The pinnacle set of a permutation
置换的峰集记录其峰的索引。这些集合已经在各种背景下进行了研究，包括Billey，Burdzy和Sagan最近的工作，其中列举了具有规定峰值集合的排列。在这篇文章中，我们看一个置换的峰值集的自然模拟，而不是记录峰值的值。我们定义置换w的“尖峰集合”为集合{w（i）：i是w的一个峰}。虽然峰值集和尖峰集对于给定的排列标志着相同的现象，但是这些集合的行为在对称群上的分布上以显著的方式不同。在下面的工作中，我们刻画了可容许的尖峰集，并研究了与这些对象相关的各种枚举问题。
2020-02-13 math.CO
The most frequent peak set of a random permutation
给定子集$S\subseteq\mathbb{P}$，令$\Pa(S;n)$为${1,2,...,n}$的对称群中具有峰值集$S$的置换数。我们证明了最近的猜想，由于比利，Burdzy和萨根，它确定的集合，最大化$\Pa(S;n)$，其中$S$的范围在所有子集的${1,2,...,n}$。
2012-10-22 math.CO
Derivative polynomials and permutations by numbers of interior peaks and left peaks
二元导数多项式由正切函数和正割函数的反复微分定义。我们建立了这些导数多项式的系数与对称群上的内峰和左峰的个数之间的关系。研究了对称群上内峰数和左峰数的母函数的性质，包括递归关系、母函数和实根性。
2011-11-25 math.CO
A Context-free Grammar for Peaks and Double Descents of Permutations
本文研究了$[n] =\{1,2,\ldots,n\}$上置换的外峰数与真双降数的联合分布。置换的外峰的概念是由Aguiar、Bergeron和Nyman在他们研究峰代数时引入的。Gessel得到了$[n]$上具有给定外峰数的排列数的母函数。另一方面，Elizalde和Noy通过建立微分方程，导出了在给定的真双下降数下，$[n]$上排列数的生成函数。Barry和Basset独立地推导出了$[n]$上排列数的生成函数，没有适当的双下降。我们找到了一个上下文无关的文法，它可以用来计算置换数的$[n]$与给定数量的外部峰和一个给定数量的适当的双下降。基于该文法，可以很容易地得到$[n]$上置换数与给定外峰数的递推关系。此外，我们使用文法演算来推导母函数，而不需要解微分方程。我们的公式简化为Gessel、Elizalde-Noy、Barry和Basset的公式。最后，从文法上建立了我们的生成函数与Carlitz和Scoville导出的峰数和双下降数的联合分布的生成函数之间的关系。
2018-01-17 math.CO
Number of permutations with same peak set for signed permutations
超八面体群B_n中的符号置换π= π_1π_2 \ldots π_n是一个字，使得每个π_i \in {-n，\ldots，-1，1，\ldots，n}和{|π_1|, |π_2|、\ldots、|π_n|} = {1，2，\ldots，n}。如果π_{i-1}<π_i>π_{i+1}且P_B（π）表示π的所有峰的集合，则指数i是π的一个峰。给定任意集合S，我们定义P_B（S，n）为符号置换π \in B_n的集合，其中P_B（π）= S.本文研究了集合P_B（S，n）的基数。2012年，Billey、Burdzy和Sagan研究了对称群S_n中置换的类似问题。本文将他们的结果推广到超八面体群，特别证明了P_B（S，n）= p（n）2^{2n- |S| -1}，其中p（n）是Billey，Burdzy和Sagan在[1]中发现的同一多项式，这导致了多项式p（n）有趣的特殊情况的显式计算.此外，我们还把这些结果推广到在排列的开始加上π_0=0的情况，这就产生了对称群和超八面体群在位置1有一个峰的可能性。
2013-08-29 math.CO
A Grammatical Calculus for Peaks and Runs of Permutations
