On the $k$-abelian complexity of the Cantor sequence
Jin Chen, Xiaotao Lü, Wen Wu
本文证明了对任意整数$k \geq 1$，Cantor序列$\mathbf{c} = 101000101\cdots$的$k$ -阿贝尔复杂度函数是一个$3$ -正则序列.
In this paper, we prove that for every integer $k \geq 1$, the $k$-abelian complexity function of the Cantor sequence $\mathbf{c} = 101000101\cdots$ is a $3$-regular sequence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The abelian complexity of the paperfolding word
我们证明了普通折纸词的阿贝尔复杂度函数是一个2-正则序列。
Abelian complexity and Abelian co-decomposition
我们提出了一种技术，用于探索经常性无限词的阿贝尔复杂性，特别是与帕里数相关的无限词。使用该技术，我们对Richomme、Saari和Zamboni提出的开放问题给出了肯定的答案，即特里波纳奇词的阿贝尔复杂性是否无限次地达到$\{4,5,6\}$中的每个值。
Abelian Complexity in Minimal Subshifts
在本文中，我们进行了一般性的研究阿贝尔复杂性的一个无限字的有限字母表。我们研究阿贝尔复杂性和通常的子词复杂性之间的相似性和差异。虽然Thue-Morse最小子移位的特征既不在于它的阿贝尔复杂性，也不在于它的子字复杂性，我们证明了子移位完全由两个复杂性函数一起表征。对G. Rauzy通过展示一类其阿贝尔复杂度处处等于3的词。我们还调查阿贝尔复杂性和阿贝尔权力的存在之间的联系。利用vanderWaerden定理，证明了对于每个正整数k，任何具有有界阿贝尔复杂度的极小子移位都包含阿贝尔k次幂.在Sturmian词的情况下，我们证明了更强的东西：对于每个Sturmian词w和正整数k，w的每个足够长的因子开始于阿贝尔k次幂。
Recurrent words with constant Abelian complexity
我们证明了不存在的经常性的话与常数阿贝尔复杂性包含4个或更多的不同的字母。这回答了Richomme等人的一个问题。
Avoiding Abelian powers in binary words with bounded Abelian complexity
无限词的阿贝尔复杂性的概念最近被最后三位作者用来研究词的各种阿贝尔性质。特别地，他们利用范德瓦尔登定理证明了，如果一个词避免了某个整数$k$的阿贝尔$k$ -幂，那么它的阿贝尔复杂度是无界的。这就提出了下面的问题：在一个具有有限阿贝尔复杂度的词中，阿贝尔$k$ -幂出现的频率有多高？特别是，是否每个具有有界阿贝尔复杂度的一致递归字都以阿贝尔$k$幂开始？虽然这是真实的各种类的均匀经常性的话，包括例如类的所有Sturmian的话，在本文中，我们表明存在的均匀经常性的二进制字，有界阿贝尔复杂性，其中承认无限数量的后缀不开始在阿贝尔广场。我们还表明，任何无限的二进制无符号字的移位轨道闭包包含一个字，避免阿贝尔立方体在开始。我们还考虑了态射对阿贝尔复杂度的影响，并证明了具有有界阿贝尔复杂度的词的态射图像也具有有界阿贝尔复杂度。最后，我们给出了无限二进制字中阿贝尔平方的可避免性的一个公开问题，并证明了它等价于Pirillo-Varricchio和Halbeisen-Hungerbühler的一个著名的公开问题.
