The Classical Weisfeiler-Leman Algorithm Stabilizes in $O(n)$ Rounds
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Saarland University (SIC)（萨尔兰大学）；TU Dresden（德累斯顿工业大学）
该论文证明经典 Weisfeiler-Leman 算法在 $5(n-1)$ 轮内终止，改进上界至 $O(n)$，并推广到 $k$ 维情形，获得更紧的迭代次数上界。
2026-09-16 cs.DM cs.DS cs.LO
Weisfeiler-Leman Invariant Promise Valued CSPs
在最近的一系列工作中，Butti和Dalmau证明了固定模板约束满足问题可以通过某种自然线性规划松弛（等价于基本线性规划松弛）来求解，当且仅当它在某种分布式网络上是可解的，并且当且仅当它的Yes实例集在Weisfeiler-Leman等价下是封闭的。我们将这一结果推广到更广泛的框架固定模板承诺值约束满足问题。此外，我们表明，两个常用的线性规划松弛不再是等价的，在这个更广泛的框架。
2022-05-10 cs.DM cs.DS
The Power of the Weisfeiler-Leman Algorithm for Machine Learning with Graphs
Polytechnique Montréal（蒙特利尔理工学院）；TU Dortmund University（多特蒙德工业大学）；University of Vienna（维也纳大学）
近年来，基于Weisfeiler-Leman算法的算法和神经架构，一个著名的启发式图同构问题，出现了一个强大的工具（监督）机器学习与图形和关系数据。在这里，我们全面概述了该算法在机器学习环境中的使用。我们讨论的理论背景，展示如何使用它的监督图和节点分类，讨论最近的扩展，以及它的连接到神经架构。此外，我们还概述了当前的应用和未来的方向，以刺激研究。
2021-11-22 cs.AI cs.DS cs.LG
Cohomology in Constraint Satisfaction and Structure Isomorphism
约束满足和结构同构是计算机科学中研究最多的计算问题之一。虽然这两个问题都不被认为是在$\texttt{PTIME},$很多工作都做了$\texttt{PTIME}$近似这两个问题。两个这样的历史上重要的近似是$k$ -一致性算法CSP和$k$ -Weisfeiler-Leman算法SI，这两个都是基于传播局部部分解决方案。这些算法的局限性是众所周知的; $k$ -一致性可以精确地解决那些有界宽度的CSP，而$k$ -Weisfeiler-Leman只能区分在$C^k$中可定义的属性上不同的结构。在本文中，我们介绍了一种新的层理论方法CSP和SI及其近似。我们表明，这两个问题可以被视为决定存在的全球部分的预层，$\mathcal{H}_k(A,B)$和$\mathcal{I}_k(A,B)$和成功的$k$ -一致性和$k$ -Weisfeiler-Leman算法对应于某些有效地计算子预层的存在。此外，Abramsky和其他人在量子基础的工作的基础上，我们展示了如何使用Čech上同调在$\mathcal{H}_k(A,B)$和$\mathcal{I}_k(A,B)$检测障碍物的存在所需的全球部分，并获得新的有效的上同调算法扩展$k$ -一致性和$k$ -Weisfeiler-Leman。我们表明，上同调$k$ -一致性可以解决系统的方程在所有有限环和上同调Weisfeiler-Lema…
2022-06-30 cs.CC cs.DS cs.LO
On the Parallel Complexity of Group Isomorphism via Weisfeiler-Leman
本文利用常数维Weisfeiler-Leman算法改进群同构测试的并行复杂性上界，涵盖阿贝尔正规Hall子群、无阿贝尔正规子群及直积情形，并引入无计数WL结合有界非确定性获得新上界。
2025-09-07 cs.CC cs.DS cs.LO
Fractional homomorphism, Weisfeiler-Leman invariance, and the Sherali-Adams hierarchy for the Constraint Satisfaction Problem
