Asymptotic behavior of entire solutions for degenerate partial differential inequalities on Carnot-Carathéodory metric spaces and Liouville type results
本文研究了一类拟线性退化不等式广义整体解的性质，其模型为以下原型，主要部分为p-Laplacian算子\begin{equation*} {\underset{m}{\overset{i=1}{\sum}}} X_i^*(|\mathbf{X}u|^{p-2} X_i u)\geq |u|^{q-2}u, \ \ x\in {\mathbb{R}}^{n},\ q>1,\ p>1, \end{equation*}，其中${\mathbb{R}}^{n}$是由向量场系$\mathbf{X}=(X_1,X_2,..,X_m)$生成的Carnot-Carathéodory度量空间，$X_i^*$表示$X_i$关于Lebesgue测度的伴随.对于$p$小于齐次维数$Q$的情形，我们从下面得到了广义解的本质上确界的一个精确的先验估计，这意味着一些Liouville型结果.
2016-11-14 math.AP
The Subelliptic $\infty$-Laplace System on Carnot-Carathéodory Spaces
给定具有关联向量场$X=\{X_1,...,X_m\}$的卡诺-卡拉西奥多里空间$\Om \sub \R^n$，我们推导出映射$u : \Om \larrow \R^N$的亚椭圆$\infty$ -拉普拉斯系统，它将亚椭圆$p$ -拉普拉斯算子的极限中的\[ \label{1} \De^X_\infty u \, :=\, \Big(Xu \ot Xu + \|Xu\|^2 [Xu]^\bot \ot I \Big) : XX u\, = \, 0 \tag{1} \]读作$p\ri \infty$。这里，$Xu$是水平梯度，而$[Xu]^\bot$是其零空间上的投影。接下来，我们确定的变分原理表征\eqref{1}，这是“欧拉-拉格朗日偏微分方程”的最高功能\[ \label{2} E_\infty(u,\Om)\ := \ \|Xu\|_{L^\infty(\Om)} \tag{2} \]适当定义的概念\emph{Horizontally $\infty$-Minimal Mappings}。我们还建立了$\|Xu\|$的最大值原理，用于求解\eqref{1}。这些结果扩展了作者\cite{K1, K2}以前关于$L^\infty$中向量值变分的工作，从欧几里德到亚椭圆的设置.
2013-04-11 math.AP
Mean value property and harmonicity on Carnot-Carathéodory groups
研究了Carnot-Carathéodory群中关于勒贝格测度的均值性质所定义的强调和函数.对于这样的功能，我们显示其Sobolev正则性和光滑性。此外，我们还证明了强调和函数在适当的规范范数下满足次Laplace方程，并且包含是尖锐的。我们观察到$\mathbb{H}_1$中的球调和多项式都是强调和的，并且满足次拉普拉斯方程。我们的介绍是通过例子说明。
2017-02-24 math.AP math.CA
Carnot-Carathéodory metrics associated to degenerate elliptic operators in three dimensions
作为arXiv:1608.01630的配套研究，本文将相关几何结果推广到三维特定3×3矩阵函数的情形，显式计算对应Carnot-Carathéodory空间的测地线，并给出原点处度量球的Lebesgue测度估计。
2024-12-08 math.AP math.MG
Strong Comparison Principle for $p-$harmonic functions in Carnot-Caratheodory spaces
我们将Bony的支持参数\cite{Bony}的传播推广到非齐次次椭圆$p-$ Laplacian的$C^1$解，该解与一个满足Hörmander有限秩条件的光滑向量场系统相关联.作为结果，我们证明了一个强最大值原理和强比较原理，推广了Tolksdorf \cite{Tolksdorf}的结果。
2017-07-19 math.AP math.DG math.MG
Harnack inequality for fractional sub-Laplacians in Carnot groups
本文证明了Carnot-Carathéodory球上关于Carnot群中次Laplacian的分数幂的不变Harnack不等式.该证明依赖于卡法雷利和西尔维斯特最近引入的一种技术的“抽象”公式。此外，我们还在乘积型Carnot群上给出了一类退化次椭圆方程的泊松核。
2013-02-04 math.AP
Carnot-Carathéodory Balls on Manifolds with Boundary
本文将 Nagel-Stein-Wainger 的 Carnot-Carathéodory 球定量理论推广到带边流形，在内部和非特征边界部分建立缩放映射，为极大次椭圆边值问题研究奠定基础。
2025-07-04 math.AP math.CA math.DG
Hardy-type inequalities for the Carnot-Carathéodory distance in the Heisenberg group
本文研究了Heisenberg群$\mathbb H^n$中的各种Hardy不等式.距原点的卡诺-卡拉迪奥里距离$δ$。首先证明了Hardy不等式的最佳常数严格小于$n^2 = (Q-2)^2/4$，其中$Q$是齐次维数.然后，我们证明了，独立于$n$，海森堡群不支持径向Hardy不等式，即，一个Hardy不等式，其中梯度项由其沿$\nabla_{\mathbb H}δ$的投影代替。这与欧几里得情形形成鲜明对比，在欧几里得情形中，径向哈代不等式等价于标准不等式，并且具有相同的常数。受这些结果的启发，我们考虑非径向方向的Hardy不等式，即，与卡诺-卡拉西奥多里球相切的方向。特别是，我们表明，相关常数是有界的齐次锥$C_Σ$基地$Σ\subset \mathbb S^{2n}$，即使当$Σ$退化到一个点。这是一个真正的亚黎曼行为，因为众所周知，这样的常数在欧几里得空间中的齐次锥中爆炸。
