A class of cyclic codes whose dual have five zeros
本文给出了一类环$\mathbb{F}_{p}$上的循环码，其中$p$是奇素数，其码元有五个零点.此外，还确定了这些循环码的重量分布。
2015-02-07 cs.IT math.IT
Five Families of Three-Weight Ternary Cyclic Codes and Their Duals
作为线性码的子类，循环码在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用，因为它们具有有效的编码和解码算法。本文提出了五类三重三进制循环码，它们的码元具有两个零点。确定了这五类循环码的重量分布。这两类循环码的乘积是最优的。
2013-08-25 cs.IT math.IT
A Family of Five-Weight Cyclic Codes and Their Weight Enumerators
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文提出了一类具有三个零点的$p$元循环码。确定了这类循环码的重量分布。事实证明，所提出的循环码有五个非零的权重。
2013-02-05 cs.IT math.IT
A Class of Five-weight Cyclic Codes and Their Weight Distribution
本文提出了一类五重可约循环码。此外，确定这些循环码的重量分布，这是从确定某些指数和的值分布。
2015-02-12 cs.IT math.IT
Weight Distribution of A p-ary Cyclic Code
对于一个奇素数$p$和两个正整数$n\geq 3$和$k$，其中$\frac{n}{{\rm gcd}(n,k)}$为奇，本文确定了$p$元循环码$\mathcal{C}$在$\mathbb{F}_{p}$上的重量分布，其中$α$为$\mathbb{F}_{p^n}$的本原元，$α^{-1}$、$α^{-(p^k+1)}$和$α^{-(p^{3k}+1)}$均为非零
2009-01-16 cs.DM cs.IT math.IT
Optimal Ternary Cyclic Codes with Minimum Distance Four and Five
循环码是线性码的一个重要子类，在数据存储系统、通信系统和消费电子产品中有着广泛的应用。本文提出了两类最佳三元循环码。第一类循环码的参数为$[3^m-1, 3^m-1-2m, 4]$，它包含一类有限循环码和几类新的最优循环码。循环码的第二族具有参数$[3^m-1, 3^m-2-2m, 5]$，并且包含从$\fthreem$上的完美非线性函数获得的多个循环码类，其中$m>1$和是正整数。
2013-09-05 cs.IT math.IT
The Weight Hierarchy of Some Reducible Cyclic Codes
线性码的广义汉明重量是码的基本参数，它的知识在许多应用中具有重要意义。然而，确定线性码的GHW通常是困难的。本文研究了一类可约循环码的GHW，在几种情况下得到了完备的权族。这是通过将\cite{YLFL}的思想扩展到更高的维度和通过采用一些有趣的组合参数来实现的。应当注意，这些循环码可以具有任意数量的非零。
2015-04-06 cs.IT math.CO math.IT
The weight distributions of two classes of p ary cyclic codes with few weights
循环码由于具有高效的编码和译码算法，几十年来吸引了大量的研究兴趣。本文对奇素数$p$，完全确定了两类$p$ -元循环码的重量分布。我们表明，这两个代码有最多五个非零的重量。
2015-04-13 cs.IT math.IT
Five infinite families of binary cyclic codes and their related codes with good parameters
循环码是一类有趣的线性码，由于其高效的编码和译码算法，在通信和存储系统中有着广泛的应用。受IEEE Trans. Inf. Theory，vol.68，no.12，pp. 7842-7849，2022，本文的目标是构造和分析五个具有参数$[n, k]$和$(n-6)/3 \leq k \leq 2(n+6)/3$的二元循环码的无限族。五个二元循环码族中的三个及其子码族在它们的最小距离上有一个很好的下界，并且包含距离最优码。另外两类二元循环码由二元码组成，它们的最小距离具有类平方根下界。作为副产品，两个无限族的自对偶二进制码的最小距离的平方根样下界得到。
2023-01-16 cs.IT math.IT
Complete b-symbol weight distribution of some irreducible cyclic codes
最近，提出了$b$符号码以防止$b$符号读取信道中的$b$符号错误。由于$b$ -符号度量是Hamming度量的推广，因此研究循环码的完全$b$ -符号重量分布是一个有趣的课题。不可约码的完全$b$ -符号汉明重量分布仅在少数情况下是已知的。本文给出了一类具有两个非零$b$-符号Hamming重量的不可约码的完全$b$-符号Hamming重量分布。
2021-10-02 cs.IT math.IT
Relative Generalized Hamming Weights of Cyclic Codes
线性码相对于线性子码的相对广义汉明重量决定了基于线性码的线性斜坡秘密共享方案的安全性。它们可以用来表示当某些份额持有者被破坏时秘密的信息泄漏。循环码是一类有趣的线性码，在通信和存储系统中有着广泛的应用。本文研究了具有两个非零的循环码关于它的任意不可约循环子码的广义高斯环。应用文献[arxiv.org/abs/1410.2702]中的方法，我们给出了循环码的RGHW的两个计算公式。作为公式的应用，给出了显式算例.
