Little q-Legendre polynomials and irrationality of certain Lambert series
我们展示了如何获得调和级数和对数的$q$ -扩展的有理逼近（和许多其他类似的数量）通过Padé近似使用小$q$ -勒让德多项式，我们表明，这些正交多项式的性质确实证明了不合理性，其无理性测度的上界与Bundschuh和Väänänen对调和级数给出的上界一样尖锐，并且有一个更好的上界比Matala-aho和Väänänen给出的对数更好。
2001-01-23 math.CA math.NT
Integral and series transformations via Ramanujan's identities and Salem's type equivalences to the Riemann hypothesis
我们考虑积分和系列变换，这是与拉马努金的身份，涉及各种算术函数和黎曼的zeta函数的不同参数的产品的比率。证明了Mellin变换在垂直线Re s > 1上可积的函数的巴拿赫空间中的互逆反演公式.新的转换，如Widder-Lambert和Kontorovich-Lebedev型的例子展出。特别的例子包括大家熟悉的兰伯特和Mobius变换最后建立了Salem型与黎曼假设的一类等价。
2012-06-06 math.CA
Irrationality proof of certain Lambert series using little q-Jacobi polynomials
我们应用Pade技术来找到% \[h^{\pm}(q_1,q_2)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\q_1^k}{1\pm \q_2^k}, 0<q_1,q_2<1, q_1\in\mathbb{Q}, q_2=1/p_2, p_2\in\mathbb{N}\setminus\{1\}.\] %的有理逼近。一个单独的部分专门用于特殊情况$q_i=q^{r_i}, r_i\in\mathbb{N}, q=1/p, p\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$。在这种构造中，我们利用小$q$ -雅可比多项式。我们的有理逼近足以证明$h^{\pm}(q_1,q_2)$的非理性，并给出了一个上界的非理性措施。
2007-01-12 math.CA math.NT
Lambert series of logarithm, the derivative of Deninger's function $R(z)$ and a mean value theorem for $ζ\left(\frac{1}{2}-it\right)ζ'\left(\frac{1}{2}+it\right)$
本文首次给出了级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{\log(n)}{e^{ny}-1},$ Re $(y)>0$的显式变换，它将$y$化为$1/y$.这个级数转换成一个包含$ψ_1(z)$的级数，它是Deninger函数$R(z)$的导数。在获得转换的过程中，$ψ_1(z)$的新的重要性质的推导，是一个新的表示为二阶导数的两个变量的Mittag-Leffler函数$E_{2, b}(z)$评估$b=1$。我们的变换容易地给出$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{\log(n)}{e^{ny}-1}$的完全渐近展开为$y\to0$。后者的一个应用是它给出了$ \displaystyle\int_{0}^{\infty}ζ\left(\frac{1}{2}-it\right)ζ'\left(\frac{1}{2}+it\right)e^{-δt}\, dt$作为$δ\to0$的渐近展开式。
2022-05-23 math.CA math.NT
Generalized Lambert series and arithmetic nature of odd zeta values
本文指出，Kanemitsu，Tanigawa和Yoshimoto研究的广义Lambert级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}}{e^{n^{N}x}-1}$可以在Ramanujan's Lost Notebook的第$332$页上以稍微更一般的形式找到。我们延长了一个重要的变换，这一系列的Kanemitsu，谷川和Yoshimoto通过删除限制参数$N$和$h$，他们施加。从我们的扩展，我们推导出一个美丽的新的推广Ramanujan的著名公式奇zeta值，$N$奇和$m>0$，给出了$ζ(2m+1)$和$ζ(2Nm+1)$之间的关系。对于任何偶数$N$和$m\in\mathbb{Z}$，得到了与上述推广互补的结果。它推广了Wigert的一个变换，并可看作是$ζ\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的一个公式.这些变换的应用包括推广的对数的Dedekind eta-函数$η(z)$，Zudilin和Rival型结果超越某些值，超越标准欧拉常数$γ$的转换。
2018-02-14 math.CA math.NT
A family of entire functions connecting the Bessel function $J_1$ and the Lambert $W$ function
出于确定$α>0$的值（$f_α(x)=e^α- (1+1/x)^{αx},\ x>0$是完全单调函数）的问题的启发，我们将傅里叶分析与复分析相结合，找到整函数族$φ_α$，$α>0$，使得$f_α(x) =\int_0^\infty e^{-sx}φ_α(s)\,ds, \ x>0.$我们证明每个函数$φ_α$都有幂级数展开式，其系数由贝尔多项式确定。这种展开导致了函数$φ_α$的几个性质，这些性质与众所周知的贝塞尔函数$J_1$和朗伯$W$函数有关。另一方面，通过对级数展开式进行数值计算，我们能够显示$φ_α$的行为，因为$α$从$0$增加到$\infty$，并获得最大$α>0$的非常精确的近似，使得$φ_α(s)\geq0,\, s>0$，或者等价地，使得$f_α$是完全单调的。