给定一对图$\textbf{A}$和$\textbf{B}$，判定从$\textbf{A}$到$\textbf{B}$是否存在同态或同构的问题受到了广泛的关注.虽然图的同态是已知的NP-完全的，图的同构问题的复杂性还没有完全理解。图同构的一个著名的组合启发式是Weisfeiler-Leman测试及其高阶变体。另一方面，这两个问题可以重新制定为整数规划和各种LP方法可以应用于获得高质量的松弛，仍然可以有效地解决。我们研究所谓的分数松弛这些程序在更一般的情况下，$\textbf{A}$和$\textbf{B}$是不是图，但任意的关系结构。我们给出了Sherali-Adams族的组合特征，适用于同态问题的分数同构。附带地，我们还扩展了一些已知的结果，从图论中给出的关系结构的分数同构的概念的表征Weisfeiler-Leman测试，公平分区，并计数同态从树。其结果是，我们得到的家庭的CSP下关闭Weisfeiler-Leman不变性方面的多态性，以及由第一级的Sherali-Adams层次的可判定性的描述。
2021-07-07 cs.DM cs.DS
Compressing CFI Graphs and Lower Bounds for the Weisfeiler-Leman Refinements
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；University of Bremen（不来梅大学）；TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
研究提出了k维Weisfeiler-Leman算法的迭代次数下界，证明了其为Ω(n^{k/2})。
2025-01-27 cs.DM cs.DS cs.LO
Lovász Meets Weisfeiler and Leman
在本文中，我们将Lovász的一个美丽的理论与图同构问题的一个流行的启发式算法相关联，即颜色细化算法及其k维推广，称为Weisfeiler-Leman算法。本文证明了两个图G和H是不可区分的当且仅当对于所有的树T，从T到G的同态数Hom（T，G）等于H的同态数Hom（T，H）。存在一个自然的线性方程组，其非负整数解对应于两个图之间的同构。这个系统的非负实解称为分数同构，并且两个图是分数同构的当且仅当颜色细化算法不能区分它们（Tinhofer 1986，1991）。我们表明，如果我们下降的非负性约束，也就是说，如果我们寻找任意的真正的解决方案，那么一个解决方案的线性系统存在的当且仅当，对于所有的t，两个图有相同的长度-t行走的数量。我们提升树的结果，从树宽k，k维Weisfeiler-Leman算法，和我们的线性规划的水平k Sherali-Adams松弛图的同态数之间的等价。我们也得到了部分结果的图形有界路径宽度和解决方案，我们的系统，我们下降的非负性约束。我们的结果的一个后果是一个拟线性时间算法，以确定是否，对于两个给定的图G和H，有一棵树T与Hom（T，G）= Hom（T，H）。
2018-05-22 cs.DS math.CO
Canonizing Graphs of Bounded Rank-Width in Parallel via Weisfeiler--Leman
本文证明了计算有界秩宽图的规范标号属于 $\textsf{TC}^{2}$，通过扩展 Weisfeiler--Leman 算法并利用对数高度的秩分解，首次将有界秩宽图的同构测试纳入 $\textsf{NC}$ 复杂度类。
2024-04-24 cs.CC cs.DS cs.LO
Gradual Weisfeiler-Leman: Slow and Steady Wins the Race
University of Vienna（维也纳大学）
经典的Weisfeiler-Leman算法（又称颜色细化）是使用核和神经网络进行图学习的基础。该算法最初是为图同构测试而开发的，它迭代地细化顶点颜色。在许多数据集上，稳定着色在几次迭代之后达到，并且机器学习任务的最佳迭代次数通常甚至更低。这表明颜色发散得太快，定义的相似性太粗糙。我们概括了颜色细化的概念，并提出了一个逐步邻域细化的框架，它允许较慢的收敛到稳定的着色，从而提供了一个更细粒度的细化层次结构和顶点相似性。我们通过聚类顶点邻域来分配新的颜色，取代了原来的单射颜色分配函数。我们的方法是用来获得新的变种现有的图形内核和近似的图形编辑距离通过最佳分配顶点相似性。我们表明，在这两个任务中，我们的方法优于原来的颜色细化，只有一个温和的增加运行时间推进的最先进的。
2022-12-08 cs.DS cs.LG
Weisfeiler and Leman Go Infinite: Spectral and Combinatorial Pre-Colorings
Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