我们开发了一个非标准的方法来探索多项式与峰和运行的排列。借助于上下文无关文法或一组替换规则，人们可以进行符号演算，计算往往变得相当简单。从语法它遵循一次系统的常微分方程的生成函数。利用某个常数性质，甚至可以推导出每个生成函数的单个方程。为了使文法的组合设置，我们发现一个标签计划的上下运行的置换，这可以被视为一个精致的属性，或在一定意义上的可微性，在对比通常的计数参数的递归关系。标记方案还展示了替换规则如何在组合结构的构造中出现。因此，峰和游程上的多项式可以用两种方式处理，组合或语法。该语法也作为一个指导方针，以建立一个双射之间的排列和增加树，映射的数量向上向下运行的偶数度的非根顶点的数量。这种对应关系适用于左峰和外峰，其关键步骤称为反射原理。
2023-02-01 math.CO
Fibonacci numbers, consecutive patterns, and inverse peaks
本文给出了两个关于逆峰数或逆左峰数统计量的避免单调连续模式的排列计数公式的多重证明。这两种情况下的枚举都是由与斐波那契数相关的序列给出的。我们还证明了在具有任何固定下降组成的所有置换中，恰好有一个置换的逆峰数为零，并给出了这一事实的一些基本结论。我们的证明涉及生成函数，对称函数，正则表达式和monomino-domino tilings。
2023-01-11 math.CO
Metrics on Signed Permutations with the Same Peak Set
本文将无符号置换峰值集合上的度量研究推广到 B 型 Coxeter 群的有符号置换，刻画了相同峰值集合子集上 Hamming、l∞ 和字度量的极值。
2025-08-20 math.CO
Alternating runs of permutations and the central factorial numbers
设R（n，k）是$\{1,2,\ldots,n\}$的k次交替运行的排列数。本文建立了R（n，k）与偶数阶的中心阶乘数以及给定交错游程数的符号置换数与奇数阶的中心阶乘数之间的关系.建立了置换的峰多项式和左峰多项式以及正切函数和正割函数的导数多项式的显式表达式。
2022-03-04 math.CO
Joint Distributions of Permutation Statistics and the Parabolic Cylinder Functions
本文引入了变量集$V=\{x,y,z,w,u,v\}$上的上下文无关文法$G\colon x \rightarrow xy,\, y \rightarrow zu,\, z \rightarrow zw,\, w \rightarrow xv,\, u \rightarrow xyz^{-1}v,\, v \rightarrow x^{-1}zwu$。我们使用这个语法来研究与下降，上升，高峰和低谷有关的几个排列统计量的联合分布。通过考虑外峰的图案，我们引入图案132和图案231的外峰。同样，峰值也可以根据其模式进行分类。设$D$是关于文法$G$的形式导算子。通过使用一个语法标记，我们表明，$D^n(z)$是生成函数的排列数的$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$与给定数量的外部峰的模式132和模式231，和适当的双下降。通过求解圆柱微分方程，得到了$D^n(z)$的生成函数的显式表达式，它统一了Elizalde-Noy，Barry，Basset，Fu和Gessel的结果.专业化导致某些连续模式的排列的联合分布，如Elizalde-Noy和Kitaev所研究的。通过相对于相同文法$G$的不同标记，我们导出了模式132和模式231的峰值的联合分布，双下降和双上升，其中生成函数也由抛物柱面函数表示。这个公式是对Carlitz-Scoville工作的改进。此外，我们获得了图案132和…
2018-09-20 math.CO
Metrics on permutations with the same peak set
本文针对峰集相同的排列子集，系统研究 Hamming、$\ell_\infty$ 与 Kendall-Tau 三种度量，并给出其在各子集中的最小、最大距离。
2024-01-19 math.CO
Plethystic formulas for permutation enumeration
