Local Problems on Grids from the Perspective of Distributed Algorithms, Finitary Factors, and Descriptive Combinatorics
本研究建立了分布式局部算法、独立同分布过程有限因子与描述性组合数学三个领域的关联，通过研究网格图局部可校验标注，证明有限因子领域的时间层次定理，解答了相关开放问题，推动了统一局部性理论的构建。
2023-07-25 cs.DS math.CO math.LO
Borel chain conditions of Borel posets
本文在描述性组合学中研究Borel偏序集的链条件分类，证明了存在与经典情形类似但不同于其他Borel组合学对应物的链条件层级。
2023-06-01 math.CO math.LO
Existence proofs in combinatorics using independence
这张便条是俄文的，纯属临时性质。我们将展示如何证明有趣的组合结果使用本地Lovasz引理。该说明是访问的学生有基本知识的组合;独立的概念是定义和洛瓦兹引理的陈述和证明。我们的论述遵循N.艾伦和J.斯宾塞。主要的区别在于，我们展示了证明是如何被发明的。材料是作为一系列的问题，这是特有的不仅禅宗寺院，而且先进的数学教育;大多数问题都提出了提示或解决方案。
2015-01-23 math.CO math.HO
Borel Combinatorics of Locally Finite Graphs
我们提供了一个温和的介绍，针对非专家，波莱尔组合学，研究可定义的图形上的拓扑空间。这是一个新兴的领域之间的边界组合学和描述集合论与许多其他领域的深刻联系。在给出一些背景材料后，我们仔细详细地介绍了一些基本的工具和结果的存在Borel满意的分配：Borel版本的贪婪算法和增广程序，局部规则，Borel横截，等。此外，我们提出了建设安德鲁马克的无环Borel图的贪婪界$Δ+1$上的Borel色数是最好的可能。在其余的文件，我们简要讨论了各种主题，如关系，以tagraphs算法，可衡量的版本霍尔的婚姻定理和Lovász局部引理，应用equidecomposability等。
2021-01-17 math.CO math.LO
The Lovász-Cherkassky theorem in infinite graphs
本文在无限图背景下，将Lovász-Cherkassky定理推广到“内欧拉”设置中边不相交$ T $-路径的打包问题，延续Erdős-Menger猜想的无限推广思路。
2023-11-11 math.CO
The Mathematics of László Lovász
这是一个博览会的贡献拉斯洛Lovász数学和计算机科学书面之际，授予阿贝尔奖~2021年给他。当然，我们的调查不可能详尽无遗。我们勾勒出了解决了众所周知的开放和重要问题的显着成果，并且对后续研究的发展产生了持久的影响，甚至开始了全新的理论。虽然离散数学是什么人可以称之为洛瓦什家的地盘，他的利益，从一开始他的学术生涯，更广泛。他运用了代数、几何、拓扑、分析、随机学、统计物理、优化和复杂性理论，为组合学的爆炸性增长做出了重大贡献;但他也将组合技术出口到许多其他领域，从而在数学和计算机科学的几个分支之间建立了持久的桥梁。主题，如计算凸性或拓扑组合，例如，不会存在没有他的基本成果。我们还简要地提到他的实质性影响的各种发展应用数学，如优化现实世界的应用和密码学。
2023-03-15 cs.CC cs.DM math.CO
Short proofs for generalizations of the Lovász Local Lemma: Shearer's condition and cluster expansion
洛瓦兹局部引理是概率组合学中的一个开创性结果。它给出了一个概率空间上的充分条件和一个事件集合，使得同时避免所有这些事件的结果存在。多年来，人们发现了更一般的条件，在这些条件下引理的结论继续成立。在本说明中，我们提供了两个更一般的结果：希勒引理和集群扩张引理，在其“不平衡”的形式简短的证明。我们的结论是使用集群扩展引理证明的对称形式的本地引理持有概率界的$1/ed$，而不是由传统的证明所需的界$1/e(d+1)$。
2017-11-18 math.CO
Probabilistic constructions in continuous combinatorics and a bridge to distributed algorithms
