Alternating state complexity of the set of primes and squarefree integers
该研究证明素数集具有指数级交替复杂度，证实了Fijalkow的猜想，同时指出无平方因子整数集的交替复杂度基本达到理论最大值。
2023-07-21 math.LO math.NT
Integer factorization as subset-sum problem
SBA Research（SBA研究所）
本文将2018年的筛法推广，实现整数分解到多选择子集和问题特定实例的多项式时间归约，改进了针对差值小的除数构成整数的专用分解算法，降低了Fermat分解算法的运行时复杂度，提出了确定性与启发式两种过程。
2026-11-10 math.NT
Digit Polynomials and their application to integer factorization
本文提出了数字多项式的概念，并由此导出了一个具有运行时复杂度为$\mathcal{O}(N^{1/4+ε})$的确定性无条件整数分解算法。Strassen的著名的因式分解方法是我们的方法的一个特例。我们还将考虑改进复杂性界限的可能性。
2015-12-20 math.NT
Upper Bounds on Integer Complexity
将$||n||$定义为$n$的\emph{complexity}，这是使用加法和乘法的任意组合来写入$n$所需的最小$1$数。John Selfridge证明了所有$n$的$||n|| \geq 3\log_3 n$。Richard Guy通过将$n$写成以2为底，注意到了对于所有$n>1$，$||n|| \leq 3\log_2 n$的平凡上限。Juan Arias de Reyna和Jan Van de Lune给出了几乎所有$n$的上界。本文给出了所有$n$的第一个非平凡上界.特别地，对于所有的$n>1$，我们有$||n|| \leq A \log n$，其中$A = \frac{41}{\log 55296}$。
2022-11-06 math.NT
Integer Complexity and Well-Ordering
将$\|n\|$定义为$n$的复杂度，即使用加法和乘法的任意组合写入$n$所需的最小1个数。约翰·塞尔弗里奇证明了$\|n\| \ge 3\log_3 n$适用于所有的$n$。将$n$（表示为$δ(n)$）的缺陷定义为$\|n\| - 3\log_3 n$。在本文中，我们考虑的集合$\mathscr{D} := \{δ(n): n \ge 1 \}$的所有缺陷。我们证明了作为实数的子集，集合$\mathscr{D}$是良序的，其序类型为$ω^ω$。更具体地，对于整数$k\ge 1$，$\mathscr{D}\cap[0,k)$具有订单类型$ω^k$。我们还考虑了其他一些与$\mathscr{D}$相关的集合，并证明了这些集合也是良序的，并且具有序类型$ω^ω$。
2015-08-26 math.NT
Improved Algorithms for Integer Complexity
本文针对正整数n的整数复杂度f(n)的计算问题，提出了两种更快的算法：一是计算所有n≤N复杂度的近最优O(N polylog N)时间算法，二是计算单个n复杂度的首个亚线性时间O(n^0.6154)算法。
2023-09-13 cs.DS math.NT
Integer Complexity: Experimental and Analytical Results II
我们考虑用1、加法、乘法和括号来表示自然数。$\left\| n \right\|$表示表示$n$的表达式中1的最小数目。对数复杂度$\left\| n \right\|_{\log}$定义为$\left\| n \right\|/{\log_3 n}$。$\left\| n \right\|_{\log}$的值位于片段$[3, 4.755]$中，但几乎不知道关于该“谱”的结构的确定性（值是否密集在片段中的某处等）。我们建立了一个连接这个问题和另一个困难的问题：看似“几乎随机”的行为的数字在基地3表示的数字$2^n$。我们还考虑表示自然数的表达式，包括减法，和所谓的$P$ -算法-一个家庭的“确定性”的算法，用于建立表示的数字。
2014-09-01 math.NT
Complexity of Inverting the Euler Function
提出了一种求欧拉函数$ϕ(m)$逆的算法。对于给定的$n \geq 1$，该算法在多项式时间“平均”中找到所有解$m$到$ϕ(m) = n$的集合$Ψ(n)$。事实上，在最坏的情况下，$Ψ(n)$是指数级的，并且不能在多项式时间内计算。在相反的方向，我们表明，根据一个被广泛接受的数论猜想，有一个多项式时间减少的分区问题，NP完全问题，决定是否$ϕ(m) = n$有一个解决方案的整数n的一个小集合的问题。这表明判定给定的整数有限集S是否包含顶点的问题是NP-完全的。一个totient是一个整数n，它位于phi函数的图像中;也就是说，一个整数n，存在一个整数m求解phi（m）= n。最后，我们建立了欧拉函数反演与整数分解问题之间的紧密联系。
2004-04-23 math.NT
On algorithms to calculate integer complexity