本文证明了拟对称母函数为对称函数的任意排列集合上各种排列统计量分布的几个一般公式。我们的公式涉及某些种类的plethystic替代准对称生成函数，和置换统计，我们认为，包括下降数，峰值数，左峰值数，和上下运行的数量。我们将这些结果应用于轮换、对合和乱序，并且更一般地，通过上述统计量与不动点的数目以及与循环类型联合，导出计算所有置换的公式。一些已知的公式被恢复作为我们结果的特例，包括Désarménien-Foata，Gessel-Stentenauer，Stembridge，Fulman，Petersen，Diaconis-Fulman-Holmes，Zhuang和Athanasiadis的公式。
2020-08-20 math.CO
A study on random permutation graphs
对于$S_n$中的给定置换$π_n$，通过在两个顶点$i$和$j$之间包括边来形成随机置换图当且仅当$(i - j) (π_n(i) - π_n (j)) < 0$。本文研究了随机置换图的各种统计量。特别地，分析了给定节点的度、具有给定度的节点的数量、孤立顶点的数量和团的数量。进一步，得到了具有给定数目的连通分量和孤立点的概率的显式公式。
2021-07-29 math.CO math.PR
Peaks are preserved under run-sorting
我们研究排序程序（运行排序）排列，其中运行重新排列的字典顺序。我们描述了一个相当令人惊讶的双射置换长度$n$，与属性，它发送的峰值集的峰值后运行排序。我们还证明了期望的下降数在排列$σ\in S_{n}$运行排序后等于$(n-2)/3$。此外，我们提供了Nabawanda，Rakotondrajao和Bamunoba在2020年引入的指数母函数的封闭形式，用于$[n]$的游程排序排列的数量，（$RSP(n)$）具有$k$游程，这给出了一个新的解释序列在线百科全书中的序列A124324。我们表明，下降生成多项式，$A_{n}(t)$为$RSP(n)$是真正的根源，并满足类似的欧拉多项式所满足的交错属性。最后，我们研究了游程排序的二进制字，并计算了游程排序后的期望下降数的长度为$n$的二进制字。
2021-05-20 math.CO
Shuffle-compatible permutation statistics II: the exterior peak set
本文证明外峰集统计（Epk）是洗牌兼容的，引入更强的 LR-洗牌兼容统计概念并证明 Epk 等满足该性质，还将相关概念与拟对称函数的 dendriform 结构关联。
2026-09-02 math.CO
Moments of an exponential functional of random walks and permutations with given descent sets
具有负漂移的简单对称随机游动的指数泛函是独立同分布非负随机变量的无穷多项式$Y = 1 + ξ_1 + ξ_1 ξ_2 + ξ_1 ξ_2 ξ_3 + ...$。它的矩是变量$μ_k = \ev(ξ^k) < 1$的有理函数，具有普适系数。事实证明，这样的系数等于由系数的多指标定义的下降集的排列数。一个递归以Pascal型三角形的形式枚举具有给定下降集的所有排列数。
2010-08-09 math.CO math.PR
On $q$-analogs of descent and peak polynomials
下降多项式和峰值多项式分别枚举给定下降集和峰值集的置换，近年来受到了广泛的关注。我们给出了几个公式的$q$ -类似物的这些多项式细化枚举的长度的排列。在$q$ -下降多项式的情况下，我们证明了在一个基础上的系数是强$q$ -对数凹的，并推测这一性质在另一个基础。对于峰值，我们证明了$q$ -峰值多项式是回文的$q$，解决了迪亚兹-洛佩兹，哈里斯和Insko的猜想。
2020-01-08 math.CO
Coherent random permutations with record statistics
给定一组记录值，具有条件均匀分布的随机排列可以针对$n$的所有值以统一的方式连贯地生成。我们的中心例子是一个两参数的随机排列，有条件地均匀的上限和下限记录计数的家庭。这个族在两个版本的Ewens分布之间插值。讨论了条件一致置换的特征、渐近性质、构造以及与随机分拆的关系。
2006-11-17 math.CO math.PR
Eulerian polynomials and excedance statistics
