Hölder regularity and Harnack inequality for the logarithmic Laplacian
Indian Institute of Science Education and Research-Pune（印度科学教育与研究学院-普纳）
本文针对对数拉普拉斯算子，建立Schauder型估计，证明非齐次项为κ阶Hölder连续时内部解的正则性，并给出非负解的Harnack不等式。
2026-08-10 math.AP
Local and nonlocal 1-Laplacian in Carnot groups
本文在卡诺群的一个自然的背景下，研究了非局部和局部最小梯度问题，即1-Laplace算子的狄利克雷问题.我们研究的通道从非局部问题的局部问题的相互作用的范围为零，要做到这一点，我们首先证明了独立利益的全变差估计。
2020-01-07 math.AP
A Note on Commutators of the Fractional Sub-Laplacian on Carnot Groups
在这篇文章中，我们提供了一个逐点估计的$3$ -算子涉及的分数幂的次拉普拉斯卡诺群齐次维数$Q$。这可以看作是一个分数莱布尼茨规则在亚椭圆设置。作为逐点估计的推论，我们给出了交换子的$(L^{p},L^{q})\to L^{r}$估计，条件是$\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-\fracα{Q}$。
2017-11-28 math.AP
Harnack inequality and principal eigentheory for general infinity Laplacian operators with gradient in $\mathbb{R}^N$ and applications
在缺乏变分结构和非退化性的条件下，研究了一类带梯度项和齐次项的一般无穷Laplacian算子的三个\textit{generalized principal eigenvalue}概念。证明了一个Harnack不等式和边界Harnack不等式支持我们的分析。这是我们的第一个工作[3]的延续，也是对\textit{generalized principal eigenvalue}理论发展的贡献。利用这些概念刻画了最大值原理的有效性，并研究了Fisher-KPP型方程在全空间上正解的存在性、不存在性和唯一性.对滑动法进行了本质上的改进，使之适合于无穷大拉普拉斯算子求解。结果与Liouville型结果有关，这将被详细解释。
2022-02-04 math.AP
The boundary Harnack inequality for variable exponent $p$-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and $p(\cdot)$-harmonic measures
我们研究了$p(\cdot)$ -调和函数的各种边界衰减估计。对于$\mathbb{R}^n, n\geq 2$中满足球条件的域（$C^{1,1}$ -域），在变指数$p$是有界Lipschitz函数的假设下，证明了$p(\cdot)$ -调和函数的边界Harnack不等式.证明涉及屏障功能和链接参数。此外，我们证明了$\mathbb{R}^n$中NTA域上$p(\cdot)$ -调和函数的Carleson型估计，并给出了$p(\cdot)$ -调和测度的上下增长估计和加倍性质.
2014-05-12 math.AP
Schauder estimates at the boundary for sub-laplacians in Carnot groups
本文证明了Carnot群中次Laplacian型算子在边界处的Schauder估计。虽然内部Schauder估计已被深入研究，但到目前为止，边界上的次黎曼估计仅在海森堡群中已知。由于Jerison的原因，在海森堡环境下这些估计的证明是基于傅里叶变换技术的，并且不能在一般的李群中重复。在Jerison的结果之后，对边界问题没有新的贡献.在本文中，我们介绍了一种新的方法，它允许建立一个泊松核开始的基本解，从中我们推导出Schauder估计在非特征边界点。
2017-02-24 math.AP
Layer potentials, Green's formulae, Kac's problem, and refined Hardy inequality on homogeneous Carnot groups
我们提出了次拉普拉斯算子在齐次卡诺群/分层李群上的边界层势的类似物，并证明了它们的连续性结果。特别地，我们证明了单层势的连续性，并建立了双层位势的Plemelj型跳跃关系。我们证明子拉普拉斯适应版本的斯托克斯定理以及格林的第一和第二公式齐次卡诺群。给出了它在边值问题中的几个应用。作为另一个结果，我们推导出的子拉普拉斯分段光滑表面的牛顿潜在的轨迹公式。利用这一点，我们构造并研究了次拉普拉斯算子推广到齐次卡诺群M的非局部边值问题。卡茨的“感觉不到边界的原则”。我们也得到了类似的结果，更高的权力的子拉普拉斯。最后，作为另一个应用，我们证明了改进版本的哈代不等式和不确定性原理。
2016-12-25 math.AP
Harnack Inequality for Nonlinear Equations Driven by the Normalized Infinity-Laplacian
Ball State University
本文研究了归一化无穷 Laplacian 驱动的非线性方程的 Harnack 不等式，建立了非负粘性解的不等式，针对具有非线性吸收和梯度项的 PDE。
2026-09-07 math.AP
Nonlocal Harnack inequalities
本文提出并证明了一个非局部的、可能退化的积分-微分算子极小元的一般Harnack不等式，其模型是分数p-Laplacian算子.
