The List-Decoding Size of Reed-Muller Codes
本文研究了Reed-Muller码的列表译码长度。给定接收到的字和距离参数，我们感兴趣的是限制距离接收到的字在该距离内的Reed-Muller码字的列表的大小。Gopalan、Klivans和Zuckerman \cite{GKZ08}关于Reed-Muller码的链表长度的上界仅适用于码的最小距离。在这项工作中，我们为适用于{ \em all}距离的Reed-Muller码的列表解码大小提供了渐进界。此外，我们还研究了Reed-Muller码的重量分布。Kasami和Tokura \cite{KT70}关于Reed-Muller码字结构的先前结果达到最小距离的两倍，意味着代码的权重分布上的界限仅适用于最小距离的两倍。我们提供的Reed-Muller码，适用于{ \em所有}距离的重量分布的累积界限。
2008-11-14 cs.DM cs.IT math.IT
Asymptotic bounds for the sizes of constant dimension codes and an improved lower bound
研究了随机线性网络编码中常维码的长度关于子空间或注入距离的渐近上界和下界上界。在这方面，我们回顾已知的上界，并显示它们之间的关系。Etzion和Silberstein提出了所谓的链接构造的稍微改进的版本，其例如用于构造具有子空间距离$d=4$、对于所有字段大小$q$的码字的维度$k=3$和对于包含提升的MRD码的码的环境空间的足够大的维度$v$的恒定维度码。
2017-05-10 cs.IT math.CO math.IT
Optimal possibly nonlinear 3-PIR codes of small size
首先，我们陈述了PIR码的最小距离界的推广。然后，我们描述了线性PIR码的包装设计的结构，并使用它来构造一些新的5-PIR码。最后，我们表明，没有编码器（线性或非线性）的二进制$r$阶汉明码产生3-PIR码时，除了$r=2$。我们使用这些结果来确定一个二进制（可能是非线性的）3-PIR码的组合维度高达~6的最小长度。一个长度为11，大小为$2^7$的二进制3-PIR码必然是非线性的，我们提出了这样一个码的存在性作为一个开放的问题。
2022-08-30 cs.IT math.CO math.IT
On the Exact Lower Bounds of Encoding Circuit Sizes of Hamming Codes and Hadamard Codes
本文研究了汉明码和Hadamard码的编码电路尺寸。首先，我们证明了（删余）Hadamard码和（扩展）Hamming码的编码所需电路尺寸的精确下界。在此基础上，给出了实现该下界的删余Hadamard码的编码算法.对于（扩展）~汉明码，我们也提出了编码算法，实现了下界。
2020-01-12 cs.IT math.IT
The PBD-Closure of Constant-Composition Codes
我们展示了一个有趣的PBD-封闭的结果的长度的常数组成代码的距离和大小满足一定的条件。这个PBD封闭的结果的一个后果是，最佳的常数组成代码的大小可以确定为参数集的无限家庭从一个单一的例子的最佳代码。作为应用，导出了几个最优常复合码无限族的规模。特别地，确定具有距离4和权重3的最优恒定组成码的大小的问题对于足够大的所有长度都被解决。这个问题以前没有解决奇数长度，除了长度7和11。
2007-12-16 cs.DM cs.IT math.CO
A Construction of Maximally Recoverable Codes with Order-Optimal Field Size
我们构造了最大可恢复码（对应于部分MDS码），这是基于线性Reed-Solomon码。新的代码有一个较小的字段大小的要求相比，已知的结构。对于某些渐近制度，构造的代码顺序最优的字母表的大小，渐近匹配已知的下限。
2021-10-14 cs.IT math.IT
Group Divisible Codes and Their Application in the Construction of Optimal Constant-Composition Codes of Weight Three
本文引入了群可分码的概念，它是具有常数块长的群可分设计的推广。这类新的代码被证明是有用的递归结构的恒定重量和恒定组成的代码。大类的群可分码的构造，使确定的最佳常数组成代码的重量三（和指定的距离）的大小，只留下四种情况下待定。在此之前，重量为3的常成分码的大小仅为那些足够长的码所知。
2008-07-17 cs.DM cs.IT math.CO