Stembridge的公式指出，置换峰多项式和下降多项式通过二次变换连接。本文的目的是利用置换的循环峰和超数建立Stembridge公式的循环模拟。本文用精化欧拉多项式证明了一系列新的表示多项式计数排列的一般公式。我们的公式与Zhuang的推广[Adv. in Appl. Math. 90（2017）86-144]使用排列的下降统计可比较。我们的方法包括置换计数技术，涉及变化的经典双射从置换拉盖尔历史，明确的连分数扩展的组合生成函数在申和曾[欧洲J. Combin. 33（2012），no. 2，111- 127]和改良的Foata-Strehl作用的循环形式。我们还证明了类似的公式，如乱序和置换，避免某些模式的限制排列。此外，我们提供了新的组合解释的$γ$ -系数的反演多项式限制在$321$ -避免排列。
2020-07-29 math.CO
The copies of any permutation pattern are asymptotically normal
本文证明了任意给定的置换模式$q$的拷贝数在随机置换中具有渐近正态分布。
2007-12-17 math.CO math.PR
Counting subwords in flattened permutations
本文研究了Callan最近在有限集划分研究中提出的降序、升序、123-子字、321-子字、峰和谷在扁平排列中的出现次数。对于下降和上升，我们利用核的方法，并获得一个明确的公式（在欧拉多项式）的分布在$\mathcal{S}_n$在平坦的意义。对于其他四种模式的问题，我们开发了一个统一的方法来获得明确的公式可比的分布。我们发现，对于123-和321-子字，所得到的公式可以用第二类切比雪夫多项式表示，而对于峰和谷，所得到的公式则更接近于欧拉多项式.我们还提供了一个双射，显示在一个给定的长度与大的下降在通常意义上的相同长度的排列的扁平排列的下降的均匀分布。
2013-07-13 math.CO
Connecting descent and peak polynomials
本文研究了下降多项式与峰值多项式的关系，给出了下降多项式用峰值多项式表示的单项式展开，并借此为峰值多项式在二项式基中的系数提供了组合解释，从而给出了峰值多项式正性猜想的新证明。
2018-07-05 math.CO
Expected value of letters of permutations with a given number of $k$-cycles
本文研究置换$π\in S_n$与恰$m$换位的关系。特别是，我们感兴趣的期望值的$π(1)$时，这样的排列均匀随机选择。当$n$是偶数时，这个期望值由$(n+1)/2$近似，其中误差项与移动每个面的$(n/2-m)$维超立方体的数量等距有关。此外，当$k \mid n$时，这种构造推广到允许我们计算具有恰好$m$ $k$ -循环的置换的$π(1)$的期望值。在这种情况下，期望值具有与广义对称群$S(k,n/k-m)$的乱序数相关的误差项。当$k$不除$n$时，$π(1)$的期望值正好是$(n+1)/2$。间接地，这表明存在一个可逆的算法插入一个字母到一个置换，保留了PDMATHAMT周期，我们构建的数量。
2021-12-10 math.CO math.PR
Generating permutations with a given major index
在[S. Effler，F. Ruskey，A CAT algorithm for listing permutations with a given number of inversion，{ \it I.P.L.}，86/2（2003）]给出了一个算法，这似乎是CAT，用于生成具有给定主索引的排列。本文给出了一种新的生成次超越序列Gray码的算法。我们证明了该算法是CAT，并将其导出为具有给定主索引的置换的CAT生成算法。
2013-03-02 math.CO
A Counter Example to the Shuffle Compatiblity Conjecture
本文构造了一个反例，否证了Gessel和Zhuang提出的洗牌相容排列统计量必为下降统计量的猜想。
2018-07-03 math.CO
An explicit formula for the number of permutations with a given number of alternating runs
令$R(n,k)$表示具有$k$交替运行的${1,2,...,n}$的排列数。本文给出了数$R(n,k)$的一个显式公式。
2011-11-20 math.CO
On the Best Upper Bound for Permutations Avoiding A Pattern of a Given Length