2014-05-30 math.AP
Harnack inequality for fractional Laplacian-type operators on hyperbolic spaces
Seoul National University（首尔大学）；Hanyang University（汉阳大学）
本文研究了双曲空间上分数阶拉普拉斯型算子的正则性理论，证明了新的赫尔曼不等式，并引入了考虑负曲率影响的尺度函数。
2025-12-01 math.AP
Local smoothing effects, positivity, and Harnack inequalities for the fast p-Laplacian equation
利用$1<p<2$研究了快速$p$ -Laplacian方程$\partial_t u=Δ_{p}u$局部弱解的定性和定量性质.我们的主要结果是在$\RR^n\times [0,T]$域上的局部定义解的定量正性和有界性估计。我们结合这些下限和上限在不同形式的内在Harnack不等式，这是新的非常快的扩散范围内，即当$1<p \le 2n/(n+1)$。有界性结果也可以推广到极限情况$p=1$，而正性估计不能。证明了任意$1<p<2$大解的存在性和精确的渐近估计，并指出了它们的主要性质.我们还证明了一个新的局部能量不等式的梯度的适当的范数的解决方案。因此，我们证明了有界局部弱解确实是局部强解，更准确地说是$\partial_t u\in L^2_{\rm loc}$。
2009-02-16 math.AP
Sharp Vanishing order of solutions to Stationary Schrodinger equations on Carnot groups of arbitrary step
基于Almgren（[Al]）的频率函数方法的一个变体，建立了任意步长Carnot群上与次拉普拉斯算子相关联的定常薛定谔方程解的消失阶的最优上界.这样的界限提供了一个定量形式的强唯一的延续，可以被认为是一个类似的最近的结果巴克里和朱的标准拉普拉斯算子。
2018-05-09 math.AP
A Harnack inequality for weak solutions of the Finsler $γ$-Laplacian
我们研究了Finsler $γ$ -Laplacian算子的正则性，这类退化椭圆型偏微分方程自然地出现在各向异性几何问题中。精确地说，任何严格凸家庭的$C^{1}$ -规范$\{ ρ_{x}\}$上的$\mathbb{R}^{n}$和$γ> 1$，我们认为$W^{1,γ}(Ω)$解决方案的各向异性PDE $$ \displaystyle \int_Ω \left \langle ρ_{x}(Du)^{γ-1} (D ρ_{x})(Du), D φ\right \rangle = \int_Ω \vec{F} \cdot D φ+ f φ\qquad \forall φ\in W^{1,γ^{\prime}}_{0}(Ω). $$在温和的假设$|ξ|^{-1} ρ_{x}( ξ) \in [ν, Λ]$的所有$(x,ξ) \in Ω\times \mathbb{R}^{n}$和一些$0 < ν\le Λ< \infty$我们执行Moser迭代，验证子和超级解决方案满足单侧$\| \cdot \|_{\infty}$界，这意味着解决方案是局部有界的。当$u$是非负的，这也意味着一个（弱）Harnack不等式。如果$f, \vec{F} \equiv 0$弱解也受益于强极大值原理和刘维尔型定理。
2022-05-06 math.AP
Harnack inequality for the nonlocal equations with general growth
考虑一类广义非局部$p$ -Laplacian方程.利用正性展开和能量估计，我们找到了一些适当的结构条件，建立了一类非局部问题的弱解的非局部Harnack不等式.