概率方法是一种证明组合存在结果的技术，通过显示随机选择的对象具有正概率的期望属性。一个特别强大的概率工具是Lovász局部引理（简称LLL），它是由埃尔德什和Lovász在20世纪70年代中期提出的。在这里，我们开发了一个版本的LLL，可以用来证明连续着色的存在。然后，我们给出了几个应用程序在Borel和拓扑动力学。* Seward和Tucker-Drob证明了可数群$Γ$的每一个自由Borel作用$Γ\curvearrowright X$允许一个等变Borel映射$π\colon X \to Y$到一个自由子移位$Y \subset 2^Γ$。我们给出了这个结果的一个新的简单证明。* 证明了对于可数群$Γ$，$\mathrm{Free}(2^Γ)$在Elek意义下弱包含于$Γ$在零维波兰空间上的每个自由连续作用中.这一事实类似于阿贝尔特和韦斯定理的概率测度保持行动，并有一些后果，在连续组合。特别地，我们推导出一个着色问题承认一个连续的解决方案在$\mathrm{Free}(2^Γ)$当且仅当它可以解决的有限子图的凯莱图的$Γ$的有效的确定性分布式算法（这一事实也证明了独立和使用不同的方法由Seward）。这在连续组合学和分布式计算中独立研究的问题之间建立了正式的对应关系。
2022-02-06 cs.DC math.CO math.DS
An Algorithmic Proof of the Lovasz Local Lemma via Resampling Oracles
洛瓦兹局部引理是概率组合学中的一个开创性结果。它给出了概率空间和事件集合上存在同时避免所有这些事件的结果的充分条件。通过有效的算法找到这样的结果几十年来一直是一个活跃的研究课题。Moser和Tardos（2009）的突破性工作提出了一种有效的算法，用于主要由概率空间上的乘积结构表征的一般设置。在这项工作中，我们提出了一个更一般的设置有效的算法。我们的主要假设是，存在某些功能，称为reschoracles，可以调用来解决不希望发生的事件。我们表明，在所有的情况下，原来的Lovasz本地引理适用，存在resciloracles，虽然他们不一定是有效的。尽管如此，基本上所有已知的应用程序的Lovasz局部引理及其推广，我们已经设计了有效的reschoracles。作为这些技巧的应用，我们给出了拉丁断面、彩虹匹配和彩虹生成树的填充的新结果。
2015-11-17 cs.DS math.CO
The repulsive lattice gas, the independent-set polynomial, and the Lovász local lemma
阐明了平衡统计力学中的排斥性格子气与概率组合学中的Lovasz局部引理之间的密切联系。证明了Lovasz局部引理的结论对依赖图G和概率{p_x}成立当且仅当G的独立集多项式在半径多圆盘{p_x}中不为零.此外，我们表明，通常的证明Lovasz本地引理-这提供了一个充分条件，这发生-对应于一个简单的归纳参数的非零的独立集多项式的polydisc，这是发现隐含的希勒和明确的Dobrushin。我们还提出了一些改进和扩展的两个参数，包括一个推广的Lovasz局部引理，允许“软”依赖。此外，我们证明了一些一般性质的排斥性格子气的配分函数，其中大部分是后果的交替符号性质的迈耶系数。最后，我们简要讨论了可数无限图上的排斥性格子气。
2004-09-16 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
The Lovász Local Lemma: Foundations and Applications
本文系统介绍Lovász局部引理（LLL）及其强化版本，基于无条件概率不等式给出证明，并展示在组合学与图论中的经典应用，包括边不交路径、可满足性、Ramsey数下界等，同时介绍Moser-Tardos算法框架、熵压缩原理、偏斜LLL及簇展开引理。
2026-06-12 math.CO math.PR
Unified bounds for the independence number of graphs
本文利用图矩阵的广义逆与特征值提出独立集及独立数的新界，统一 Lovász theta、Schrijver theta 与 Hoffman 型界，并给出达到条件及判定最大独立集、Shannon 容量等的结构与谱条件。
2024-05-06 math.CO