数值证据表明，某些长度为k的排列模式比任何其他相同长度的模式更容易避免。我们证明了这些模式可以通过不超过（2.25k^2）^n个长度为n的置换来避免。有鉴于此，我们推测，长度为k的模式不会被多于那么多的长度为n的排列所避免。
2012-09-11 math.CO
Introduction to Partially Ordered Patterns
我们回顾了部分有序模式（POP），包括共同单峰，多和洗牌模式，峰和谷（（修改）最大值和最小值）的排列，马排列和其他已知的结果。我们提供了几个（新的）结果上的一类持久性有机污染物建立在一个任意平坦的偏序集，获得，作为推论，双变量生成函数的峰（谷）的分布排列，链接到加泰罗尼亚，Narayna和佩尔数，以及概括的文献中的一些结果，包括下降分布。此外，我们讨论了q-模拟的非重叠分段持久性有机污染物的结果。最后，我们提出了几个有待进一步研究的问题。
2006-09-28 math.CO
Patterns in random permutations avoiding some sets of multiple patterns
我们考虑一个随机排列从一组排列的长度$n$，避免一些给定的模式的长度为3。我们发现，另一种模式$σ$的出现次数有一个极限分布，经过适当的缩放。在某些情况下，这个数是渐近正态的;这与在早期论文中研究的避免长度为3的单一模式的排列的情况形成对比。
2018-04-17 math.CO math.PR
The peak algebra and the descent algebras of types B and D
证明了由具有公共峰集的置换和线性张成的对称群代数的有单位元的子代数的存在性，我们称之为峰代数。证明了该代数是B型下降代数在到A型下降代数的遗忘符号映射下的象，也是D型下降代数的象。峰代数包含一个用内峰定义的双边理想。这个对象是由Nyman在以前的工作中引入的，我们发现它是在以前的工作中引入的B型和D型下降代数的某些理想的图像。Bergeron等.我们得到了一个涉及峰值理想和$n$度和$n-2$度的峰值代数的正合序列.我们得到了这一点和许多其他性质的峰值代数和它的峰值理想，首先建立类似的结果，签署置换，然后忘记的迹象。特别地，我们构造了两个新的交换半单子代数的下降代数分组置换根据其峰或内部峰的数量。我们讨论了在$n\geq 0$上这些空间的直和上存在的Hopf代数结构，并解释了与Stembridge以前工作的联系，我们还得到了他的降峰映射的新性质，并构造了一个B型类似物.
2003-05-02 math.CO math.RA
2-stack sortable permutations with a given number of runs
利用以前的结果，我们证明了一个公式的数量$W_{(n,k)}$的2-栈可排序排列的长度$n$与$k$运行，或换句话说，$k-1$下降。这个公式将产生一个令人惊讶的事实，即$k-1$下降和$k-1$上升的2栈可排序排列一样多。我们还证明了对于任何固定的$n$，$W_{(n,k)}$在$k$中是单峰的.
1997-05-16 math.CO
The number of permutations with a given number of sequences
P（n，s）表示1，2，. n个序列都是s个序列。Canfield和Wilf [math.CO/0609704]最近证明了P（n，s）可以写成n中s个多项式的和。我们明确地确定了这些多项式，并得到了P（n，s）及其固定s生成函数u_s（x）的明确表达式。
2006-10-15 math.CO
Substring compatibility of permutation statistics
该研究提出排列统计的子串相容性概念，构建对应子串余代数，证明满足弱洗牌相容性的此类统计量可结合出Hopf代数，并提出相关非平凡统计量的猜想及证明进展。
2025-10-29 math.CO
Blocks in cycles and k-commuting permutations
令$k$非负整数，并且令$α$和$β$是$n$符号的两个排列。如果$H(αβ, βα)=k$，我们说$α$和$β$ $k$ -可交换，其中$H$表示排列之间的汉明度量。本文考虑了寻找$k$ -可换的置换与给定置换的问题。我们的主要结果是$k$ -交换的置换与给定的置换$β$在循环中的块在分解的$β$作为一个产品的不相交的循环的一个特征。利用这一特征，我们提供了一些公式的置换，$k$ -交换换位，不动点自由对合和$n$ -循环，任何$k$。此外，我们确定的数目的排列，$k$ -交换与任何给定的置换，$k \leq 4$。
