Generalized Descriptive Set Theory and Classification Theory
Department of Mathematics and Statistics University of Helsinki（赫尔辛基大学数学与统计系）
本文研究了不可数情况下的广义描述集论，探讨了等价关系的伯恩-可约性，并揭示了第一阶理论稳定性复杂性与同构关系复杂性之间的联系。
2025-11-22 math.LO
Naive Descriptive Set Theory
本文是一个朴素的介绍描述集合论。它的目标是没有逻辑背景的数学家。目标是提供基本事实用于应用描述集合论的其他领域的数学，特别是分析和动力系统。唯一的拓扑或集理论背景需要涵盖在本科课程。它涵盖了层次的博雷尔集和解析集，树，Suslin的操作A，减少，规范，分离定理和一致化。
2021-10-17 math.LO
The descriptive set theory of C$^*$-algebra invariants
我们建立了各种C $^*$ -代数不变量的Borel可计算性，包括Elliott不变量和Cuntz半群。作为应用，我们推导出AF代数可由可数结构分类，并且Winter和第二作者关于核可分单C* 代数-代数的一个猜想不能由这些代数上已知的标准Borel结构来反驳.
2012-04-21 math.LO math.OA
Borel combinatorics fail in HYP
我们刻画了HYP的完全确定的Borel子集正好是HYP的ω_1 ^{ck}子集。因此，HYP认为实数存在Borel良序，Borel对偶拉姆齐定理失败，并且每个Borel d-正则二部图都有Borel完美匹配，以及其他例子。因此，Borel对偶Ramsey定理和描述组合学的几个定理不是超算术分析的理论。在Borel对偶Ramsey定理的情况下，这回答了Astor，Dzhafarov，Montalban，Solomon和第三作者的问题。
2022-03-01 math.LO
Classification problems from the descriptive set theoretical perspective
二十年过去了，因为Kechris的开创性调查文件[A。S. Kechris，New Directions in描述集合论. Bull.Symbolic Logic，5（2）：161 - 174，1999]。作为这项工作的后续行动，我们回顾了一些OT的（反）分类的结果，在过去的十年中已经获得了使用Borel约化及其推广到不可数基数。
2021-05-31 math.LO
Local entropy theory and descriptive complexity
本文从描述集合论角度研究完全正熵动力系统的描述复杂性，证明一般紧空间上CPE系统族是完全共解析而非Borel的，并揭示混合性与伪轨跟踪性质下CPE与一致正熵的异同关系。
2023-04-16 math.DS math.LO
Spectral Theory and Descriptive Combinatorics for Non-Regular Borel pmp Graphs
Rutgers University（罗格斯大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
该研究针对非正则Borel pmp图，适配经典结果给出近似可测色数新下界、强化近似可测二部图刻画，还引入可测控制数并给出拉普拉斯算子谱隙界。
2026-10-12 math.CO math.LO math.OA
The descriptive set-theoretical complexity of the embeddability relation on models of large size
我们证明了如果κ是弱紧基数，那么大小为κ的（广义）树上的可嵌入关系是不变泛的。这意味着对于广义康托空间2^κ上的每个解析拟序R，存在一个L_{κ^+ κ} -语句集，使得在其大小为κ的模型上的可嵌入性关系，这些模型都是树，是Borel双可约的（事实上，是类Borel同构的）到R。特别地，这意味着大小为κ的树的可嵌入性关系对于解析拟序是完备的。这些结果推广了文献[LR 05，FMR 11]中关于κ=ω的类似结果，也部分推广了文献[Bau 76]中关于尺寸为κ的线性阶上可嵌入关系的结构的结果.
