arXiv 1209.37012012-09-17math.AP

具有$\log$调制分数耗散的输运扩散模型的广义最大值原理

On a generalized maximum principle for a transport-diffusion model with $\log$-modulated fractional dissipation

Hongjie Dong, Dong Li

备注：: 14 pages

摘要：

考虑一个形式为$\partial_t θ+v \cdot \nabla θ+ ν\A θ=0$的输运扩散方程，其中$\partial_t θ+v \cdot \nabla θ+ ν\A θ=0$是$\mathbb R^d$上的一个含时向量场.运算符$\A$表示对数调制分数耗散：$\A=\frac {|\nabla|^γ}{\log^β(λ+|\nabla|)}$和参数$ν\ge 0$、$β\ge 0$、$0\le γ\le 2$、$λ>1$。我们引入了一种新的非局部分解的操作$\A$在通常的分数操作$|\nabla|^{s}$，$0\le s \le γ$加权积分加上一个光滑的剩余项，对应于一个$L^1$核。对于一般的向量场$v$（可能是非发散自由的），我们证明了形式为$ |θ(t)|_\infty \le e^{Ct} |θ_0|_{\infty}$的广义$L^\infty$最大值原理，其中常数$C=C(ν,β,γ)>0$ .在$\text{div}(v)=0$的情况下，对于具有$1\le p \le \infty$的$|θ(t)|_p$，同样的不等式成立。以指数因子为代价，这将Hmidi（2011）的最新结果扩展到了$d\ge 1$，$0\le γ\le 2$的完整状态，并删除了$L^\infty$情况下的不可压缩性假设。

英文摘要：

We consider a transport-diffusion equation of the form $\partial_t θ+v \cdot \nabla θ+ ν\A θ=0$, where $v$ is a given time-dependent vector field on $\mathbb R^d$. The operator $\A$ represents log-modulated fractional dissipation: $\A=\frac {|\nabla|^γ}{\log^β(λ+|\nabla|)}$ and the parameters $ν\ge 0$, $β\ge 0$, $0\le γ\le 2$, $λ>1$. We introduce a novel nonlocal decomposition of the operator $\A$ in terms of a weighted integral of the usual fractional operators $|\nabla|^{s}$, $0\le s \le γ$ plus a smooth remainder term which corresponds to an $L^1$ kernel. For a general vector field $v$ (possibly non-divergence-free) we prove a generalized $L^\infty$ maximum principle of the form $ |θ(t)|_\infty \le e^{Ct} |θ_0|_{\infty}$ where the constant $C=C(ν,β,γ)>0$. In the case $\text{div}(v)=0$ the same inequality holds for $|θ(t)|_p$ with $1\le p \le \infty$. At the cost of an exponential factor, this extends a recent result of Hmidi (2011) to the full regime $d\ge 1$, $0\le γ\le 2$ and removes the incompressibility assumption in the $L^\infty$ case.

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摘要：

英文摘要：

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