[30, 15, 10]$码.当$m=7$时，我们找到了$\mathbb F_4$上一个新的4-拟循环自对偶$[28, 14, 9]$码和$\mathbb F_4$上一个新的6-拟循环自对偶$[42,21,12]$码.
2012-01-29 cs.IT math.AC math.CO
A Note on Hamming distance of constacyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb F_{p^m} + u\mathbb F_{p^m}$
对于任何素数$p$，$λ$ -长度为$p^s$的常循环码恰好是局部环${\cal R}_λ=\frac{{\cal R}[x]}{\left\langle x^{p^s}-λ\right\rangle}$的理想，其中$u^2=0$ .本文首先研究了${\cal R}$上长度为$p^s$的循环码的汉明距离.确定了${\cal R}$上所有长度为$p^s$的循环码的最小汉明距离.此外，还建立了$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码和$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码之间的等距关系，其中$α$是$\mathbb{F}_{p^m}$的非零元素，它继承了关于$α$-长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码所对应的循环码的结果.
2016-12-12 cs.IT math.IT
Cyclic Codes and Sequences from Kasami-Welch Functions
设$q=2^n$、$0\leq k\leq n-1$和$k\neq n/2$。本文确定了如下指数和\[\sum\limits_{x\in \bF_q}(-1)^{\Tra_1^n(αx^{2^{3k}+1}+βx^{2^k+1})}\quad(α,β\in \bF_{q})\]和\[\sum\limits_{x\in \bF_q}(-1)^{\Tra_1^n(αx^{2^{3k}+1}+βx^{2^k+1}+\ga x)}\quad(α,β,\ga\in \bF_{q})\]的值分布，其中$\Tra_1^n: \bF_{2^n}\ra \bF_2$是典型迹映射.作为应用：（1）。本文确定了二元循环码$\cC_1$和$\cC_2$分别具有奇偶校验多项式$h_2(x)h_3(x)$和$h_1(x)h_2(x)h_3(x)$的重量分布，其中$h_1(x)$，$h_2(x)$和$h_3(x)$分别是$π^{-1}$，$π^{-(2^k+1)}$和$π^{-(2^{3k}+1)}$的最小多项式，对于$\bF_q$的本原元$π$.（二）、我们确定了一族二元m序列之间的相关分布。
2009-02-26 cs.DM cs.IT math.CO
Quantum Bicyclic Hyperbolic Codes
本文研究双曲双循环码包含Euclidean与Hermitian对偶码的设计距离条件，并据此构造两类量子双循环码。
2019-09-26 cs.IT math.CO math.IT
Two-weight codes and second order recurrences
证明了有限域上维数为$2$的循环码至多有两个非零权值.这扩展了Rao et al（2010）的一个构造，并反驳了Schmidt-White（2002）的一个猜想。计算了它们的权分布，并给出了它们的校验多项式的根是MDS的条件。
2017-09-16 cs.IT math.IT
Quantum Locally Repairable Codes from Negacyclic and Repeated-Root Cyclic Codes over Small Fields
Air Force Engineering University（空军工程大学）
本文研究小域上经典常循环码经CSS构造的量子局部可修复码，证明仅负循环和重根循环码可用于该构造，给出局部性与纯度判据，得到无限纯qLRCs族及首批二元重根qLRCs等新参数。
2026-08-25 cs.IT math.IT
A characterization of a class of optimal three-weight cyclic codes of dimension 3 over any finite field
众所周知，确定循环码族的重量分布的问题通常是非常困难的。一个更困难的问题是找到循环码族的特征在他们的重量分布。另一方面，也是众所周知的，具有较少重量的循环码在编码理论和密码学中具有很大的实际重要性。特别地，具有三个非零权重的循环码已经被一些作者研究，然而，这些努力大多集中在素域上的循环码。在这项工作中，我们提出了一类最佳的三重量循环码的3维的任何有限域上的一个特征。在这个特征下的代码，事实上，最佳的意义上，他们的长度达到了Griesmer下界的线性码。因此，这些代码达到，同时，最好的可能的编码能力，也是最好的可能能力的错误检测和纠正的线性码。但是因为它们本质上是循环的，它们也拥有丰富的代数结构，可以以各种方式使用，特别是在设计非常有效的编码和解码算法时。同样值得指出的是，描述我们这类最优三重循环码的必要和充分数值条件的简单性。正如我们已经指出的，找到这种特征是一个困难的问题。然而，对于这种特殊情况，使我们能够找到我们的特征的基本工具是由B引入的所有二重不可约循环码的特征。Schmidt和C. White（2002）.最后，关于这类码的另一个特征是，它们的编码似乎总是具有与最著名的线性码相同的参数。
2015-08-20 cs.IT math.IT
Triple-Error-Correcting BCH-Like Codes
二进制本原三重纠错BCH码是最小距离为7的循环码，其生成多项式具有零$α$、$α^3$和$α^5$，其中$α$是单位的本原根。代码的零集合被称为{1，3，5}。在1970年的Kasami表明，可以构造类似的三重纠错码使用零集组成的不同的三元组比BCH码。此外，在2000年Chang et.发现了导致三重纠错码的新的三重。本文提出了一种新的三元组。此外，提出了一种新的方法，可能是感兴趣的，在寻找进一步这样的三元组。
2009-01-13 cs.IT math.IT
On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials
设$m\geq 3$是一个奇整数，$p$是一个奇素数。%，其中$h$是奇数。本文通过研究分别具有奇偶校验多项式$m_1(x)m_d(x)$和$m_1(x)m_e(x)$的循环码$\mathcal{C}_{(1,d)}$和$\mathcal{C}_{(1,e)}$具有相同重量分布的条件，给出了$\mathbb{F}_{p}$上的许多类三重量循环码，其中$m_i(x)$是$\mathbb{F}_{p}$上$π^{-i}$对$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元$π$的最小多项式.对于$p=3$，所提出的五类循环码在满足线性码的某些界的意义上是最优的。此外，对于$p\equiv 3 \pmod{4}$和正整数$e$，使得存在整数$k$，其中$\gcd(m,k)=1$和$τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$满足$(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$，确定了两个指数和$T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$和$ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $的值分布，其中$s=(p^m-1)/2$。作为应用，利用$S(a,b,c)$的值分布研究了具有校验多项式$m_…
2013-08-27 cs.IT math.IT
Some bounds on the cardinality of the $b$-symbol weight spectrum of codes
本文将 Hamming 距离谱基数理论推广到$b$-符号距离谱，确定多类码的最大谱大小，并用三种方法给出循环码上界及两个副产品。
2024-04-03 cs.IT math.IT
Two-weight codes over the integers modulo a prime power
设$p$为素数。证明了长度为$p^2-1$、维数为$2$的不可约循环码在整数模$p^h$上具有两个非零汉明重量.该构造使用特征$p^h$和阶数$p^{2h}.$的伽罗瓦环。当校验多项式是本原时，代码满足（Shiromoto，Storme）（2012）的Griesmer界。通过打孔构造了一些投影码。长度为$p+1$的那些满足的类单重界（Shiromoto，2000）。一个强正则图的无限族被构造为这些投射码的子图的陪集图。所有这些图的一个共同的覆盖，为固定的$p$，通过考虑这些循环码的Hensel提升的$p$ -进数。
2019-11-15 cs.CR cs.IT math.IT