2013-06-27 math.LO
The descriptive complexity of the set of Poisson generic numbers
本文证明了基 $b$ 下 Poisson 通用实数集合在 Borel 层级中是 $\boldsymbolΠ^0_3$-完全的，并证明了基 $b$ 下 Borel 正常且非 Poisson 通用实数集合的相关差集完全性及其有效版本。
2023-05-17 math.LO math.NT
Universal countable Borel quasi-orders
近年来，描述集合论的许多工作都集中在自然分类问题的Borel复杂性上，特别是在Borel约简的拟序下研究可数Borel等价关系及其结构。按照Louveau和Rosendal研究解析等价关系的方法，我们研究可数Borel拟序。本文研究了泛可数Borel拟序，即关于Borel约化的可数Borel拟序高于所有其它可数Borel拟序。首先证明了存在一个泛可数Borel拟序，然后证明了几个可数Borel拟序是泛可数Borel拟序.一个重要的例子是描述集理论树上的嵌入关系。我们的主要结果表明，有限生成群的可嵌入性是一个普适的可数Borel拟序，回答了Louveau和Rosendal的一个问题.这直接意味着有限生成群的双嵌入性是一个泛可数Borel等价关系。同样的技巧也被用来证明可数群的可嵌入性是一个泛解析拟序。最后，我们证明了，直到Borel双约化，有连续的许多不同的可数Borel拟序对称的一个普遍的可数Borel等价关系。
2013-06-06 math.GR math.LO
Generalized Descriptive Set Theory at Singular Cardinals of Countable Cofinality
Università degli Studi di Torino（都灵大学）
本文在可数余数的奇异基数上发展了描述集合论，研究了λ-波兰空间、λ-博雷尔空间及相关集合的性质，并推广了经典完美集性质。
2025-11-20 math.GN math.LO
Chain conditions, elementary amenable groups, and descriptive set theory
首先考虑标记群空间中的三个著名的链条件：中心化子的最小条件，子群的最大条件，以及正规子群的最大条件。对于每一个条件，我们产生一个良好的基础连续集理论树方面的表征。利用这些特征，我们证明了由这些条件给出的集合在标记群空间中是协解析的而不是Borel的。然后，我们调整我们的技术，以显示小学顺从标记组的特点是有根据的连续集理论树，因此，小学顺从性是相当于一个链条件。我们的刻画再次暗示了初等顺从群的集合是协解析的和非Borel的。作为推论，我们得到了一个新的，非建设性的，证明存在的非线性生成的顺从的群体，是不是小学顺从。
2015-02-05 math.GR math.LO
The descriptive complexity of the set of all closed zero-dimensional subsets of a Polish space
给定一个空间$X$，我们研究了它的所有闭零维子集的集合$\FF_0(X)$的描述复杂性类$\G_X$，将其视为$X$的所有闭子集的超空间$\FF(X)$的子集。本文证明了对任意可数序数$ξ\geq1$，$\max \{ \G_X; \ X \text{ analytic } \}=\pca $和$\sup \{ \G_X; \ X \text{ Borel } \borm ξ\} \supseteq \Game \bora ξ$都成立.特别地，我们证明了存在$2^\wo\times \R^2$的一维波兰子空间，使得$\FF_0(X)$不在补和Souslin运算$\mathcal A\,$下闭的最小非平凡点类中.