2019-04-01 math.AP math.MG math.OC
The Aronsson equation for absolute minimizers of $L^\infty$-functionals associated with vector fields satisfying Hörmander's condition
给定一个由满足Hörmander条件的向量场$\{X_i\}_{i=1}^m$生成的Carnot-Carathéodory度量空间$(R^n, d_{\hbox{cc}})$，我们在定理A中证明了在$f$上的适当条件下，任何绝对极小元$u\in W^{1,\infty}_{\hbox{cc}}(\Om)$到$F(v,\Om)=\sup_{x\in\Om}f(x,Xv(x))$是Aronsson方程（1.6）的粘性解.特别地，任何AMLE都是次椭圆$\infty$ -拉普拉斯方程（1.7）的粘性解。若Carnot-Carathédory空间是一个Carnot群${\bf G}$，且$f$与$x$ -变量无关，则在定理C中我们证明了在适当的条件下，Aronsson方程（1.13）在$f$上粘性解的唯一性.因此，在${\bf G}$中建立了次椭圆$\infty$ -Laplacian方程的AMLE解和粘性解的唯一性
2003-07-14 math.AP
Interior HW^{1,p} estimates for divergence degenerate elliptic systems in Carnot groups
令X_1，.，X_q是R^n（q<n）中齐次卡诺群上水平向量场空间的基.本文考虑一个构造在这些向量场上的N个方程的退化椭圆型方程组，其中系数a_{ab} ^{ij}（i，j= 1，2，.，q，a，b= 1，2，.，N）是定义在R^n的有界区域A中的实值有界可测函数，满足强Legendre条件，属于空间VMO_{loc}（A）（由X_i诱导的Carnot-Caratheodory距离定义）.我们证明了系统弱解的内部HW^{1，p}估计（2<p< \infty）.
2012-10-13 math.AP
Fundamental solution and Harnack inequality for subelliptic evolution operators on Carnot groups
本文利用 Levi 参数法和 Carnot-Carathéodory 几何研究 Carnot 群上次椭圆演化算子，证明基本解存在性、极大值原理及不变 Harnack 不等式。
2025-09-19 math.AP
Heat kernel asymptotics on the free step-two Carnot group with $3$ generators
本文研究具有3个生成元的自由二阶 Carnot 群，建立了热核的一致渐近性与导数尖锐界，并完全解决了 Gaveau-Brockett 问题，给出了平方距离的显式表达式及小时间渐近行为。
2023-12-23 math.AP math.PR
Weighted $p(\cdot)$-Poincaré and Sobolev inequality]{Weighted $% p(\cdot )$-Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfiying Hörmander's condition and applications
本文将在Carnot-Carathéodory空间或Carnot群上建立不同的变指数加权Poincaré不等式。我们将使用不同的技巧来获得这些不等式。对于变非迷向索伯列夫空间中满足Hörmander条件的向量场，考虑变Muckenhoupt类$% A_{p(\cdot ),p^{\ast }(\cdot )}$中的一个权，其中指数$p(\cdot )$满足适当的假设，得到了变指数的一阶加权Poincaré不等式.在Carnot群的情形下，我们也建立了变指数的高阶加权Poincaré不等式.对于这些结果的关键部分是证明分数次积分算子在Lebesgue空间上的有界性与加权和变指数的齐型空间。此外，使用其他技术，我们扩展了一些这些结果时，指数满足跳跃条件和重量是在一个较小的Muckenhoupt类。最后，我们将使用这些加权Poincaré不等式建立一个问题的Dirichlet能量积分的最小值的存在性和唯一性，涉及退化的$p(\cdot )$ -Laplacian在卡诺群中的零边界值。
2022-09-02 math.AP
Non-divergence form parabolic equations associated with non-commuting vector fields: Boundary behavior of nonnegative solutions
在圆柱$Ω_T=Ω\times (0,T)\subset \R^{n+1}_+$中研究了二阶抛物型方程的非负解的边界表现，其中$X=\{X_1,...,X_m\}$是$\Rn$中满足Hörmander有限秩条件\eqref{frc}的$C^\infty$向量场系统，$Ω$是关于由$X$诱导的Carnoto-Carathéodory距离$d$的非切可达区域.关于矩阵值函数$A=\{a_{ij}\}$，我们假定它是实的、对称的、一致正定的。此外，我们假设它的条目$a_{ij}$是Hölder连续的关于与$d$相关的抛物线距离。我们的主要结果是：1）非负解在侧边界上为零的向后Harnack不等式（定理\ref{T:back}）; 2）直到在侧边界的一部分上连续为零的两个非负解的商的边界的Hölder连续性（定理\ref{T:quotients}）; 3）与算子$H$相关的抛物测度的加倍性质（定理\ref{T:doubling}）.这些结果推广到本文的亚椭圆情形，以及Fabes，Safonov和Yuan在[FSY]和[SY]中关于Lipschitz柱的结果.但有一个条件：在这些论文中，作者假设系数$a_{ij}$仅是有界的和可测的，而我们假设Hölder连续关于内在抛物距离。
2010-08-30 math.AP