2019-12-06 math.CA math.CV
Explicit transformations for generalized Lambert series associated with the divisor function $σ_{a}^{(N)}(n)$ and their applications
本文利用 Voronoï 求和公式建立广义 Lambert 级数的显式变换，统一证明 Ramanujan 公式推广、广义 Dedekind eta 变换等多个恒等式，并推广 Wright 关于平面划分生成函数的渐近结果。
2023-04-12 math.CA math.NT
Explicit transformations of certain Lambert series
第一次得到了序列$\sum_{n=1}^{\infty}σ_{a}(n)e^{-ny}$对$a\in\mathbb{C}$和Re $(y)>0$的精确变换，我们称之为\emph{master identity}.当$a$是一个非零的偶数时，作为其特殊情况，得到了新的模型变换。模块化的障碍在这些转变中显而易见。其中包括拉马努金著名的$ζ(2m+1)$公式的新伴侣。由主恒等式的$a=0$情形导出了Wigert-Bellman恒等式。当$a$为奇数时，从主恒等式导出了$\textup{SL}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$上的Eisenstein级数的模变换、Dedekind eta函数的模变换以及$ζ(2m+1)$的Ramanujan公式.后一个恒等式本身是使用Guinand版本的Vorono\"{ \dotlessi }求和公式和N的积分计算导出的。S.~ Koshliakov涉及的修改的贝塞尔函数$K_ν(z)$的推广。首次证明了Koshliakov的积分赋值。然后，它是广义的使用一个著名的核沃森获得一个有趣的两个变量的广义修改贝塞尔函数。这种推广使我们能够获得一个新的模型变换涉及平方和函数$r_k(n)$。还得到了关于函数在Watson核中自反的一些结果。
2022-05-05 math.CA math.NT
On a generalised Lambert $W$ branch transition function arising from $p,q$-binomial coefficients
针对高维 Lenz-Ising 模型磁化分布建模需求，本文研究由 $p,q$-二项式系数引出的广义 Lambert $W$ 分支转移函数 $\omega$，并给出其分支显式公式及多种解析性质。
2023-04-19 math-ph math.CA math.MP
Analytic continuation of solutions of the pantograph equation by means of $θ$-modular formula
本文利用线性$q$ -差分方程的解析理论处理常系数泛函微分方程$y'(x)=ay(qx)+by(x)$.当$ab\not=0$成立时，与$y(0)=1$相关的柯西问题存在唯一的幂级数解，它是一个通常的-超几何级数与一个基本-超几何级数的Hadamard乘积.利用$θ$ -模关系，证明了该整函数可表示为无穷远点标准基本解组所有元素的线性组合.然后引入了一类与Gamma函数在垂线上的值有关的幂级数，令人惊讶的是这些显式非缺项幂级数具有自然边界.当满足$a\not=0$和$b=0$时，解的渐近性态可用Lambert $W$ -函数表示.
2012-02-02 math.CA
On convergence of basic hypergeometric series
本文研究了当$|q|=1$满足一定条件时，$q$ -超几何级数的收敛性.
2015-04-06 math.CA
Some open problems concerning the convergence of positive series
讨论了Abel和Olivier关于正项级数依密度收敛的一些旧结果，并证明了一组涉及依密度收敛的必要条件.
2012-01-24 math.CA
On the convergence of an exotic formal series solution of an ODE
给出了奇异形式级数（一类具有复指数的幂级数）解收敛于一般形式常微分方程的一个充分条件。
2018-12-31 math.CA
Convergence and Strong Summability of the Two-dimensional Vilenkin-Fourier Series
本文研究了鞅Hardy空间中二维Vilenkin-傅里叶级数的收敛性和强可和性。
2020-02-04 math.CA
On L-convergence of trigonometric series
本文考虑变差系数为（b，r）-一般单调且为（b，r）-余有界的三角级数.用系数的形式给出了这类级数L-收敛的必要条件和充分条件。
2009-08-31 math.CA
Convergence of families of Dirichlet series
给出了一类狄利克雷级数对另一类狄利克雷级数的（一致）收敛蕴涵其系数或指数收敛的条件.我们给出了一些应用程序，出现在黎曼几何和物理的一些谱zeta函数。
2015-09-13 math.CA
On $Λ^{r}$-strong convergence of numerical sequences and Fourier series
我们证明了最近给出的$Λ^{r}$ -强收敛定理的兴趣。推广了F. Móricz [On $Λ$ -strong convergence of numerical sequences and傅里叶级数，Acta Math.~匈牙利，54（1989），319- 327]。
2016-02-03 math.CA
Small divisors in the problem of the convergence of generalized power series solutions of $q$-difference equations
研究了$q$ -差分方程的广义形式幂级数（具有复幂指数）解在小因子现象出现的情况下的收敛性问题，得到了一个收敛的充分条件，推广了经典幂级数解的相应条件.