2018-05-17 math.LO
Torsion-Free Abelian Groups are Borel Complete
University of Torino（都灵大学）；The Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
证明了具有整环$ω$的无挠的阿贝尔群的Borel空间是Borel完备的，即，在这个Borel空间上的同构关系是尽可能复杂的，作为同构关系。这解决了描述集合论中一个长期存在的问题，这个问题可以追溯到1989年弗里德曼和斯坦利关于博雷尔归约的开创性论文。
2023-02-21 math.GR math.LO
Distributed Algorithms, the Lovász Local Lemma, and Descriptive Combinatorics
该研究将有限组合学的分布式着色算法与对称Lovász局部引理拓展至Borel空间组合结构，得到良态着色的充分条件，为描述组合学与遍历理论提供新结论。
2023-06-28 math.CO math.LO
The descriptive set-theoretic complexity of the set of points of continuity of a multi-valued function
在这篇文章中，我们处理一个多值函数$F$的连续性的概念，我们计算的描述集理论的复杂性的集合的所有$x$为$F$是连续的$x$。我们给出了后一个集合是$G_δ$集合或$G_δ$集合的可数并的条件。并给出了一个反例，说明在相同条件下，后一个结果是最优的.此外，我们证明了这些条件是必要的，以获得连续的点集的$F$是Borel，即，我们证明了如果我们放弃一些前面的条件，那么有一个多值函数$F$，它的图是一个Borel集和一组点连续的$F$是不是一个博雷尔集。最后，我们给出了一些类似的结果，一个更强的概念，连续性的多值函数。这篇文章是由M. Ziegler在[{ \em Real Computation with Least Discrete Advice：A Complexity Theory of Nonuniform Computability with Applications to线性代数}，{ \sl submitted}].
2011-11-01 cs.LO math.LO
Computable vs Descriptive Combinatorics of Local Problems on Trees
研究可计算性与描述性组合学在树上的局部问题，探讨可计算解与Baire可测解之间的关系，并提出在特定拓扑条件下连续解的存在性。
2026-02-26 math.CO math.LO
LCLs in the Borel Hierarchy
研究Borel层次中LCLs的Baire类解存在性，构造了在F_n上总允许Baire类m+1解但不一定m解的LCL问题。
2026-01-27 math.CO math.LO
The Effective Theory of Borel Equivalence Relations
Borel约简下Borel等价关系的研究已发展成为描述集合论的一个重要领域。Silver和Harrington-Kechris-Louveau的二分法表明，对于Borel约简，任何严格高于$ω$上的等式的Borel等价关系都高于$ω$的幂集${\cal P}(ω)$上的等式，并且任何严格高于实数上的等式的Borel等价关系都高于${\cal P}(ω)$上的模有限等式。本文通过研究有效Borel约简下的有效Borel等价关系，检验了这些结果和相关结果的有效内容。由此产生的结构是复杂的，即使是等价关系与许多等价类。然而，使用Kleene的$O$作为参数足以从无效设置恢复图像。一个关键的引理是存在两个有效的Borel实数集，其中任何一个都不包含任何有效Borel函数下的另一个的范围;这个结果的证明将Barwise紧性应用于Harrington的一个深层定理，该定理为任何递归序数$α$建立了$Π^0_1$的存在性，其$α$ -跳跃是图灵不可比的。
2009-07-04 math.LO
Borel complexity of sets of points with prescribed Birkhoff averages in Polish dynamical systems with a specification property
本文研究 Polish 空间动力系统中限制轨道统计行为的点集的描述复杂性，证明在紧致条件下这些集合均为 Borel 集，并利用 Borel 层级与修改的规范性质确定其位于第三层，同时给出非 Borel 例子。
2022-10-17 math.DS math.LO