2014-08-18 math.CO
Thresholds for patterns in random permutations with a given number of inversions
本文研究具有给定逆序数的随机排列的渐近结构随逆序数变化的演化规律，并建立了各类排列模式出现与消失的阈值，其中经典模式的阈值由其和不可分解分量的最大逆序数决定。
2024-08-12 math.CO
Left-to-right maxima in words and multiset permutations
我们推广了Renyi的经典定理，找到了弱和强左到右极大值（a.k.a.突出的元素）在给定字母表上的单词中以及在给定多集合的排列中。
2007-01-03 math.CO
The Number System of the Permutations Generated by Cyclic Shift
本文提出了一种循环移位置换的数制编码方法。该系统允许在给定置换是如何生成的情况下找到置换的秩，并且在给定置换的秩的情况下确定置换。它定义了一个描述由循环移位产生的排列集合的对称性的代码。这个代码被证明是一个组合格雷码列出的一组排列：这对应于一个适当的正则有向图的最小重量的哈密尔顿路径。
2011-04-07 math.CO
New results on the peak algebra
峰代数是对称群代数的一个有单位元的子代数，由具有公共峰集的置换和线性张成。通过利用[n-1]的稀疏子集的组合学（以及n的某些称为几乎奇和薄的组合），我们构造了这个代数的三个新的线性基。讨论了第一欧拉幂等元的两个峰值模拟，构造了半幂等元的基。我们用这些基来描述峰值代数的Jacobson根，并用向量空间的张量代数上的对称群的正则作用来刻画该代数的元素。我们定义了一个理想链，使得链底部的理想是具有一组公共内部峰的置换和的线性跨度，而顶部的理想是整个代数。我们将上述结果推广到这些理想，推广了Schocker的结果（底理想的情况）。
2004-06-21 math.CO math.RA
Permutations all of whose patterns of a given length are distinct
对于每个整数k >= 2，设F（k）表示存在一个置换σ \in S_n的最大n，其所有长度为k的模式是不同的。本文证明了F（k）= k + \lfloor \sqrt{2k-3} \rfloor + e_k，其中e_k \in {-1，0}对任意k.沿着这些路线进一步调查的建议进行了讨论。
2012-06-10 math.CO
Growth Rates Of Permutations With Given Descent Or Peak Set
本文研究具有给定下降集或峰值集的排列计数序列的增长率，证明下降集情形下所有增长率恰好填满区间[0,2/π]，并证明周期峰值集对应的增长率在[0,1/∛3]中稠密。
2025-09-20 math.CO
Restricted Stirling permutations
本文研究了具有一定数量的平顶、下降和上升的模式限制Stirling置换的生成函数。研究了生成函数的性质，包括对称性和显式公式。对某些等分布给出了组合解释。
2016-07-20 math.CO
Restricted Permutations, Fibonacci Numbers, and k-generalized Fibonacci Numbers
当$π$不包含具有与$σ$相同的所有成对比较的子序列时，置换$π\in S_n$被称为{ \it避免}置换$σ\in S_k$。对于任何排列集合$R$，我们写$S_n(R)$来表示$S_n$中避免$R$中的每个排列的排列集合。1985年，Simion和Schmidt证明了$|S_n(132, 213, 123)|$等于斐波那契数$F_{n+1}$。在本文中，我们推广这个结果在几个方面。本文首先利用Mansour的一个结果证明了对于某个无穷置换族中的任意置换$τ$，$|S_n(132, 213, τ)|$都是用斐波那契数或$k$ -广义斐波那契数表示的.在许多情况下，我们给出明确的枚举，我们证明双射。然后，我们使用生成函数技术表明，对于任何排列$γ$在第二个无限家庭的排列，$|S_n(123, 132, γ)|$也给出了斐波那契数或$k$ -广义斐波那契数。在许多情况下，我们给出明确的枚举，其中一些我们证明双射。我们继续使用生成函数的技术表明，对于任何排列$ω$在第三无限家庭的排列，$|S_n(132, 2341, ω)|$给出的斐波那契数，并为任何排列$μ$在第四无限家庭的排列，$|S_n(132, 3241, μ)|$给出的斐波那契数和$k$ -广义斐波那契数。在某些情况下，我们给出了明确的枚举。最后，我们给出了一个无限类的例子，一组$R$的排列，其中$|S_n(R)|$满足一个…