A local lemma via entropy compression
在组合学中的概率方法的框架内，我们重新审视熵压缩方法，澄清它可以应用的设置，并提供一个定理，产生一个一般的建设性标准。我们最后阐明，通过局部的例子，熵压缩标准的有效性相比，Lovasz局部引理标准，特别是与改进的标准的基础上集群扩展。
2019-12-11 math.CO
Normality, factoriality and strong $F$-regularity of Lovász-Saks-Schrijver rings
本文研究了Lovász-Saks-Schrijver环R_G(d)的代数性质，建立了其正规性、唯一分解性与强F-正则性同图G组合不变量（正匹配分解数pmd(G)与退化数k(G)）之间的联系，并给出了d的阈值条件以保证相应的代数性质。
2024-05-30 math.AC math.CO
On Hamilton cycles in graphs defined by intersecting set systems
本文综述了Lovász关于连通顶点传递图哈密顿圈猜想的解决，聚焦于相交集合系统定义的图，概述了证明中的多种关键要素。
2023-11-14 math.CO
Measurable versions of the Lovász Local Lemma and measurable graph colorings
在本文中，我们调查在何种程度上的Lovász局部引理（概率组合学的一个重要工具）可以适用于可测量的设置。在大多数应用中，洛瓦兹局部引理被用来产生一个具有某些性质的函数$f \colon X \to Y$，其中$X$是一些基本的组合结构，而$Y$是一个（通常是有限的）集合。对于$X$上的某个概率Borel测度$μ$，这个函数$f$可以被选择为Borel或$μ$ -可测的吗（假设$X$是标准Borel空间）？在积极的方向，我们证明，如果一组的约束$f$是，在一定意义上，“局部有限”，那么总是有一个博雷尔选择$f$是“$\varepsilon$ -接近”满足这些约束，任何$\varepsilon > 0$。此外，如果$X$上的组合结构是由可数群$Γ$的$[0;1]$ -移位作用“诱导”的，则即使没有任何局部有限性假设，也存在$f$的Borel选择，其满足不变卷积集上的约束（即，用$\varepsilon = 0$）。我们的结果的一个直接推论是一个上界的可测色数的图形$G_n$所产生的移动行动的自由组$\mathbb{F}_n$是渐近紧的一个因素，最多$2$（这回答了一个问题的里昂和Nazarov）。另一方面，我们对于由保测度群作用诱导的结构的结果至少对于顺从群来说在以下意义上是尖锐的：可数无限顺从群的概率保测度作用满足Lovász局部引理的可测版本当且仅当它允许$[0;1]$ -移位作用…
2019-06-11 math.CO math.DS math.LO
Invitation to Local Algorithms
本文系统介绍分布式局部算法领域，汇集最新成果以构建清晰理论，并探讨其与并行、分布式、亚线性算法及描述组合学的广泛联系。
2024-11-21 cs.DC cs.DS math.CO
Parallel algorithms and concentration bounds for the Lovasz Local Lemma via witness DAGs
本文提出一种基于见证DAG的并行LLL算法，在相同条件下仅用一次MIS计算，将运行时间降至$O(\log^2 n)$，并给出重采样算法的更紧运行时间界。
2017-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
Comparison of two convergence criteria for the variable-assignment Lopsided Lovasz Local Lemma
本文比较了变量分配型 Lopsided Lovasz 局部引理的两种收敛准则，证明 Harris 准则在某些情况下强于 Shearer 准则，并构造了满足 Harris 准则但违反 Shearer 准则的 k-SAT 公式，揭示了两者界之间的指数差距。
2022-08-26 cs.DM math.CO math.PR
On Baire Measurable Colorings of Group Actions