Abelian Complexity of Infinite Words Associated with Quadratic Parry Numbers
我们推导出一个显式公式的阿贝尔复杂性的无限字与二次帕里数。
On the 2-Abelian Complexity of the Thue-Morse Word
我们证明了无限Thue-Morse字的2-阿贝尔复杂性是2-正则的，以及2-阿贝尔复杂性的其他性质，最值得注意的是它是一个不断增加的长度的回文串接。我们还显示了尖锐的界限的唯一扩展的大小为n的因素，发生在Thue-Morse字的长度。
Abelian Complexity and Synchronization
我们提出了一种计算自动序列$\bf s$的阿贝尔复杂度$ρ^{\rm ab}_{\bf s} (n)$的一般方法，其中（a）$ρ^{\rm ab}_{\bf s} (n)$由一个常数约束，（b）$\bf s$的长度- $n$前缀的Parikh向量形成一个同步序列.我们详细说明了这个想法，使用免费软件核桃计算Tribonacci字${\bf TR} = 0102010\cdots$的阿贝尔复杂度，态射$0 \rightarrow 01$，$1 \rightarrow 02$，$2 \rightarrow 0$的不动点。在此之前，Richomme、Saari和Zamboni证明了这个词的阿贝尔复杂性在于$\{ 3,4,5,6,7 \}$，Turek给出了一个计算它的Tribonacci自动机。我们能够“自动”重新推导这些结果，甚至更多，使用这里提出的方法。
A new approach to the $2$-regularity of the $\ell$-abelian complexity of $2$-automatic sequences
本文提出一种新方法，证明满足对称性质的序列是$2$-正则的，并应用于$2$-自动序列的$\ell$-阿贝尔复杂度，证明周期倍增词和Thue--Morse词的$2$-阿贝尔复杂度序列及$2$-块编码的$1$-阿贝尔复杂度序列均为$2$-正则。
On abelian and additive complexity in infinite words
对具有有界阿贝尔复杂度的无限词结构的研究是由G。Richomme，K. Saari和L. Q.磨冰机在本文中，我们定义了有限子集Z^m上无限个字的有界加法复杂度。我们提供了另一种证明的结果之一Richomme，Saari和Zamboni。
An example of an automatic sequence with non-regular abelian complexity
针对Madill和Rampersad的问题，构造了一个$2$-自动序列，证明其阿贝尔复杂度非$2$-正则。
The abelian complexity of infinite words and the Frobenius problem
我们研究下面的问题，首先介绍了由Dekking。考虑字母表{0，1，.，}上的无限单词x，k-1}和半群同态S：{0，1，.，k-1}* -> N.设L_x表示x的因子集。关于S和x的阿贝尔复杂度的什么条件保证S（L_x）包含N的除n以外的所有元素？我们研究这个问题的一些特定的无限词x具有不同的阿贝尔复杂性函数。
On the abelian complexity of generalized Thue-Morse sequences
本文研究了广义Thue-Morse序列$\mathbf{t}^{(k)}$的阿贝尔复杂度$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$.对于每个整数$n\geq k$，我们得到了$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$的精确值。因此，$ρ_n^{ab}(\mathbf{t}^{(k)})$最终是周期性的，周期为$k$。此外，我们证明了一类无穷序列的阿贝尔复杂性是$k$ -自动的。
Abelian maximal pattern complexity of words
本文研究了无限词在阿贝尔等价下的最大模式复杂度。通过投影计算了无限个循环非周期词的阿贝尔最大模式复杂度的下界。我们表明，在二进制字的情况下，绑定实际上是实现的，并给出了表征经常性的非周期性的话。
Abelian Properties of Words (Extended abstract)
我们说两个有限字$u$和$v$是阿贝尔等价的当且仅当它们每个字母出现的次数相同，或者等价地当它们定义了相同的Parikh向量。在本文中，我们研究了各种阿贝尔性质的话，包括阿贝尔复杂性，和阿贝尔权力。研究了Thue-Morse词和Tribonacci词的阿贝尔复杂度，回答了G. Rauzy通过展示一类其阿贝尔复杂度处处等于3的词。我们还调查了阿贝尔重复的话，并表明，任何无限的有界阿贝尔复杂性字包含阿贝尔$k$的权力，每一个正整数$k$。
Effective Computation of Generalized Abelian Complexity for Pisot Type Substitutive Sequences
该研究针对 Pisot 型替换序列，提出有效计算其广义阿贝尔复杂度的方法，利用 Walnut 定理证明器，并揭示了 Tribonacci 序列的平衡性统一界及复杂度函数的线性表示。
Abelian complexity function of the Tribonacci word
根据Richomme，Saari和Zamboni的一个结果，Tribonacci词的阿贝尔复杂度对于每个$n\in\mathbb{N}$都满足$ρ^{\mathrm{ab}}(n)\in\{3,4,5,6,7\}$.在本文中，我们推导出一个自动机，评估功能$ρ^{\mathrm{ab}}(n)$明确。自动机将$n$的Tribonacci表示作为其输入;因此，$(ρ^{\mathrm{ab}}(n))_{n\in\mathbb{N}}$是广义上的自动序列。由于我们对$ρ^{\mathrm{ab}}(n)$的评估使用了$\mathcal{O}(\log n)$操作，因此即使对于大的$n$值，它也是快速的。我们的结果也导致了Richomme等人提出的一个公开问题的解决方案。关于那些$n$的表征，其中$ρ^{\mathrm{ab}}(n)=c$与$c$属于$\{4,5,6,7\}$。此外，我们对$4$ -bonacci词应用相同的方法。通过这种方式，我们也找到了对$4$ -bonacci词的阿贝尔复杂性的描述。
Abelian maximal pattern complexity of two-dimensional words
本文研究二维词在阿贝尔等价下的极大模式复杂度，针对非投影双周期的二维词建立其阿贝尔极大模式复杂度的下界并证明其紧性，进而得到强回归二元非双周期词的精确复杂度与双周期性的有界性准则。
On the abelian complexity of the Rudin-Shapiro sequence
本文研究了Rudin-Shapiro序列及其相关序列的阿贝尔复杂度。我们证明了这两个序列具有相同的复杂性函数$ρ(n)$，满足一定的递归关系。因此，阿贝尔复杂度函数是$2$ -正则的。进一步证明了渐近函数$λ(x)$的图的盒维数是$3/2$，其中对任意$x> 0$，有$λ(x)=\lim_{k\to\infty}ρ(4^{k}x)/\sqrt{4^{k}x}$和$ρ(x)=ρ(\lfloor x\rfloor)$.