我们考虑一个问题，首先提出了马勒和Popken在1953年，后来发展的Coppersmith，Erdensys，盖伊，Isbell，Selfridge，和其他人。令$f(n)$为$n \in \mathbb{Z^{+}}$的复杂度，其中$f(n)$定义为表示$n$所需的最少数量的$1$，以及任意数量的$+$、$*$和括号.已经开发了几种算法来计算高达$n$的所有整数的复杂度。目前，已知最快的算法是$\mathcal{O}(n^{1.230175})$，由J. Arias de Reyna和J. van de Lune在2014年给出。该算法利用Guy给出的递归定义，并迭代通过$d \ |\ n$的乘积$f(d) + f\left(\frac{n}{d}\right)$和$a$的求和$f(a) + f(n - a)$，直到$n$的某个函数。速率限制因素是迭代求和。我们讨论了潜在的改进，该算法通过一种方法，提供了一个强大的统一的上限的数目，必须计算几乎所有的$n$的被加数。我们还开发了代码来运行J. Arias de Reyna和J. van de Lune的分析，从而将$\mathcal{O}(n^{1.230175})$的运行时间减少到$\mathcal{O}(n^{1.222911236})$。我们所有的代码都可以在网上找到：https://github.com/kcordwel…
2018-12-18 math.NT
An Application of Markov Chain Analysis to Integer Complexity
整数的复杂度$f(n)$是由Mahler和Popken在1953年提出的：它被定义为与任意多个+、* 和括号一起写出整数$n$所需的最小数目的$1$（例如，$f(6) \leq 5$，因为$6 = (1+1)(1+1+1)$）。最著名的界限是$$ 3 \log_{3}{n} \leq f(n) \leq 3.635 \log_{3}{n}.$$下限是由于塞尔弗里奇（与平等的权力3）;上限最近证明了阿里亚斯德雷纳和范德卢恩，并举行了一套自然密度之一。我们使用马尔可夫链的方法来分析一个大类的算法，包括大卫贝文发现的一个，提高了上界的$$ f(n) \leq 3.52 \log_{3}{n}$$的对数密度之一。
2017-01-11 math.CO math.NT
On the Ratat-Goormaghtigh equation and integer points close to the graph of a smooth function
Osaka University（大阪大学）
研究方程(x^m-1)/(x-1)=N整数解的倒数和，证明其上界在5.10037以内，限制x为素数时上界为0.73194。
2025-10-13 math.NT
The number of integer points close to a polynomial
令$f(x)$是具有实系数的次数为$n \ge 1$的多项式，并且令$X \ge 2$和$δ\ge 0$是实数。令$\|\cdot\|$为到最近整数的距离。利用$x \in [X,2X] \cap \mathbb{N}$得到了不等式$\|f(x)\| \le δ$的解的个数的上界.
2019-01-28 math.NT
The computational complexity of the local postage stamp problem
局部邮票问题（LPSP）是一个被广泛研究的问题：给定一个正整数k，一组正整数1 = a1 < a2 <. < ak and an integer h >= 1，不能表示为线性组合x1 a1 +.的最小正整数是多少？+ xk ak其中x1 +. + xk <= h且每个xi是非负整数？本文证明了LPSP在图灵归约下是NP-难的，但当k固定时可以在多项式时间内求解。
2001-12-22 cs.CC math.CO math.NT
Optimization of Quadratic Sieve Algorithm Implementation for Large Integer Factorization
Electronics Information College, Qingdao University（青岛大学电子信息学院）；Technical University of Sofia（索菲亚技术大学）
本文提出二次筛算法的两种优化：根值累加改为mdi以降低复杂度至O(n/m)，参数查找改用二分查找降至O(logn)，从而提升RSA模数分解效率。
2026-09-09 math.NT
Integer complexity: algorithms and computational results