Ordinary differential equations and descriptive set theory: uniqueness and globality of solutions of Cauchy problems in one dimension
我们研究了一些自然集所产生的理论中的常微分方程在一个变量的观点，描述集合论，特别是将它们分类内的博雷尔层次。证明了有唯一解的常微分方程的柯西问题集是$Π^0_2$ -完备的，局部有唯一解的柯西问题集是$Σ^0_3$ -完备的.证明了具有整体解的Cauchy问题集是$Σ^0_4$ -完备的，而对于每个初始条件都具有整体解的常微分方程集是$Π^0_3$ -完备的.证明了满足唯一性和整体性的柯西问题集是$Π^0_2$ -完备的。
1996-09-16 math.LO
Manifold classification from the descriptive viewpoint
University of Winnipeg（温尼伯大学）
本文从描述集合论角度研究流形和李群离散子群的分类问题，揭示了流形同胚问题的Borel复杂性及双曲流形等距关系的分类特性。
2025-12-31 math.DG math.GT math.LO
Generalized Borel Sets
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文在类波兰空间框架下研究广义波莱尔分层，给出κ⁺-波莱尔分层性质与非坍塌条件，揭示奇异基数下κ-波莱尔分层的独特性，并解决正则基数下相关问题。
2026-09-29 math.LO
Infinite Communication Complexity and KW Games
Department of Mathematics, UCLA（加州大学洛杉矶分校数学系）
该研究将KW博弈扩展至无限版本，建立了Cantor空间子集为Borel集与无限通信博弈可解性的等价关系，为描述集合论经典结果提供新组合证明，还证明非良基树集与无限奇偶函数均非Borel集。
2026-09-02 math.LO
Borel and countably determined reducibility in nonstandard domain
我们考虑了非标准域中等价关系（ER）的约简，用Borel约简和可数确定约简（CD）来表示.这揭示了部分类似于那些发现在描述集合论的现象。给出了 *N中Borel集的Borel约化结构和CD集的（部分）CD约化结构.证明了等价类可数的CD ER都是CD-光滑的，但并不是所有的CD ER都是B-光滑的，例如在 *N上有有限差分的ER.类似于波兰空间中的西尔弗二分法，*N上的任何CD ER要么最多有连续多类，要么有无限个两两不等价元素的内部集合。我们对 *N上的一元ER的研究，即，形式为x E y的等式当且仅当|X-Y|属于 *N中给定的可加Borel割，表明这些ER分裂成两个线性族，与可数共尾和可数共初割相关联，每个线性族都按Borel约简线性排序.研究了 *N的超有限子集上的一元ER与有限对称差分的ER之间的关系。
2002-02-27 math.LO
The Borel complexity of the class of models of first-order theories
本文借助 Knight 与 Solovay 的结果刻画一阶理论模型集合的 Borel 复杂性，给出其达到 $\pmbΠ_ω^0$ 与 $\pmbΠ^0_n$ 完全级别的精确条件，并证明所有 sequential 理论均为 $\pmbΠ_ω^0$-完全。
2025-03-14 math.LO
Recurrence and the existence of invariant measures
本文证明在描述集合论中，递归条件不保证不变Borel概率测度存在，并给出强化的反例构造。
2020-02-21 math.DS math.LO
Definable expansions on countable groups and countable Borel equivalence relations
本文在描述组合学框架下研究可数 Borel 等价关系与可数群的可定义扩张，建立二者对应及测度、范畴结构定理，并通过生成树、Ramsey 单色集和偏序线性化等示例说明。
2025-05-09 math.LO math.PR
On Borel subsets of generalized Baire spaces
本文在不假设 $κ^{<κ}=κ$ 的条件下发展广义 Baire 空间的描述集合论，修正基本拓扑概念，并应用于判定固定基数 $κ$ 的模型轨道是否为 $κ$-Borel，指出该问题取决于一阶理论的稳定性性质。
2025-11-01 math.LO