2015-05-27 cs.IT math.IT
The complete weight enumerator of a subclass of optimal three-weight cyclic codes
Vega [Finite Fields Appl.，42（2016）23-38]。此后不久，Heng和Yue [IEEE Trans. Inf. Theory，62（8）（2016）4501-4513]通过提出几类具有最佳三个权重或几个权重的循环码来推广这一结果。另一方面，最近Li等人[Adv.Math.Commun.，13（1）（2019）137-156]。这项工作的目的之一是提出一个更一般的描述，这些最佳的五重循环码，这给地方扩大类的最佳五重循环码的尺寸4在任何有限域。作为这一扩展类的应用，我们给出了Vega [Finite Fields Appl.，42（2016）23-38]。此外，我们研究了这类扩大的最佳五重循环码中的对偶码，并证明了它们是长度为$q^2-1$，维数为$q^2-5$，最小汉明距离为4的循环码。事实上，通过几个例子，我们看到这些参数是线性码的最佳已知参数。
2021-11-11 cs.IT math.IT
On the parameters of extended primitive cyclic codes and the related designs
本文深入研究Heng等人提出的一类扩展本原循环码，确定其重量分布与相关2-设计参数，并证明最小汉明重量码字支撑集构成3-设计，正面解决了Heng的猜想。
2023-06-15 cs.IT math.IT
A tight upper bound on the number of non-zero weights of a quasi-cyclic code
本文研究准循环码非零权重个数的上界问题，通过分析自同构子群的轨道得到显式上界及达界充要条件，对一生成元准循环码给出更紧上界，并用实例验证其紧性，改进推广了已有结果。
2023-11-07 cs.IT math.IT
The weight Enumerator of some irreducible cyclic codes
不可约循环码是已知的最大的分组码类之一，已经研究了很长时间。然而，它们的权重分布仅在少数情况下已知。本文研究了一类不可约循环码，确定了它们的重量分布。此外，还通过编程得到了一些不可约循环码的全部码字，以解释其分布。本文所讨论的码中不同的非零权数在1，2，3，6，8之间变化。
2013-09-05 cs.CR cs.IT math.IT
On an open problem about a class of optimal ternary cyclic codes
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文解决了Ding和Helleseth提出的一类最优三元循环码的一个公开问题。设$C_{(1,e)}$是GF（3）上长度为$3^m-1$的循环码，具有两个非零值$α$和$α^e$，其中$α$是$GF(3^m)^*$的生成元，e是给定的整数.它表明，$C_{(1,e)}$是最佳的参数$[3^m-1,3^m-1-2m,4]$，如果满足以下条件之一。1)$m\equiv0(\mathrm{mod}~ 4)$、$m\geq 4$和$e=3^\frac{m}{2}+5$。2)$m\equiv2(\mathrm{mod}~ 4)$、$m\geq 6$和$e=3^\frac{m+2}{2}+5$。
2019-01-24 cs.IT math.CO math.IT
Optimal three-weight cyclic codes whose duals are also optimal
Vega [Finite Fields Appl.，42（2016）23-38]。此后不久，Heng和Yue [IEEE Trans. Inf. Theory，62（8）（2016）4501-4513]通过提出几类具有最佳三个权重或几个权重的循环码来推广这一结果。本文提出了一类新的有限域$F_q$上长度为$q+1$，维数为3的最优三重循环码，并证明了其非零权码为$q-1$，$q$和$q+1$ .然后，我们研究的对偶码在这个新的类，并表明，他们也是最佳的循环码的长度$q+1$，尺寸$q-2$，和最小汉明距离$4$。最后，作为Krawtchouck多项式的应用，我们得到了对偶码的重量分布。
2021-07-09 cs.IT math.IT
A class of optimal ternary cyclic codes and their duals
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。设$m=2\ell+1$为整数$\ell\geq 1$，$π$为$\gf(3^m)^*$的生成元。本文研究了$\gf(3)$上的一类循环码$\C_{(u,v)}$，其中$π^{u}$和$v=2\cdot 3^{\ell}+1$是三进制Welch型指数.基于$\gf(3^m)$上某类方程解的不存在性，证明了循环码$\C_{(u,v)}$具有最小距离4，这是$\gf(3)$上长度为$3^m-1$，维数为$3^m-1-2m$的线性码在Packing球界下的最佳最小距离.研究了这类循环码的可积性。
2015-10-16 cs.IT math.IT
Several classes of optimal $p$-ary cyclic codes with minimal distance four