On the size of maximal binary codes with 2, 3, and 4 distances
本文研究了具有少数距离的二元码和二元等重码的最大规模，确定了所有长度$n\ge 6$下具有两个距离的极大二元码的精确规模，以及多种权重和长度下具有2、3和4个距离的极大二元等重码的精确规模。
2022-10-14 cs.IT math.CO math.IT
Tighter List-Size Bounds for List-Decoding and Recovery of Folded Reed-Solomon and Multiplicity Codes
本文通过简化证明改进了折叠里德-所罗门码和重数码的列表解码列表大小界，优化了随机算法，并首次证明FRS码在小字母表上渐近达到大小为2的广义辛格尔顿界。
2023-12-28 cs.IT math.CO math.IT
Nearly MDS expander codes with reduced alphabet size
最近，Roth和Skachek提出了两种构造近最大距离可分（MDS）扩展码的方法。我们表明，通过简单的修改，使用混合字母表的代码来自MDS码的组成代码在他们的代码设计，可以获得近MDS码的显着较小的字母表大小，虽然在一个（非常轻微的）降低码率为代价。
2007-08-08 cs.IT math.IT
On the Maximum Size of Block Codes Subject to a Distance Criterion
建立了最小成对距离不小于$d$的有限长分组码的最大码长的一般公式。可实现性论点涉及一组半径- $d$球的迭代构造，每个球以一个码字为中心。我们证明，这样的球，覆盖整个代码字母表的数量不能超过这个最大尺寸。我们的方法可以适用于代码$i)$的元素在任意代码字母表，和$ii)$下的一个广泛的类的距离措施，从而确保我们的公式的通用性。我们的公式表明，最大的代码大小可以完全由两个独立和相同分布的随机码字的距离测度的累积分布函数来表征。当两个随机码字假设在整个代码字母表上均匀分布时，我们的公式恢复并获得Gilbert-Varshamov（GV）下界的自然推广。我们还建立了一个通用的公式的任何序列的信道的零错误容量。最后，我们将我们的研究扩展到渐近设置，在那里我们建立了一阶和二阶的渐近码率上界的归一化最小距离约束。
2018-05-02 cs.IT math.CO math.IT
A Bound on the Minimal Field Size of LRCs, and Cyclic MR Codes That Attain It
证明了局部可修码域大小的一个新下界。此外，我们还构造了循环的最大可恢复（MR）码。虽然MR码的已知构造具有相同的参数，但它产生非循环码。此外，我们证明了必要条件和充分条件，指定当已知的非循环MR码可以置换成为循环，从而证明我们的建设产生循环MR码与新的参数。此外，使用我们的新的界的字段大小，我们表明，新的循环MR码有最佳的字段大小在某些情况下。其他已知的LRC也被证明在某些情况下具有最佳的字段大小。
2022-08-22 cs.IT math.IT
Explicit Constructions and Bounds for Batch Codes with Restricted Size of Reconstruction Sets
研究了线性批处理码和查询长度为$t$、重构集长度为$r$的私有信息检索（PIR）码.通过提供相应的构造，对于小值的$t$或$r$，导出了这些码的参数上的新界限。基于Cadambe和Mazumdar的思想，本文给出了批处理码和PIR码的一个新的递归形式的上界。
2017-07-04 cs.IT math.IT
A bound on the size of linear codes
本文给出了线性码长度的一个界。这个界限独立于其他已知的界限，例如Griesmer界限。
2012-06-27 cs.IT math.IT
Minimizing the alphabet size of erasure codes with restricted decoding sets
通过编码函数$C:F^k \rightarrow F^n$定义字母表上的最大距离可分离码$F$，该编码函数允许即使在擦除其符号中的任何$n-k$之后也从码字$C(m)$检索消息$m \in F^k$。对于给定的参数$n$和$k$，一般（非线性）MDS码的最小可能字母表大小是未知的，并且形成编码理论中的中心开放问题之一。本文开始研究的字母表大小的代码在一个广义的设置，其中的编码方案是需要处理一个预先指定的子集的所有可能的擦除模式，自然表示的$n$ -顶点$k$ -均匀超图。我们与这种代码的最小可能的字母大小的超图的强色数和分析的紧密性所获得的界限的线性和非线性设置。我们进一步考虑的问题，允许一个小概率的解码错误的变化。
