发表机构
School of Mathematical Sciences, Beihang University; School of Mathematics and Information Science, Shandong Technology and Business University（北京航空航天大学数学科学学院; 山东工商学院数学与信息科学学院）
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本文研究Abelian最大模式复杂度，确定非周期词的下界及其最优性，刻画最小复杂度词的结构，并证明非周期性与组合不等式等价，进而给出Abelian模式Sturmian词的图论刻画。
AI 中文摘要
本文研究了由 Kamae、Widmer 和 Zamboni 引入的有限字母表 $\mathbb{A}$ 上无限词 $\alpha\in \mathbb{A}^{\mathbb{N}_{0}}$ 的 Abelian 最大模式复杂度 $p_{\alpha}^{\ast \mathrm{ab}}(k)$。对于回归非周期词，我们确定了一个下界并证明了其最优性。我们进一步给出了具有最小 Abelian 最大模式复杂度的词的精确结构。在一般情况下，我们证明无限词 $\alpha$ 是非周期的当且仅当对每个 $k$ 都有 $\binom{p_{\alpha}^{\ast \mathrm{ab}}(k)}{2}\geq k$。对于字母表大小为 $\ell \geq 2$ 且每个字母都无限次出现的非周期词，我们进一步证明：只要 $\binom{m}{2}\leq (\ell -1)(k-\ell +2)$，对所有 $m,k$ 都有 $p_{\alpha}^{\ast \mathrm{ab}}(k)\geq m$。结合一个匹配构造，这表明该类词的最小 Abelian 最大模式复杂度为 $\sqrt{2(\ell -1)k}+O_{\ell }(1)$。我们称一个词为 Abelian 模式 Sturmian 词，如果对每个 $k$，其 Abelian 最大模式复杂度是满足 $\binom{m}{2}\geq k$ 的最小正整数 $m$。我们证明一个词是 Abelian 模式 Sturmian 词当且仅当，在对其字母表重新标记后，它是某个无限集合 $E\subset \mathbb{N}_{0}$ 的特征词，其中 $\mathbb{N}_{0}$ 的两个不相交副本上的二部图（左顶点 $r$ 与右顶点 $s$ 相邻当且仅当 $r+s\in E$）是一个森林。
英文摘要
In this paper, we study the Abelian maximal pattern complexity $p_α^{\ast \mathrm{ab}}(k)$, introduced by Kamae, Widmer and Zamboni, of infinite words $α\in \mathbb{A}^{\mathbb{N}_{0}}$ over finite alphabets $\mathbb{A}$. For recurrent aperiodic words, we determine a lower bound and prove its sharpness. We further give a structural characterization of the words with minimal Abelian maximal pattern complexity. In the general case, we prove that an infinite word $α$ is aperiodic if and only if $\binom{p_{α}^{\ast \mathrm{ab}}(k)}{2}\geq k$ for every $k.$ For aperiodic words over $\ell \geq 2$ letters, each occurring infinitely often, we further prove that $p_{α}^{\ast \mathrm{ab}}(k)\geq m$ whenever $\binom{m}{2}\leq (\ell -1)(k-\ell +2)$, for all $m,k$. Together with a matching construction, this shows that the minimum Abelian maximal pattern complexity in this class is $\sqrt{2(\ell -1)k}+O_{\ell }(1)$. We call a word an Abelian pattern Sturmian word if, at every $k$, its Abelian maximal pattern complexity is the least positive integer $m$ satisfying $\binom{m}{2}\geq k$. We show that a word is Abelian pattern Sturmian if and only if, after relabeling its alphabet, it is the characteristic word of an infinite set $E\subset \mathbb{N}_{0}$ for which the bipartite graph on two disjoint copies of $\mathbb{N}_{0}$, with a left vertex $r$ adjacent to a right vertex $s$ exactly when $r+s\in E$, is a forest.