A proof of Rauzy's conjecture on abelian complexity
本文证明了拉乌兹猜想，表明不存在具有有理无关字母频率和常数阿贝尔复杂度为3的无限三元词。
Abelian Nivat's conjecture for non-rectangular patterns
本文研究了二维词的周期性与其阿贝尔模式复杂度之间的关系。$\mathbb{Z}^n$中的模式$\cal{P}$是$\mathbb{Z}^n$的某个有限子集$F$的所有平移的集合。无限字的$F$-因子是限制为$F$的有限字。然后，模式$\mathcal{P}$上的模式复杂度计算$P\in \mathcal{P}$的无限字的不同$F$-因子的数量。两个有限字被称为阿贝尔等价，如果对于字母表中的每个字母，它们包含相同数量的出现这个字母。阿贝尔模式复杂度计算直到阿贝尔等价为止的$F$-因子的数量。作为本文的主要结果，我们刻画了二维凸模式的如下性质：如果模式$\cal{P}$上的阿贝尔模式复杂度等于1，则该字是全周期的。类似的结果适用于$\mathbb{Z}^2$上的函数而不是字，以及常数和而不是阿贝尔复杂度等于1。在1维空间中，我们刻画了存在非常数函数的常和模式。
Abelian properties of Parry words
一个词的阿贝尔复杂度$\mathbf{u}$是一个计算长度为$n$的$\mathbf{u}$的成对非阿贝尔等价因子的数量的函数。我们证明了对于任何$c$平衡的Parry字$\mathbf{u}$，阿贝尔复杂度函数的值可以由有限状态自动机计算。证明是基于相对Parikh向量的概念。该方法适用于可以用与长度$n$对应的相对Parikh向量集表示的任何函数$F(n)$。例如，我们表明，一个$c$平衡帕里字的平衡功能是可计算的有限状态自动机以及。
On balanced and abelian properties of circular words over a ternary alphabet
我们重新审视平衡循环词的分类问题，并专注于三元字母表的情况。我们提出了一个$3$维推广的离散逼近表示的Christoffel的话。通过考虑三元字母表上平衡循环词的阿贝尔复杂度的最小界$3$，我们提供了一个三元字母表上所有循环词的阿贝尔复杂度的分类受到这个界。这一结果也使我们能够构建一个不可数集的双无限非周期词的阿贝尔复杂度等于$3$。
On a generalization of Abelian equivalence and complexity of infinite words
本文引入并研究了一类以$k \in \ints ^+ \cup {+\infty}.$为索引的无限字的复杂度函数族。设$k \in \ints ^+ \cup {+\infty}$和$A$是有限非空集。如果对于长度小于或等于$k,$的所有$x\in A^*$，$x$在$u$中出现的次数等于$x$在$v.$中出现的次数，则称$A^*$中的两个有限字$u$和$v$是$k$ -阿贝尔等价的。（当$k=1$）和相等（当$k=+\infty).$）我们证明了长度为$n$的词的$k$ -阿贝尔等价类的数量多项式增长，尽管在$k.$中度是指数的。给定无限字$ω\in A^\nats,$，我们考虑相关联的复杂度函数$\mathcal {P}^{(k)}_ω:\nats \rightarrow \nats$，其对$k$的数量进行计数。我们证明了复杂性函数$\mathcal {P}^{(k)}$与周期性密切相关。更精确地说，我们定义了一个辅助功能$q^k: \nats \rightarrow \nats$和显示，如果$\mathcal {P}^{(k)}_ω(n)<q^k(n)$的一些$k \in \ints ^+ \cup {+\infty}$和$n\geq 0,$的$ω$最终是周期性的。此外，如果$ω$是非周期的，则$\mathcal {P}^{(k)}_ω(n)=q^k(n)$当且仅当$ω$是S…
Balances and Abelian Complexity of a Certain Class of Infinite Ternary Words