2020-05-14 cs.IT math.CO math.IT
On the Duality and File Size Hierarchy of Fractional Repetition Codes
部署纠删码的分布式存储系统可以提供更好的特性，例如更低的存储开销和更高的数据可靠性。分数重复（FR）码是一类具有非编码精确修复和最小修复带宽特性的存储码。我们研究了FR码的对偶性，并研究了FR码的支持文件大小与其对偶码之间的关系。基于建立的关系，我们得到了一个改进的对偶界的支持文件大小的FR码。我们进一步表明，FR码构造从$t$ -设计是最佳的存储文件的大小是足够大的。此外，我们提出了张量积技术相结合的FR代码，并阐述了文件大小的层次结构的结果代码。
2018-08-06 cs.IT math.IT
An upper bound on the size of a code with $s$ distances
针对长度为 $n$、具有 $s$ 个任意距离的二元码，本文给出其码字数的一般上界，并证明该界渐近最优。
2025-03-11 cs.IT math.CO math.IT
Bounds for Batch Codes with Restricted Query Size
我们提出了新的上界参数的批处理代码与有限的查询大小。这些界是对Singleton界的改进。推导这些界限的技术是基于文献中的想法与地方代码。通过采用额外的想法，我们得到了进一步的改进，这是特定的批处理代码。
2016-02-09 cs.IT math.IT
On the maximum size of variable-length non-overlapping codes
本文通过建立变长与定长非重叠码的联系，证明长度至多 n 的 q 元变长非重叠码规模以 C(n,q) 为上界，并给出码字平均长度下界及渐近结果。
2024-02-29 cs.IT math.CO math.IT
Explicit Rate-Optimal Streaming Codes with Smaller Field Size
流代码是一类分组级擦除代码，其确保在滑动窗口信道上的分组恢复，该滑动窗口信道允许在严格的解码延迟约束$τ$下在大小为$(τ+1)$时间单位的任何窗口内的大小为$b$或$a$的突发擦除随机擦除。流编码的字段大小是决定实现复杂度的一个重要因素。最公知的显式速率最优流传输代码需要$q^2$的字段大小，其中$q \ge τ+b-a$是素数幂。在这项工作中，我们提出了一个明确的速率最优流代码，所有可能的$\{a,b,τ\}$参数，在一个领域的大小$q^2$总理权力$q \ge τ$。这是覆盖所有$\{a,b,τ\}$参数集的一般显式速率最优构造的最小已知字段大小。我们通过修改Krishnan等人的非显式代码结构来实现这一点。使其显式，而不改变字段大小。
2021-05-10 cs.IT math.IT
Maximum $w$-cyclic holely group divisible packings with block size three and applications to optical orthogonal codes
本文研究了块大小为3的$w$ -循环空群可分填充（简称$3$ -HGDPs）的组合构造.对于具有$u\equiv0,1~(\bmod~3)$的任何正整数$u,v,w$，确定$(u,w^v)$类型的最大$w$ -循环$3$ -HGDP的基块的确切数目.该结果用于确定最大三维$(u\times v\times w,3,1)$光正交码中码字的确切数目，其中每个空间平面和每个波长平面至多有一个光脉冲。
2020-06-12 cs.IT math.CO math.IT
A New Method for Constructing Large Size WBE Codes with Low Complexity ML Decoder
本文介绍了一种由小尺寸Welch界相等码重构大尺寸Welch界相等码的方法。这些码的优点是将大尺寸码的ML解码器的实现简化为核心码的ML解码器的实现。这导致ML解码器的计算成本的急剧减少。我们的方法也可以用于构建大型二进制WBE（BWBE）码从较小的。此外，我们解释说，虽然WBE码是最大化的总和信道容量的输入时，是真正的价值，他们不一定是适当的输入字母是二进制。讨论表明，当输入字母为二进制时，码的总平方相关（TSC）不是一个合适的品质因数。
2009-03-07 cs.IT math.IT
A general family of MSRD codes and PMDS codes with smaller field sizes from extended Moore matrices