描述组合学领域研究的问题，在何种程度上可以使经典的组合结果和技术的拓扑或测量理论上表现良好？研究了Polish空间上可数群作用诱导的一类染色问题，要求所需的染色是Baire可测的.我们表明，所有这样的着色问题，承认一个贝尔可测的解决方案，一个特定的自由行动$α$是完全解析（除了平凡的情况下，当轨道等价关系诱导$α$是光滑的comeager集），这一结果证实了“硬度”找到一个拓扑良好的着色。当$α$是移动行动，我们的特点是一类问题，其中$α$有一个Baire可测着色纯组合方面，事实证明，密切相关的概念已经研究了图论中没有关系的描述集合论。我们注意到，我们的框架允许一个完整的动力学解释（对应于等变映射到一个给定的子移位的着色），所以这篇文章也可以被看作是对通用动力学的贡献。
2020-01-03 math.CO math.DS math.GN
A Short Proof of Bernoulli Disjointness via the Local Lemma
最近，Reynner，Tsankov，Weiss和Zucker证明了，如果$Γ$是一个无限离散群，那么每个极小$Γ$ -流都与Bernoulli移位$2^Γ$不相交。他们的证明有些复杂;特别是，它对不同类别的群引用了单独的论证。在本文中，我们使用适用于所有群的纯组合方法给出了他们的结果的一个简短而完备的证明。我们的证明依赖于Lovász局部引理，这是概率组合学中的一个重要工具，最近在动力系统的研究中发现了一些应用。
2020-04-27 math.CO math.DS
New Canonical Decomposition in Matching Theory
在匹配理论中，组合数学最基本和最经典的分支之一，图的{ \em规范分解}是形成该理论基础的强大且通用的工具。然而，已知的规范分解，即{ \em Dulmage-Mendelsohn}、{ \em Kotzig-Lovász}和{ \em Gallai-Edmonds}分解的能力是有限的，因为它们仅适用于特定类别的图，例如二部图，或者它们太稀疏而不能提供足够的信息。为了克服这些限制，我们引入了一个新的典型分解，适用于所有的图，并提供更精细的信息。我们专注于{ \em factor-components}的概念作为一个图的基本构建块，通过因子组件，我们的新的规范分解状态图是如何组织的，以及它如何包含所有的最大匹配。构成我们新理论的主要结果如下：（i）一个关于因子成分集的规范偏序，它描述了一个图是如何由它的因子成分构成的;（ii）Kotzig-Lovász分解的一个推广，它显示了在整个图的上下文中每个因子成分的内部结构;和（iii）一个正则描述的相互关系（i）和（ii），它集成了这两个结果到一个统一的理论的一个典型的分解。这些结果是在一个自包含的方式，和我们的广义Kotzig-Lovász分解的证明包含了一个缩短和自包含的证明的经典对应。
2017-08-03 math.CO
A topological proof of the Hell-Nešetřil dichotomy
该研究结合拓扑组合学与约束满足问题的代数方法，基于Lovász的思路给出了图同态问题二分性结论Hell-Nešetřil定理的全新证明。
2025-01-10 cs.CC math.AT math.CO
Borel Local Lemma: arbitrary random variables and limited exponential growth
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Fudan University（复旦大学）
针对Lovász局部引理的Borel版本，提出一种替代证明方法，允许底层随机变量为连续值，并适用于有限指数增长的依赖图。
2026-05-27 math.CO math.LO math.PR
On Homomorphism Graphs
该研究引入有界度无环Borel图新示例，用推广的确定性方法研究其组合性质，统一了领域既有成果并得出新结论，证明Δ>2时相关无环正则Borel图无法简单刻画，体现Brooks型定理在Borel语境下的强失效性。
2024-04-29 cs.DC math.CO math.LO
The Local Action Lemma
Lovász局部引理是概率组合学中一个非常强大的工具，经常被用来证明满足某些约束的组合对象的存在性。Moser和Tardos已经证明，LLL给出的不仅仅是纯粹的存在结果：存在一个有效的随机算法，可以用来找到一个想要的对象。为了分析这种算法，Moser和Tardos开发了所谓的熵压缩方法。事实证明，人们可以通过直接应用熵压缩方法而不是简单地诉诸LLL来获得更好的组合结果。我们提供了一个一般性的声明，这意味着这些新的结果和LLL本身。