2022-01-24 math.AP
Li-Yau and Harnack estimates for nonlinear parabolic equations
Wichita State University（威奇托州立大学）；Auburn University（奥本大学）
本文为多类非线性抛物方程建立全局Harnack不等式，包括一致抛物流、加权p-Laplacian热流及各向同性扩散，利用极大值原理和加权测地线变分，并在粘性意义下推导Li-Yau不等式。
2026-10-08 math.AP
Dirichlet sub-Laplacians on homogeneous Carnot groups: spectral properties, asymptotics, and heat content
考虑齐次卡诺群中开有界集上的次拉普拉斯算子，研究其谱性质。我们证明了这些算子具有纯点谱，并证明了谱隙的存在性。此外，我们还应用于亚椭圆布朗运动的小球问题和正则区域中热含量的大时间行为。
2023-03-08 math.AP math.DG math.PR
Discrete/Continuous Elliptic Harnack Inequality and Kernel Estimates for Functions of the Laplacian on a Graph
本文在积空间$M \times X$中引入调和函数的椭圆Harnack不等式，其中$M$是加权黎曼流形，$X$是可数图.由于一些标准参数的椭圆形的情况下失败，在这个“混合”的设置，我们适应的想法介绍了蒂埃里Delmotte离散抛物的情况下。然后，我们提出了这个不等式的一些有用的应用，即，一个核估计函数的Laplacian图。这个应用程序反过来又提供了对图上某些马尔可夫核的精确估计。然后，我们关闭本文的应用程序的卷积功率估计的有限生成群的多项式增长。
2012-12-18 math.AP math.PR
Removable sets for Lipschitz harmonic functions on Carnot groups
设G是齐次维数Q大于2的卡诺群，L是G上的次拉普拉斯算子.证明了Lipschitz L-调和函数可去集的临界维数为Q-1.此外，我们还构造了具有正的有限（Q-1）维Hausdorff测度的自相似集。
2013-10-22 math.AP
Boundary Harnack inequalities for the fractional $p$-Laplacian in Reifenberg flat domains
Uppsala University（乌普萨拉大学）
该研究针对Reifenberg平坦区域，证明了分数阶p-调和函数商的边界哈纳克不等式与赫尔德连续性，通过系列估计和变形方法将相关结果从能量类扩展到尾类。
2026-10-16 math.AP
A Curious Equation Involving the Infinity-Laplacian
证明了一类含变指数无穷拉普拉斯算子的微分方程黏性解的唯一性。一个版本的Harnack不等式推导出这个极大极小问题。
2009-02-11 math.AP
Li-Yau and Harnack inequalities via curvature-dimension conditions for discrete long-range jump operators including the fractional discrete Laplacian
我们考虑具有对称可积核$k$的一维格上的形式为$L u(x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}} k(x-y) \big( u(y) - u(x)\big)$的算子。我们证明了几个结果表明，在一定条件下的内核操作$L$满足曲率维数条件$CD_Υ(0,F)$（最近推出的两个作者）与一些$CD$ -功能$F$，其中注意也支付到$F$（指数增长性在无穷大和幂型行为接近零）。我们证明了$CD_Υ(0,F)$蕴含一个关于与算子$L$相关的热方程正解的Li-Yau不等式. Li-Yau估计反过来又导致Harnack不等式，从中我们还推导出热核界。我们的结果适用于广泛的一类运营商，包括分数离散拉普拉斯算子。
2022-01-12 math.AP math.PR
On potentials for sub-Laplacians and geometric applications
本文提出了一种在同构卡拉尼集团中利用几何完备性估计极集哈代维度的新方法，并应用于CR几何等领域。
2025-12-24 math.AP math.DG
A Pohozaev-type neck proof of a conditional Harnack inequality in the critical $p$-Laplacian setting
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, the Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所）