循环码是线性码的一个子类，由于其高效的编码和解码算法，在数据存储系统、通信系统和消费电子产品中具有广泛的应用。设$p\ge 5$为奇素数，$m$为正整数.令$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$表示具有三个非零$α$、$α^e$和$α^s$的$p$进制循环码，其中$α$是${\mathbb F}_{p^m}^*$、$s=\frac{p^m-1}{2}$和$2\le e\le p^m-2$的生成元.本文通过对有限域上某些多项式的解的分析，给出了四类以$[p^m-1,p^m-2m-2,4]$为参数的最优$p$元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。以前关于参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优五元循环码的一些结果是我们构造的特殊情况。另外，通过分析${\mathbb F}_{5^m}$上某些多项式的不可约因子，我们给出了两类最优五元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。
2022-08-30 cs.IT math.IT
Constructions of Maximum Distance Separable Symbol-Pair Codes Using Cyclic and Constacyclic Codes
符号对编码是一种新的编码框架，它被提出来纠正符号对读取通道中的错误。最大距离可分离码（MDS）是一种纠错能力最强的码对码。利用循环码和常循环码，我们构造了三类新的最小码对距离为5或6的MDS码对码。此外，我们还得到了一类循环码是MDS符号偶码的充要条件。这个条件与一类特殊的线性分式变换的某些性质有关。通过对这些线性分式变换的详细分析，提出了一种产生多个最小符号对距离为7的MDS符号对码的算法。
2016-08-09 cs.IT math.CO math.IT
A Note on Hamming distance of constacyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb F_{p^m} + u\mathbb F_{p^m}$
对于任何素数$p$，$λ$ -长度为$p^s$的常循环码恰好是局部环${\cal R}_λ=\frac{{\cal R}[x]}{\left\langle x^{p^s}-λ\right\rangle}$的理想，其中$u^2=0$ .本文首先研究了${\cal R}$上长度为$p^s$的循环码的汉明距离.确定了${\cal R}$上所有长度为$p^s$的循环码的最小汉明距离.此外，还建立了$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码和$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码之间的等距关系，其中$α$是$\mathbb{F}_{p^m}$的非零元素，它继承了关于$α$-长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码所对应的循环码的结果.
2016-12-12 cs.IT math.IT
Quasi-cyclic perfect codes in Doob graphs and special partitions of Galois rings
该研究构造了大于1的奇数次Galois环GR$(4^Δ)$去掉零元后的特殊6元与3元子集划分，证明了其在相关变换下的不变性，并由此推导出对应Doob图中一类准循环加性1-完美码的存在性。
2023-05-04 cs.DM cs.IT math.CO
Two-weight codes and second order recurrences
证明了有限域上维数为$2$的循环码至多有两个非零权值.这扩展了Rao et al（2010）的一个构造，并反驳了Schmidt-White（2002）的一个猜想。计算了它们的权分布，并给出了它们的校验多项式的根是MDS的条件。
2017-09-16 cs.IT math.IT
Quantum Locally Repairable Codes from Negacyclic and Repeated-Root Cyclic Codes over Small Fields
Air Force Engineering University（空军工程大学）
本文研究小域上经典常循环码经CSS构造的量子局部可修复码，证明仅负循环和重根循环码可用于该构造，给出局部性与纯度判据，得到无限纯qLRCs族及首批二元重根qLRCs等新参数。
2026-08-25 cs.IT math.IT
A characterization of a class of optimal three-weight cyclic codes of dimension 3 over any finite field
众所周知，确定循环码族的重量分布的问题通常是非常困难的。一个更困难的问题是找到循环码族的特征在他们的重量分布。另一方面，也是众所周知的，具有较少重量的循环码在编码理论和密码学中具有很大的实际重要性。特别地，具有三个非零权重的循环码已经被一些作者研究，然而，这些努力大多集中在素域上的循环码。在这项工作中，我们提出了一类最佳的三重量循环码的3维的任何有限域上的一个特征。在这个特征下的代码，事实上，最佳的意义上，他们的长度达到了Griesmer下界的线性码。因此，这些代码达到，同时，最好的可能的编码能力，也是最好的可能能力的错误检测和纠正的线性码。但是因为它们本质上是循环的，它们也拥有丰富的代数结构，可以以各种方式使用，特别是在设计非常有效的编码和解码算法时。同样值得指出的是，描述我们这类最优三重循环码的必要和充分数值条件的简单性。正如我们已经指出的，找到这种特征是一个困难的问题。然而，对于这种特殊情况，使我们能够找到我们的特征的基本工具是由B引入的所有二重不可约循环码的特征。Schmidt和C. White（2002）.最后，关于这类码的另一个特征是，它们的编码似乎总是具有与最著名的线性码相同的参数。
2015-08-20 cs.IT math.IT