2022-09-19 math.CA
Uniform convergence of Fourier-Bessel series on a q-linear grid
研究了q-线性网格上的傅里叶-贝塞尔级数，定义为由第三类Jackson q-Bessel函数构造的完备q-正交系的展开式，得到了一致收敛性的充分条件.用q-傅里叶-贝塞尔级数展开式的具体例子说明了收敛结果。
2017-10-19 math.CA
Uniform convergence of hypergeometric series
所考虑的问题是超几何级数序列的一致收敛性。给出了二元真超几何项无穷和一致控制收敛的充要条件。这些条件可以通过算法进行检查。因此，所得结果可应用于非终止超几何级数的Zeilberger型算法.
2006-08-14 math.CA
On the convergence of formal power-log series solutions of an algebraic ODE
给出了形式上满足任意阶代数常微分方程的幂对数级数收敛的一个充分条件。建立了这类级数的泛函系数的一般形式和性质。
2021-11-13 math.CA
Mean convergence of Fourier-Akhiezer-Chebyshev series
利用单位圆圆弧上的希尔伯特变换的加权不等式，证明了$L^p$，$p>1$中切比雪夫多项式的傅里叶级数的平均收敛性.
2022-11-12 math.CA
On the convergence of formal Dulac series satisfying an algebraic ODE
给出了形式上满足代数常微分方程的Dulac级数收敛的一个充分条件。代数常微分方程的这种形式解经常出现，特别是第三、第五和第六类Painlevé方程具有形式Dulac级数解，其收敛性由所提出的充分条件给出。
2017-12-21 math.CA
On the convergence of generalized power series satisfying an algebraic ODE
给出了形式上满足代数（多项式）常微分方程的广义幂级数收敛的一个充分条件。证明是基于优势的方法。
2014-07-04 math.CA
The convergence of discrete Fourier-Jacobi series
研究了与Fourier-Jacobi级数收敛性有关的离散问题。为此，给定一个序列，我们构造了与雅可比多项式相关的部分和算子的模拟，并刻画了它在$\ell^p(\mathbb{N})$ -范数下的收敛性。
2019-10-29 math.CA
On L1 Convergence of Fourier Series of Complex Valued Functions
本文对三角级数的$L^{1}$ -收敛性作了一个简要的评述。通过建立一个新的条件，改进和推广了这方面的已有结果。
2006-11-24 math.CA
A Dilution Test for the Convergence of Subseries of a Monotone Series
柯西凝聚检验允许通过查看仅涉及由2的幂索引的原始级数的项的加权子级数来确定单调级数的收敛性。人们自然会问，反过来是否也是正确的：是否有可能通过查看原始级数的适当加权版本来确定单调级数的任意子级数的收敛性？在本说明中，我们表明，答案是肯定的，并介绍了一个新的收敛性测试，特别是为此目的而设计的。
2010-11-17 math.CA
A new class of numerical sequences and its applications to uniform convergence of sine series
在本文中，我们引入了一类新的序列称为GM（b，r），这是推广一类考虑Tikhonov。此外，本文还得到了（b，r）-一般单调系数正弦级数一致收敛性的充必要条件。
2009-05-08 math.CA
A new condition for the uniform convergence of certain trigonometric series
本文提出了一个新的条件来代替（$O$ -正则变分）拟单调条件和一类有界变分条件，并证明了某些三角级数一致收敛性的相同结论仍然成立。
2006-11-10 math.CA
A note on the convergence of multivariate formal power series solutions of meromorphic Pfaffian systems
本文对Gerard和Sibuya关于非线性亚纯Pfirkan系统多元形式幂级数级数解的收敛性定理作了一些补充。他们最著名的结果涉及具有非退化线性部分的完全可积系统，而我们考虑了一些不可积和退化的情况。
2018-12-13 math.CA
On universality and convergence of the Fourier series of functions in the disc algebra
在圆盘代数中，用G-δ稠密集上的逐点泛傅里叶级数和发散集为豪斯多夫维数为零的傅里叶级数构造函数.我们还看到，某些零测度闭集类不接受一致泛傅里叶级数，尽管所有这样的集合都接受发散傅里叶级数。
2015-12-10 math.CA
On Formal Series Solutions To 4th-order Quadratic Homogeneous Differential Equations And Their Convergence