通过 Pohozaev 颈部论证，在全局临界 Sobolev 增长和单调性条件下，将归一化颈部的初步奇异衰减率提升至尖锐的 $p$-调和基本速率，从而证明正弱解的 Schoen 型条件 Harnack 不等式。
2026-06-04 math.AP
Higher Regularity of the Free Boundary in the Obstacle Problem for the Fractional Laplacian
利用高阶边界Harnack不等式证明了分数阶Laplacian障碍问题中自由边界的一个更高正则性结果。
2017-03-26 math.AP
The Harnack inequality for a class of degenerate elliptic operators
证明了一类$N$维退化椭圆型偏微分方程分布解的Harnack不等式.所讨论的微分算子与Kolmogorov算子有关，由最后一个$N-1$变量中的拉普拉斯算子、对应于第一个变量方向上的剪切流的一阶项和有界可测势项组成。一阶系数是最后一个$N-1$变量的光滑函数，并且其导数直到一定阶不会在任何点同时为零，使得所讨论的算子为亚椭圆。
2011-12-14 math.AP
The Cauchy problem for the fast $p-$Laplacian evolution equation. Characterization of the global Harnack principle and fine asymptotic behaviour
研究了在所谓的“良好快速扩散区”$\tfrac{2N}{N+1}<p<2$内，$p$ -Laplacian快速发展方程发展方程$u_t=Δ_p u$在整个欧几里得空间上的Cauchy问题的非负解的整体性质.众所周知，非负解在很大程度上表现为$\mathcal{B}$，即巴伦布拉特（或基本）解，它具有显式表达式。我们证明了所谓的整体Harnack原理（GHP），即非负解的精确整体逐点上下估计的$\mathcal{B}$。这可以被认为是线性热方程著名的高斯估计的非线性对应。我们的特点是最大的（因此最佳）类的初始数据，这样的GHP持有，通过一个完整的尾部条件，易于检查。然后，GHP被用来作为一种工具，分析精细的渐近行为的大的时间。对于满足相同积分条件的初始数据，我们证明了相应解的行为类似于具有相同质量的Barenblatt，在相对误差上一致.当积分尾条件不满足时，证明了GHP和关于相对误差的一致收敛性不再成立，并给出了明确的反例.然后，我们证明了一个“广义GHP”，即逐点的上限和下限的明确配置文件与尾部不同，从$\mathcal{B}$。最后，我们得到尖锐的全球定量上限的解决方案的梯度模，并且，当数据径向减少，我们表现出一致收敛性的梯度相对误差。据我们所知，线性热方程$p=2$的类似问题，没有这样明确的答案，只有部分结果是已知的。
2021-03-04 math.AP
The asymptotic $p$-Poisson equation as $p \to \infty$ in Carnot-Carathéodory spaces
本文研究了次椭圆$p$ -泊松方程作为$p\to +\infty$的解在Carnot Carathéodory空间中的渐近性态.特别地，引入适当的可微性概念，推广了Bhattacharya，DiBenedetto和Manfredi [Rend. Sem等Mat. Politec大学Torino，1989，Special Issue，15-68]，并证明了这种解的极限在粘性意义下解一个包含$\infty-$ Laplacian和Eikonal方程的混合一阶和二阶偏微分方程.
2023-02-07 math.AP
On the Harnack inequality for parabolic minimizers in metric measure spaces
本文研究了测地度量测度空间中的抛物型偏微分方程，该空间具有加倍测度和Poincaré不等式.证明了一个关于含p-Laplacian的双非线性抛物型方程的变分问题的极小值的位置和尺度不变Harnack不等式.在测地度量空间中证明了Grigor'yan-Saloff-Coste定理对一般p > 1的充分性。所使用的方法是严格变分的，因此我们能够在度量设置中进行论证。
2013-04-16 math.AP
The Hardy inequality and Nonlinear parabolic equations on Carnot groups
本文研究如下非线性抛物型偏微分方程：\[ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}= Δ_{\mathbb{G},p}u+V(x)u^{p-1} & \text{in}\quad Ω\times (0, T), \quad 1<p<2, u(x,0)=u_{0}(x)\geq 0 & \text{in} \quadΩ, u(x,t)=0 & \text{on}\quad \partialΩ\times (0, T) \end{cases} \]其中$ Δ_{\mathbb{G},p}$是卡诺群$ \mathbb{G}$和$V\in L_{\text{loc}}^1(Ω)$上的$p$ -次拉普拉斯算子.