我们构造了六个新的显式线性最大秩和距离（MSRD）码族，其中每一个具有最小的字段大小在所有已知的MSRD码的一些参数制度。使用它们和作者以前的结果，我们提供了两个新的显式家庭的线性部分MDS（PMDS）码的字段大小比以前的PMDS码的一些参数制度。我们的方法是表征评价点，把扩展摩尔矩阵的线性MSRD码的奇偶校验矩阵。然后，我们产生这样的序列的代码具有良好的汉明度量参数。利用MDS码、Hamming码、BCH码和三种代数几何码，得到了六类新的具有更小域长的线性MSRD码。基于Hamming码的MSRD码具有最小秩和距离$ 3 $，满足Byrne等人最近提出的一个界。
2022-04-20 cs.IT math.AG math.IT
Generalized sphere-packing and sphere-covering bounds on the size of codes for combinatorial channels
编码理论的许多经典问题都是高度对称的，这使得很容易推导出码长的球填充上界和球覆盖下界。我们讨论了球填充和球覆盖界的推广到任意误差模型。当误差球的大小不均匀时，这些推广变得特别重要。最佳可能的球体填充和球体覆盖界限是线性规划的解。我们推导出一系列的边界从近似包装和覆盖问题，并研究它们之间的关系和权衡。我们比较球覆盖下界与其他图论下界，如图兰定理。我们展示了如何通过优化一个家庭的通道，承认相同的代码，以获得上界。我们提出了一个推广的Kulkarni和Kiyavash的局部度界，并用它来改善最知名的上界的大小单删除纠错码和单颗粒纠错码。
2015-06-11 cs.DM cs.IT math.IT
On symmetric and Hermitian rank distance codes
令$\cal M$表示元素在${\rm GF}(q)$中的$n \times n$对称矩阵的集合${\cal S}_{n, q}$或元素在${\rm GF}(q^2)$中的$n \times n$厄米特矩阵的集合${\cal H}_{n, q^2}$。则具有秩距离$d_r$的$\cal M$是度量空间。我们研究了$({\cal M}, d_r)$中的$d$ -码，并构造了其码长大于相应的加性上界的$d$ -码.在厄米特的情况下，我们证明了存在的$n$ -码的$\cal M$，$n$偶数和$n/2$奇数，大小为$\left(3q^{n}-q^{n/2}\right)/2$，和$2$ -码的大小为$q^6+ q(q-1)(q^4+q^2+1)/2$，为$n = 3$。在对称的情况下，如果$n$是奇数，或者如果$n$和$q$都是偶数，我们提供了更好的上界的$2$码的大小。在$n = 3$和$q>2$的情况下，显示大小为$q^4+q^3+1$的$2$代码。这提供了对称矩阵的$2$ -码的第一无限族，其大小大于最大可能的加性$2$ -码。
2020-11-13 cs.IT math.CO math.IT
Estimates on the Size of Symbol Weight Codes
在过去的十年里，电力线通信的代码的研究已经引起了很大的兴趣。多年来，已经提出了各种类型的码，例如置换码、频率置换阵列和恒定组成码。在这项工作中，我们研究了一种称为有界符号重量码的代码，这是由Versfeld等人在2005年首次提出的，以及一个相关的代码家族，我们称之为恒定符号重量码。我们提供了新的上限和下限的大小有界符号重量和恒定符号重量的代码。我们还给出了某些参数的码的直接和递归结构。
2012-08-28 cs.IT math.IT
Bounds on Size of Homopolymer Free Codes
本文利用 Sphere Packing 界和 Gilbert-Varshamov 界，推导了任意字母表下 Homopolymer Free 码及其各码族最大容量的上下界，并特例计算了 homopolymer free DNA 码的容量界。
2023-05-18 cs.IT math.IT
Linear Size Constant-Composition Codes Meeting the Johnson Bound
长度为$n$、距离为$d=2w-1$且组成为恒定的${\overline{w}}$的码的最大大小的约翰逊型上界是$\lfloor\dfrac{n}{w_1}\rfloor$，其中$w$是总权重，$w_1$是${\overline{w}}$的最大分量。最近，Chee等人证明了这个上界对于所有长度足够大的常数组合码都可以达到。令$N_{ccc}({\overline{w}})$为最小的此类长度。$N_{ccc}({\overline{w}})$的确定对于二进制码是很简单的。本文给出了$N_{ccc}({\overline{w}})$的一个下界，通过给出新的组合构造，证明了该下界对所有三进制和四进制码都是紧的.因此，我们通过精化方法确定了所有$q$元常复合码的$N_{ccc}({\overline{w}})$值，只要$3w_1\geq w$有有限个可能的例外。