将$\|n\|$定义为$n$的复杂度，即使用加法和乘法的任意组合写入$n$所需的最小1个数。如果对于所有$k\ge 0$，我们有$\|3^k n\|=\|n\|+3k$，则将$n$定义为稳定。在[7]中，作者和Zelinsky证明了对任何$n$，存在一些$K=K(n)$使得$3^K n$是稳定的;然而，那里的证明没有提供关于$K(n)$的上界或任何计算它的方法。本文描述了计算$K(n)$的算法，从而也证明了稳定数的集合是可计算的集合。该算法基于考虑由$δ(n):=\|n\|-3\log_3 n$定义的数的缺陷，建立在[3]中提出的方法的基础上。作为一个附带的好处，该算法也恰好允许快速评估的权力的$2$的复杂性，我们用它来验证，$\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$的$k\le48$和任意$\ell$（不包括$k=\ell=0$的情况下），提供更多的证据的猜想，即$\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$时，$k$和$\ell$都不为零。这些算法在Haskell中的实现是可用的。
2017-12-21 math.NT
Integer Complexity: Representing Numbers of Bounded Defect
将$\|n\|$定义为$n$的复杂度，即使用加法和乘法的任意组合写入$n$所需的最小1个数。约翰·塞尔弗里奇证明了$\|n\|\ge 3\log_3 n$对所有的$n$。在此基础上，作者和Zelinsky定义了$n$的“缺陷”，即$δ(n):=\|n\|-3\log_3 n$，并证明了所有缺陷的集合是实数的良序子集。这是通过证明对于一个固定的实数$r$，有一个多项式的有限集$S$称为“低缺陷多项式”，使得对于任何具有$δ(n)<r$的$n$，$n$具有$f(3^{k_1},\ldots,3^{k_r})3^{k_{r+1}}$的形式，对于一些$f\in S$。然而，使用由该方法产生的多项式，还将表示许多具有$δ(n)\ge r$的无关$n$。在本文中，我们将展示如何补救这一点，并修改$S$，以便精确地表示$n$与$δ(n)<r$，并删除任何无关的。由于相同的多项式可以用$δ(n)<r$表示$n$和用$δ(n)\ge r$表示$n$，所以这不是简单地删除适当的多项式的问题，而是需要“截断”多项式以形成新的多项式。
2016-03-19 math.NT
Counting rational points close to $p$-adic integers and applications in Diophantine approximation
我们找到了一些$n$ -维$p$ -进整数的$ψ$ -近似的有理点的数量的上界和下界。格点计数技术被用来找到的上界的结果，和鸽子洞原理风格的论点被用来找到下界的结果。我们利用这些结果来寻找一组$p$ -adic加权的同时可逼近点的豪斯多夫维数，这些点与$p$ -adic坐标超平面相交。对于下界的结果，我们表明，一组有理点，$τ$ -近似一个$p$ -进整数形成一组共振点，可以用来构建一个局部无处不在的矩形系统。
2021-03-26 math.NT
An exponent one-fifth algorithm for deterministic integer factorisation
Hittmeir最近提出了一种确定性算法，可证明地计算$N^{2/9+o(1)}$位操作中正整数$N$的素因子分解。在这一突破之前，这个问题最著名的复杂性界限是$N^{1/4+o(1)}$，这一结果可以追溯到20世纪70年代。在本文中，我们进一步推动Hittmeir的技术，获得一个严格的，确定性的因式分解算法的复杂性$N^{1/5+o(1)}$。
2020-10-12 cs.DS math.NT
On the expansions of real numbers in two integer bases
设$r$和$s$是乘法独立的正整数。我们建立了一个无理实数的$r$ -ary展开和$s$ -ary展开，分别被看作是$\{0, 1, \ldots , r-1\}$和$\{0, 1, \ldots , s-1\}$上的无限字，不能同时具有低的块复杂度。特别是，它们不能都是Sturmian词。
2016-12-12 math.NT
On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems
设（m_r（n）），n>=0，是Moser序列，使得每个非负整数都是唯一的s_k+rs_l的和.本文给出了这种形式的一个显式分解公式和一个出乎意料的简单的Moser数的递归关系。我们还研究了序列（rm_r（n-1）+1），n>=1的一些有趣的性质，以及它与一些重要问题的联系。特别是，在r=2的情况下，这个序列令人惊讶地与解决组合约瑟夫斯-格罗尔问题的数字有关。我们还提出了一些悬而未决的问题。
2008-12-02 math.NT
A new complexity function, repetitions in Sturmian words, and irrationality exponents of Sturmian numbers
本文在词的组合数学中引入并研究了一个新的复杂度函数，它考虑了无限词的因子的最小第二次出现时间。我们用这个函数刻画了最终周期词和Sturmian词。然后，我们建立了一个新的结果，在Sturmian词的重复，并表明这是最好的可能。令$b \ge 2$为整数。给出了$b$元数序列是$\{0,1,\ldots, b-1\}$上Sturmian序列的实数的无理指数的一个下界，并证明了这个下界是最佳可能的.作为一个应用，我们得到了关于$\log(1+\frac{1}{a})$的$b$元展开式的一些信息，对于任意整数$a \ge 34$ .