2005-04-04 math.AP
The nonlocal Harnack inequality for antisymmetric functions: an approach via Bochner's relation and harmonic analysis
本文利用 Bochner 关系将奇函数的一维 Fourier 变换与径向函数的三维 Fourier 变换相联系，把分数阶 Laplacian 的反对称函数 Harnack 不等式推广至更一般的非局部椭圆算子，将边界型不等式转化为内部不等式。
2025-06-25 math.AP
Measure Estimates, Harnack Inequalities and Ricci Lower Bound
在Riemann度量-测度空间上，建立了一个Alexandrov-Bakelman-Pucci型测度估计，它将Bakry-里奇曲率下界、修正Laplacian和某些特殊集的测度联系起来.我们应用这个估计证明了修正Laplacian算子和完全非线性算子的Harnack不等式。这些不等式似乎没有在文献中;和我们的证明，完全基于ABP估计，不涉及任何Sobolev不等式，也没有梯度估计。我们还提出了一个关于用Harnack不等式刻画Ricci下界的问题。
2011-04-10 math.AP math.DG
Integral Harnack estimates and the rate of extinction of singular fractional diffusion
本文研究了奇异s分数p-Laplace扩散方程的局部弱解的积分Harnack不等式，并利用这些估计评估局部质量及解的衰减速率，同时通过近似方法研究了Cauchy-Dirichlet问题弱解的灭绝现象。
2026-06-05 math.AP
Frequency of Harmonic functions in Carnot groups and for operators of Baouendi type
本文引入了一个新的Almgren频率的概念，它适用于任意步长$\bG$的Carnot群上的次拉普拉斯算子（调和函数）的解.利用这一概念，我们研究了一些与频率有关的新泛函，并得到了相应的调和函数或一类紧密相连的退化二阶Baouendi型算子解的单调性公式.本文证明的结果提供了一些新的见解之间存在的深层联系的增长性质的频率，以及有关的调和函数的局部和整体结构，在这些非椭圆，或亚椭圆，设置
2012-12-25 math.AP
Function Spaces via Fractional Poisson Kernel on Carnot Groups and Applications
利用分数热核和泊松核给出了Carnot群中齐次Besov和索伯列夫空间的一个新刻画.我们应用我们的结果研究涉及分数幂的子拉普拉斯算子。
2020-05-13 math.AP math.FA
On the Harnack inequality for antisymmetric $s$-harmonic functions
本文在一般区域中证明了反对称 $s$-调和函数及带零阶项分数阶方程解的 Harnack 不等式，该结果可与移动平面法结合以获得由分数阶 Laplacian 驱动的半线性方程对称性和超定问题的定量稳定性。
2023-04-10 math.AP
Curvature conditions, Liouville-type theorems and Harnack inequalities for a nonlinear parabolic equation on smooth metric measure spaces
本文在光滑度量测度空间上，针对含Witten Laplace算子的非线性抛物方程，建立Souplet-Zhang、Hamilton与Li-Yau型梯度估计，并由此导出Harnack不等式及Liouville型常值性结果。
2024-04-02 math.AP
Quasilinear equations with source terms on Carnot groups
本文给出了任意步长Carnot群$\mathbb G$上具有测度的Lane-Emden型拟线性方程解存在的充要条件。拟线性部分涉及$p$ -拉普拉斯型算子$Δ_{\mathbb G,\,p}\,$，$1<p<\infty$ .这些结果是基于新的先验估计的解决方案的非线性潜力的Th。沃尔夫喜欢的类型因此，我们完全可去奇点的特点，并证明了一个刘维型定理的上解的拟线性方程的源项已被称为只有方程涉及次拉普拉斯算子（$p=2$）的海森堡群。
2012-01-17 math.AP math.CA
On the role of gradient terms in quasilinear coercive differential inequalities on Carnot Groups
在次黎曼设置的卡诺群，这项工作研究了先验估计和刘维型定理的强制，拟线性微分不等式的类型$$ Δ_{\mathbb{G}}^φu \ge b(x) f(u) l(|\nabla u|). $$的解决方案原型的例子$Δ_{\mathbb{G}}^φ$是（亚椭圆）$p$ -拉普拉斯算子和中曲率运营商。本文的主要新颖之处在于，我们允许依赖于梯度$l(t)$，可以消失的$t \rightarrow 0^+$和$t \rightarrow +\infty$。我们的结果改进了最近的文献，并通过适当的反例，我们表明，在主要定理的参数范围是尖锐的。
2015-05-20 math.AP
Equivalence of sub-Laplacian on Polarized groups
Kijowski Montec LLC（基约夫斯基蒙特克有限责任公司）；University of Fribourg（弗里堡大学）；Institute of Mathematics, University of Warsaw（华沙大学数学研究所）