图的同构测试通常通过比较图的不变量来实现。在表达能力和计算效率之间提供良好折衷的两种流行替代方案是组合的（即，通过Weisfeiler-Leman（WL）检验获得）和谱不变量。虽然后者的确切功率仍然是一个悬而未决的问题，但当使用统一预着色的标准配置时，前者经常因其有限的功率而受到批评。这一缺陷阻碍了消息传递图神经网络（MPGNNs）的应用，其表达能力是由WL测试的上限。放松均匀预着色的假设，我们表明，可以无限地增加WL测试的表达能力。接下来，我们提出了一种基于光谱特征的高效预着色方法，可以证明它可以提高vanilla WL测试的表达能力。上述主张伴随着大量的合成和真实数据实验。复制我们实验的代码可以在https://github.com/TPFI22/Spectral-and-Combinatorial上找到。
2022-03-02 cs.DS cs.LG
Weisfeiler and Leman go sparse: Towards scalable higher-order graph embeddings
基于$1$维Weisfeiler-Leman算法的图核和相应的神经架构最近成为（监督）图学习的强大工具。然而，由于算法的纯局部性质，它们可能会错过给定数据中的基本模式，并且只能处理二元关系。$k$维Weisfeiler-Leman算法通过考虑在顶点集上定义的$k$元组来解决这个问题，并定义了这些顶点元组之间的邻接的适当概念。因此，它考虑了顶点之间的高阶交互。然而，它不能扩展，并且在机器学习设置中使用时可能会出现过拟合。因此，它仍然是一个重要的开放问题，设计基于WL的图学习方法，同时表达，可扩展，和非过拟合。在这里，我们提出了局部变量和相应的神经架构，它们考虑了原始邻域的子集，使它们更具可扩展性，并且不太容易过拟合。在区分非同构图的能力方面，我们的算法（之一）的表达能力严格高于原始算法。我们的实验研究证实，本地算法，内核和神经架构，导致大大减少计算时间，并防止过拟合。内核版本在广泛的基准数据集上建立了一个新的最先进的图分类，而神经版本在大规模分子回归任务上表现出良好的性能。
2020-10-19 cs.DM cs.DS stat.ML
Weisfeiler and Leman go Machine Learning: The Story so far
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Meta AI Research（Meta人工智能研究院）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；NVIDIA Research（英伟达研究院）；Helmholtz Zentrum München（慕尼黑亥姆霍兹中心）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；University of Vienna（维也纳大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Swiss Institute of Bioinformatics（瑞士生物信息学研究所）；Max Planck Institute of Biochemistry（马克斯·普朗克生物化学研究所）
本文全面综述了Weisfeiler–Leman算法在机器学习尤其是监督学习场景中的应用，涵盖理论背景、图与节点表示学习方法、近期扩展、与等变神经架构的关联，以及应用和未来方向。
2023-07-13 cs.DS cs.LG cs.NE
Weisfeiler--Leman and Graph Spectra
该研究探究图同谱性与k维Weisfeiler-Leman不可区分性的关联，证明单顶点个体化加1-WL涵盖标准图矩阵同谱性、解决相关开放问题，还构建图矩阵层级给出k-WL不可区分性的谱刻画，拓展了同态不可区分性的代数框架。
2023-06-19 cs.DM cs.DS math.CO
Count-Free Weisfeiler--Leman and Group Isomorphism
本文结合无计数 WL、有限非确定性与有限计数改进多类群同构测试复杂度，并证明 q 元无计数石子游戏无法区分 Abel 群，说明计数对多项式时间算法的必要性。
2024-01-22 cs.CC cs.DS cs.LO
The Iteration Number of the Weisfeiler-Leman Algorithm
该研究证明了k维Weisfeiler-Leman算法（k-WL）稳定迭代次数的新上下界，改进了平凡上界并扩展了k=2时的结果，还研究了维度与迭代次数的权衡及对逻辑量词秩的影响。
2023-05-27 cs.DM cs.DS cs.LO
Homomorphism Indistinguishability Beyond Graphs: Relational Weisfeiler--Leman and Hypertree Width