2002-03-21 math.CO
Bijective enumeration of some colored permutations given by the product of two long cycles
令$γ_n$是由$γ_n = (1\ 2\...\ n)$定义的$n$符号上的置换。我们感兴趣的是一个着色排列的计数问题，即$n$的排列$β$，其中从1到$n$的数都用$p$着色，使得同一循环中的两个元素具有相同的颜色.我们表明，着色排列的比例，使$γ_n β^{-1}$是一个很长的周期是由非常简单的比例$\frac{1}{n- p+1}$。我们的证明是双射的，并使用组合对象，如分区超映射和荆棘树。这个公式实际上等价于长循环数$α$的比例，使得$γ_nα$具有$m$循环和大小为$n+1$的斯特林数，这是几位作者以前通过代数方法发现的一种意想不到的联系。此外，我们的双射允许我们用置换的循环类型来改进后一个结果。
2012-11-08 math.CO
Pattern avoiding permutations are context-sensitive
我们建立一个双射从所有的排列（给定长度），避免了模式$q$和上下文敏感的语言。
2005-03-28 math.CO
Unranking permutations in transposition order and linear time
给出了一个按转置顺序对置换进行排序的算法：给定一个种子s \in N，该算法产生一个置换P（s），它与置换P（s+1）相差两个元素的转置.
2008-06-09 math.CO
A formula for enumerating permutations with a fixed pinnacle set
2017年，Davis、Nelson、Petersen和Tenner率先研究了排列的顶点集，并提出了是否存在一类应用于$\mathfrak{S}_n$中的排列的运算，可以产生具有相同顶点集的任何其他排列。在本文中，我们采用了一个群作用定义的Foata和Strehl提供了一种方法来生成所有的排列与给定的尖峰集。由此，我们给出了一个封闭的非递归公式枚举排列与给定的尖峰集。这就回答了戴维斯、纳尔逊、彼得森和特纳提出的一个问题。
2020-01-21 math.CO
Enumerating pattern avoidance for affine permutations
本文研究仿射置换的模式避免问题。特别地，我们证明了对于给定的模式p，当且仅当p避免模式321时，在$\widetilde{S}_n$中只有1000个仿射置换避免p。然后，我们对S_3中的每一个p，计算出避开给定模式p的仿射置换的个数，并对S_4中的模式给出了一些说明。
2010-11-12 math.CO
The cycle enumerator of unimodal permutations
给出了具有给定圈结构的单峰置换个数的生成函数。
2001-02-07 math.CO
Permutations with orders coprime to a given integer
令$m$为正整数，$ρ(m,n)$为对称群${\rm Sym}(n)$的置换的比例，其阶与$m$互质。2002年，Pouyanne证明了$ρ(n,m)n^{1-\frac{ϕ(m)}{m}}\sim κ_m$，其中$κ_m$是$m$的复杂（无界）函数。本文证明了存在一个正的常数$C(m)$，使得对所有的$n \geqslant m$，有\[C(m) \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{ϕ(m)}{m}-1} \leqslant ρ(n,m) \leqslant \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{ϕ(m)}{m}-1}\]，其中$ϕ$是欧拉函数.