2017-08-23 math.NT
On distribution of points with conjugate algebraic integer coordinates close to planar curves
令$φ:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是区间$J\subset\mathbb{R}$上的连续可微函数，令$\boldsymbolα=(α_1,α_2)$是具有次数为$\leq n$且高度为$\leq Q$的代数共轭整数坐标的点。用$\tilde{M}^n_φ(Q,γ, J)$表示点集$\boldsymbolα$，使得$|φ(α_1)-α_2|\leq c_1 Q^{-γ}$。本文证明了对一个实$0<γ<1$和任何足够大的$Q$，都存在与$Q$无关的正值$c_2<c_3$，使得$c_2\cdot Q^{n-γ}<# \tilde{M}^n_φ(Q,γ, J)< c_3\cdot Q^{n-γ}$ .
2017-04-11 math.NT
Sums of square roots that are close to an integer
该研究针对数值分析中的平方根和问题，证明了对任意k≥2，存在n以内的k个整数，其非整数的平方根和到最近整数的距离不超过c_k·n^(-c·k^(1/3))，且常规抵消构造不适用于该问题。
2024-03-04 math.NT
Multiplicative subsemigroups of the positive integers closed with respect to the number of digits
在本文中，我们提出了另一种方法来处理的问题Rosales等人。特别是，一旦一个基地$b$的整数的表示是固定的，我们描述了一个程序，用于构建最小的乘法子半群的正整数封闭的数字，其中包含一组正整数的数量。
2015-05-03 math.GR math.NT
Upper and lower estimates for integer complexity
Steklov Mathematical Institute（斯捷克洛夫数学研究所）
本文研究整数复杂度的上界和下界，证明了复杂度函数的对数行为，并给出了新的非平凡下界和渐进行为。
2026-04-29 math.CO math.NT
On the expansion of some exponential periods in an integer base
我们推导出了无理性指数为2的所有实数的基$b$展开（$b\geq 2$）的子字复杂度的下界。这提供了一个定理由于Ferenczi和Mauduit的推广。作为结果，我们得到的第一个下界的子字复杂度的数$e$和其他一些超越指数周期。
2012-05-04 math.CO math.NT
Faster deterministic integer factorization
最著名的计算整数N的素因子分解的无条件确定性复杂度界是O（M_int（N^（1/4）log N）），其中M_int（k）表示乘以k位整数的成本。这一结果是由于Bostan-Gaudry-Schost，遵循波拉德-斯特拉森方法。我们证明了这个界限可以提高（log log N）^（1/2）倍。
2012-01-10 cs.DS math.NT
Improvements on the accelerated integer GCD algorithm
本文对右移$k$-元整数GCD算法的$k$-元约简中求整数$(a,b)$-元对的算法进行了分析和改进。虽然韦伯的“加速整数GCD算法”的最坏情况的复杂性是$\cOł(\log_ϕ(k)^2\r)$，我们表明，最坏情况下的迭代次数的while循环正好是$\tfrac 12 ł\lfloor \log_ϕ(k)\r\rfloor$，其中$ϕ:= \tfrac 12 ł(1+\sqrt{5}\r)$。\par我们建议后者的平均复杂度的改进，也提出了两个新的更快的剩余算法：顺序和并行之一。同时给出了并行残差算法中避免while循环的概率下界。
2014-02-10 cs.DC cs.DM math.NT
On the $N$th $2$-adic complexity of binary sequences identified with algebraic $2$-adic integers
本文研究二元序列的2-adic复杂度，证明当对应2-adic整数为代数数时其第N个复杂度至少为N/d+O(1)，并讨论与自动序列的关系及实验验证。
2025-04-14 cs.IT math.IT math.NT
On the $k$-abelian complexity of the Cantor sequence
本文证明了对任意整数$k \geq 1$，Cantor序列$\mathbf{c} = 101000101\cdots$的$k$ -阿贝尔复杂度函数是一个$3$ -正则序列.
2017-03-12 cs.FL math.CO math.NT
A New Sparse Algorithm for Polynomial GCD over Integers
Shandong University（山东大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文提出一种新的稀疏算法，通过新变量替换将多元整数多项式GCD归约为单个单变量GCD，位复杂度为多项式级，在Maple中实现，对高次多变量但GCD项数少的多项式高效。
2026-09-11 math.AC math.NT
Faster integer multiplication using short lattice vectors
我们证明了$n$位整数可以在$O(n \log n \, 4^{\log^* n})$位运算中相乘.这个复杂性界限以前已经实现了几个作者，假设各种未经证明的数论假设。我们的证明是无条件的，并在一个基本的方式依赖于闵可夫斯基定理关于对称凸集的格向量。
2018-02-22 cs.DS cs.SC math.NT