Cyclic codes from the first class two-prime Whiteman's generalized cyclotomic sequence with order 6
二阶和四阶的二元Whiteman割圆序列具有许多良好的随机性。本文计算了$d=6$阶第一类二素Whiteman广义分圆序列（WGCS-I）的自相关值和线性复杂度。结果表明，当$(n_1-1)(n_2-1)/36$为偶数或奇数时，该序列的自相关值为四值或五值，其中$n_1$和$n_2$是两个不同的奇素数，且它们的线性复杂度相当好.利用6阶双素WGCS-I构造了$\mathrm{GF}(q)$上几类长度为$n_1n_2$的循环码.我们还得到了这些循环码的最小距离的下界。
2015-09-25 cs.IT math.IT
Two-weight codes over the integers modulo a prime power
设$p$为素数。证明了长度为$p^2-1$、维数为$2$的不可约循环码在整数模$p^h$上具有两个非零汉明重量.该构造使用特征$p^h$和阶数$p^{2h}.$的伽罗瓦环。当校验多项式是本原时，代码满足（Shiromoto，Storme）（2012）的Griesmer界。通过打孔构造了一些投影码。长度为$p+1$的那些满足的类单重界（Shiromoto，2000）。一个强正则图的无限族被构造为这些投射码的子图的陪集图。所有这些图的一个共同的覆盖，为固定的$p$，通过考虑这些循环码的Hensel提升的$p$ -进数。
2019-11-15 cs.CR cs.IT math.IT
The resolution of Niho's last conjecture concerning sequences, codes, and Boolean functions
用一种新的方法解决了Niho关于一对最大长度线性递归序列的互相关谱的一个长期猜想，该序列的长度为$2^{2 m}-1$，具有相对抽取$d=2^{m+2}-3$，其中$m$是偶数.结果表明，最多有五个不同的互相关值。等价地，结果表明：在$2^{2 m}$阶有限域上的幂置换$f(x)=x^d$的Walsh谱中最多有5个不同的值，在长度为$2^{2 m}-1$且具有两个本原非零值$α$和$α^d$的循环码中最多有5个不同的非零权值.用于获得这一结果的方法证明了某些七次多项式在有限域的单位圆上可以具有的根的数量的约束。当$m$是奇数时，该方法也起作用，在这种情况下，相关联的互相关和沃尔什谱具有至多六个不同的值。
2021-07-08 cs.CR cs.IT math.CO
Self-Dual Cyclic Codes with Square-Root-Like Lower Bounds on Their Minimum Distances
本文构造了具有类平方根下界的自对偶循环码无限族，包括二进制与非二进制情形，并实现了编码理论中的两项突破。
2024-11-05 cs.IT math.IT
On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials
设$m\geq 3$是一个奇整数，$p$是一个奇素数。%，其中$h$是奇数。本文通过研究分别具有奇偶校验多项式$m_1(x)m_d(x)$和$m_1(x)m_e(x)$的循环码$\mathcal{C}_{(1,d)}$和$\mathcal{C}_{(1,e)}$具有相同重量分布的条件，给出了$\mathbb{F}_{p}$上的许多类三重量循环码，其中$m_i(x)$是$\mathbb{F}_{p}$上$π^{-i}$对$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元$π$的最小多项式.对于$p=3$，所提出的五类循环码在满足线性码的某些界的意义上是最优的。此外，对于$p\equiv 3 \pmod{4}$和正整数$e$，使得存在整数$k$，其中$\gcd(m,k)=1$和$τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$满足$(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$，确定了两个指数和$T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$和$ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $的值分布，其中$s=(p^m-1)/2$。作为应用，利用$S(a,b,c)$的值分布研究了具有校验多项式$m_…
2013-08-27 cs.IT math.IT
Quantum synchronizable codes from finite geometries
量子同步纠错码是一种特殊的量子纠错码，它可以同时纠正量子噪声对量子比特的影响和块同步中的失准。已知的是，原则上这样的码可以通过经典线性码及其子码的组合来构造，如果这两者都是循环的和对偶包含的。然而，找到这样的经典代码，导致有前途的量子同步纠错码是不是一个微不足道的任务。事实上，虽然有两类经典码被证明可以产生具有良好的最小距离和最高可能的失调容忍度的量子同步码，但它们的码长被限制为素数和梅森数。本文通过研究特征$2$的有限域上的射影空间的关联向量，给出了长度不是素数或梅森数的循环码的量子同步码.这些投影几何码在量子纠错中获得了良好的性能，并具有最好的恢复同步的能力，从而丰富了良好的量子同步码的种类。我们还扩展了经典编码理论中循环码的现有知识，明确给出了有限几何码的生成多项式，并完全刻画了最小重量非零码字。除了基于射影空间的代码，我们进行了类似的分析，著名的循环码从欧几里得空间，已知是多数逻辑解码，并确定其确切的最小距离。
2014-09-06 cs.IT math.IT quant-ph