2016-08-08 cs.IT math.CO math.IT
Universal Bounds for Size and Energy of Codes of Given Minimum and Maximum Distances
我们采用签署的措施，是正定到一定程度上建立Levenshtein型上界的基数的代码与给定的最小和最大距离，和普遍的下界的势能（绝对单调的相互作用）的代码与给定的最大距离和基数。码的距离分布，达到界的Levenshtein型求积公式的参数。我们的界限的最优性的必要条件和充分条件。进一步，我们得到了固定的最小和最大距离和基数的代码的能量上界。
2019-10-16 cs.IT math.CO math.IT
Improved Semidefinite Programming Bound on Sizes of Codes
令$A(n,d)$（分别为$A(n,d,w)$）为长度为$n$且最小汉明距离至少为$d$的二进制码（分别为二进制恒定权重$w$码）中码字的最大可能数目。通过对Hamming立方体的Terwilliger代数进行块对角化得到的Schrijver半定规划界增加新的线性约束，得到了$A(n,d)$的两个新的上界，即$A(18,8) \leq 71$和$A(19,8) \leq 131$ .用同样的方法得到了$n \leq 28$的$A(n,d,w)$的23个新的上界.
2012-12-14 cs.IT math.CO math.IT
Capacity-Achieving Private Information Retrieval Codes from MDS-Coded Databases with Minimum Message Size
我们考虑构建容量实现的线性代码与最小的消息大小的私人信息检索（PIR）从$N$非串通数据库，其中每个消息是使用最大距离可分离（MDS）代码编码，使它可以恢复访问任何$T$数据库的内容。它示出的最小消息大小（有时也被称为子分组因子）是显着的，事实上是指数，低于以前认为的。更准确地说，当$K>T/\textbf{gcd}(N,T)$，其中$K$是系统中的消息的总数和$\textbf{gcd}(\cdot,\cdot)$意味着最大公约数，我们建立，通过提供新的代码结构和匹配的逆，最小的消息大小为$\textbf{lcm}(N-T,T)$，其中$\textbf{lcm}(\cdot,\cdot)$意味着最小公倍数。另一方面，当$K$是小的，我们表明，它实际上是可能的设计代码的消息大小甚至小于$\textbf{lcm}(N-T,T)$。
2020-01-22 cs.IT math.IT
On the Construction of Polar Codes for Channels with Moderate Input Alphabet Sizes
当前用于构造极化码的确定性算法只能被认为对于具有小输入字母大小的信道是实用的。在本文中，我们表明，任何建设算法的渠道与中等的输入字母大小，遵循的范式“每个极化步骤后降解”将本质上是不切实际的，相对于一定的“硬”的底层信道。这一结果也揭示了为什么使用密度演进的LDPC码的构造对于具有中等大小的输入字母的信道是不切实际的。
2015-06-28 cs.IT math.IT
Ulam Sphere Size Analysis for Permutation and Multipermutation Codes Correcting Translocation Errors
已经建议将Ulam度量中的置换和多置换码用于非易失性存储器存储系统，诸如闪存设备。本文介绍了利用Young Table计算Ulam度量下置换球大小的一种新方法，并证明了Ulam度量下非平凡完美置换码的不存在性。然后，我们将研究扩展到多重置换，提供严格的上界和下界的多重置换乌拉姆球的大小和由此产生的上界和下界的最大尺寸的多重置换码的乌拉姆度量。
2019-01-08 cs.IT math.IT
List-decodable Codes for Single-deletion Single-substitution with List-size Two
本文给出了一个表长为2，冗余度为3logn +4的单删除单替换表可译码码的显式构造，其中n为码的块长.我们的构造比Gabrys等人（arXiv 2021）最著名的显式构造具有更低的冗余度，其冗余度为4log n+O（1）。
2022-01-26 cs.IT math.IT
Online Versus Offline Rate in Streaming Codes for Variable-Size Messages