2015-03-17 math.CO math.PR
Removable edges in cubic matching covered graphs
本文研究三次匹配覆盖图中可移除边的存在性，证明除 $K_4$ 和 $\overline{C_6}$ 外的每个三次砖块都含有一个大小至少为 $|V(G)|/8$ 的匹配，且其中每条边均可移除。
2024-01-13 math.CO
Lopsidependency in the Moser-Tardos framework: Beyond the Lopsided Lovasz Local Lemma
本文为Moser-Tardos算法提出一个强于偏倚Lovász局部引理的新收敛判据，改进k-SAT可满足性界，并引入新的并行算法，覆盖顺序算法适用的大多数场景。
2016-12-01 cs.DM cs.DS math.CO
Building Large Free Subshifts Using the Local Lemma
Gao，Jackson，and Seward证明了每个可数无限群$Γ$允许一个非空自由子移位$X \subseteq 2^Γ$。在这里，我们加强了这一结果表明，自由subshift可以在各种意义上的“大”。具体地说，我们证明了，对于任何$k \geqslant 2$和$h < \log_2 k$，存在一个自由子移位$X \subseteq k^Γ$的豪斯多夫维数，如果$Γ$是sofic，熵至少$h$，回答了两个问题归因于高，杰克逊和苏厄德胡安索托。此外，我们建立了一个一般的下界的最大“大小”的自由子移位$X'$内包含一个给定的子移位$X$。在我们的论证中，洛瓦茨局部引理发挥了核心作用，洛瓦茨局部引理是概率组合学中的一个重要工具，它与寻找自由子移位问题的相关性首先由奥布伦、巴别里和阿加塞认识到。
2019-02-15 math.CO math.DS
Borel versions of the Local Lemma and LOCAL algorithms for graphs of finite asymptotic separation index
本文在有限渐近分离指数假设下证明了 Lovász 局部引理的 Borel 版本，并由此得出可由高效随机分布式算法求解的局部可检查标记问题在此类有界度 Borel 图上存在 Borel 解，进而推导出 Brooks 定理的 Borel 版本等推论。
2025-03-07 cs.DC math.CO math.LO
$θ$-free matching covered graphs: characterization and consequences
IIT Bombay（印度理工学院孟买分校）；IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
利用Edmonds、Lovász和Pulleyblank的经典结果，给出了$\theta$-自由匹配覆盖图的结构刻画，证明其边数不超过$2n-2$，并解决了Paffian识别和3-边可着色性判定问题在多项式时间内可解。
2026-06-16 cs.DM math.CO
Chromatic numbers, morphism complexes, and Stiefel-Whitney characteristic classes
组合数学，特别是图论，有着丰富的历史，是其他数学领域工具的成功应用领域，包括拓扑方法。在这里，我们调查的研究Hom-复合物，以及这些方法可以用来获得下界的图的色数，在最近的一系列文件\cite{BK03a,BK03b,BK03c,CK1,CK2,K4,K5}。结构理论在历史背景下得到了发展，最终证明了Lovász猜想，可以表述如下：对于图G，使得复Hom（C_{2r+1}，G）是k-连通的，对于某些整数r>0和k>-2，我们有χ（G）>k+3。除了在这一领域中更常见的上同调群之外，所涉及的代数拓扑概念是谱序列和Stiefel-Whitney特征类。对于首次出现在本调查中的所有新结果，都提供了完整的证明。
2005-12-06 math.AT math.CO
Large-scale geometry of Borel graphs of polynomial growth