Shelah's Main Gap and the generalized Borel-reducibility
Institute of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学研究所）；Department of Mathematics and Statistics, University of Helsinki（赫尔辛基大学数学与统计系）；Mathematics Research Centre, Tampere University（坦佩雷大学数学研究中心）
本文证明了 Shelah 主间隙与广义 Borel 可归约性之间的对应关系，在特定基数条件下不可分类理论的模型同构严格高于可分类理论，并力迫证明可数一阶理论的模型同构具有解析余解析或解析完全的二分类性质。
2026-09-30 math.LO
Complexity of Linear Equations and Infinite Gadgets
本文研究有限域上 Borel 线性方程组可解性的描述集合论复杂性，证明其为 $Σ^1_2$-完全，并指出其难易分界不同于 CSP 二分定理。
2025-01-10 math.LO
Learning algebraic structures with the help of Borel equivalence relations
该研究探讨代数结构的算法学习，证明结构族可学习等价于其学习域可连续归约为$E_0$，并提出用描述集合论工具校准不可学习族复杂度，分析了多个基准Borel等价关系的学习能力。
2021-10-27 math.LO
Descriptive set theory of separable Fréchet spaces
本文研究了可分Fréchet空间的描述集合论，计算了若干经典空间类的描述复杂度，并证明Montel空间类是完备上解析的，从而解决了不存在包含所有可分Montel空间同构副本的可分Montel空间的古老问题。
2025-08-12 math.FA math.LO
Polish groupoids and functorial complexity
我们引入并研究了波兰广群的函子Borel复杂性的概念。这一概念的目的是衡量一个类别的对象分类的复杂性，在建设性和功能性的方式。在主群胚的特殊情况下，这样的概念与通常的等价关系的波莱尔复杂性相吻合。我们的主要结果是：一方面，对于具有本质树轨道等价关系的波兰群胚，函子Borel复杂性与相应轨道等价关系的Borel复杂性一致.另一方面，对于每一个可数等价关系$E$是不可树的，有波兰群胚具有不同的函子Borel复杂度都有$E$作为轨道等价关系。为了得到这样一个结论，我们把关于波兰群作用的描述集合论的一些基本结果推广到波兰群胚的作用上，回答了Arlan Ramsay的一个问题.其中包括Becker-Kechris关于Borel $% G $ -空间的可磨光性、泛Borel $G$ -空间的存在性以及Borel $G$ -空间与Borel轨道等价关系的刻画等结果。
2014-11-06 math.DS math.LO
The hierarchy of equivalence relations on the natural numbers under computable reducibility
自然数上的等价关系之间的可计算约简的概念提供了Borel约简的自然可计算模拟。我们研究可计算约简层次，比较和对比它与波莱尔约简层次从描述集合论。同时，可计算约简的概念似乎非常适合于分析c.e.上的等价关系。集合，更具体地说，在各种类别的c.e.结构.这是一个丰富的上下文，有许多自然的例子，例如c.e.上的同构关系。图或可计算呈现的组。在这里，我们的论述扩展了文献中有关可计算结构分类的早期工作。仍然存在大量的开放性问题。
2012-04-14 math.LO
Rotation equivalence and cocycle superrigidity
从描述集合论的观点出发，分析了高维欧氏球面及其由有理旋转群导出的相应轨道等价关系.事实证明，这种等价关系在大于$2$的维度上是不可树的。然后证明了在$n \geq 5$维中的旋转等价关系不是Borel可约的。我们的方法结合了Furman和Ioana工作中的一个上循环超刚性结果和Margulis的$S$ -算术群的超刚性定理。我们还应用我们的技术给一个几何证明的存在不可数许多成对的不可比的等价关系波莱尔约简。
2022-08-15 math.LO
Countable ranks at the first and second projective levels