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；Postdoc Network Brandenburg Institute of Logic and Computation, TU Wien（维也纳技术学院勃兰登堡逻辑与计算博士后网络）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学电子工程与计算机科学学院）
研究为更高元数关系结构找类似魏斯费勒 - 莱曼算法的版本，开发\(k\) - RCR及分数版，证明其与结构同态计数关系，还开发\(k\) - HyperOWL，证明其与\(k\) - RCR表达能力相同且能高效计算迭代细化。
2026-11-05 cs.DS
Recent Advances on the Graph Isomorphism Problem
本文综述了图同构问题的最新研究进展。我们的主要重点将是Babai的准多项式时间同构测试和随后的发展，导致同构算法的设计与准多项式参数化的运行时间从$n^{\text{polylog}(k)}$，其中$k$是一个图形参数，如最大程度。第二个重点将是组合Weisfeiler-Leman算法。
2021-01-14 cs.DM cs.DS math.CO
Dvorak-Dell-Grohe-Rattan theorem via an asymptotic argument
本文用对WL标签排序和渐近论证的方法，为Weisfeiler-Leman测试区分图与树同态计数差异之间的等价性定理提供了一个新的简单证明。
2025-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
Canonisation and Definability for Graphs of Bounded Rank Width
本文证明维度为(3k+4)的Weisfeiler-Leman算法可完全判定秩宽至多为k的图同构，将运行时间从非初等改进为n^{O(k)}，并首次给出有界秩宽图的多项式时间规范化算法，同时证明带计数的定点逻辑在有界秩宽图类上刻画多项式时间。
2022-07-16 cs.DS cs.LO math.CO
An exponential lower bound for Individualization-Refinement algorithms for Graph Isomorphism
个性化细化范式提供了一个强大的工具箱来测试两个图的同构，事实上，目前最快的同构求解器的实现都遵循这种方法。虽然这些求解器在实践中是快速的，但从理论的角度来看，这些工具的最坏情况复杂度没有一般的下限。事实上，这是一个悬而未决的问题，是否个性化细化算法可以实现上界的运行时间类似的理论技术的基础上，一组理论的方法。在这项工作中，我们给出了一个否定的答案，这个问题，并构建了一个家庭的图形上的个性化细化范式的基础上的算法需要指数时间。相反，宫崎骏以前的建设，只适用于一个特定的实现中的个性化细化框架，我们的建设是免疫改变细胞选择器，或添加各种启发式不变的算法。此外，我们的图还提供指数下界的情况下，当$k$维Weisfeiler-Leman算法被用来取代标准的颜色细化算子和参数甚至工作时，整个自同构群的输入最初提供给算法。
2017-05-09 cs.CC cs.DS
Isomorphism Testing Parameterized by Genus and Beyond
本研究提出一种针对欧拉亏格$g$图的fpt同构测试算法，首次给出$g$的显式时间上界，还适用于排除$K_{3,h}$子式的图，通过引入$(t,k)$-WL有界图结合群论与Weisfeiler-Leman算法实现。
2023-10-02 cs.DM cs.DS math.CO
Robust Graph Isomorphism, Quadratic Assignment and VC Dimension
本文提出一种加权εn²近似算法，用于VC维为d的图编辑距离问题，同时扩展至二次分配问题，展示标准Weisfeiler--Leman算法在特定条件下解决图同构问题的能力。
2026-04-14 cs.DM cs.DS
On the Parallel Complexity of Identifying Groups and Quasigroups via Decompositions
College of Charleston（查尔斯顿学院）；University of Denver（丹佛大学）
本文研究了通过分解识别群和余群的并行复杂性，证明了特定群类的同构问题属于L，并展示了余群同构测试在NC中的结果。
2026-08-20 cs.CC cs.DS math.GR