从渐近几何与描述集合论角度研究多项式增长Borel图，通过构造粗嵌入证明$\mathbb Z^n$自由Borel作用的普适性，解决了超有限性与toast结构等问题。
2025-04-07 math.CO math.LO math.MG
A Unified View of Graph Regularity via Matrix Decompositions
本文通过抽象矩阵分解定义了切割伪随机图，证明了其弱正则性与Szemerédi正则性引理，统一了多种稀疏图类，并为MAX-CUT等问题扩展了新的PTAS。
2025-05-29 cs.DS math.CO
Sparse graph counting and Kelley-Meka bounds for binary systems
本研究扩展Kelley-Meka的结果，为二元线性形式系统定义的线性模式建立强界，提出稀疏图有效的图计数引理，并将其应用于阿贝尔Cayley和图的Turán问题，得到边数上界。
2025-02-11 math.CO
Whitney's 2-isomorphism theorem for graphings
University of North Carolina, Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）
本文证明了图形在可测意义下的惠特尼定理，引入了弱同构的概念，并展示了无限端点图形的弱同构性与同构性的关系，发展了最近由Lovász发起的极限理论。
2026-09-30 math.CO
The Mean-Field Approximation: Information Inequalities, Algorithms, and Complexity
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
伊辛模型的平均场近似是一种正则变分工具，用于伊辛模型的分析和推断。本文给出了一般图上Ising模型平均场近似的KL误差的一个简单的最优界，并将其推广到高阶马尔可夫随机场。我们的界限改善以前的界限在工作中获得的图极限文献Borgs，Chayes，Lovász，Sós和Vesztergombi和另一个最近的工作Basak和Mukherjee。我们的界紧到低阶项。建立在用于证明界的方法，以及组合数学和优化技术，我们研究了估计伊辛模型和一般马尔可夫随机场的（变分）自由能的算法问题。对于$n$顶点上的图$G$和具有Frobenius范数$\| J \|_F$的交互矩阵$J$，我们提供了在$εn \|J\|_F$随时间的加性误差内逼近自由能的算法$\exp(poly(1/ε))$。我们还证明了对于每个$δ> 0$，在$(n \|J\|_F)^{1-δ}$内的逼近都是NP难的.最后，我们提供了更有效的近似算法，找到最佳的平均场近似，铁磁伊辛模型和伊辛模型满足Dobrushin的条件。
2018-02-20 cond-mat.stat-mech cs.LG math-ph
Logarithmic Weisfeiler--Leman and Treewidth
本文证明了 $(3k+4)$ 维 Weisfeiler--Leman 算法能在 $O(\log n)$ 轮内识别树宽为 $k$ 的图，改进了先前维度要求，并基于与逻辑 $\textsf{FO} + \textsf{C}$ 的等价性提升了该类图的描述复杂性。
2024-04-24 cs.CC cs.DS cs.LO
The Local Cut Lemma
Lovász局部引理是概率组合学中一个非常强大的工具，经常被用来证明满足某些约束的组合对象的存在性。Moser和Tardos已经证明，LLL给出的不仅仅是纯粹的存在结果：存在一个有效的随机算法，可以用来找到一个想要的对象。为了分析这种算法，Moser和Tardos开发了所谓的熵压缩方法。事实证明，人们可以通过直接应用熵压缩方法而不是简单地诉诸LLL来获得更好的组合结果。本文的目的是提供一个推广的LLL这意味着这些新的组合结果。这个推广，我们称之为局部割引理，涉及有向图中具有某些性质的随机割。请注意，我们的结果有一个简短的概率证明，没有使用熵压缩。因此，它不仅表明了某个概率是正的，而且给出了这个概率的一个明确的下界。作为一个例子，我们提出了一个新的应用程序（改进的下界上的颜色临界超图的边数），以及解释如何使用局部割引理推导出一些先前使用熵压缩方法获得的结果。
2019-09-12 math.CO math.PR