本研究刻画了次黎曼李群间与次拉普拉斯算子可交换的光滑映射，证明其为次黎曼淹没映射，还明确了Carnot群中次拉普拉斯算子可决定次黎曼结构，澄清了相关前期分析。
2026-09-07 math.AP math.DG
Regularity estimates for fractional orthotropic $p$-Laplacians of mixed order
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
该研究针对带各向异性奇异核的非线性积分-微分算子，推导得出Sobolev型不等式、弱Harnack不等式与局部Hölder估计三类鲁棒正则性结果。
2022-02-15 math.AP
Boundary behavior of solutions to fractional $p$-Laplacian equation
该研究针对分数阶$p$-拉普拉斯方程，证明了其解的广义Hopf引理与全局边界Harnack不等式，并得出满足Wiener准则的有界开集中第一$(s,p)$-特征值具有孤立性的结论。
2025-02-21 math.AP
Hardy Inequalities for the Heisenberg Laplacian on convex bounded polytopes
证明了第一Heisenberg群上开有界凸多胞体上Heisenberg Laplacian梯度的Hardy型不等式。Hardy不等式的积分权由到边界的距离函数给出，该距离函数相对于Carnot-Carathéodory度量测量。该常数取决于由凸多胞体的边界给出的与超平面$x_3=0$不正交的超平面的数量。
2016-06-14 math.AP
Optimal regularity and nondegeneracy of a free boundary problem related to the fractional Laplacian
讨论了一类与分数阶拉普拉斯算子有关的自由边界问题的最优正则性和非退化性。这项工作是相关的，但解决了不同的问题，最近的工作Caffarelli，Roquejoffre，和陛下。边界Harnack不等式的一个变体也被证明，它不再要求函数沿边界为0。
2013-02-07 math.AP
The Aronsson equation for absolute minimizers of $L^\infty$-functionals associated with vector fields satisfying Hörmander's condition
给定一个由满足Hörmander条件的向量场$\{X_i\}_{i=1}^m$生成的Carnot-Carathéodory度量空间$(R^n, d_{\hbox{cc}})$，我们在定理A中证明了在$f$上的适当条件下，任何绝对极小元$u\in W^{1,\infty}_{\hbox{cc}}(\Om)$到$F(v,\Om)=\sup_{x\in\Om}f(x,Xv(x))$是Aronsson方程（1.6）的粘性解.特别地，任何AMLE都是次椭圆$\infty$ -拉普拉斯方程（1.7）的粘性解。若Carnot-Carathédory空间是一个Carnot群${\bf G}$，且$f$与$x$ -变量无关，则在定理C中我们证明了在适当的条件下，Aronsson方程（1.13）在$f$上粘性解的唯一性.因此，在${\bf G}$中建立了次椭圆$\infty$ -Laplacian方程的AMLE解和粘性解的唯一性
2003-07-14 math.AP
Reverse Poincare inequalities, Isoperimetry, and Riesz transforms in Carnot groups
证明了任意阶Carnot群上的次Laplacian生成的热半群的一个最优逆Poincaré不等式。作为应用，我们给出了等周不等式和里斯变换在卡诺群上的有界性的新证明.
2015-04-02 math.AP math.DG math.PR
Harnack estimates for degenerate parabolic equations modeled on the subelliptic p-Laplacian
本文建立了一类拟线性偏微分方程的Harnack不等式，该方程以原型{方程 *} \partial_t u= - \sum_{i=1}^{m} X_i^ \ast（|\X使用|其中，$p\ge 2$，$ \ \X = (X_1,..., X_m)$是在赋予Borel测度$μ$的光滑流形$\M$上定义的Lipschitz向量场的系统，并且$X_i^*$表示$X_i$关于$μ$的伴随。我们的估计来自假设（i）$\X$产生的控制距离$d$诱导$\M$上相同的拓扑结构;（ii）$d-$度量球的$μ$ -测度的加倍条件和（iii）涉及$\X$和$μ$的Poincaré不等式的有效性。我们的结果将最近在\cite{DiBenedettoGianazzaVespri1}，\cite{K}中的工作推广到更一般的情形，包括（1）由Hörmander向量场和Lebesgue测度生成的度量;（2）具有非负Ricci曲率和黎曼体积形式的黎曼流形;（3）由非光滑Baouendi-Grushin型向量场和Lebesgue测度生成的度量.在所有情况下，Harnack不等式继续举行时，勒贝格措施取代任何光滑体积形式或措施的密度对应于Muckenhoupt型重量。
2013-06-24 math.AP math.DG math.MG
A comparison method for the fractional Laplacian and applications
本文研究了分数椭圆型方程解的边界行为，证明了Lane-Emden方程第一特征值的孤立性，并建立了广义Hopf引理和全局边界Harnack不等式。