实时恢复丢失的数据包是为实时通信提供高质量服务的一个普遍挑战。流代码是一类擦除代码，其被设计用于这种严格的、低延迟的流通信设置。受应用程序的启发，传输的消息，其大小随时间变化，如实时视频流，本文考虑了可变大小的消息下的流代码的设置。在实践中，流代码在“在线”设置中操作，其中未来消息的大小是未知的。相反，“离线”代码可以访问所有消息的大小，包括将来的消息。本文介绍了第一个在线的速率最优的流编码通信的突发只有两个广泛的参数制度的丢包信道。尽管离线设置具有明显的优势，但这两个在线代码与两种设置的最佳离线代码的比率相匹配。本文进一步建立了在线代码不能达到离线代码的所有剩余参数设置的最佳速率。
2023-02-27 cs.IT math.IT
Type Size Code for Compressing Erdös-Rényi Graphs
我们考虑通用的信源编码的无标号图，通常被称为图形结构。我们采用Erdös-Rényi模型来生成随机图结构。我们提出了一个变种，前面介绍的类型大小代码，类型类的特点是基于图形结构的边缘的数量。所提出的计划排序的图形结构的基础上，其类型类的大小，并分配二进制序列，他们在这个顺序。的$ε$编码率的类型大小代码（三阶项）压缩图形结构的推导。
2020-09-02 cs.IT math.IT
Non-Binary LDPC Codes with Large Alphabet Size
研究了输入端为${x}\in \mathbb{F}_q^m$，输出端为${y}={x}+{z}\in \mathbb{F}_q^m$的信道下的LDPC码。本文的目的是评估$q^m$元非二进制LDPC码在大$m$下的译码性能。给出了规则非二进制LDPC码和空间耦合（SC）码的密度演化和译码性能性能评估。我们表明，常规的代码没有达到的信道容量，而SC码。
2014-01-28 cs.IT math.IT
Bounds on the Size of Permutation Codes with the Kendall $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall $τ$ -度量.本文的主要目标是得到新的界限，这样的代码的大小。为了这个目的，我们也考虑完美的代码，直径完美的代码，和最佳的反码的大小在肯德尔$τ$度量，结构有自己的相当大的兴趣。本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们提出了最佳的反码奇直径的大小的下界。作为结果，我们得到了一个新的上限的代码的大小在$S_n$甚至最小的Kendall $τ$ -距离。我们提出了比$S_5$和$S_7$中已知的更大的单纠错码。
2022-05-02 cs.IT math.IT
Improved Linear Programming Bounds on Sizes of Constant-Weight Codes
令$A(n,d,w)$为$(n,d,w)$等重二进制码的最大可能大小。通过对Delsarte线性规划增加新的约束条件，得到了$n \leq 28$的$A(n,d,w)$的23个新的上界.所使用的技术使我们能够给出一个简单的证明的一个重要定理的Delsarte这使得线性规划可能的二进制代码。
2011-08-25 cs.IT math.IT
Minimizing the alphabet size in codes with restricted error sets
本文重点介绍了纠错码，可以处理一组预定义的特定错误模式。在包括无线通信和闪存系统的许多实际感兴趣的设置中出现了对这种代码的需要。在许多这样的设置中，可以实现比MDS和其他标准码所提供的更小的字段大小。我们建立了一个连接的最小字母表的大小为这个广义的设置和组合性质的超图，代表了预先指定的错误模式的集合。我们还显示了错误和纠删码在这个专门的设置之间的连接。这使我们能够建立界限上的最小字母表的大小，并显示出优势的非线性代码的线性代码在一个广义的设置。我们还考虑了一个变化的问题，它允许一个小概率的解码错误，并将其与超图着色的近似版本。
2021-02-04 cs.IT math.IT
Typical sumsets of linear codes
给定长度为$n$的$\mathbb F_q$上的两个相同的线性码$\mathcal C$，我们独立地从每个码本中随机均匀地挑选一个码字。$\textit{sumset}$是通过将这两个码字作为整数向量逐项相加而形成的，并且如果和以高概率落在该集合内，则和集合被称为$\textit{typical}$。我们问这样一个问题：对于大多数代码，典型的和集有多大？本文刻画了这类典型和集的渐近大小。我们表明，当率$R$的线性码是低于一定的阈值$D$，典型的和集的大小大致为$|\mathcal C|^2=2^{2nR}$的大多数代码，而当$R$是高于这个阈值，大多数代码有一个典型的和集的大小大致为$|\mathcal C|\cdot 2^{nD}=2^{n(R+D)}$由于代码的线性结构。阈值$D$仅取决于字母表大小$q$，并取$[1/2, \log \sqrt{e})$的值。更一般地，我们完全刻画了两个嵌套线性码$\mathcal C_1, \mathcal C_2$的典型和集的渐近大小不同的利率。作为结果的应用，我们研究了两个码字的整数和通过一般两用户多址信道解码的通信问题。