定义在字母表$\mathcal{A}$上的词$u$是$c$平衡的（$c\in\mathbb{N}$），如果对于相同长度的$u$的所有因子对$v$、$w$和对于所有字母$a\in\mathcal{A}$，$v$和$w$中的字母数$a$之间的差小于或等于$c$。本文考虑一个三元字母表$\mathcal{A}=\{L,S,M\}$和一类由$ϕ_p(L)=L^pS$，$ϕ_p(S)=M$，$ϕ_p(M)=L^{p-1}S$定义的置换$ϕ_p$，其中$p>1$ .我们证明了$ϕ_p$的不动点，正式写作$ϕ_p^\infty(L)$，是3-平衡的，它的阿贝尔复杂度是有界的值7以上，无论$p$的值。我们还表明，这两个界限是最佳的，即它们不能被改善。
Group Actions and Some Combinatorics on Words with $\mathbf{vtm}$
本文利用群作用轨道推广幂与因子复杂度，证明其一般不能识别 Sturmian 词，并借助 Walnut 得到 $\mathbf{vtm}$ 超越普通无平方性的平方避免结果及关联 $\mathbf{pd}$ 交换复杂度的公式。
On the complexity of subshifts and infinite words
本文完整刻画了子移位复杂度函数的渐近等价类，证明非递减、次可乘且至少线性增长是递归子移位复杂度函数的充要条件，并给出显式算法构造。
Automatic Abelian Complexities of Parikh-Collinear Fixed Points
本文证明任意（可能擦除的）Parikh-共线态射的不动点的阿贝尔复杂度函数是自动的，并给出了生成该函数的确定性有限自动机的有效构造方法。
Abelian maximal pattern complexity and extremal words
本文研究Abelian最大模式复杂度，确定非周期词的下界及其最优性，刻画最小复杂度词的结构，并证明非周期性与组合不等式等价，进而给出Abelian模式Sturmian词的图论刻画。
Balance and Abelian complexity of the Tribonacci word
G. Rauzy证明了态射$τ: 0\mapsto 01, 1\mapsto 02 and 2\mapsto 0$所产生的Tribonacci最小子移位在测量理论上共轭于$R^2$中紧集上的三个分形域的交换，每个域都由相同的向量模格平移。本文研究了Tribonacci字$t$的阿贝尔复杂度AC（n），它是$τ$的唯一不动点.我们表明，$AC(n)\in {3,4,5,6,7}$为每个$n\geq 1$，这五个值的每一个假设。我们的证明依赖于这样一个事实，即Tribonacci词是2平衡的，即，对于长度相等的$t$的所有因子$U$和$V$，以及对于每个字母$a \in {0,1,2}$，$a$在$U$中出现的次数和$a$在$V$中出现的次数相差至多2。虽然这一结果在几篇论文中被宣布，但据我们所知，还没有发表过这一事实的证据。我们给出了$t$的2-平衡性质的两个非常不同的证明。第一个使用的词组合属性的生成态射，而第二个利用$τ$的关联矩阵的频谱特性。
Variations of the Morse-Hedlund Theorem for $k$-Abelian Equivalence
在本文中，我们研究了一个新的家庭的复杂性函数的局部到整体的现象，由$k \in \Ni \cup \{+\infty\}$索引的无限字，其中$\Ni$表示的集合的正整数。如果对于所有长度小于或等于$k$的$x \in A^*$，$x$在$u$中出现的次数等于$x$在$v$中出现的次数，则称$A^*$中的两个有限字$u$和$v$是$k$ -阿贝尔等价的。这在$A^*$上定义了一系列等价关系$\sim_k$，弥合了阿贝尔等价（当$k = 1$）和相等（当$k = +\infty$）之间的鸿沟。给定一个无限字$w \in A^ω$，我们考虑相关的复杂性函数$\mathcal P^{(k)}_w : \Ni \rightarrow \Ni$，它计算$k$ -阿贝尔等价类的$w$的长度$n$的因素的数量。作为一个整体，这些复杂度函数有一些共同的特点：每个都给出了双无限词的周期性特征，每个都可以用来描述Sturmian词的非周期性单边无限词的框架。然而，它们也表现出一些显着的差异，其中的研究是我们的论文的主要议题之一。
Graph complexity and Mahler measure
有限边赋权图的扭复杂度定义为由其Laplacian矩阵表示的阿贝尔群的扭子群的阶。当G是d周期的（即，G通过图的自同构具有秩为d的自由阿尔贝群的自由作用，其Laplacian行列式多项式的Mahler测度是G的有限行列式的复杂性的增长率。Lehmer问题是一个关于monic整多项式根的公开问题，它等价于边权1-周期图的复杂性增长问题。