秩（英语：rank）是描述集合论中的一个概念，它描述了波兰空间闭子集集合上的Cantor-Bendixson秩，$C[0,1]$中可微函数集合上的可微秩，如Kechris-Woodin秩，以及描述集合论和实分析中的许多其他秩。许多自然秩的复杂度是$Π^1_1$或$Σ^1_2$。我们建议理解的最小长度的行列在一个集合作为衡量其复杂性。因此，目的是了解这种等级可能有哪些长度。主要结果确定了可数秩在第一和第二射影水平上的长度的上确界。进一步证明了特定类的$Σ^1_2$集的可数秩的存在性.之间产生的联系$Σ^1_2$集与可数秩一方面和$Σ^1_2$博雷尔集另一方面导致一个猜想，统一了几个结果在描述集合论，如曼斯菲尔德-索洛维定理和最近的结果卡诺维和柳别茨基。
2022-07-18 math.LO
Borel and Hausdorff Hierarchies in Topological Spaces of Choquet Games and Their Effectivization
在波兰空间中完成的经典描述集合论的哪些部分仍然适用于更一般的拓扑空间，可能是T0或T1，但不适用于T2（即不适用于豪斯多夫）？这个问题已经解决了维克多Selivanov在一系列文件集中的代数域。最近，马修·德·布莱希特（Matthew de Brecht）考虑了拟波兰空间，这是一个包含可数基连续域和波兰空间的框架。在本文中，我们提出了替代统一拓扑空间，我们称之为近似空间。在Choquet博弈中，Nonempty玩家在这些空间上有固定策略。近似空间的一个自然真子类与拟波兰空间类重合。我们研究了近似空间中的Borel和Hausdorff差族，重温了其他拓扑空间所做的工作。我们还考虑这些结果的有效性的问题。
2013-11-02 cs.LO math.LO
Invariant uniformization
本文研究描述集合论中Borel均匀化的不变版本，证明对Borel等价关系E，所有具有小或大截面的E-不变Borel集存在E-不变Borel均匀化当且仅当E光滑，并给出Miller二分法的新证明及反例复杂性分析。
2026-09-22 math.LO
Coanalytic Ultrafilter Bases
在描述集合论的意义下研究了$ω$上超滤子基的可定义性.作为主要结果，我们证明了Ramsey超滤子不存在协分析基，而在$L$中我们可以构造$Π^1_1$ P-点基和Q-点基.我们还证明了对于$n \in ω$，存在一个$\mathbfΔ^1_{n+1}$超滤子等价于存在一个$\mathbfΠ^1_n$超滤子基.此外，我们还引入了经典超滤子数的Borel形式，并给出了一些结果。
2019-12-19 math.LO
Large-scale geometry of Borel graphs of polynomial growth
从渐近几何与描述集合论角度研究多项式增长Borel图，通过构造粗嵌入证明$\mathbb Z^n$自由Borel作用的普适性，解决了超有限性与toast结构等问题。
2025-04-07 math.CO math.LO math.MG
Realizations of countable Borel equivalence relations
本文研究可数Borel等价关系的拓扑实现，涵盖连续群作用、极小子移位及普适空间中的性质刻画，并探讨Turing等价等特殊关系的实现问题。
2025-08-06 math.DS math.LO
Generalized Baire class functions
Università degli Studi di Torino（都灵大学）；Université de Lausanne（洛桑大学）
本文研究了广义巴依尔类函数的结构，提出了λ-巴依尔类ξ函数的概念，并给出了Lebesgue、Hausdorff和Banach定理的更高版本。
2024-11-26 math.LO
Quasi-Polish Spaces
本文研究了可数基完全拟度量化的拓扑空间的一些基本的描述集合论，我们称之为拟波兰空间。这些空间自然地将波兰空间的许多经典描述集合论推广到非豪斯多夫的设置。本文证明了拟波兰空间的子空间是拟波兰的当且仅当它是Borel族中的Level_2。拟波兰空间可以在第二型相容性理论的框架内被刻画为具有波兰整环的容许表示的基于可数的空间。它们也可以在理论上被刻画为与ω-连续整环的所有非紧元素的子空间同胚的空间。每个可数基局部紧sober空间都是拟波兰的，因此每个ω-连续整环都是拟波兰的。一个可度量化空间是拟波兰的当且仅当它是波兰的。我们证明了不可数的拟波兰空间上的Borel族不坍塌，Hausdorff-Kuratowski定理推广到所有的拟波兰空间。
2012-11-06 cs.LO math.LO
Results in descriptive set theory on some represented spaces