2016-07-04 cs.IT math.CO math.IT
Cross-Bifix-Free Codes Within a Constant Factor of Optimality
无交叉双缀码是一组单词，其中任何单词的任何长度的前缀都不是该组中任何单词的后缀。无交叉双缀码是在研究分布式帧同步序列时产生的。我们提供了一种新的无交叉bifix码的构造，它将Bajic（2007）中的构造推广到更长的码长和任何字母大小。的代码被证明是接近最佳的大小。我们还建立了新的结果Fibonacci序列，用于估计的大小的交叉bifix自由码。
2013-03-11 cs.IT math.CO math.IT
Necessary Field Size and Probability for MDP and Complete MDP Convolutional Codes
已经表明，当在擦除信道上传输时，最大距离轮廓（MDP）卷积码对于特定长度的窗口具有最佳恢复率。此外，完全MDP卷积码的子类具有减少解码期间的等待时间的能力。在本文中，我们推导出上界的必要字段的大小存在的MDP和完整的MDP卷积码，并表明，这些边界改善了现有的。此外，我们推导出一个随机码是MDP各自的完整MDP的概率的下界。
2018-08-09 cs.IT math.IT
Staggered Diagonal Embedding Based Linear Field Size Streaming Codes
$(a,b,τ)$流代码是分组级擦除代码，其可以在$τ$时间单位的严格延迟约束下从在持续时间$w$的滑动窗口内发生的$b$擦除的突发或$a$随机擦除的突发中恢复。虽然这种流编码的速率最优构造可用于文献中的所有参数$\{a,b,τ,w\}$，但在大多数情况下，它们需要二次的$O(τ^2)$字段大小。在这项工作中，我们取得了进一步的进展领域的大小减少和目前的速率最佳的$O(τ)$字段大小流代码的两个制度：（一）$gcd(b,τ+1-a)\ge a$（二）$τ+1 \ge a+b$和$b \mod \ a \in \{0,a-1\}$。
2020-05-14 cs.IT math.IT
A subspace code of size $333$ in the setting of a binary $q$-analog of the Fano plane
我们证明了在环境维度7中存在一个常数维度3的二进制子空间码，具有最小距离4和基数333，即，$333 \le A_2(7,4;3)$，它改进了以前最好的已知下界329。此外，如果具有这些参数的码具有至少333个元素，则其自同构群在$31$共轭类中的一个中。这是通过一个更一般的技术，在一个有限群，不依赖于枚举的所有子群的穷举搜索。
2019-03-22 cs.IT math.CO math.IT
Optimal Coding for the Erasure Channel with Arbitrary Alphabet Size
研究了具有固定字母长度$q$的擦除信道，其中$q \gg 1$。本文证明了在任意删除信道（有记忆或无记忆）上，最大距离可分（MDS）码都能达到最小的错误概率（假设最大似然译码）。在无记忆擦除信道下，将MDS码的误码指数与随机码和线性随机码的误码指数进行了比较。结果表明，所有这些指数的包络是相同的速率以上的临界速率。注意到MDS码的最优性，它的结论是随机码和线性随机码是指数最优的，无论是块大小大于或小于字母表的大小。
2008-06-06 cs.IT math.IT
On maximal almost balanced non-overlapping codes and non-overlapping codes with restricted run-lengths
本文研究满足极性平衡和受限游程长度两类额外约束的非重叠码，推导了不可扩展性条件、尺寸界及小参数下的精确值，并给出同时满足两种约束的构造方法。
2024-10-24 cs.IT math.CO math.IT
Codes with Combined Locality and Regeneration Having Optimal Rate, $d_{\text{min}}$ and Linear Field Size