Finite phylogenetic complexity and combinatorics of tables
我们证明了系统发育的复杂性-由Sturmfels和Sullivant介绍的不变量-任何有限的阿贝尔群是有限的。
Relations on words
在本次调查的第一部分中，我们提出了经典的概念，在组合数学的话：一种语言的增长功能，一个无限的词的复杂性功能，模式避免，周期性和均匀递归。我们的介绍试图建立一个统一的框架，相对于一个给定的二元关系。第二部分主要研究交换等价、$k$ -交换等价、组合系数与组合关系、Parikh矩阵与$M$ -等价。特别地，引入了交换等价的一些新的加细。
On possible values of the group complexity function of infinite words
研究无限单词群复杂度函数的可能值，定义了群复杂度概念，它介于因子复杂度和阿贝尔复杂度之间。证明斯图姆单词等满足通用群复杂度性质，即能取到复杂度所有“中间”值，还研究了非周期三元单词和最终周期单词的该性质。
Additive word complexity and Walnut
本文从理论角度研究加性复杂度，利用逻辑形式化与 Walnut 软件判定自动序列的相关性质，证明阿贝尔复杂度正则性猜想类似物的特殊情况，并比较加性与阿贝尔复杂度行为，提出开放问题。
The Jamneshan-Tao conjecture for finite abelian groups of bounded rank
本文证实了有限阿贝尔群的贾姆内什安-陶猜想，通过证明非平凡Gowers范数下1有界函数的逆定理，表明此类函数必须与有界复杂度的nil序列非平凡相关联。
A continuous model for systems of complexity 2 on simple abelian groups
众所周知，如果$p$是一个足够大的素数，那么对于每个函数$f:\mathbb{Z}_p\to [0,1]$，在圆$f':\mathbb{T}\to [0,1]$上存在一个连续函数，使得在任何给定的复杂度为1的线性形式系统上，$f$和$f'$的平均值相差至多$ε$。这一结果如下工作的Sisask，建立在傅立叶分析参数的Croot回答了一个问题的绿色。我们将这一结果推广到系统的复杂性最多为2，更换$\mathbb{T}$与环面$\mathbb{T}^2$配备了一个特定的过滤。为此，我们使用一个概念的建模过滤nilmanifold，我们定义的equidistributed地图，我们结合这与工具的二次傅立叶分析。我们的研究结果产生的表达式上的环面的限制，涉及系统的复杂性2 $\mathbb{Z}_p$的组合量。例如，令$m_4(α,\mathbb{Z}_p)$表示在至少$αp$的基数的所有集合$A\subset \mathbb{Z}_p$上$A$内的4项算术级数的密度的最小值。我们证明$\lim_{p\to \infty} m_4(α,\mathbb{Z}_p)$等于下确界，在所有可测函数$f:\mathbb{T}^2\to [0,1]$与$\int_{\mathbb{T}^2}f\geq α$上，以下积分：$$ \int_{\mathbb{T}^5} f\binom{x_1}{y_1}\…
2-balanced sequences coding rectangle exchange transformation
本文定义了一类由Sturmian序列着色得到的2-平衡三元序列，证明其可包含任意字母频率，给出因子与阿贝尔复杂度上界，并利用矩形交换变换证明几乎所有频率下上界可达，且显式计算了数论函数。
Complexity of Cut-and-Project Sets of Polytopal Type in Special Homogeneous Lie Groups
本文的目的是确定在非阿贝尔情况下割集和投影集的复杂性函数的渐近增长率。在齐次两步幂零李群中的多面体型模型集的情况下，我们可以建立复杂性函数的渐近行为类似于$r^{homdim(G) dim(H)}$。进一步，我们将接受域的概念推广到局部紧的第二可数群。
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