描述集合论最初是在波兰空间上发展起来的。它后来被扩展到$ω$ -连续域[Selivanov 2004]，最近被扩展到拟波兰空间[de Brecht 2013]。所有这些空间都是可数基的。将描述集合论及其有效对应物扩展到一般表示空间，包括基于非可数的空间，已经开始于[Pauly，de Brecht 2015]。本文研究了空间$\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$，$\mathcal{C}(\mathbb{N}^\mathbb{N},2)$和Kleene-Kreisel空间$\mathbb{N}\langleα\rangle$ .我们证明了存在一个$Σ^0_2$ -子集的$\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$这不是Borel。我们发现，$\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$的开放子集不能连续索引的元素的$\mathbb{N}^\mathbb{N}$，甚至$\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$，更一般地说，开放子集的$\mathbb{N}\langleα\rangle$不能连续索引的元素的$\mathbb{N}\langleα\rangle$。我们也得到这些结果的有效版本。这些结果回答了最近关于空间在其基复杂性方面的分类的公开问题，这些问题在[de Br…
2017-12-11 cs.LO math.LO
On the problem of generalized measures: an impossibility result
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了在广义描述集合论中定义λ⁺-测度的不可能性，并证明了在特定基数假设下，此类测度无法存在于特定空间上。
2026-01-19 math.LO
Metric Scott analysis
我们开发了一个类似的经典斯科特分析度量结构和无穷连续逻辑。在我们的研究结果是存在的斯科特句子度量结构和版本的洛佩兹-埃斯科瓦尔定理。我们还得到了一些描述集理论的后果：最值得注意的是，同构一类可分结构是一个Borel等价关系当且仅当他们的斯科特秩是一致有界以下$ω_1$。最后，我们应用我们的方法研究了度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离和巴拿赫空间之间的Kadets距离，证明了到固定空间具有距离$0$的空间集是博雷尔集。
2017-08-02 math.LO
The complexity of homeomorphism relations on some classes of compacta with bounded topological dimension
本文从不变描述集合论的观点出发，讨论了几类可度量化矩阵上同胚等价关系的复杂性。证明了平面上绝对收缩核的同胚等价关系与可数图的同构等价关系是Borel双可约的。为了强调这个结果的尖锐性，我们证明了平面上局部连通连续统的同胚关系和$\mathbb R^3$中绝对收缩核的同胚关系都不是可列图的同构关系的Borel可约性.我们还改进了Chang和Gao最近的结果，从$\mathbb R^n$的紧子集的同胚等价关系和$[0,1]^n$的紧子集的环境同胚等价关系构造了一个Borel约化，得到了$\mathbb R^{n+1}$中$n$维连续统的同胚等价关系.
2020-12-14 math.GN math.LO
The Ramsey property implies no mad families
证明了如果$\N$的无限子集的所有集合都具有Ramsey性质，则不存在无限极大几乎不相交（mad）族.这解决了Mathias \cite{mathias}的一个长期存在的问题。证明利用了一个想法，它有其自然的根源遍历论，拓扑动力学和不变的描述集合论：我们使用，一定的功能相关联的一个所谓的疯狂的家庭是不变的等价关系下$E_0$，因此是常数的“大”集。此外，我们宣布一些额外的结果，疯狂的家庭相对于更复杂的Borel理想。
2019-04-15 math.LO
Weyl-von Neumann Theorem and Borel Complexity of Unitary Equivalence Modulo Compacts of Self-Adjoint Operators