2023-03-31 math.AP
On the Hölder regularity for solutions of integro-differential equations like the anisotropic fractional Laplacian
本文研究了具有各向异性分数阶拉普拉斯算子的积分微分方程。如在[Silvestre，Indiana University Mathematics Journal 55，2006]中，我们采用De Giorgi技术来实现$C^{2}$类解的$C^γ$ -正则性，并使用[Caffarelli，Leitão，and Urbano，Math. Ann. 360，2014]中的几何结构来获得ABP估计、Harnack不等式和黏性解的内部$C^{1, γ}$正则性。
2020-08-27 math.AP
Local bounds, Harnack inequality and Hölder continuity for divergence type elliptic equations with nonstardard growth
本文对具有非标准$p(x)-$型增长的散度型椭圆型方程的解得到了一个Harnack型不等式.模型方程是非齐次$p(x)-$拉普拉斯算子。即，\[ Δ_{p(x)}u:=\mbox{div}\big(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\big)=f(x)\quad\mbox{in}\quadΩ\]，我们证明Harnack不等式时$f\in L^{q_0}(Ω)$如果$\max\{1,\frac N{p_{min}}\}<q_0\le \infty$。Harnack不等式中的常数仅通过$\||u|^{p(x)}\|_{L^1(Ω)}^{p_{max}-p_{min}}$依赖于$u$。已知在变量$p(x)$的情况下，常数对$u$的依赖性是必要的。与以前的论文一样，假设指数$p(x)$上的log-Hölder连续性。我们还证明了当$f\in L^{q_0(x)}(Ω)$与$q_0\in C(Ω)$和$\max\{1,\frac N{p(x)}\}<q_0(x)$在$Ω$中时，弱解是局部有界的和Hölder连续的.然后将这些结果推广到具有$p(x)-$型增长的椭圆型方程\[ \mbox{div}A(x,u,\nabla u)=B(x,u,\nabla u) \].
2013-09-09 math.AP
Asymptotic behavior of entire solutions for degenerate partial differential inequalities on Carnot-Carathéodory metric spaces and Liouville type results
本文研究了一类拟线性退化不等式广义整体解的性质，其模型为以下原型，主要部分为p-Laplacian算子\begin{equation*} {\underset{m}{\overset{i=1}{\sum}}} X_i^*(|\mathbf{X}u|^{p-2} X_i u)\geq |u|^{q-2}u, \ \ x\in {\mathbb{R}}^{n},\ q>1,\ p>1, \end{equation*}，其中${\mathbb{R}}^{n}$是由向量场系$\mathbf{X}=(X_1,X_2,..,X_m)$生成的Carnot-Carathéodory度量空间，$X_i^*$表示$X_i$关于Lebesgue测度的伴随.对于$p$小于齐次维数$Q$的情形，我们从下面得到了广义解的本质上确界的一个精确的先验估计，这意味着一些Liouville型结果.
2016-11-14 math.AP
Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues on Carnot groups
本文证明Carnot群开集上次Laplacian算子的第j个Dirichlet特征值大于第(j+1)个Neumann特征值，推广了Euclidean与Heisenberg情形的早期结果。
2024-11-17 math.AP math.SP
Critical Ambrosetti-Prodi type problems on Carnot groups
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
本文研究了Carnot群上涉及子拉普拉斯算子的临界Ambrosetti-Prodi问题，探讨了参数λ<λ₁和λ>λ₁时解的存在性和多重性，以及在λ=λ₁时共振情况下的解的存在性及特征。
2026-04-15 math.AP
Regularity for the fractional logarithmic $p$-Laplacian
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）；Goethe-Universität Frankfurt（法兰克福歌德大学）
研究分数阶对数 $p$-拉普拉斯算子的正则性，采用迪乔吉 - 纳什 - 莫泽技术证明哈拿克不等式与局部赫尔德正则性，构造反例说明尾项对哈拿克不等式的必要性，结果在 $p = 2$ 时也新颖。
2026-08-11 math.AP
Comparing three possible hypoelliptic Laplacians on the 5-dimensional Cartan group via div-curl type estimates
本文在具有2个生成元的3步自由Carnot群（5维Cartan群）上提出三种亚椭圆Hodge-Laplacian定义，并比较它们在获得精确div-curl型不等式方面的适用性，以克服Rumin外微分非齐次性带来的困难。
2024-07-30 math.AP math.DG