2019-04-18 math.CO
Asymptotics of Pattern Avoidance in the Klazar Set Partition and Permutation-Tuple Settings
我们考虑在Klazar意义下的集合分割模式避免的渐近性。我们的主要结果推导出的集合分区的数量的渐近避免一个给定的集合分区内的指数因子，这导致了一个分类的可能的增长率集分区模式类。我们进一步定义了置换元组避免的概念，它概括了Aldred等人的概念。和通常的置换模式设置，并类似地确定避免给定元组的置换元组的数量在指数因子内。
2017-07-25 math.CO
Pattern avoidance in compositions and multiset permutations
我们研究模式避免组合对象以外的排列，即有序分区的整数和排列的多集。在前一种情况下，我们明确确定的生成函数，整数组成n，避免了一个给定的模式的长度为3，我们表明，答案是相同的所有这样的模式。我们还表明，避免给定的三字母模式的多集排列的数量对于所有这样的模式都是相同的，从而扩展和改进了Albert，Aldred等人，以及阿特金森、沃克和林顿。此外，对于i = 1，.，k，S_3中避免给定置换模式是a_i的对称函数，我们将首先对模式（123），然后对S_3中的所有模式，利用最近发现的Amy N的双射，给出这一事实的双射证明。迈尔斯
2005-04-14 math.CO
Circular Peaks and Hilbert Series
置换$σ$的圆形峰值集合是集合$\{σ(i)\mid σ(i-1)<σ(i)>σ(i+1)\}$。令$\mathcal{P}_n$是所有子集$S\subseteq [n]$的集合，使得存在具有循环集合$S$的置换$σ$。如果$S\subseteq T$是集合，我们可以通过定义$S\preceq T$使集合$\mathcal{P}_n$成为偏序集$\mathscr{P}_n$。本文证明了偏序集$\mathscr{P}_n$是顶点集$[3,n]$上的单纯复形.研究了$\mathscr{P}_n$的$f$ -向量、$f$ -多项式、约化欧拉特征线、M-$\ddot{o}$ bius函数、$h$ -向量和$h$ -多项式.推导了$\mathscr{P}_n$的zeta多项式，并给出了$\mathscr{P}_n$中链数的计算公式.利用偏序集$\mathscr{P}_n$定义了两个代数$\mathcal{A}_{\mathscr{P}_n}$和$\mathcal{B}_{\mathscr{P}_n}$ .我们考虑代数$\mathcal{A}_{\mathscr{P}_n}$和$\mathcal{B}_{\mathscr{P}_n}$的Hilbert多项式和Hilbert级数。
2008-06-05 math.CO
Combinatorial specifications for juxtapositions of permutation classes
我们证明了，给定置换类$\mathcal{C}$的一个合适的组合规范，可以得到$\mathcal{C}$与Av（21）或Av（12）的并置（在任一侧）的规范，并且如果$\mathcal{C}$的枚举由有理或代数生成函数给出，则并置的枚举也是如此。此外，该过程可以迭代，从而提供一种有效的方法来枚举任何“瘦”$k\times 1$网格类，其中最多一个单元是非单调的，并且在给定非单调单元的枚举性质的情况下保证枚举的性质。
2019-09-13 math.CO
Methods of computing deque sortable permutations given complete and incomplete information
确定哪些排列可以使用某些开关站网络排序的问题可以追溯到1968年的Knuth。在这项工作中，我们感兴趣的排列是可排序的双端队列（称为双端队列），或两个并行堆栈。1982年，Rosenstiehl和Tarjan提出了一个O（n）算法，用于测试给定的置换是否在并行堆栈上可排序。在同一篇论文中，他们还提出了一个修改，给出了O（n）的可排序性测试。我们展示了一个轻微的错误，在他们的算法版本测试双端可排序性，并提出了解决这个问题。这两类排列的一般计数问题仍然没有解决。已知的是，这两个类的增长率大约是Theta（8^n），所以计算长度为n的可排序排列的数量，即使是对于小的n值，也很难使用任何必须单独评估每个可排序排列的方法来完成。据我们所知，双排可排序排列的个数只知道n=14。这是使用有效地生成所有可排序排列的算法计算的。利用Tarjan算法执行中固有的对称性，我们开发了一种新的动态规划算法，它可以在O（n^5 2^n）时间内计算两类中可排序排列的数量，允许计算双端队列和并行堆栈的可排序排列的数量，n值比以前可能的要高得多。
2012-08-07 cs.DS math.CO