已知Painlevé方程的所有$τ$函数满足四阶二次微分方程。其中，对于III、V和VI方程，可以使用组合数学明确地表达形式级数解。本文证明了形式级数的收敛性，包括更一般的一般方程的解。由$τ$级数的绝对收敛性，共形块函数（$c=1$）的收敛性也随之而来，因为它是$τ$级数的部分和.我们还描述了一个齐次二次方程的形式，其级数解类似于Painlevé方程的tau函数。将Painlevé方程分为六种类型，已知它们可以通过从VI型到I型的顺序退化而获得。
2022-10-19 math.CA
On almost everywhere convergence of strong arithmetic means of Fourier series
本文建立了Zygmund关于$\mathbb{T}$上傅里叶级数部分和的强算术平均的几乎处处收敛定理的一个实变量论证，直到传递到一个子序列.我们的方法扩展到，在其他情况下，功能上定义的$\mathbb{T}^d$，这使我们能够建立一个类似的Zygmund定理在更高的维度。
2013-04-12 math.CA
A note on odd zeta values over any number field and Extended Eisenstein series
本文推广了 Ramanujan 关于 Riemann zeta 函数的恒等式，建立任意数域上奇数 zeta 值的变换公式，并由此构造满足模变换的扩展 Eisenstein 级数，为研究奇数 zeta 值与 Lambert 级数提供新工具。
2023-04-16 math.CA math.NT
Explicit bounds for Bell numbers and their ratios
本文全面分析了Bell数的渐近行为，利用Lambert $W$函数建立了显式上下界，并导出了相邻Bell数比率的绝对收敛速度。
2024-08-26 math.CA math.CO math.NT
Convergence of Lagrange interpolation series in the Fock spaces
研究了径向加权Fock空间中Lagrange插值级数的唯一性集、弱插值集和收敛性
2012-02-20 math.CA math.CV
Absolute convergence factors of Lipshitz class functions for general Fourier series
本文的主要目的是研究正数序列，对于该序列，与$f\in$ Lip1类函数的傅里叶系数相乘，可得到傅里叶级数的绝对收敛性.特别地，我们找到了标准规范正交系函数的特殊条件，使上述序列是Lip1类函数的傅里叶级数的绝对收敛因子.它是建立在一定意义上的最佳可能的结果条件。
2022-02-03 math.AP math.CA
Convergence of a sinusoidal infinite series from Borwein, Bailey, and Girgensohn
Borwein、Bailey和Girgensohn（2004年）询问以下无穷级数是否收敛：$(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \sin n)^n / n$对所有正整数$n$的和。我们证明了它们的级数收敛。证明使用了$π$的非理性测度。
2020-07-21 math.CA math.NT
On convergence of the Flint Hills series
尚不清楚Flint Hills级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3\cdot\sin(n)^2}$是否收敛。我们发现，这个问题是密切相关的$π$，表示$μ(π)$的非理性措施。特别是，收敛的弗林特山系列将意味着$μ(π) \leq 2.5$这是远远强于目前已知的最好的上界$μ(π)\leq 7.6063...$。这个结果很容易推广到$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^u\cdot |\sin(n)|^v}$形式的级数，其中$u,v>0$。我们使用目前已知的$μ(π)$的界限推导出条件$u$和$v$，保证收敛的系列。
2011-04-27 math.CA math.NT
A note on the strong convergence of two-dimensional Walsh-Fourier series
本文主要研究二维Walsh-傅里叶级数的二次部分和。
2014-10-05 math.CA math.FA
Convergence of the Magnus series
本文研究线性常微分方程中Magnus级数的收敛性，给出了一个改进的充分条件。
2007-08-01 cs.NA math.CA math.NA
A Simple Proof of the Uniform Convergence of Fourier Series in Solutions to the Wave Equation
利用非标准方法，我们证明了在有限的闭区间上，任意光滑函数F解波动方程的含不定常傅里叶级数，在边界条件为零的情况下，一致收敛于F。
2014-09-30 math-ph math.AP math.CA
