局部熵理论与描述复杂性
Local entropy theory and descriptive complexity
AI总结：
本文从描述集合论角度研究完全正熵动力系统的描述复杂性，证明一般紧空间上CPE系统族是完全共解析而非Borel的，并揭示混合性与伪轨跟踪性质下CPE与一致正熵的异同关系。
摘要：
我们从描述集合论的角度研究局部熵理论，特别是具有完全正熵（CPE）的性质。我们旨在确定具有CPE的不同动力系统族的描述复杂性。对于一大类紧空间$X$，我们证明$X$上具有CPE的动力系统族是完全共解析的，因此不是Borel的。当我们将注意力限制在具有特殊性质（如混合性质或伪轨跟踪性质）的动力系统上时，我们得到了一些对比鲜明的行为。特别地，对于拓扑图上的混合映射，CPE的概念与一致正熵（一个Borel性质）的概念是一致的。另一方面，康托空间上的混合映射类是共解析的且不是Borel的。对于具有伪轨跟踪性质的动力系统，无论相空间如何，CPE和一致正熵的概念都是一致的。
英文摘要：
We investigate local entropy theory, particularly the property of having completely positive entropy (CPE), from a descriptive set-theoretic point of view. We aim to determine descriptive complexity of different families of dynamical systems with CPE. For a large class of compact $X$, we show that the family of dynamical systems on $X$ with CPE is complete coanalytic and hence not Borel. When we restrict our attention to dynamical systems having special properties such as the mixing property or the shadowing property, we obtain some contrasting behavior. In particular, the notion of CPE and the notion of uniform positive entropy, a Borel property, coincide for mixing maps on topological graphs. On the other hand, the class of mixing map on the Cantor space is coanalytic and not Borel. For dynamical systems with the shadowing property, the notions CPE and uniform positive entropy coincide regardless of the phase space.
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