Weyl-von Neumann定理证明了Hilbert空间$H$上的两个有界自伴算子$A,B$是酉等价的模紧，即，对于某些酉$u\in \mathcal{U}(H)$和紧自伴算子$K$，当且仅当$A$和$B$具有相同的本质谱：$σ_{\rm{ess}}(A)=σ_{\rm{ess}}(B)$。在本文中，我们考虑在何种程度上可以（不）扩展到无界算子的描述集理论的Weyl-von Neumann的结果。我们表明，如果$H$是可分的无限维，有界自伴算子的等价关系是光滑的，而一般的自伴算子的等价关系包含一个密集的$G_δ$ -轨道，但不允许分类的可数结构。另一方面，显然相关的等价关系$A\sim B\Leftrightarrow \exists u\in \mathcal{U}(H)\ [u(A-i)^{-1}u^*-(B-i)^{-1}$是紧凑的]，是光滑的。各种Borel或co-analytic等价关系相关的自伴算子也被提出。
2014-02-27 math.FA math.LO math.OA
A generalization of Solovay's $Σ$-construction with application to intermediate models
一个$Σ$建设Solovay的情况下，中间集不一定是地面模型的子集，与一个更透明的描述所产生的力迫概念比在经典的论文Grigorieff。作为一个应用程序，我们证明，对于一个给定的名称$t$（不一定是一个名称的一个子集的地面模型），所有的集合的形式$t[G]$（$G$ -解释$t$），$G$是通用的地面模型，是博雷尔。这一结果首先建立了Zapletal的描述集理论的论点。
2014-03-23 math.LO
Classical and Effective Descriptive Complexities of omega-Powers
我们证明了对于每个非空可数序数α，存在一些Sigma^0_α-完全的omega-幂和一些Pi^0_α-完全的omega-幂，推广了前人关于omega-幂的拓扑复杂性的工作.我们证明这些结果的有效版本。特别地，对于每个非空的递归序数α，存在递归有限语言A使得A^omega是Sigma^0_α-完全的（分别是Pi^0_α-完全的）。要做到这一点，我们证明了有效的版本的结果由Kuratowski，描述了一个博雷尔集的范围内的闭子集的Baire空间的连续双射。这使我们证明了在任意递归表示的Polish空间中超算术族的连续-Pi ^0_alpha和连续-Sigma ^0_alpha类的封闭性。我们应用我们的存在性结果来更好地计算第二作者在[Omega-Powers and描述集合论，Journal of Symbolic Logic，Volume 70（4），2005，p. 1210-1232]中考虑的一些字典集的拓扑复杂度。
2009-08-04 cs.CC cs.LO math.LO
Codings of separable compact subsets of the first Baire class
设$X$是波兰空间，$K$是$X$上第一Baire类的可分紧子集.对于$\kk$中的每个序列$\bs$稠密，分析了集合\[ \lbf=\{L\in[\nn]: (f_n)_{n\in L} \text{is pointwise convergent}\} \]的描述性集合论性质.证明了如果$K$不是第一可数的，则$\lbf$是$\PB^1_1$ -完全的.即使$K$是一个次数至多为2的预度量紧，在S的意义下，这也可能发生。托多尔切维奇然而，如果$K$的次数正好是2，则$\lbf$总是Borel。G. Debs暗示$\lbf$包含Borel共尾集，这给出了$\kk$的树表示。我们证明了Baire-1函数的经典序数赋值实际上是$\kk$上的$\PB^1_1$ -秩.我们还提供了一个例子，$[\nn]$的$\SB^1_1$拉姆齐空子集$A$，对于它不存在一个Borel集$B\supseteq A$，使得差$B\setminus A$是拉姆齐空的。
2008-05-14 math.GN math.LO
Turbulence, orbit equivalence, and the classification of nuclear C*-algebras
本文给出了核单可分C* 代数-代数同构关系的Borel基数的界：它是动荡的，但Borel可约化为Cuntz代数O_2的自同构群在其闭子集上的作用.对可度量化的Choquet单形的仿射同胚也得到了同样的界。作为一个副产品，我们恢复Kechris和Solecki的结果，即，在希尔伯特立方体的同胚的Recta是Borel可约化的波兰群作用。这些结果与核单C* 代数-代数的K-理论和迹的分类理论密切相关。为了进一步研究C* 代数-代数的Borel复杂性，证明了许多标准的C* 代数-代数的构造和关系都是Borel的，并证明了Kirchberg的O_2-稳定性和嵌入定理的Borel版本。我们还找到了K_σ硬等价关系的C*-代数证明.
2012-04-23 math.LO math.OA