本文研究了具有全符号局部性的矢量码，其中局部码是最小带宽再生码（MBR）或最小存储再生码（MSR）。在第一部分中，我们提出了矢量码与全符号MBR局部性，对于所有参数，具有最佳的最小距离和最佳速率。这些代码结合了分布式存储文献中两种流行代码的思想，即乘积矩阵代码和Tamo-Barg代码。在第二部分中，处理具有全符号MSR局部性的代码，我们遵循基于成对耦合变换的方法来获得最佳的最小距离和最佳速率，对于一系列参数。本文提出的所有码构造都具有随码长$n$线性增长的低字段大小。
2018-04-02 cs.IT math.IT
Explicit two-deletion codes with redundancy matching the existential bound
我们给出了一个明确的建设长度$n$二进制码能够纠正删除的两个比特的大小为$2^n/n^{4+o(1)}$。这使得基于码字的低效贪婪选择的存在性结果与低阶项匹配，该存在性结果保证了这种大小为$Ω(2^n/n^4)$的码。我们的建设是基于增加经典的Varshamov-Tenengolts建设的单删除码与额外的检查方程。我们还给出了一个明确的建设的二进制码的大小$Ω(2^n/n^{3+o(1)})$，可以从两个删除使用列表大小为2列表解码。在此之前，甚至连这种代码的存在都不清楚。
2020-07-21 cs.DM cs.DS cs.IT
Linear MSRD codes with Various Matrix Sizes and Unrestricted Lengths
达到Singleton界的秩和度量码称为最大秩和距离（MSRD）。MSRD码已被构造为一些参数的情况下。本文构造了任意域${\bf F}_q$上的线性MSRD码，其中$n_1>n_2>\cdots>n_t$具有不同的矩阵大小，对于任意给定的最小秩和距离，满足$n_i \geq n_{i+1}^2+\cdots+n_t^2$ for $i=1, 2, \ldots, t-1$.
2022-06-14 cs.IT math.IT
Random Reed-Solomon Codes are List Recoverable with Optimal List Size
本文证明随机评估点的 Reed-Solomon 码在任意输入列表大小下可实现达到容量且输出列表大小最优的列表可恢复性，超越了列表恢复 Johnson 界，扩展了随机 RS 码列表译码的近期研究。
2024-04-03 cs.CC cs.IT math.CO
Optimal repairing schemes for Reed-Solomon codes with alphabet sizes linear in lengths under the rack-aware model
在现代实际数据中心中，存储节点通常被组织成大小相等的组，这被称为机架。跨机架通信的成本比机架内通信的成本昂贵得多。用于该系统的代码被称为机架感知再生代码。与标准的最小存储再生（MSR）码类似，构造满足割集界的最小存储架感知再生（MSRR）码是一个具有挑战性的任务。实现割集界限的MSRR码的已知构造给出了具有字母表大小$q$与码长$n$呈指数关系的码，更准确地说，是$q=Ω(\exp(n^n))$。本文的主要贡献是给出了在$n$中实现割集有界且字母长度线性的MSRR码的显式构造。为了实现这一目标，我们首先提出了一个通用的框架来修复里德所罗门码。结果表明，在我们的一般框架下，可以实现已知的Reed-Solomon码的修复方案。在本文中使用了几种技术。特别地，我们使用度下降的方法来修复失效节点。这种技术使我们能够得到在$n$中字母长度线性的Reed-Solomon码。其他技术包括选择好的多项式。注意，在文献中，好的多项式被用于构造局部可修码。据我们所知，这是第一次在本文中使用好的多项式的再生码的建设。
2019-11-19 cs.IT math.IT
Upper Bounds on the Size of Grain-Correcting Codes
在本文中，我们重新访问Mazumdar等人的组合误差模型。该模型在高密度磁记录中由于缺乏对记录介质中晶界的了解而引起的误差。我们提出了新的上界的基数/率的二进制分组码，纠正这个模型中的错误。
2013-06-19 cs.DM cs.IT math.IT
On the Minimum Field Size of Network MDS Codes for Generalized Combination Networks
Chern Institute of Mathematics and LPMC, Nankai University（南开大学陈省身数学研究所和LPMC）
本文针对广义组合网络和Zosin-Khuller网络，建立标量与向量网络MDS码的系统框架，推导最小域大小的更优界，明确一类向量编码无域大小优势的网络，并界定标量与向量解的MDS差距。
2026-08-05 cs.IT math.IT
